结构动力学计算课件

10.2 单自由度无阻尼体系的自由振动单自由度无阻尼体系的自由振动 Free-Vibration of SDOF System without DampingSDOF：single degree of freedom10.2 单自由度无阻尼体系的自由振动单自由度无阻尼体系的自由振动 SDOF：singl教学内容教学内容 自由振动微分方程的建立：自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法刚度法、柔度法 自由振动微分方程的解自由振动微分方程的解 解的物理意义解的物理意义教学内容教学内容 自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法J 重要性重要性 单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估算，如：水塔、单层厂房等。算，如：水塔、单层厂房等。单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的基础。基础。重要性重要性 单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估 质点的达朗伯质点的达朗伯(dAlembert)原理原理 在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力主动力、约束约束反力反力和和假想假想加在质点上的加在质点上的惯性力惯性力构成构成形式上形式上的的平衡力系平衡力系。1.自由振动方程的建立自由振动方程的建立 要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构建立描述结构建立描述结构建立描述结构运动的（微分）方程运动的（微分）方程运动的（微分）方程运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，这里介绍建。建立运动方程的方法很多，这里介绍建。建立运动方程的方法很多，这里介绍建。建立运动方程的方法很多，这里介绍建立在立在立在立在达朗伯原理达朗伯原理达朗伯原理达朗伯原理基础上的基础上的基础上的基础上的“动静法动静法动静法动静法”。形式形式形式形式上的上的上的上的平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程，实质实质实质实质上的上的上的上的运动方程运动方程运动方程运动方程。Formulation the equation of free-vibration 质点的达朗伯质点的达朗伯(dAlembert)原理原理 在质点运动的任一在质点运动的任一yk悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁-质量模型质量模型质量模型质量模型 刚度法刚度法(Stiffness method)建立振动微分方程的建立振动微分方程的 2 种方法种方法yk悬臂梁悬臂梁-质量模型质量模型 刚度法刚度法(Stiffness metho理论力学知识的回顾：弹簧理论力学知识的回顾：弹簧理论力学知识的回顾：弹簧理论力学知识的回顾：弹簧-振子模型振子模型振子模型振子模型-kyykm惯性力惯性力惯性力惯性力 （Inertia forceInertia force）:与加速度的方向相反与加速度的方向相反与加速度的方向相反与加速度的方向相反弹性力弹性力弹性力弹性力-ky-ky（Elastic force Elastic force）：）：）：）：与位移方向相反与位移方向相反与位移方向相反与位移方向相反约束反力和惯性力的平衡约束反力和惯性力的平衡约束反力和惯性力的平衡约束反力和惯性力的平衡yO描述下其运动过程？描述下其运动过程？yOk刚度系数刚度系数（Stiffness coefficient）：使弹簧发生单位变形）：使弹簧发生单位变形时所需施加的力。时所需施加的力。理论力学知识的回顾：弹簧理论力学知识的回顾：弹簧-振子模型振子模型-kyykm惯性力惯性力 从从从从力系平衡力系平衡力系平衡力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法称为角度建立自由振动微分方程的方法称为角度建立自由振动微分方程的方法称为角度建立自由振动微分方程的方法称为刚度法刚度法刚度法刚度法(Stiffness method).(Stiffness method).k刚度系数刚度系数（Stiffness coefficient）：使结构发生单位位移）：使结构发生单位位移时所施加的力。时所施加的力。