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2024/7/31第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2024/7/321 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义1：n 个数个数所组成的有序数组所组成的有序数组称为一个称为一个 n 维向量维向量，这，这 n 个数称为该向量个数称为该向量的的 n 个个分量分量，第，第 i 个数个数 称为称为第第 i 个分量个分量。这里定义的这里定义的 n 维向量就是指维向量就是指行行(或列或列)矩阵矩阵。2024/7/33称为称为行向量。行向量。称为称为列向量。列向量。2024/7/34例例.3 维向量的全体所组成的集合维向量的全体所组成的集合通常称为通常称为 3 维维Euclid几何空间。几何空间。称为称为 R3 中的一个平面。中的一个平面。集合集合2024/7/35称为称为 n 维维Euclid空间空间 Rn 中的中的 n-1维维超平面超平面。集合集合称为称为 n 维维Euclid空间。空间。例例.n 维向量的全体所组成的集合维向量的全体所组成的集合2024/7/36例例.非齐次线性方程组非齐次线性方程组的解的解集合集合齐次线性方程组齐次线性方程组的解的解集合集合2024/7/37mn 阵阵 A 的的 列列向量组向量组:行行向量组向量组:同一维数的列向量同一维数的列向量(或行向量或行向量)所组成的集合所组成的集合称为称为向量组向量组。2024/7/38定义定义2：设向量组设向量组及一组实数及一组实数称为向量组称为向量组 A的一个的一个线性组合线性组合，称为线性组合的称为线性组合的系数系数。表达式表达式2024/7/39定义定义2：设向量组设向量组和向量和向量 b若存在一组实数若存在一组实数使得使得则称向量则称向量 b 是向量组是向量组 A的的一个线性组合，一个线性组合，或称向量或称向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示。线性表示。2024/7/310例如：例如：则则 b 能由能由线性表示线性表示.解方程组解方程组即解方程组即解方程组2024/7/311所以，所以，得得2024/7/312记记2024/7/313则方程组的向量表示为则方程组的向量表示为2024/7/314定理定理1:向量向量 b可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 有解，其中有解，其中2024/7/315则称则称向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示。若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 B 能相互线性表示，能相互线性表示，若若 B 组中的每一个向量都能由向量组组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，线性表示，定义定义3:设向量组设向量组 及及则称则称向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价。等价。2024/7/316B 能由能由 A 线性表示线性表示2024/7/317定理定理2:向量组向量组 能由能由线性表示线性表示有解，其中有解，其中2024/7/318定理定理3:向量组向量组 能由能由线性表示，则线性表示，则 R(B)R(A)。其中其中证：根据定理证：根据定理 2 有有 R(A)=R(A,B)而而 R(B)R(A,B)，因此，因此 R(B)R(A)。2024/7/319定义定义4：2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2024/7/320n 维向量组维向量组 线性相关线性相关定理定理4:n 维向量组维向量组 线性无关线性无关2024/7/321例例2:试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的的线性相关性线性相关性.2024/7/322解：设解：设即即系数行列式系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量齐次线性方程组有非零解，所以向量 线性相关线性相关向量向量对应分量不成比例，所以线性无关。对应分量不成比例，所以线性无关。2024/7/323例例3:n维向量维向量讨论它们的线性相关性讨论它们的线性相关性.结论结论:线性无关线性无关解解:上述向量组又称上述向量组又称基本向量组基本向量组或或单位坐标向量组单位坐标向量组.2024/7/324一些结论：一些结论：(1)一个零向量线性相关一个零向量线性相关,一个非零向量线性无关；一个非零向量线性无关；(2)两个向量线性相关当且仅当两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例它们的对应分量成比例;(3)一个向量组线性无关，则增加其中每个向一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。量的分量所得新向量组仍线性无关。(4)(4)向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一 个向量可由其余向量线性表示。个向量可由其余向量线性表示。2024/7/325则向量组则向量组也线性相关。也线性相关。则向量组则向量组也线性无关。也线性无关。若向量组若向量组线性相关，线性相关，定理定理5-1：定理定理5-2：m个个n维向量维向量(m n)构成的构成的向量组一定线性相关向量组一定线性相关.特别地特别地,n+1个个n维向量维向量线性相关线性相关.