清华控制工程基础课件-5

2024/7/4控制工程基础控制工程基础（第五章）（第五章）清清华大学大学12024/7/4第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 5.1 5.1 系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念 5.2 5.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 5.3 5.3 代数稳定性判据（代数稳定性判据（RouthRouth判据、判据、HurwitzHurwitz判据）判据）5.4 5.4 乃奎斯特稳定性判据（乃奎斯特稳定性判据（NyquistNyquist判判据）据）5.5 5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性稳定性 5.6 5.6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性 5.7 5.7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 5.8 5.8 李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫稳定性方法22024/7/4 见光盘课件（第五章第一节）见光盘课件（第五章第一节）32024/7/4 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件对于对于 上图所示控制系统，有上图所示控制系统，有 42024/7/4撤除扰动，即撤除扰动，即 按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于零，即零，即当当 时，上式成立，以上条时，上式成立，以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一。件形成系统稳定的充分必要条件之一。52024/7/4 对应闭环系统特征根的实部，因此对应闭环系统特征根的实部，因此对于定常线性系统，若系统所有特征根的对于定常线性系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零输入响应最终将衰减实部均为负值，则零输入响应最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的。反之，若到零，这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入响应将随时间的推移而发散，这则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就是不稳定的。由此，可得出控样的系统就是不稳定的。由此，可得出控制系统稳定的另一充分必要条件是：系统制系统稳定的另一充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部，或说闭环递函数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在传递函数的极点全部在 ss平面的左半面。平面的左半面。62024/7/4 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 这一判据是基于方程式的根与系数的关这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的。设系统特征方程为系而建立的。设系统特征方程为 式中，式中，为系统的特征根。为系统的特征根。72024/7/4由根与系数的关系可求得由根与系数的关系可求得 82024/7/4 从从上上式式可可知知，要要使使全全部部特特征征根根均均具具有有负实部部，就必就必须满足以下两个条件。足以下两个条件。（1 1）特特征征方方程程的的各各项系系数数 (i=0i=0，1 1，2 2，n)n)都都不不等等于于零零。因因为若若有有一一个个系系数数为零零，则必必出出现实部部为零零的的特特征征根根或或实部部有有正正有有负的的特特征征根根，才才能能满足足上上式式；此此时系系统为临界界稳定定（根根在在虚虚轴上上）或或不不稳定定（根根的的实部部为正）。正）。（2 2）特征方程的各）特征方程的各项系数的符号都相同，系数的符号都相同，才能才能满足上式，按照足上式，按照惯例，例，一般取正一般取正值，上述两个条件可上述两个条件可归结为系系统稳定的一个必要定的一个必要条件，即条件，即 0 0。但。但这只是一个必要条件只是一个必要条件,既使上述条件已既使上述条件已满足，系足，系统仍可能不仍可能不稳定，定，因因为它不是充分条件。它不是充分条件。92024/7/4 同同时，如果，如果劳斯斯阵列中第一列所有列中第一列所有项均均为正号，正号，则系系统一定一定稳定。定。劳斯斯阵列列为 102024/7/4其中系数根据下列公式其中系数根据下列公式计算：算：系系数数的的计算算，一一直直进行行到到其其余余的的值都都等等于于零零时为止止，用用同同样的的前前两两行行系系数数交交叉叉相相乘乘的方法，可以的方法，可以计算算c c，d,ed,e等各行的系数，等各行的系数，112024/7/4122024/7/4这种种过程程一一直直进行行到到第第n n行行被被算算完完为止止。系系数数的的完完整整阵列列呈呈现为三三角角形形。在在展展开开的的阵列列中中，为了了简化化其其后后的的数数值计算算，可可用用一一个个正正整整数数去去除除或或乘乘某某一一整整个个行行。这时，并并不不改改变稳定定性性结论。劳斯斯判判据据还说明明：实部部为正正的的特特征征根根数数，等等于于劳斯斯阵列列中中第第一一列的系数符号改列的系数符号改变的次数。的次数。例例:设控制系控制系统的特征方程式的特征方程式为 试应用用劳斯斯稳定判据判断系定判据判断系统的的稳定性。定性。132024/7/4解：解：首先，由方程系数可知已满足稳定的首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列必要条件。其次，排劳斯阵列 由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正值，所以控制系统稳定。号全为正值，所以控制系统稳定。142024/7/4例例2 2 设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解解：首首先先，由由方方程程系系数数可可知知已已满满足足稳稳定定的的必必要条件。其次，排劳斯阵列要条件。其次，排劳斯阵列 第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的根，控制系统不稳定。有两个正实部的根，控制系统不稳定。152024/7/4对对于于特特征征方方程程阶阶次次低低（n3n3）的的系系统统，劳劳斯斯判据可化为如下简单形式，以便于应用。判据可化为如下简单形式，以便于应用。