yk-kyyOyO 从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法称为刚度法从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法称为刚度法(Sti 刚度法刚度法刚度法刚度法列运动方程的步骤列运动方程的步骤列运动方程的步骤列运动方程的步骤F 建立体系的坐标系，确定坐标原点；建立体系的坐标系，确定坐标原点；F 取质量为隔离体，进行受力分析（取质量为隔离体，进行受力分析（需考虑惯性力需考虑惯性力）；）；F 列平衡方程；列平衡方程；刚度法列运动方程的步骤刚度法列运动方程的步骤 建立体系的坐标系，确定坐标原点；建立体系的坐标系，确定坐标原点；OY建立图示体系的竖向运动方程：建立图示体系的竖向运动方程：重力重力的影响分析的影响分析以平衡位置以平衡位置为坐标原点为坐标原点OykW以静力平衡位置建立坐标，可不考虑重力的影响，总位移为动位以静力平衡位置建立坐标，可不考虑重力的影响，总位移为动位以静力平衡位置建立坐标，可不考虑重力的影响，总位移为动位以静力平衡位置建立坐标，可不考虑重力的影响，总位移为动位移与静位移之和。移与静位移之和。移与静位移之和。移与静位移之和。OY建立图示体系的竖向运动方程：重力的影响分析以平衡位置为坐建立图示体系的竖向运动方程：重力的影响分析以平衡位置为坐EIEImmEIEI例例1.用刚度法列体系的运动方程用刚度法列体系的运动方程l lm mEIEIEIEIl lP=1l l单自由度体系运动方程的通用形式单自由度体系运动方程的通用形式单自由度体系运动方程的通用形式单自由度体系运动方程的通用形式k=?k=?，静力学知识为基础，静力学知识为基础，静力学知识为基础，静力学知识为基础图乘法图乘法图乘法图乘法EIEImmyOEImEI例例1.用刚度法列体系的运动方程用刚度法列体系的运动方程lmEIEIlP=柔度法柔度法(Flexibility method)F=1JJ 不同方法得到相同的表达式不同方法得到相同的表达式不同方法得到相同的表达式不同方法得到相同的表达式FF 柔度的定义和物理意义？与刚度的关系？柔度的定义和物理意义？与刚度的关系？柔度的定义和物理意义？与刚度的关系？柔度的定义和物理意义？与刚度的关系？单位荷载引起的结构的变形单位荷载引起的结构的变形单位荷载引起的结构的变形单位荷载引起的结构的变形yk kk kyO受力分析，求外力作受力分析，求外力作受力分析，求外力作受力分析，求外力作用下体系的位移用下体系的位移用下体系的位移用下体系的位移 从从从从柔度的概念柔度的概念柔度的概念柔度的概念出发，分析结构的出发，分析结构的出发，分析结构的出发，分析结构的变形，建立运动方程变形，建立运动方程变形，建立运动方程变形，建立运动方程柔度法柔度法(Flexibility method)F=1 不同方不同方 柔度法柔度法柔度法柔度法列运动方程的步骤列运动方程的步骤列运动方程的步骤列运动方程的步骤F 在质量上沿位移方向施加惯性力；在质量上沿位移方向施加惯性力；F 求外力（求外力（包括惯性力包括惯性力）引起的质量的位移；）引起的质量的位移；F 令该位移等于体系的位移；令该位移等于体系的位移；柔度法列运动方程的步骤柔度法列运动方程的步骤 在质量上沿位移方向施加惯性力；在质量上沿位移方向施加惯性力；求求例例2.用柔度法建立体系的运动方程用柔度法建立体系的运动方程l lm mEIEIEIEIl l图乘法图乘法图乘法图乘法yOy yP=1l l例例2.用柔度法建立体系的运动方程用柔度法建立体系的运动方程lmEIEIl图乘法图乘法yOy柔度法步骤：柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。令该位移等于体系位移。例例3 3：用柔度法列运动方程：用柔度法列运动方程=1lmmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4柔度法步骤：例柔度法步骤：例3：用柔度法列运动方程：用柔度法列运动方程=1lmEIlEIl/2例例4.求图示体系的自振频率和周期。求图示体系的自振频率和周期。=1解：解：解：解：m mEIllm/2EIEIll自由度数判断：自由度数判断：自由度数判断：自由度数判断：1 1个个个个例例4.求图示体系的自振频率和周期。求图示体系的自振频率和周期。=1解：解：mEIllm/2E2.自由振动微分方程的解自由振动微分方程的解,FF C C1 1、C C2 2为由为由为由为由初始条件初始条件初始条件初始条件确定的确定的确定的确定的待定常数待定常数待定常数待定常数高等数学知识高等数学知识高等数学知识高等数学知识2.自由振动微分方程的解自由振动微分方程的解,C1、C2为由初始条件确定为由初始条件确定结构动力学计算课件结构动力学计算课件振幅：振幅：振幅：振幅：AmplitudeAmplitude初始相位角：初始相位角：初始相位角：初始相位角：Initial phase angleInitial phase angle振幅：振幅：Amplitude初始相位角：初始相位角：Initial phas3.基本概念及其物理意义基本概念及其物理意义为质点重力沿振动方向作用时引起的质点静位移为质点重力沿振动方向作用时引起的质点静位移为质点重力沿振动方向作用时引起的质点静位移为质点重力沿振动方向作用时引起的质点静位移圆频率圆频率圆频率圆频率自振周期自振周期自振周期自振周期频频频频 率率率率在在在在2 2 个单位时间内的振动次数，单位个单位时间内的振动次数，单位个单位时间内的振动次数，单位个单位时间内的振动次数，单位Rad/sRad/sy(t+T)=y(t)y(t+T)=y(t)单位时间内的振动次数，单位单位时间内的振动次数，单位单位时间内的振动次数，单位单位时间内的振动次数，单位s s-1-1或者或者或者或者HzHz3.