若向量组若向量组线性无关，线性无关，推论：推论：定理定理5-3：向量组向量组线性无关线性无关,向量组向量组线性相关线性相关,则则 b 能由向量组能由向量组A线性表示，且表示式唯一线性表示，且表示式唯一.2024/7/326例例4：已知向量：已知向量线性无关，向量线性无关，向量可以由向量可以由向量线性表示，并且线性表示，并且证明：证明：线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是 R(K)=3证：证：线性无关。线性无关。设设 Kx=0，其中，其中则则故故 x=0，即，即 Kx=0 只有零解，于是只有零解，于是 R(K)=3=02024/7/327=0故故 Kx=0，而，而 R(K)=3，于是，于是 x=0，2024/7/328例例5：已知向量：已知向量线性无关，线性无关，证明：向量证明：向量线性无关。线性无关。证：证：线性无关。线性无关。2024/7/3293 向量组的秩向量组的秩定义定义1:简称简称最大无关组最大无关组,r 称为向量组称为向量组 A的秩，记作的秩，记作RA（ii）A中任意中任意r+1个向量都线性相关个向量都线性相关.线性无关线性无关,（i）那么称部分组那么称部分组 为向量组为向量组 A的一个的一个最大线性无关组，最大线性无关组，设设 A为一个向量组，为一个向量组，A的部分组的部分组 满足：满足：2024/7/330例如：在向量组例如：在向量组 中，中，首先首先线性无关，又线性无关，又线性相关，线性相关，所以所以是一个极大无关组。是一个极大无关组。还可以验证还可以验证也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。2024/7/331注注:（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0。（2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。（4）向量组）向量组 A能由能由A0线性表示。线性表示。（3）向量组的）向量组的最大无关组最大无关组一般一般不是唯一的不是唯一的。（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。2024/7/332例：设矩阵例：设矩阵矩阵矩阵A 的行向量组是的行向量组是可以验证，可以验证，是一个最大无关组，是一个最大无关组，所以矩阵所以矩阵A的行向量组秩为的行向量组秩为3。2024/7/333矩阵矩阵A的列向量组是的列向量组是可以验证可以验证是一个最大无关组是一个最大无关组所以矩阵所以矩阵A的列秩是的列秩是3。2024/7/334 定理：定理：矩阵的秩矩阵的秩=矩阵的行向量组的秩矩阵的行向量组的秩 =矩阵的列向量组的秩矩阵的列向量组的秩注：注：初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系向量组向量组 的秩也记作的秩也记作2024/7/335例：向量组例：向量组求向量组的秩和一个最大无关组。求向量组的秩和一个最大无关组。2024/7/336解：解：2024/7/337是一个最大无关组。是一个最大无关组。2024/7/338例如：例如：向量组向量组 的秩为的秩为2。注意：注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一 个线性表示，则这两个向量组等价。个线性表示，则这两个向量组等价。向量组向量组 的秩为的秩为2。2024/7/339例例2：求矩阵：求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余的的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用向量用这个最大无关组线性表示。这个最大无关组线性表示。2024/7/340解解:2024/7/3412024/7/342是是一个最大无关组一个最大无关组.2024/7/343最大无关组的等价最大无关组的等价定义定义:线性无关；线性无关；（i）那么称部分组那么称部分组 为向量组为向量组 A的一个的一个设设 A为一个向量组，为一个向量组，A的部分组的部分组 满足：满足：（ii）A的任意向量都能由的任意向量都能由 线性表示。线性表示。最大无关组。最大无关组。2024/7/344证：只需证明证：只需证明 A中的任意中的任意 r+1个向量都线性相关。个向量都线性相关。设设 为为 A中的中的 r+1个向量，个向量，由由(ii)知，这知，这 r+1个向量能由个向量能由 A0 线性表示，故线性表示，故因此，这因此，这 r+1个向量线性相关。个向量线性相关。2024/7/345线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是定理定理2：向量组向量组能由向量组能由向量组定理定理3：若向量组若向量组 B能由向量组能由向量组 A 线性表示，则线性表示，则2024/7/3465 向量空间向量空间定义：定义：设设 V 为为 n 维向量的维向量的非空非空集合，集合，若若 V 对于加法及数乘两种运算封闭，对于加法及数乘两种运算封闭，则称集合则称集合 V 为为向量空间向量空间说明说明:集合集合 对于加法及数乘两种运算封闭指对于加法及数乘两种运算封闭指注意注意.0 必是向量空间必是向量空间V 的元素，即的元素，即2024/7/347例：例：3 维向量的全体维向量的全体 是一个向量空间。是一个向量空间。n 维向量的全体维向量的全体 也是一个向量空间。也是一个向量空间。例例：齐次线性方程组齐次线性方程组的解的解集合集合是一个向量空间。是一个向量空间。不是一个向量空间。不是一个向量空间。但但非齐次线性方程组非齐次线性方程组 Ax=b 的解的解集合集合2024/7/348例：判别下列集合是否为向量空间例：判别下列集合是否为向量空间.2024/7/349不是向量空间。不是向量空间。解：解：所以，所以，是向量空间。是向量空间。2024/7/350是否为向量空间是否为向量空间.V 称为由向量称为由向量a,b生成的向量空间生成的向量空间。