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大家好大家好1第二章：第二章：GriffithGriffith理论理论热力学（回顾）热力学（回顾）Griffith理论理论能量释放率能量释放率GG的实验测量的实验测量柔度标定柔度标定Griffith理论在非理想脆性材料中的修正理论在非理想脆性材料中的修正一些讨论一些讨论2热热 力力 学学热力学第一定律：热力学第一定律：系统又有往能量极小演化的趋势系统又有往能量极小演化的趋势似乎有矛盾，怎么回事？似乎有矛盾，怎么回事？热力学第零定律：热力学第零定律：若两个热力学系统均与第三个系统处于热平衡状态，此两个系统也必互相处于热平衡。对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。热平衡的标志为系统的各个部分温度相等温度相等U是状态量，是状态量，Q、Wmech、Wextra是过程量（路径依赖）是过程量（路径依赖）3热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况下的发展方向热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况下的发展方向热能区别于其他能量形式热能区别于其他能量形式很多能量都最终耗散转化为热能很多能量都最终耗散转化为热能事实上系统演化是一个熵增的过程事实上系统演化是一个熵增的过程热力学第二定律：热力学第二定律：不可能把热量从低温物体传递到高温物体不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响。而不产生其他影响。Clausius不可能从单一热源吸收能量，使之完全变不可能从单一热源吸收能量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。为有用功而不产生其他影响。Kelvin-Planck引入引入S熵熵4封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。能量最小原理：能量最小原理：达到平衡状态达到平衡状态能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。内能内能焓焓Helmholtz自由能自由能Gibbs自由能自由能5Legendre变换变换Adrien-MarieLegendreLouisLegendre200yearportraitdebacle在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamicpotential）之间作转换。Legendre变换变换6Griffith理论理论AlanArnoldGriffith(1893-1963).HewasborninLondonon13June1893.HeearnedhisB.Eng.inmechanicalengineeringin1914,M.Eng.in1917,andD.Eng.in1921,allfromtheUniversityofLiverpool.In1915,heenteredtheRoyalAircraftFactory(laterknownastheRoyalAircraftEstablishment),andadvancedthroughaworkshoptraineeshipfollowedbyotherpositionstobecomeseniorscientificofficerin1920.In 1917,together with G.I.Taylor,he published a pioneeringpaperontheuseofsoapfilmsinsolvingtorsionproblems,andin1920hepublishedhisfamouspaperonthetheoryofbrittlefracture.Hethenworkedonthedesigntheoryofgasturbines.GriffithwasHeadoftheEngineDepartmentoftheRoyalAircraftEstablishmentin1938andjoinedRollsRoyceasresearchengineerin1939.Heworkedfirstonconceptualdesignofturbojetenginesandlateronverticaltakeoffaircraftdesign.He retired in 1960 but continued working as a consultant forRollsRoyce.Hediedon13October1963.Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society,Vol.10,(Nov.,1964),pp.117-136http:/www.jstor.org/stable/7693157Griffith理论理论椭圆孔的应力分布（弹性力学解）椭圆孔的应力分布（弹性力学解）CharlesInglis,1913C.E.Inglis,Stressinaplateduetothepresenceofcracksandsharpcorners,1913.尖锐的裂纹尖锐的裂纹8Griffith理论理论A.A.Griffith,Phenomenaofruptureandflowinsolids,PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSocietyofLondon,A221,163-198(1921).EnergybalanceconceptDifferenceinelasticenergybetweenthecrackedsheetandtheuncrackedsheetCrackedsheethasthefreesurfacePlanestrainTotalenergyg gSurfaceenergyHomework（作业题）（作业题）Equilibriumcondition?Crackgrowthwillbeunstable!随后深入讨论稳定性！随后深入讨论稳定性！9作作业业题题1.阅阅读读Griffith的的论论文文。根根据据如如下下两两个个公公式式回回答答Inglis的的解解与与Griffith理理论论之之间间的的关关系系，并并说说明明哪哪个个解解更更复复合合实实际际情情况况，为为什什么么？同时给出在什么情况下两者是基本一致的？同时给出在什么情况下两者是基本一致的？Inglis的解的解Griffith的解的解10作作业业题题2.如如下下图图所所示示，在在楔楔形形处处插插入入高高h的的方方形形木木块块，楔楔形形的的杨杨氏氏模模量量为为E，表表面面能能为为g g，求求解解裂裂纹纹起起裂裂时时的的临临界界条条件件，即即c(E,h,d,g g)，并并判判断断裂裂纹纹扩扩展展是是否否稳稳定定，同同时时用用图图示示说说明明？（注注：考考虑虑单单位位厚厚度度的的能能量量即即可可，计计算算能能量量时时不不需需考考虑虑力力F的的做做功功，仅仅需需将将悬悬臂臂段段考考虑成梁，计算其弯曲能即可）虑成梁，计算其弯曲能即可）11封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。能量最小原理：能量最小原理：达到平衡状态达到平衡状态能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。内能内能焓焓Helmholtz自由能自由能Gibbs自由能自由能熵不变Legendre变换变换状态函数状态函数12Legendre变换变换Adrien-MarieLegendreLouisLegendre200yearportraitdebacle在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamicpotential）之间作转换。Legendre变换变换13断裂过程中的能量平衡及转化断裂过程中的能量平衡及转化考察一个断裂过程中的能量平衡考察一个断裂过程中的能量平衡外界对系统做的功外界对系统做的功系统的弹性应变能增加系统的弹性应变能增加系统新增表面能系统新增表面能断裂过程中系统产生的热断裂过程中系统产生的热系统内部热能增加系统内部热能增加传出系统的热量传出系统的热量热力学第二定律要求热力学第二定律要求由由(*)(*)式得式得B B:试件厚度试件厚度(*)(*)断裂的驱动力断裂的驱动力断裂阻力断裂阻力14断裂是一个材料生成新表面的过程断裂是一个材料生成新表面的过程!阻力：表面能阻力：表面能驱动力驱动力单位面积表面能，或表面张力单位面积表面能，或表面张力G裂纹前进单位面积的机械能量减少裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为称为能量释放率能量释放率。IrwinG.R.Onsetoffastcrackpropagationinhighstrengthsteelandaluminumalloys.Sagamore Research Conference Proceedings,Vol.2,1956,pp.289-305.GeorgeRankineIrwin15下下面面我我们们首首先先研研究究最最简简单单的的例例子子，在在断断裂裂过过程程中中没没有有系系统统和外界功的交换，即和外界功的交换，即上上式式给给出出了了在在断断裂裂过过程程中中最最一一般般的的能能量量平平衡衡和和转转换换关关系系以以及及判断准则。