基本概念及其物理意义为质点重力沿振动方向作用时引起的质基本概念及其物理意义为质点重力沿振动方向作用时引起的质结构自振周期的一些结构自振周期的一些重要性质重要性质：自振周期是结构自振周期是结构固有特性固有特性，仅与结构的，仅与结构的质量质量和和刚度刚度有关，与外界影响无关，外界扰动只能影响振幅，不能改变有关，与外界影响无关，外界扰动只能影响振幅，不能改变自振周期；自振周期；要改变结构的自振周期，只能从改变结构质量或刚要改变结构的自振周期，只能从改变结构质量或刚度入手；度入手；自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。结构自振周期的一些重要性质：结构自振周期的一些重要性质：例例例例5.5.如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度EIEI，跨度为，跨度为，跨度为，跨度为l l。在。在。在。在梁的跨度中点有一个集中质量梁的跨度中点有一个集中质量梁的跨度中点有一个集中质量梁的跨度中点有一个集中质量mm。如果忽略梁本身的质量，试。如果忽略梁本身的质量，试。如果忽略梁本身的质量，试。如果忽略梁本身的质量，试求梁的自振周期求梁的自振周期求梁的自振周期求梁的自振周期T T和圆频率和圆频率和圆频率和圆频率。mEIP=1EI例例5.如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度EI，跨度为，跨度为l。在。在例例例例6.6.求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给质量一个初速度质量一个初速度质量一个初速度质量一个初速度v v0 0，求自由振动的响应（振幅和相位），求自由振动的响应（振幅和相位），求自由振动的响应（振幅和相位），求自由振动的响应（振幅和相位）EIP=1m 自由度个数判断：自由度个数判断：自由度个数判断：自由度个数判断：1 1个个个个 自振频率计算公式自振频率计算公式自振频率计算公式自振频率计算公式 计算计算计算计算k k或或或或：静力学知识：静力学知识：静力学知识：静力学知识 初始条件：初始条件：初始条件：初始条件：自由振动的响应为：自由振动的响应为：自由振动的响应为：自由振动的响应为：例例6.求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给质求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给质4.振动特征振动特征 Vibration CharacteristicDisplacementAccelerationInertia Force 惯性力大小与位移成正比，且方向总是相同。注意：是惯性力大小与位移成正比，且方向总是相同。注意：是 与与位移位移y(t)同向。同向。4.振动特征振动特征 Vibration Characteris 由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值在幅值处建立运动方程处建立运动方程，此时方程中将不含时间，此时方程中将不含时间t t t t，把，把微分方程转化为微分方程转化为代数方程代数方程，使计算得以简化。，使计算得以简化。DisplacementInertia Force 在无阻尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值；，即它们在同一时刻均达极值；由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值处建立由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值处建立例例7.求图示体系的自振频率求图示体系的自振频率k单自由度体系单自由度体系单自由度体系单自由度体系列幅值方程时，最大惯性力应与位移方向相同列幅值方程时，最大惯性力应与位移方向相同列幅值方程时，最大惯性力应与位移方向相同列幅值方程时，最大惯性力应与位移方向相同例例7.求图示体系的自振频率求图示体系的自振频率k单自由度体系列幅值方程时，最大单自由度体系列幅值方程时，最大Homework可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过程。可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过程。可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过程。可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过程。补充题：补充题：补充题：补充题：求图示体系自振频率。