例：设例：设 a，b为两个已知的为两个已知的n维向量，判断集合维向量，判断集合解：解：V 是一个向量空间。是一个向量空间。2024/7/351由向量组由向量组 所所生成的向量空间生成的向量空间为为一般地一般地2024/7/352定义：定义：设设 V 为向量空间为向量空间,W 是是V 的非空子集，的非空子集，若若 W 对于加法及数乘两种运算封闭，对于加法及数乘两种运算封闭，则称则称 W是是 V 的的子空间子空间。零子空间零子空间 V=0 2024/7/353例例.及及都是都是的子空间。的子空间。是是的子空间，称为齐次的子空间，称为齐次线性方程组线性方程组 Ax=0 的解空间，或的解空间，或 A的零空间。的零空间。2024/7/354定义定义7：设设V是向量空间，如果向量是向量空间，如果向量满足满足线性无关。线性无关。（1）（2）V 中任一向量都可由中任一向量都可由线性表示，线性表示，那么，就称向量组那么，就称向量组是向量空间是向量空间V 的的一个基一个基，r 称为向量空间称为向量空间V 的的维数维数，记作，记作dimVr并称并称V 是是 r 维向量空间维向量空间。2024/7/355注注：(1)只含有零向量的向量空间只含有零向量的向量空间 0-称为零子空间称为零子空间-没有没有 基，规定其维数为基，规定其维数为0。(2)如果把向量空间如果把向量空间V看作向量组看作向量组V，则，则V的基就是向的基就是向 量组量组V的极大无关组，的极大无关组，V的维数就是向量组的维数就是向量组V的秩。的秩。(3)向量空间的基一般不唯一。向量空间的基一般不唯一。例例.都是向量空间都是向量空间 的基。的基。设矩阵设矩阵例例2024/7/363设设是是的一个基，的一个基，x 是是中的向量，中的向量，则称有序数组则称有序数组为向量为向量 x 在基在基下的坐标。下的坐标。设设是是的另一个基，的另一个基，并且并且则称此式为基变换公式，矩阵则称此式为基变换公式，矩阵 P 称为从基称为从基到基到基的过渡矩阵。的过渡矩阵。2024/7/3644 线性方程组解的结构线性方程组解的结构(1)齐次线性方程组齐次线性方程组或或2024/7/3651.解的性质解的性质则则 仍然是仍然是 的解。的解。性质性质1：若：若 是是 的解，的解，则则 仍是仍是 的解。的解。性质性质2：若：若 是是 的解，的解，2024/7/3662.基础解系基础解系设设是是的解，满足的解，满足线性无关；线性无关；的任一解都可以由的任一解都可以由线性表示。线性表示。则称则称是是的一个的一个基础解系。基础解系。2024/7/367定理定理7：设设是是矩阵，如果矩阵，如果则齐次线性方程组则齐次线性方程组的基础解系存在，的基础解系存在，且每个基础解系中含有且每个基础解系中含有个解向量。个解向量。证明分三步证明分三步:1.以某种方法找以某种方法找 个解。个解。2.证明这证明这个解线性无关。个解线性无关。3.证明任一解都可由这证明任一解都可由这个解线性表示。个解线性表示。2024/7/368证明证明:化为行化为行最简形最简形2024/7/369与与B对应的方程组对应的方程组2024/7/370（1）令）令依次为依次为得方程组的通解得方程组的通解2024/7/371（2）向量组）向量组线性无关。线性无关。综合综合(1)(2)得得,向量组向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系是齐次线性方程组的基础解系.(C)2024/7/372的通解是的通解是记记则则是令是令为为所得所得。例例求齐次线性方程组的基础解系求齐次线性方程组的基础解系 解解：对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵令令 得得令令 得得原方程组的解为原方程组的解为 原方程的基础解系为原方程的基础解系为2024/7/375解：解：例例:求下列齐次方程组的通解。求下列齐次方程组的通解。2024/7/376初等行变换初等行变换令令得得通解通解2024/7/377(2)非齐次性线性方程组非齐次性线性方程组对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组2024/7/378性质性质1：是是 的解，则的解，则是是对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的解。的解。性质性质2：是是 的解，的解，是对应的齐次线性方程组是对应的齐次线性方程组的解，则的解，则是是 的解。的解。2024/7/379分析分析:若若有解，则其通解为有解，则其通解为其中其中是是 的一个特解，的一个特解，是是 对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组 的通解。的通解。1.证明证明是解；是解；2.任一解都可以写成任一解都可以写成的形式。的形式。其中其中 k1 1+k2 2+kn-r n-r 为对应齐次线性方程组为对应齐次线性方程组Ax=0的通解的通解,*为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组Ax=b的任意一个的任意一个特解特解.非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为:x=k1 1+k2 2+kn-r n-r+*.例例:求解方程组求解方程组解解:对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换施行初等行变换:可见可见R(A)=R(B)=2,故方程组有解故方程组有解,并有并有取取 x2=x4=0,则则x1=x3=即得方程组的一个解即得方程组的一个解取取即得对应的齐次线性方程组的基础解系为即得对应的齐次线性方程组的基础解系为:于是所求通解为于是所求通解为:在对应的齐次线性方程组在对应的齐次线性方程组中中,谢谢！
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