判断准则。16一个典型例子：一个典型例子：Griffith脆断理论脆断理论问题：多长的裂纹会自动扩展？问题：多长的裂纹会自动扩展？表面能表面能外界对系统做功外界对系统做功位移固定边界位移固定边界单位面积表面能单位面积表面能如何计算弹性应变能的改变如何计算弹性应变能的改变dUe？17计算弹性应变能计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理（有限板情形），采用叠加原理为什么可以用叠加原理为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确上下的叠加哪个正确?为什么为什么?(a)(b)(c)(a)(b)(c)宏微观断裂力学宏微观断裂力学18其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理?(a)(b)(c)如何检查叠加是否正确？如何检查叠加是否正确？线性系统（线弹性、小变形、小转动）线性系统（线弹性、小变形、小转动）检查以下等式是否都满足检查以下等式是否都满足19假假设设(b)为为应应变变能能零零状状态态,要要求求解解(a)状状态态能能量量,先先转转换换成成求求(c)状态能量，及裂纹张开所需的应变能。状态能量，及裂纹张开所需的应变能。对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？若不能若不能,为什么这里可以？为什么这里可以？(a)(b)(c)计算弹性应变能计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理（有限板情形），采用叠加原理对于无限大板（La），参见随后的作业题320(a)(b)(c)计算弹性应变能计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理（有限板情形），采用叠加原理通过计算做功来计算能量差异通过计算做功来计算能量差异状态（a）和（b）之间的差异（让裂纹闭合所做的功）状态（b）和（c）之间的差异21(a)(b)(c)计算弹性应变能计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理（有限板情形），采用叠加原理上面是位移边界作作业业题题4.4.如如果果采采用用力力边边界界，如如何何采采用用叠叠加加原原理理计计算算带带有有中中心心裂裂纹纹板板的的能能量量？仿仿照照课课程程讲讲义义关关于于位位移移边边界界的的情情况况，讨讨论论有有限限板板和和无无限限大板的情况。大板的情况。22最一般形式最一般形式对于位移固定加载的系统对于位移固定加载的系统临界裂纹长度临界裂纹长度临界应力临界应力裂纹扩展的临界状态对应于裂纹扩展的临界状态对应于考虑考虑Griffith裂纹（如右图）的情况裂纹（如右图）的情况结合作业题，简单讨论尺度效应23最一般形式最一般形式对于位移固定加载的系统对于位移固定加载的系统裂纹扩展的临界状态对应于裂纹扩展的临界状态对应于对于位移固定加载的系统，对于位移固定加载的系统，可以用可以用总能量表面能弹性应变能总能量表面能弹性应变能作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。裂纹扩展需满足裂纹扩展需满足24位移固定边界位移固定边界下裂纹扩展的临界状态下裂纹扩展的临界状态 裂纹扩展的驱动力裂纹扩展的阻力裂纹扩展的驱动力裂纹扩展的阻力随裂纹扩展释放的应变能生成新表面需要能量随裂纹扩展释放的应变能生成新表面需要能量A代表面积，代表面积，G量纲为量纲为J/m2(N/m)，代表，代表广义能量力广义能量力A是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化方向？如何确定固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化方向？如何确定G？能量释放率：能量释放率：注意到25位移固定位移固定载荷固定（力固定）载荷固定（力固定）D临界状态临界状态26位移固定位移固定载荷固定（力固定）载荷固定（力固定）图示能量改变图示能量改变27基于基于Legendre变换的理解变换的理解将将Ue转换为另外一个函数以转换为另外一个函数以P为自变量为自变量将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。