二二阶阶系系统统特特征征式式为为 ，劳劳斯斯表为表为 故二阶系统稳定的充要条件是故二阶系统稳定的充要条件是162024/7/4三三阶阶系系统统特特征征式式为为 ，劳劳斯表为斯表为 故三阶系统稳定的充要条件是故三阶系统稳定的充要条件是 172024/7/4 例例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的使系统稳定的K K值范围。值范围。解：系统闭环传递函数为解：系统闭环传递函数为 182024/7/4特征方程为特征方程为 根根据据三三阶阶系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件，可可知知使使系系统统稳定须满足稳定须满足 故使系统稳定的故使系统稳定的K K值范围为值范围为 0K6 0K0,b0)S2=-a+jb (a0,b0)S3=-a-jb S3=-a-jb 对于矢量（对于矢量（S-S2S-S2）和（和（S-S3S-S3）,当当S S：0j0j变化时变化时 252024/7/4设设 SmSm为正实根，对于矢量（为正实根，对于矢量（S-SmS-Sm）,当当S S：0j0j变化时变化时 图图5-6 5-6 正实根情况正实根情况 262024/7/4272024/7/4设设Sm+1Sm+1、Sm+2Sm+2为具有正实部的共轭复根，为具有正实部的共轭复根，Sm+1=c+jd (c0,d0)Sm+1=c+jd (c0,d0)Sm+2=c-jd Sm+2=c-jd 对于矢量（对于矢量（S-Sm+1S-Sm+1）和（和（S-Sm+2S-Sm+2）,当当S S：0j0j变化时变化时因此，因此，p p个左根的总角变化量为个左根的总角变化量为p(-/2)p(-/2)。282024/7/4另外，原点根不引起角变化量。另外，原点根不引起角变化量。综上，综上，推论：如果推论：如果n n次多项式次多项式D(sD(s）的所有零点都的所有零点都位于复平面的左半面，则当以位于复平面的左半面，则当以s=js=j代入代入D D（s s）并命并命从从0 0连续增大到连续增大到时，复数时，复数D D（s s）的角连续增大的角连续增大 292024/7/4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为数分别为 ,则其则其开环传递函数为开环传递函数为 302024/7/4分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统开环特征多项式。由于系统开环传递函数分开环特征多项式。由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为相同，均为n n阶。阶。312024/7/4（1 1）如果开环极点均在）如果开环极点均在s s左半平面，则根据左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论，米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，则则 322024/7/4（2 2）如果开环特征多项式有）如果开环特征多项式有P P个根在个根在s s右半平右半平面，面，q q个零点在原点，其余（个零点在原点，其余（n-p-qn-p-q）个根在个根在s s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即这时如果闭环系统是稳定的，即 的的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，理推论，332024/7/4则则 或开环乃氏图相对（或开环乃氏图相对（-1-1，j0j0）点的角变化点的角变化量为量为 ，系统闭环后就是稳定的。，系统闭环后就是稳定的。也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，当当从从0 0连续增大到连续增大到时，开环传递函数在右时，开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为半平面的每一个极点使角增量为180180；开环；开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为传递函数在原点处的每一个极点使角增量为9090。342024/7/4这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率特性的角增量来判断。特性的角增量来判断。设开环特征多项式在右半平面有设开环特征多项式在右半平面有p p个零点，原个零点，原点处有点处有q q个零点，其余（个零点，其余（n-p-qn-p-q）个零点在左个零点在左半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对于系统开环乃氏图，当于系统开环乃氏图，当从从0 0到到变化时，其变化时，其相对（相对（-1-1，j0j0）点的角变化量为点的角变化量为时，系统闭环后稳定。时，系统闭环后稳定。352024/7/4例例:某反馈控制系统如图某反馈控制系统如图5-105-10所示。试问所示。试问k k为何值时，系统稳定。为何值时，系统稳定。解：解：系统开环传递函数系统开环传递函数 362024/7/4故故p=1,q=0p=1,q=0。当当K1K1时，频率特性为直径大于时，频率特性为直径大于1 1的半圆，的半圆，其频率特性如上图所示，可见其频率特性如上图所示，可见 此时系统稳定。此时系统稳定。当当00K1K1时，频率特性为直径小于时，频率特性为直径小于1 1的半的半圆，其频率特性如上图所示，可见圆，其频率特性如上图所示，可见 此时系统不稳定。此时系统不稳定。见光盘课件（第五章第四节）见光盘课件（第五章第四节）372024/7/4例例9 9 某反馈控制系统开环传递函数为某反馈控制系统开环传递函数为 当当K K为不同值时的频率特性，如图所示，试判为不同值时的频率特性，如图所示，试判别其稳定性。别其稳定性。382024/7/4解：因为解：因为p=0,q=1,p=0,q=1,故使系统稳定的条件应为故使系统稳定的条件应为 显然，对于显然，对于K K1010的频率特性，满足上式，系的频率特性，满足上式，系统稳定。对于统稳定。对于k=40k=40的频率特性，当的频率特性，当0 00V(x)0）的充要条件为的充要条件为P P的所有主子行的所有主子行列式为正。如果列式为正。如果P P的所有主子行列式为非负，的所有主子行列式为非负，为正半定（记作为正半定（记作V(x)0V(x)0）；）；如果如果-V(x)V(x)为正为正定定,则则V(x)V(x)为负定（记作为负定（记作V(x)0V(x)0）；）；如果如果-V(x)V(x)为正半定为正半定,则则V(x)V(x)为负半定（记作为负半定（记作V(x)0V(x)0）。）。692024/7/4例：例：702024/7/4例：例：(0,0(0,0）是是唯唯一一的的平平衡衡状状态态。设设正正定定的的标标量量函函数为数为故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。712024/7/4第五章作业第五章作业（p191194)5-4，5-5，5-6（1）（）（2），），5-9，5-21，选作：选作：5-11 722024/7/473