设梁端重物的质量为求图示体系自振频率。设梁端重物的质量为求图示体系自振频率。设梁端重物的质量为求图示体系自振频率。设梁端重物的质量为mm，梁与，梁与，梁与，梁与弹簧的质量不计，并讨论体系自振频率随弹簧弹性刚度弹簧的质量不计，并讨论体系自振频率随弹簧弹性刚度弹簧的质量不计，并讨论体系自振频率随弹簧弹性刚度弹簧的质量不计，并讨论体系自振频率随弹簧弹性刚度k k的变化的变化的变化的变化规律。规律。规律。规律。l lEIEImmk k 10-310-3 10-4 10-4 10-5 10-5Homework可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过m m2mA Ay(t)2y(t)3y(t)练习练习1.列出体系的运动方程，并求自振频率。列出体系的运动方程，并求自振频率。m m2mlllk kA A习题课习题课yO方法方法方法方法1 1：根据受力分析，列运动方程：根据受力分析，列运动方程：根据受力分析，列运动方程：根据受力分析，列运动方程单自由度体系运动方程通用形式单自由度体系运动方程通用形式单自由度体系运动方程通用形式单自由度体系运动方程通用形式m2mAy(t)2y(t)3y(t)练习练习1.列出体系的运列出体系的运m m2mA AA方法方法2：列幅值方程：列幅值方程yO2A3AFF 列运动方程时，惯性力列运动方程时，惯性力列运动方程时，惯性力列运动方程时，惯性力 是一个整体，其方向与位移同是一个整体，其方向与位移同是一个整体，其方向与位移同是一个整体，其方向与位移同向；向；向；向；FF 列幅值时，惯性力幅值列幅值时，惯性力幅值列幅值时，惯性力幅值列幅值时，惯性力幅值 其方向与位移同向。其方向与位移同向。其方向与位移同向。其方向与位移同向。m2mAA方法方法2：列幅值方程：列幅值方程yO2A3A 列运动方程时，惯性列运动方程时，惯性层间侧移刚度层间侧移刚度层间侧移刚度层间侧移刚度EIm mEIll 对于带刚性横梁的刚架（剪切型刚架），当两层之间发生相对于带刚性横梁的刚架（剪切型刚架），当两层之间发生相对于带刚性横梁的刚架（剪切型刚架），当两层之间发生相对于带刚性横梁的刚架（剪切型刚架），当两层之间发生相对单位水平位移时，两层之间所有柱子中的剪力之和称作该层的对单位水平位移时，两层之间所有柱子中的剪力之和称作该层的对单位水平位移时，两层之间所有柱子中的剪力之和称作该层的对单位水平位移时，两层之间所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度层间侧移刚度层间侧移刚度层间侧移刚度。1EIm mEIEI画弯矩图？画弯矩图？画弯矩图？画弯矩图？位移法位移法位移法位移法层间侧移刚度层间侧移刚度EImEIll 对于带刚性横梁的对于带刚性横梁的IIEI1=mhk练习练习2.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。Stiffness coefficientIIEI1=mhk练习练习2.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。S练习练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时：计算图示结构水平振动和竖直振动时 的自振的自振频率，自重忽略不计。频率，自重忽略不计。练习练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时：计算图示结构水平振动和竖直振动时 的自振频率，自重忽的自振频率，自重忽Horizontal Vibration：Anti-symmetrical Load+symmetrical StructureAnti-symmetrical Load+symmetrical Structure-Flexibility MethodHorizontal Vibration：Anti-symmHorizontal VibrationHorizontal Vibration：-Stiffness Method-Stiffness MethodP280P280Horizontal Vibration：-StifVertical VibrationVertical Vibration：symmetrical Load+symmetrical Structuresymmetrical Load+symmetrical Structure-Flexibility Method-Flexibility MethodVertical Vibration：symmetricalVertical VibrationVertical Vibration：-Stiffness Method-Stiffness MethodSDOF的自振频率采用柔度法和刚度法进行计算。的自振频率采用柔度法和刚度法进行计算。一般来说，当结构为静定，或超静定次数较低，便于一般来说，当结构为静定，或超静定次数较低，便于计算柔度系数时，采用柔度法；当超静定次数较高，计算柔度系数时，采用柔度法；当超静定次数较高，便于计算刚度系数时，则刚度法较为方便。