28能量释放率能量释放率材料对裂纹临界扩展的抗力材料对裂纹临界扩展的抗力理想脆断理想脆断Gc随随a的变化称为材料的的变化称为材料的断裂阻力曲线断裂阻力曲线Griffith起裂准则起裂准则不起裂不起裂临界状态临界状态对于平衡态静止裂纹对于平衡态静止裂纹裂纹扩展的稳定性条件裂纹扩展的稳定性条件稳定裂纹稳定裂纹随遇裂纹随遇裂纹失稳扩展失稳扩展更准确的应该是？更准确的应该是？29断裂阻力曲线断裂阻力曲线Gc=ConstGc=R(a)外加载荷外加载荷s s1 1 s s2 2 s s3 3当裂纹足够小时，裂纹扩展总是不稳定。对长裂纹而言，裂纹扩展初期是稳定的，但随着载荷的增大，将变得不稳定。长长/短裂纹的扩展稳定性？短裂纹的扩展稳定性？示示 例例Gc一般情形一般情形30考考虑虑更更一一般般的的情情况况，包包含含试试验验机机和和试试件件两两个个系系统统。下下面面的的例例子子试试件件子子系系统统与与外外界界会会有有功功的的交交换换，但但是是若若将将试试验验机机和和试试件件视视为为一一个个总总系系统统，首首先先仍研究没有功交换的情形。仍研究没有功交换的情形。与裂纹有关的试件柔度与裂纹有关的试件柔度试验机柔度试验机柔度整个加载系统的总弹性能为整个加载系统的总弹性能为能量释放率能量释放率能量释放率与加载方式无关！能量释放率与加载方式无关！G的实验测量的实验测量柔度标定柔度标定31为什么为什么?裂纹扩展的稳定性讨论裂纹扩展的稳定性讨论裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！CM值越大，越容易实现裂纹失稳扩展值越大，越容易实现裂纹失稳扩展刚度无穷大，刚性加载，控制位移加载刚度无穷大，刚性加载，控制位移加载控制载荷加载控制载荷加载理解理解32GriffithGriffith理论在非理想脆性材料中的修正理论在非理想脆性材料中的修正Irwin（1948，1957）和）和Orowan（1948）每单位裂纹长度扩展时在断裂过程每单位裂纹长度扩展时在断裂过程区内消耗的塑性变形功区内消耗的塑性变形功塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小裂纹长度或其他特征长度尺寸）尺寸远小裂纹长度或其他特征长度尺寸）裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变形功裂纹尖端的塑性变形功塑性功的大小足以表征材料的断裂性能塑性功的大小足以表征材料的断裂性能材料常数？材料常数？EgonOrowan33一一 些些 讨讨 论论什么是表面能？什么是表面能？裂纹长度裂纹长度a是是否单调增的？否单调增的？如如何何理理解解能能量量释释放放率率G与与加加载载方方式式无无关关（广广义义构构型型力力、能量平衡）？能量平衡）？Legendre变换和状态函数的选择变换和状态函数的选择？是否存在一个特征尺度（尺寸效应）？是否存在一个特征尺度（尺寸效应）？34什么是表面能什么是表面能(Surface energy)(Surface energy)？在Griffith理论里有一个表面能的概念。其解释是生成单位面积新表面所需要的能量。主要以下几个问题：1、表面能跟什么有关？可以肯定的是跟材料性质有关，如铝、铁应该有不同的表面能。还有其他因素吗？跟材料的杨氏模量会不会有关系？2、怎么能得到一种材料的表面能？如果要通过实验得到材料的表面能，能否通过断裂力学的方法得到？除了这个还有其他方法吗？3、如果一个材料是各向异性的，比如杨氏模量有E1、E2。那么如果利用Griffith理论，是不是应该得到具有方向性的表面能？35什么是表面能什么是表面能(Surface energy)(Surface energy)？Surface energy VS.Surface tensionSurface energy VS.Surface tensionSurfacetensionformforce:Theforce,F,involvedinstretchingafilmisF=gLThismeansg=F/Li.e.force/unitlength;Units:N/mormN/mSurfaceenergyfromwork:Thework,dW,involvedinincreasingthesurfacebyalengthdxis,dW=dG=gLdx=gdAThismeans,g=dG/dAi.e.freeenergy/unitarea;Units:J/m2=N/mSurfacetensionandsurfaceenergyareinterchangeabledefinitionswiththesameunits.36什么是表面能什么是表面能(Surface energy)(Surface energy)？