湖南大学机械振动习题课课件

思路板书（一）思路板书（一）思路板书（二）思路板书（二）备课：复习、小结、拓展、练手备课：复习、小结、拓展、练手备课：复习、小结、拓展、练手备课：复习、小结、拓展、练手授课老师：文桂林授课老师：文桂林Mechanical Vibrations机械振动学机械振动学复习、小结、拓展、练手复习、小结、拓展、练手考前练练手考前练练手考前练练手考前练练手此题基本理论：此题基本理论：此题基本理论：此题基本理论：单自由度自由振动单自由度自由振动单自由度自由振动单自由度自由振动 Free vibration of SDOFFree vibration of SDOFresponseEquation of motion考试比此题难一倍以上。考试比此题难一倍以上。体会：体会：知识点分类靠；基本的要懂；建模很重要（复习重点）知识点分类靠；基本的要懂；建模很重要（复习重点）怎样参加考试？怎样参加考试？可能有些同学会被吓懵了。可能有些同学会被吓懵了。不能懵了就啥都不做，试卷此题处空白不能懵了就啥都不做，试卷此题处空白.不要让我爱莫能助不要让我爱莫能助仔细想想，就是告诉我们初始条件仔细想想，就是告诉我们初始条件也许不懂，也许不懂，但从整个题目的但从整个题目的知识点分类知识点分类，也许可以写点什么也许可以写点什么得分到手得分到手至少是三分之二至少是三分之二复习、小结、拓展、练手复习、小结、拓展、练手1、无阻尼单自由度系统的自由振动。无阻尼单自由度系统的自由振动。2、有阻尼单自由度系统的自由振动（、有阻尼单自由度系统的自由振动（阻尼比阻尼比）3、等效等效单自由度系统（单自由度系统（能量法能量法）。）。4、简谐力激励下的强迫振动。、简谐力激励下的强迫振动。5、基础简谐激励下的强迫振动（、基础简谐激励下的强迫振动（偏心旋转激励偏心旋转激励）。）。7、脉冲激励下脉冲激励下的强迫振动（阶跃、脉冲、多个谐和激励）。的强迫振动（阶跃、脉冲、多个谐和激励）。8、建立多自由度建模方法（、建立多自由度建模方法（拉格朗日法拉格朗日法）。）。9、无阻尼多自由度线性系统的自由振动（、无阻尼多自由度线性系统的自由振动（模态分析法）模态分析法）。10、无阻尼多自由度线性系统的强迫振动。、无阻尼多自由度线性系统的强迫振动。11、有阻尼的多自由度线性系统的强迫振动。、有阻尼的多自由度线性系统的强迫振动。12、隔振与吸振器原理、隔振与吸振器原理（运动传递、力传递）（运动传递、力传递）13、连续体振动（、连续体振动（杆的纵向振动杆的纵向振动）【万变不离其宗万变不离其宗】考试体会：考试体会：知识点分类靠；基本的要懂；建模很重要（复习重点）知识点分类靠；基本的要懂；建模很重要（复习重点）第二题第二题拿到一个题，从何着手？拿到一个题，从何着手？首先是题目分析首先是题目分析1、碰撞、碰撞2、有阻尼的、有阻尼的（动量守恒动量守恒）线性阻尼系统线性阻尼系统的自由振动的自由振动求求最大位移最大位移；求达到求达到最大位移最大位移时间时间？归类归类求解求解用到的概念：用到的概念：Damped Free VibrationDamped Free VibrationEquation of MotionThe solution will be of the form:1)2)3)Over-damped()Critically Damped()Under-damped()Solution formEquivalent mass Kinetic EnergyEquivalent stiffness Strain Energy等效的质量、等效刚度、等效阻尼、等效的激励等效的质量、等效刚度、等效阻尼、等效的激励当系统阻尼可以忽略不计时当系统阻尼可以忽略不计时能量法：能量法：对于比较复杂的系统，更方便对于比较复杂的系统，更方便求比较复杂系统的固有频率求比较复杂系统的固有频率Equilibrium 平衡位置Max displacement 最大位移处静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mx当系统阻尼可以忽略不计时，当系统阻尼可以忽略不计时，能量法能量法Example：Determine the parameters for an equivalent system analysis of the system as shown in Figure2,using y,the downward displacement of the block from the systems equilibrium position,as the generalized coordinate.Hence,find the fundamental natural frequency of the system.Note:,Figure 2SolutionEquivalent MassThe system kinetic energy at any arbitrary instant is:Equivalent StiffnessThe system strain energy at any arbitrary instant is:Lowest natural frequency of the system is:最新消息最新消息复习、小结、拓展、练手复习、小结、拓展、练手1、无阻尼单自由度系统的自由振动。无阻尼单自由度系统的自由振动。2、有阻尼单自由度系统的自由振动（、有阻尼单自由度系统的自由振动（阻尼比阻尼比）3、等效等效单自由度系统（单自由度系统（能量法能量法）。）。4、简谐力激励下的强迫振动。、简谐力激励下的强迫振动。5、基础简谐激励下的强迫振动（、基础简谐激励下的强迫振动（偏心旋转激励偏心旋转激励）。）。7、脉冲激励下脉冲激励下的强迫振动（阶跃、脉冲、多个谐和激励）。的强迫振动（阶跃、脉冲、多个谐和激励）。8、建立多自由度建模方法（、建立多自由度建模方法（拉格朗日法拉格朗日法）。）。9、无阻尼多自由度线性系统的自由振动（、无阻尼多自由度线性系统的自由振动（模态分析法）模态分析法）。10、无阻尼多自由度线性系统的强迫振动。、无阻尼多自由度线性系统的强迫振动。11、有阻尼的多自由度线性系统的强迫振动。、有阻尼的多自由度线性系统的强迫振动。