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1工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）力（即地球的吸引力）Pi ，其作用点的坐标，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而此力系的此力系的合力合力称为物体的称为物体的重重力力zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio 地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。任12工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用线上将有一确定的点线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点当原力系各力的大小和作用点保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则合力也绕合力也绕C点转过同一角度。点转过同一角度。C点称为平行力系的中点称为平行力系的中心。对重力来说，则为心。对重力来说，则为重心重心。zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio 重心的位置对于物体的重心的位置对于物体的相对位置是确定的相对位置是确定的,与物体在与物体在空间的位置无关。空间的位置无关。平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用线23工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio 重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置。的位置。zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1z34工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。5-1 重心和形心的坐标公式重心和形心的坐标公式1.重心坐标的一般公式重心坐标的一般公式zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio5-1 重心和形心的坐标公式1.重心坐标的一般公式zx45工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。右图认为是一个空间力系，则右图认为是一个空间力系，则P=Pi合力的作用线通过物体的重合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理心，由合力矩定理即即于是有于是有zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio同理有同理有右图认为是一个空间力系，则P=Pi合力的作用线通过物体的56工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。为确定为确定 zC ，将，将各力各力绕绕y轴转轴转90，得，得2.均质物体的重心坐标公式均质物体的重心坐标公式即物体容重即物体容重g g 系常量，则系常量，则于是有于是有zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio为确定 zC ，将各力绕y轴转90，得2.均质物体67工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。体，其重心与形心的位置是重合的。zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心78工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。3.均质等厚薄板的重心和平面图形的形心均质等厚薄板的重心和平面图形的形心 对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为平面为xy平面，则其重心的一个坐标平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。等于零。设板厚为设板厚为d，则，则有有V=Ad，Vi =Aid则则上式也即为求平面图形形心的公式。上式也即为求平面图形形心的公式。3.均质等厚薄板的重心和平面图形的形心 对89工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。5-2 确定重心和形心位置的确定重心和形心位置的具体方法具体方法(1)积分法；积分法；(2)组合法；组合法；(3)悬挂法；悬挂法；(4)称重法。称重法。具体方法：具体方法：5-2 确定重心和形心位置的具体方法(1)积分法；910工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。1.积分法积分法 对于任何形状的物体或平面图形，均可用下对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有具体位置。对于均质物体，则有zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio1.积分法 对于任何形状的物体或平面图形，均1011工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。若为平面图形，则若为平面图形，则求图示半圆形的形心位置。求图示半圆形的形心位置。C2RO例题例题 5-1若为平面图形，则求图示半圆形的形心位置。C2RO例题 5-1112工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。解：建立如图所示坐标系，解：建立如图所示坐标系，则则xC=0现求现求 yC。则则例题例题 5-1b(y)ydyC2ROxy解：建立如图所示坐标系，则xC=0现求 yC。则例1213工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。代入公式有代入公式有例题例题 5-1b(y)ydyC2ROxy代入公式有例题 5-1b(y)ydyC2ROxy1314工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。2.组合法组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。法称为组合法。下面通过例子来说明。下面通过例子来说明。角钢截面的尺寸如图所示，试求其形角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。心位置。y15020 x20200O(a)y15020 x20200O12(b)例题例题 5-22.组合法 当物体或平面图形由几个基本部分1415工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。解：取解：取Oxy坐标系如图坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为个矩形，则其面积和形心为：A1=（200-20）20=3600 mm2 x1=10 mmy1=110 mmA2=15020=3000 mm215020 x20200Oy12(b)x2=75 mmy2=10 mm例题例题 5-2 解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成1516工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。由组合法，得到由组合法，得到xC=A1+A2 A1 x1+A2 x2=39.5 mmC(xC,yC)15020 x20200Oy12(b)yC=A1+A2 A1 y1+A2 y2=64.5 mm另一种解法：另一种解法：负面积法负面积法15020 x20200Oy1将截面看成是从将截面看成是从200mm150mm的的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而分）而得到，从而A1=200150=30000 mm2例题例题 5-2由组合法，得到xC=A1+A2 A1 x1+A2 x1617工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。x1=75 mm,y1=100 mmA2=-180130=-23400 mm2故故xC=3000075-234008530000-23400=39.5 mmyC=30000100-2340011030000-23400=64.5 mm两种方法的结果相同。两种方法的结果相同。x2=85 mm,y2=110 mm15020 x20200Oy1例题例题 5-2x1=75 mm,y1=100 mmA2=-1801718工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。3.悬挂法悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两点以薄板为例，只要将薄板任意两点A和和B依依次悬挂，画出通过次悬挂，画出通过A和和B两点的铅垂线，两条铅垂两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心线的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为的位置，如图。想一想，为什么？什么？AABC3.悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两1819工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。4.称重法称重法 对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。这种方法。图示机床重图示机床重 2500 N，现拟用现拟用“称重法称重法”确确定其重心坐标。为此，在定其重心坐标。为此，在B处处放一垫子，在放一垫子，在A处放一秤。当处放一秤。当机床水平放置时，机床水平放置时，A处秤上读处秤上读数为数为1750N，当当=20 时秤上时秤上的读数为的读数为1500 N。试算出机床。试算出机床重心的坐标。重心的坐标。思考题思考题5-1yx2.4 mCBA 4.称重法 对较笨重的物体1920工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。边长为边长为a的均质等厚正方形板的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等，被截去等腰三角形腰三角形AEB。试求点。试求点E的极限位置的极限位置 ymax以保证剩余以保证剩余部分部分AEBCD的重心仍在该部分范围内。的重心仍在该部分范围内。ABDCEymaxaaxy例题例题 5-3 边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去2021工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。yC=A1+A2 A1 y1+A2 y2解：分两部分考虑解：分两部分考虑xC=2a极限位置极限位置 yC=ymax：,即即例题例题 5-3ABDCEymaxaaxyyC=A1+A2 A1 y1+A2 y2解：分两部分2122工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。解方程得解方程得展开得展开得例题例题 5-3ABDCEymaxaaxy解方程得展开得例题 5-3ABDCEymaxaaxy2223工程力学电子教案工程力学电子教案重心和形心重心和形心本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。第五章结束23
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