ExperimentalmeasurementforSolidThesurfaceenergyofasolidisusuallymeasuredathightemperatures.Atsuchtemperaturesthesolidcreepsandeventhoughthesurfaceareachanges,thevolumeremainsapproximatelyconstant.Ifg gisthesurfaceenergydensityofacylindrical rod of radius rand lengthlat high temperature and a constantuniaxial tensionP,then at equilibrium,thevariationof the totalGibbs freeenergyvanishes,sovariationofareavariationofvolumeSurfaceenergyOnlyforisotropicsolidsInthecaseofsingle-crystalmaterials,anisotropyinthesurfaceenergyleadstofaceting.Theshapeofthecrystal(assumingequilibriumgrowthconditions)isrelatedtothesurfaceenergybyWulffconstruction.37什么是表面能什么是表面能(Surface energy)(Surface energy)？CalculationsDuringthedeformationofsolids,surfaceenergycanbetreatedasthe“energyrequiredtocreateoneunitofsurfacearea”,andisafunctionofthedifferencebetweenthetotalenergiesofthesystembeforeandafterthedeformation,soIn the ab initio calculations,formation energy of the crystalline solid can becalculatedby,Eslab isthetotalenergyofasymmetricslab(i.e.onewithinversionsymmetry,andwherebothsidesoftheslabhavebeenrelaxed),Ebulk isthetotalenergyofabulkunitcell,Nslab isthenumberofatomsintheslab,andNbulk isthenumberofatomsinthebulkunitcell.38断裂力学中的尺度效应断裂力学中的尺度效应载荷与裂纹几何参数组合载荷与裂纹几何参数组合 VS VS 纯粹的材料纯粹的材料参数组合参数组合载荷参数载荷参数 VS VS 纯粹的材料参数组合纯粹的材料参数组合相似性？相似性？存在一个材料内禀的特征尺度！存在一个材料内禀的特征尺度！39断裂力学中的尺度效应断裂力学中的尺度效应Gao and Ji内禀特征长度内禀特征长度缺陷不敏感性缺陷不敏感性/容容忍性忍性FlawInsensitivity/Tolerance40GriffithGriffith律律从从GriffthGriffth断裂到材料的理论强度的转变断裂到材料的理论强度的转变裂纹初始扩展裂纹初始扩展BuehlerM.IWNM,2004当当hhhhcr cr，材材料料呈呈现现为为缺缺陷陷不不敏敏感感性性，在在缺缺陷陷附附件件没没有有明明显显的的应应力力集集中中。材材料料断断裂裂时时，裂裂尖尖应应力力均均匀匀，达达到到理理论论强度。断裂强度不依赖结构尺寸。强度。断裂强度不依赖结构尺寸。缺陷不敏感性缺陷不敏感性/容忍性容忍性41QinZ,andBuehlerM.ACS Nano,5:3034(2011).AckbarowT,SenD,ChristianThaulowC,andBuehlerM.Plos One,4:e6015,(2009).蛋白质折叠、蛋白质折叠、a a-b b转变或滑移转变或滑移a a螺旋的蛋白质网络的断裂应变对于结构缺陷不敏感。螺旋的蛋白质网络的断裂应变对于结构缺陷不敏感。生物材料中缺陷不敏感性生物材料中缺陷不敏感性/容忍性容忍性42机制：裂纹的扩展被内在的缺陷所抑制或阻止机制：裂纹的扩展被内在的缺陷所抑制或阻止缺陷尺寸缺陷尺寸BennisonSJ,PadtureNP,RunyanJL,andLawnBR.Phil.Mag.Lett.,64:191,(1991).