12、隔振与吸振器原理、隔振与吸振器原理（运动传递、力传递）（运动传递、力传递）13、连续体振动（、连续体振动（杆的纵向振动杆的纵向振动）【万变不离其宗万变不离其宗】【】【举一反三，触类旁通举一反三，触类旁通】应对设计问题或考试题：应对设计问题或考试题：知识点分类靠；基本的要懂；建模很重要（复习重点）知识点分类靠；基本的要懂；建模很重要（复习重点）要点之一：要点之一：偏心转子偏心转子等效激励引起的振动问题等效激励引起的振动问题偏心转子的振动理论基础：偏心转子的振动理论基础：简谐激励强迫振动简谐激励强迫振动Equation of motion is:Steady-state oscillation is:Complete solution=Damped free vibration +Steady-state oscillation 12-22等效激励：等效激励：旋转部件偏心质量引起的振动旋转部件偏心质量引起的振动 xxThe rotating unbalance system can be equated to a SDOF system as shown above.由由动量定理动量定理（theorem of momentumtheorem of momentum）The rotating unbalance system can be equated to a SDOF system as shown.where:Equivalent SystemUnbalanced rotating force=转化为标准的转化为标准的简谐激励强迫振动简谐激励强迫振动:Steady-state solution:旋转部件偏心质量引起的振动旋转部件偏心质量引起的振动 激励：力激励：力 练习题练习题 某洗衣机机器部分重某洗衣机机器部分重W=2.2*10W=2.2*103 3N N，用，用四个四个螺旋弹簧在对称位置支螺旋弹簧在对称位置支撑，每个弹簧的螺圈平均半径撑，每个弹簧的螺圈平均半径R=51mmR=51mm，弹簧丝直径，弹簧丝直径d=18mmd=18mm，圈数，圈数n=10n=10，剪切弹性模量，剪切弹性模量G=8*10G=8*105 5N/cmN/cm2 2。同时装有。同时装有四个四个阻尼器，总的阻尼器，总的阻尼可用阻尼可用 =0.1=0.1表示。在脱水时转速表示。在脱水时转速N=600r/minN=600r/min，此时衣物偏心，此时衣物偏心重为重为m=10Nm=10N，偏心距为，偏心距为e=40cme=40cm.试求试求（1 1）洗衣机机器部分的最大振幅洗衣机机器部分的最大振幅；（；（2 2）传递率传递率以及评估隔以及评估隔振效果（即求振效果（即求隔振效率隔振效率）。）。练习题：练习题：某洗衣机机器部分重某洗衣机机器部分重W=2.2*103N，用，用四个四个螺旋弹簧在螺旋弹簧在对称位置支撑，每个弹簧的螺圈平均半径对称位置支撑，每个弹簧的螺圈平均半径R=51mm，弹簧丝直，弹簧丝直径径d=18mm，圈数，圈数n=10，剪切弹性模量，剪切弹性模量G=8*105N/cm2。同时装。同时装有有四个四个阻尼器，总的阻尼可用阻尼器，总的阻尼可用 =0.1表示。在脱水时转速表示。在脱水时转速N=600r/min，此时衣物偏心重为，此时衣物偏心重为m=10N，偏心距为，偏心距为e=40cm.试求试求（1）洗衣机机器部分的最大振幅洗衣机机器部分的最大振幅；（；（2）传递率传递率以及评估以及评估隔振效果（即求隔振效果（即求隔振效率隔振效率）。）。xx不能套，因为不同。不能套，因为不同。解解：固有频率固有频率激振频率激振频率用用四个四个螺旋弹簧在对称位置支撑，每个弹簧的螺圈平均半径螺旋弹簧在对称位置支撑，每个弹簧的螺圈平均半径R=51mmR=51mm，弹簧丝直径弹簧丝直径d=18mmd=18mm，圈数，圈数n=10n=10，剪切弹性模量，剪切弹性模量G=8*10G=8*105 5N/cmN/cm2 2。在脱水时转速在脱水时转速N=600r/minN=600r/min，此时衣物偏心重为，此时衣物偏心重为10N10N，偏心距为，偏心距为40cm40cm.根据螺旋弹簧变形的计算公式,可计算每个弹簧的刚度:洗衣机机器部分的的洗衣机机器部分的的最大振幅最大振幅为为:系统的稳态解：系统的稳态解：我们已知：我们已知：洗衣机机器部分重洗衣机机器部分重M=2.2*103N；衣物偏心重为衣物偏心重为m=10Nm=10N，偏心距，偏心距为为e=40cme=40cm.总的阻尼可用总的阻尼可用 =0.1表示表示.传递率传递率为：隔振效率隔振效率为：为：频率比频率比为：基础或支座简谐激励下的受迫振动基础或支座简谐激励下的受迫振动 支座激扰支座激扰 此例的特点：此例的特点：激励是位移激励是位移对比对比激励：位移激励：位移激励：力激励：力SDOF System subjected to Base ExcitationSDOF System subjected to Base Excitation The motion of the base（支座运动支座运动）is denoted as yThe motion of the mass is denoted by the state variable xEquation of motion:（振动方程）（振动方程）针对实际问题针对实际问题振动分析的第一步：振动分析的第一步：如何建立如何建立振动方程振动方程讨论讨论单自由度线性阻尼系统单自由度线性阻尼系统支座支座简谐激励下的受迫振动简谐激励下的受迫振动支座位移激励支座位移激励振动方程振动方程:It can be rewritten as:By substituting&By combining the two terms on the RHS,one can obtain SDOF System subjected to Base ExcitationSDOF System subjected to Base ExcitationWe have到此为止，又回到了到此为止，又回到了单自由度线性阻尼强迫振动单自由度线性阻尼强迫振动的求解的求解Equivalent Force(等效激励等效激励):Equation of motion:Steady-state solution is:where,Define Motion