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第二十三讲第二十三讲 常微分方程常微分方程（三）（三）二、常微分方程应用举例二、常微分方程应用举例一、可降阶微分方程一、可降阶微分方程逐次积分逐次积分一、一、高阶可降阶微分方程高阶可降阶微分方程积分一次积分一次再积分一次再积分一次2024/7/42变量替换变量替换原方程变形成为原方程变形成为一阶一阶2024/7/43特点是：不显含特点是：不显含 y y解解积分积分,得通解得通解2024/7/44解解2注意到方程的特殊性注意到方程的特殊性积分积分,得通解得通解2024/7/45一阶一阶变量替换变量替换原方程变形成为原方程变形成为2024/7/46特点是：不显含特点是：不显含 x解解方程化为方程化为分离变量分离变量积分积分2024/7/47分离变量解得分离变量解得2024/7/48列方程的常用方法列方程的常用方法(1)利用物理定律列方程利用物理定律列方程(2)利用导数的几何意义列方程利用导数的几何意义列方程(3)利用微元分析法列方程利用微元分析法列方程二、常微分方程应用举例二、常微分方程应用举例2024/7/49解解 取时间取时间t为自变量，物体的温度为自变量，物体的温度T(t)为为未知函数未知函数.由牛顿冷却定律知由牛顿冷却定律知初始条件初始条件2024/7/410另外还有一个条件另外还有一个条件:可用来确定比例常数可用来确定比例常数k分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得代入上式，得代入上式，得代入，得代入，得2024/7/411将将 T=30 T=30 代入，解出代入，解出即，还需再经过即，还需再经过物体的温度即可降为物体的温度即可降为2024/7/412例例2 已知曲线上任一点已知曲线上任一点P(x,y)处的切线在处的切线在 x轴上的截距等于点轴上的截距等于点P的横坐标的一半的横坐标的一半,且过定点且过定点(2,1),求此曲线的方程求此曲线的方程.解解2024/7/413由题意得由题意得 又已知曲线过点又已知曲线过点(2,1),于是得到定解问题于是得到定解问题分离变量求得通解分离变量求得通解2024/7/414例例3 试设计一反光镜试设计一反光镜,使它能将点光源发使它能将点光源发 出的光反射成为平行光出的光反射成为平行光解解点光原位于坐标原点点光原位于坐标原点O,由点由点O发出的光线发出的光线经反射都成为平行于经反射都成为平行于x轴的平行光轴的平行光由光的反射定律由光的反射定律2024/7/415于是有于是有根据导数的几何意义根据导数的几何意义得到微分方程得到微分方程一阶齐次一阶齐次变形为变形为2024/7/416分离变量分离变量代入代入(1)式，得式，得2024/7/417积分，得积分，得取指数取指数2024/7/4182024/7/419解解列方程，确定初始条件列方程，确定初始条件已知，在任何一段时间内已知，在任何一段时间内容器内含盐改变量容器内含盐改变量=流进盐量流进盐量流出盐量流出盐量若溶液的浓度不变，则若溶液的浓度不变，则 流出盐量流出盐量=浓度浓度 流出的溶液量流出的溶液量问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决?考虑微小时间间隔考虑微小时间间隔 dt 内的变化情况内的变化情况设时刻设时刻 t 时溶液的含盐量为时溶液的含盐量为2024/7/420 当时间从当时间从 t 变到变到 t+dt 时，容器内的含盐量时，容器内的含盐量由由 Q 变到变到 Q+dQ，因而容器内含盐改变量为，因而容器内含盐改变量为 dQ从容器内流出的溶液量为从容器内流出的溶液量为 2dt 在时间在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变，内盐水的浓度近似看作不变，看作是看作是 t 时刻的盐水浓度时刻的盐水浓度所以流出的盐量为所以流出的盐量为2024/7/421于是有于是有初始条件初始条件分离变量分离变量通解通解特解特解282024/7/422解解 此问题涉及水面高度此问题涉及水面高度随时间的变化规律随时间的变化规律根据水利学定律，流出速度根据水利学定律，流出速度2024/7/423 考虑任意时刻考虑任意时刻 t，任取时间区间，任取时间区间t,t+dt在在 dt 时间内，水面高度的改变为时间内，水面高度的改变为 dh 取时间取时间 t 为自变量，水面高度为自变量，水面高度 h(t)为未为未知函数，并取坐标系如图知函数，并取坐标系如图漏斗内水的体积改变量为漏斗内水的体积改变量为2024/7/424下落水的体积下落水的体积 =流出水的体积流出水的体积于是列出微分方程于是列出微分方程初始条件初始条件 另方面另方面,时间时间 dt 内从小孔流出水的体积等于内从小孔流出水的体积等于以以 S 为底，以为底，以(vdt)为高的小圆柱体积为高的小圆柱体积2024/7/425经整理得经整理得解得解得当水流完时，当水流完时，h=02024/7/426正交轨线问题正交轨线问题2024/7/427思路：思路：2024/7/4282024/7/429这就是正交曲线族！这就是正交曲线族！通解通解2024/7/430392024/7/431解解2024/7/4322024/7/433写在最后写在最后成功的基成功的基础在于好的学在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits34谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
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