利用压痕引入缺陷利用压痕引入缺陷陶瓷中缺陷不敏感性陶瓷中缺陷不敏感性43KumarS,HaqueA,andGaoH.APL,94:253104,(2009).试样：试样：长100 mm，宽3.5-5 mm，厚80-125 nm，平均晶粒尺寸50 nm缺陷：缺陷：U型，半径50 nm大多数试样从远离缺陷的地方发生断裂。大多数试样从远离缺陷的地方发生断裂。纳晶薄膜中缺陷不敏感性纳晶薄膜中缺陷不敏感性44小小 结结v在在一一个个断断裂裂过过程程中中，外外界界做做的的功功一一部部分分用用于于改改变变系系统统的的应应变变能能，一部分用于生成新表面的一部分用于生成新表面的表面能表面能，剩下的就是最终变成热。，剩下的就是最终变成热。v能能量量释释放放率率，裂裂纹纹扩扩展展单单位位面面积积时时势势能能的的减减少少。能能量量释释放放率率与与加载方式无关加载方式无关，但裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！，但裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！vG的实验测量的实验测量柔度标定柔度标定。vGriffith理论在非理想脆性材料中的理论在非理想脆性材料中的修正修正。v内内能能、总总势势能能、Legendre变变换换，以以及及如如何何判判断断一一般般情情形形下下的的演化过程演化过程。45作作业业题题3.如如下下图图，一一无无限限大大板板（平平面面应应变变情情况况）含含有有一一中中心心裂裂纹纹，长长为为2a，当当承承受受均均匀匀拉拉伸伸载载荷荷s s0 0，求求解解板板中中的的弹弹性性应应变变能能。注注：Sneddon曾曾给给出出在在任任意意拉拉伸伸载载荷荷s s(x)作作用用下下的的裂裂纹纹张张开开位位移移（见见如下积分表达）。请利用如下公式推导板的弹性应变能。如下积分表达）。请利用如下公式推导板的弹性应变能。xys s0 0s s0 046作作业业题题4.如如果果采采用用力力边边界界，如如何何采采用用叠叠加加原原理理计计算算带带有有中中心心裂裂纹纹板板（如如下下图图）的的能能量量？仿仿照照课课程程讲讲义义关关于于位位移移边边界界的的情情况况，讨讨论论有有限限板板和无限大板的情况。和无限大板的情况。xy47作作业业题题5.如如图图（a）所所示示，有有一一双双悬悬臂臂梁梁断断裂裂试试件件，杨杨氏氏模模量量为为E，截截面面惯惯性性矩矩为为I，试试验验机机刚度为刚度为kM。（1）求试件的柔度）求试件的柔度C；（2）求裂纹扩展的能量释放率）求裂纹扩展的能量释放率G;（3）如果试件的）如果试件的Gc为常数，给出裂纹扩展的稳定性和失稳的条件为常数，给出裂纹扩展的稳定性和失稳的条件;（4）如如果果试试件件的的断断裂裂阻阻力力如如图图（b）所所示示，并并且且裂裂纹纹初初始始长长度度为为a0，讨讨论论试试验验机机刚刚度在不同区间对于裂纹扩展稳定性的影响，请绘图说明，并给出一定的数学推导；度在不同区间对于裂纹扩展稳定性的影响，请绘图说明，并给出一定的数学推导；（5）*以以上上推推导导都都是是针针对对线线弹弹性性情情况况的的，即即柔柔度度C只只是是裂裂纹纹长长度度a的的函函数数，若若对对于于非非线线性性弹弹性性，则则可可以以假假设设切切线线柔柔度度与与载载荷荷有有关关，如如果果我我们们已已知知 和和 ，在在这这里里为了简化，不妨设为了简化，不妨设CM=0，求求G。P（a）（b）48作作业业题题6.如下图所示，有一双悬臂梁断裂试件，杨氏模量为如下图所示，有一双悬臂梁断裂试件，杨氏模量为E，截面厚度为，截面厚度为B。（1）画出裂纹张开的形状；）画出裂纹张开的形状；（2）求裂纹扩展的能量释放率）求裂纹扩展的能量释放率G。裂纹裂纹49作作业业题题7.下下图图给给出出了了四四点点弯弯曲曲试试验验的的示示意意图图，加加载载一一断断裂裂试试件件，杨杨氏氏模模量量为为E，截截面面厚厚度度为为B，其其它它参参数数如如图图所所示示。求求裂裂纹纹扩扩展展的的能能量量释释放放率率G。注注：M为为给给定定的的加加载载在在试试件件上的弯矩。上的弯矩。50作作业业题题8.如如下下图图所所示示，一一个个弹弹性性纤纤维维直直径径为为d，杨杨氏氏模模量量为为E，嵌嵌入入在在三三维维半半空空间间基基体体中中，有有一一裂裂纹纹长长度度为为a。如如果果用用定定常常的的力力P拔拔这这根根纤纤维维，求求裂裂纹纹扩扩展展的的能能量量释释放放率率G。注注：假设基体的变形并不依赖裂纹长度假设基体的变形并不依赖裂纹长度a。51
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