Transmissibility(TR)as:运动传递率运动传递率定义定义：新新概概念念Note:Vibration isolationMotion Transmissibility(TR)can be written as:Motion Transmissibility rewritten in terms of&运动传递率运动传递率：表示成表示成频率比频率比和和阻尼比阻尼比建模是振动分析的基础建模是振动分析的基础要点之一：要点之一：拉格朗日方法拉格朗日方法建立多自由度振动方程建立多自由度振动方程（可导出可导出线性线性与与非线性非线性振动方程振动方程）复习、小结、拓展、练手复习、小结、拓展、练手选用选用N个独立的广义坐标个独立的广义坐标 描述系统的描述系统的位置，用动能与功描述物体运动量与相互作用，系统的运动位置，用动能与功描述物体运动量与相互作用，系统的运动方程可通过方程可通过动能动能T T，势能势能U U，能量耗散函数能量耗散函数D D来表示来表示:：广义坐标与广义速度：广义坐标与广义速度 U：势能：势能Q：广义干扰力：广义干扰力动能动能 D：耗散函数：耗散函数(阻尼作用阻尼作用）拉格朗日方程法建立的多自由度系统振动微分方程用拉格朗日方程法列方程不必取分离体，不必考虑理想约束用拉格朗日方程法列方程不必取分离体，不必考虑理想约束的反力，并有统一的格式与步骤，（的反力，并有统一的格式与步骤，（可导出线性与非线性振可导出线性与非线性振动方程动方程）。）。对微振动：对微振动：补充补充:建立多自由度系统振动微分方程方法建立多自由度系统振动微分方程方法拉格朗日方程法拉格朗日方程法补充补充:建立多自由度系统振动微分方程方法建立多自由度系统振动微分方程方法拉格朗日方程法拉格朗日方程法例例1 1：补充补充:建立多自由度系统振动微分方程方法建立多自由度系统振动微分方程方法拉格朗日方程法拉格朗日方程法例例1 1：补充补充:建立多自由度系统振动微分方程方法建立多自由度系统振动微分方程方法拉格朗日方程法拉格朗日方程法补充补充:建立多自由度系统振动微分方程方法建立多自由度系统振动微分方程方法拉格朗日方程法拉格朗日方程法补充补充:建立多自由度系统振动微分方程方法建立多自由度系统振动微分方程方法拉格朗日方程法：拉格朗日方程法：例例2 2:k M x l m 质点的坐标：质点的坐标：补充补充:建立多自由度系统振动微分方程方法建立多自由度系统振动微分方程方法拉格朗日方程法拉格朗日方程法M 多自由度多自由度无阻尼、无外激励无阻尼、无外激励（在（在T 表达式中只保留二阶微量）表达式中只保留二阶微量）补充补充:建立多自由度系统振动微分方程方法建立多自由度系统振动微分方程方法拉格朗日方程法拉格朗日方程法k x l m 求导：求导：M 质点的坐标：质点的坐标：补充补充:建立多自由度系统振动微分方程方法建立多自由度系统振动微分方程方法拉格朗日方程法拉格朗日方程法多自由度多自由度模态分析：模态分析：求固有频率和振型求固有频率和振型算例：算例：求系统的主振型振动求系统的主振型振动设在光滑水平面上有质点设在光滑水平面上有质点m m，分别由三个刚度各为，分别由三个刚度各为k k的的弹簧连结于三个固定点，静平衡时各弹簧无变形弹簧连结于三个固定点，静平衡时各弹簧无变形.试试考察系统的主振型振动考察系统的主振型振动。解答解答解答解答作业：求系统的固有频率与振型求图示系统的固有频率与振型.解答解答解答解答求特征值和求特征值和特征向量特征向量脉冲脉冲P92页，例页，例4-4-5,的激励表达的激励表达Transient vibrationImpulse Excitation at t=0 changes velocityThe general response for damped free oscillations:The initial conditions at time t=0 are:andthe response for damped free vibrations:The response for impulse at t=.在这里，脉冲、或碰撞给出了非零初速速度的自由振动在这里，脉冲、或碰撞给出了非零初速速度的自由振动12-53 试证明：有阻尼振动系统对作用于有阻尼振动系统对作用于t=0时的冲量时的冲量 的响应，的响应，其出现峰值其出现峰值(最大幅值）最大幅值）的时刻为的时刻为 并求峰值并求峰值 对x（t）求导：由题意可知，系统的脉冲响应函数脉冲响应函数为：令令速度函数为零速度函数为零（对应最大位移对应最大位移），得：代入x（t）,得：Example：A platform of mass 900-kg rests upon a spring support,which has an effective stiffness of 100 kN/m.The platform is supported by a shock absorber,which provides viscous damping of 1000 Ns/m.A mass of 100 kg is dropped onto the platform from a height of 0.2m,the impact being perfectly inelastic.lFormulate the equation of motion of the system,after impact.Then，determine the damping factor and the natural frequency of the damped system.l Determine the maximum displacement of the platform from its initial position.Equation of motion:Natural frequency is:Damping parameter is:Damped natural frequency is:SolutionEquation of motion:Solution is under-damped free vibrationsInitial Conditions:(System=combined masses),FindVelocity before impactVelocity after impactFrom the intial conditions(2 equations,2 unknowns)Solved,to get constants A=-0.00981&B=0.019343Therefore:Find maximum displacement after impactFind time taken to maximum.