便于计算刚度系数时，则刚度法较为方便。如结构具有对称性，可利用对称性进行简化计算。如结构具有对称性，可利用对称性进行简化计算。Vertical Vibration：-StiffP=1练习练习4.图示三根单跨梁，图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质为常数，在梁中点有集中质量量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2ml/2l/2ml/2l/2mFlexibility Coefficient:P=15l/323l/16l/2结构约束越强结构约束越强结构约束越强结构约束越强,其刚度越大，自振动频率也越大。其刚度越大，自振动频率也越大。其刚度越大，自振动频率也越大。其刚度越大，自振动频率也越大。据此可得：P=1练习练习4.图示三根单跨梁，图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质为常数，在梁中点有集中质1练习练习5.求图示结构的自振圆频率求图示结构的自振圆频率解法解法1 1：求：求 k=1/hMBA=kh=MBCklhmIEIBAC1h解法解法2 2：求：求 1练习练习5.求图示结构的自振圆频率解法求图示结构的自振圆频率解法1：求：求 k=1/h练习练习练习练习6 6.求图示结构的自振频率求图示结构的自振频率求图示结构的自振频率求图示结构的自振频率lEImk1k11k11kStiffness coefficient弹簧串联：每个弹簧承受的荷载相等，都等于外荷载。弹簧串联：每个弹簧承受的荷载相等，都等于外荷载。弹簧串联：每个弹簧承受的荷载相等，都等于外荷载。弹簧串联：每个弹簧承受的荷载相等，都等于外荷载。弹簧并联：每个弹簧的变形相等。弹簧并联：每个弹簧的变形相等。弹簧并联：每个弹簧的变形相等。弹簧并联：每个弹簧的变形相等。练习练习6.求图示结构的自振频率求图示结构的自振频率lEImk1k11k11kSt练习练习7.求图示结构的自振频率，梁的分布质量不计，支求图示结构的自振频率，梁的分布质量不计，支座的弹簧刚度系数为座的弹簧刚度系数为k。P=1P=11P=1P=1l l/2/2l l/4/4关键：柔度系数，柔度系数的概念关键：柔度系数，柔度系数的概念关键：柔度系数，柔度系数的概念关键：柔度系数，柔度系数的概念FF 沿沿沿沿WW的振动方向施加单位力，位移的振动方向施加单位力，位移的振动方向施加单位力，位移的振动方向施加单位力，位移 由两部分由两部分由两部分由两部分组成：由于弹性支座变形产生的组成：由于弹性支座变形产生的组成：由于弹性支座变形产生的组成：由于弹性支座变形产生的 1 1和由于杆件和由于杆件和由于杆件和由于杆件变形产生的变形产生的变形产生的变形产生的 2 2。（1 1）求）求）求）求 1 1：只有弹簧变形，杆件不变形：只有弹簧变形，杆件不变形：只有弹簧变形，杆件不变形：只有弹簧变形，杆件不变形（2 2）求）求）求）求 2 2：只有杆件变形，弹簧不变形：只有杆件变形，弹簧不变形：只有杆件变形，弹簧不变形：只有杆件变形，弹簧不变形Wl0.5l 0.5lB BC CA AEIEIk kRB练习练习7.求图示结构的自振频率，梁的分布质量不计，支座的弹簧求图示结构的自振频率，梁的分布质量不计，支座的弹簧练习练习8.求图示结构的自振频率求图示结构的自振频率1有几个自由度？有几个自由度？有几个自由度？有几个自由度？m/2lEIm/2EIEIEIl求刚度系数容易还是柔度系数容易？求刚度系数容易还是柔度系数容易？求刚度系数容易还是柔度系数容易？求刚度系数容易还是柔度系数容易？理解理解理解理解k k的物理意义！的物理意义！的物理意义！的物理意义！k k练习练习8.求图示结构的自振频率求图示结构的自振频率1有几个自由度？有几个自由度？m/2lEImHomework补充题：补充题：补充题：补充题：图示桁架，在跨中结点上有一集中质量图示桁架，在跨中结点上有一集中质量图示桁架，在跨中结点上有一集中质量图示桁架，在跨中结点上有一集中质量mm，求体系自，求体系自，求体系自，求体系自振圆频率。各杆振圆频率。各杆振圆频率。各杆振圆频率。各杆EAEA为常数，质量不计。为常数，质量不计。为常数，质量不计。为常数，质量不计。提示提示提示提示：mm2d2d2d2dd d 自由度数判断：自由度数判断：自由度数判断：自由度数判断：1 1个，竖向振动；个，竖向振动；个，竖向振动；个，竖向振动；转化为求刚度系数或柔度系数；转化为求刚度系数或柔度系数；转化为求刚度系数或柔度系数；转化为求刚度系数或柔度系数；求柔度系数容易，如何求？回顾下桁架结构的位移计算。求柔度系数容易，如何求？回顾下桁架结构的位移计算。求柔度系数容易，如何求？回顾下桁架结构的位移计算。求柔度系数容易，如何求？回顾下桁架结构的位移计算。Homework补充题：图示桁架，在跨中结点上有一集中质量补充题：图示桁架，在跨中结点上有一集中质量m结构动力学计算课件结构动力学计算课件4242结构动力学计算课件结构动力学计算课件4343