()giving t=0.1993sSubstitute t=0.1993s to give max displacement as 0.029417 mNote:time taken 例：小车重P，可以简化为用弹簧支在轮子上的一个重量，弹簧刚度系统为k，轮子重量与变形略去不计。某段路面成正弦波形，可以表示为 ，试求小车以水平匀速度v 行驶时，车身上下强迫振动的振幅。设阻尼系数c=0。补充：位移激励下的强迫振动补充：位移激励下的强迫振动解：解：由位移传递率公式有：其中：(1)代入（1）式有：(2)补充：位移激励下的强迫振动补充：位移激励下的强迫振动(单自由度）单自由度）例：例：图示为一机车的简化模型。当机车在动力不平顺的轨道上行图示为一机车的简化模型。当机车在动力不平顺的轨道上行驶时，机车作上下振动，设不平顺度可用驶时，机车作上下振动，设不平顺度可用 表示。表示。问当问当 为基频为基频 的的0.70710.7071倍时，车体的振幅为倍时，车体的振幅为 的多少倍。的多少倍。已知：已知：补充：位移激励下的强迫振动补充：位移激励下的强迫振动(多自由度）多自由度）解：解：位移激扰为：系统运动方程为：系统运动方程为：由(1)有：因此,由(2)&(3)有：设方程的解为:由(4),(5)&(6)有因此,这里 是(7)中对应的 特征矩阵由 =0,可求出对应的固有频率:63把(9)式整理一下，得：因此,所以,固有频率为:64当:时65The End祝同学们学习进步！祝同学们学习进步！See you later See you later not at not at classroom,classroom,at theat the Science and Technology SummitScience and Technology Summit2.6题题作业：跳台问题一物体放在水平台面上（水平台面不计质量），当水平台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使得物体不跳离水平台面，对水平台面的振幅有何限制？解答解答解答解答这里，这里，Arbitrary Excitation Duhamels IntegralNotice Integral interval12-70Free vibration of 2-DOF spring-mass systemandThe general equation of motion12-71Mode shapeFirst Mode ShapeSecond Mode ShapeNatural frequenciesThe general displacement for free vibration is:12-72Forced Harmonic Excitations-2-DOF SystemIn matrix notation,the equations of motion are:Using Cramers rule,the amplitudes of vibration are given as:AndThe solution can be assumed as:and results12-73Dynamic Response of MDOF Systems:Mode-Superposition MethodHighly Coupled SystemsSimplified SDOF systemsMode 1Mode 2Mode 3Higher Modes12-74Dynamic Response of MDOF Systems:Mode-Superposition MethodConsider the equations of motion on an N-DOF system.The above equation is generally a set of coupled equations of motion for an N-DOF system,where x are the physical coordinates.In the modal technique,the key step is to decoupled the equations,so that the equations can be solved independently as SDOF systems in the principal(modal)coordinates.12-75Note:To transform the equations from the physical to the principalcoordinates,we make use of the modal matrix P of the system.and is the ith mode shape of the systemUsing the above transformation equation and pre-multiple the originalequation of motion by the transpose of the modal matrix PT gives:where ith modal force is given as:12-76Due to the orthogonality conditions,the off-diagonal terms:Modal dampingThe off-diagonal terms are set to zeros,on the assumption thatModal massModal stiffnessModal force12-77Decoupled equations of motion in the principal coordinates are:The decoupled equations can be solved as SDOF systems.The response in the physical coordinates are given as:12-78Example:4-Storey BuildingNatural FrequenciesMode Shapes12-79 Determine the three modal quantities:modal mass modal stiffness modal force Determine steady-state solution for Determine the steady-state response for top storeyProcedures for solving the Steady-State Reponses12-80Solution:4 storey building1)Find decoupled equations of motion are:Modal Mass:(First Mode)12-81Modal Stiffness:(First Mode)Modal Force:(First Mode)Similarly,calculate the modal mass,stiffness&modal force forthe 2nd,3rd and 4th modes.12-82Decoupled equations:Step 2:Find the steady-state solution for each SDOF equationMode 1:Steady-state solutionSimilarly,find the steady-state solution for q2,q3&q412-83Final Step:Find solution in the physical coordinatesSteady-state response:Solution can be written as:12-84Errors due to truncation of modesTable of constant C*10-3 based on summation&excitation freq Note:The natural frequencies of the system are:Conclusions One mode solution not accurate for all excitation frequencies.A three mode solution is quite accurate for =0&=6.65 rad/s.Since =53.4 rad/s is almost equal to (55.882 rad/s),the fourth mode is the most important contributor.Truncated solution is useless for this frequency.精确值精确值一阶近似一阶近似二阶近似二阶近似三阶近似三阶近似12-85Matlab Matlab 程序：程序：the eigenvectors Mode shapes natural frequenciesthe eigenvalues V,D=eig(A,B)produces a diagonal matrix D of generalized eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that(A-D*B)*V=0.振动响应分析振动响应分析车辆在给定的路面上行走，求车身的加速度响应车辆在给定的路面上行走，求车身的加速度响应 8.A rigid locomotive car of mass 1000 kg travelling at a speed of 3 m/s is stopped at the end of tracks by a spring-damper as shown in Figure 7.Assume that the car strikesthe spring-damper system without rebound.lCalculate the undamped natural frequency,damping ratio and the period of dampedoscillation for the combined car and spring-damper system.Hence,derive an equationfor the response of the locomotive car after engaging the spring-damper system.lDetermine the maximum displacement of the car after engaging the spring-damperand the time taken to reach the maximum displacement.lAssume that the spring-damper system as shown in Figure 7 is initially precompressedby 0.1m and the force exerted by the pre-compression device will no longer acts when the car hits the spring-damper system.Explain briefly whether there is any change in the equation of motion derived with no pre-compression.Hence,calculate the maximum displacement of the car after engaging the pre-compressed spring-damper system.SolutionBasic Parameters of the SystemNatural frequencyCritical damping coefficient of the system is:The damping ratioDamped natural frequencyHence,period of damped oscillationsGeneral solution for under-damped free vibrations:At time t=0,displacement x=0&velocity .Hence,solved to give the constants A=0.7&B=0.Therefore,For max displacement,velocity=0.Therefore:at max displacement,time t=0.1856 s.Substitute t=0.1856s to give maximum displacement as 0.2293m.Condition:When the spring-damper system is pre-compressed before impactlBefore impact,the force(F)required to compress the springs by 0.1m is(2*18000*0.1)=3600NlOnce,the car strikes the spring-damper system,the force F no longer acts.Therefore,the equation of motion derived in the previous section is still valid,where x is measured from the position when the spring is unconstrained.Therefore,the maximum distance traveled by the car after engaging the pre-compressed spring damper system is(0.2293 0.1)0.1293m.11.A wooden block of mass 5 kg is restrained by a spring and a viscous damper 11.A wooden block of mass 5 kg is restrained by a spring and a viscous damper asshown in Figure 1.A bullet of mass 0.2 kg is fired at a speed of 20 m/s into the asshown in Figure 1.A bullet of mass 0.2 kg is fired at a speed of 20 m/s into the blockblock and embeds itself in the latter.If the stiffness(k)and damping(c)of the and embeds itself in the latter.If the stiffness(k)and damping(c)of the system aresystem are 2500 N/m and 22.8 Ns/m respectively,determine:2500 N/m and 22.8 Ns/m respectively,determine:1)1)The maximum displacement of the block and the time taken for the block to The maximum displacement of the block and the time taken for the block to reach thereach the maximum displacement after the impact by the bullet.maximum displacement after the impact by the bullet.2)2)The time taken for the block to return from the maximum displacement to its The time taken for the block to return from the maximum displacement to its initialinitial position.position.SolutionSolutionBasic systemBasic system parametersparameters2.3 一匀质细直杆，长为L，重为G，用两根长为h的铅直线挂成水平位置，试求此杆绕铅直轴oo1微幅振动的周期。95解解：如右图所示，由几何关系可得:联立上面两式可得:由转动牛顿定律可得:96972.14 图示轮子可绕水平轴o转动，对转轴的转动惯量为Io，轮缘绕有一软绳，下端挂有质量P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧k维持平衡。半径R与a都是已知的，求系统绕微幅振动的周期。98解解：（：（求等效质量）系统动能为:注意:,（求等效刚度）系统势能为:99系统微幅振动的周期为:1003.13 小车重P，可以简化为用弹簧支在轮子上的一个重量，弹簧刚度系统为k，轮子重量与变形略去不计。某段路面成正弦波形，可以表示为 ，试求小车以水平匀速度v行驶时，车身上下强迫振动的振幅。设阻尼系数c=0。101解：解：由位移传递率公式有：其中：(1)代入（1）式有：(2)1023.14 为了估计机器基座的阻尼比 ，用激振器使机器上下振动。激振器有两个相同的偏心块，可沿相反方向绕水平轴以统一转速 转动。当转速 逐渐提高时，机器达到最大振幅Xr=2cm；继续提高 ，机器的振幅渐趋稳定值X=0.25cm。试求 。103解：解：系统运动方程为：无量纲振幅表达式为：(1)104由题目已知条件有：(2)(3)由式（3）有：代入（2）可得：105