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流动的意义及微积分的应用。流动的意义及微积分的应用。运动学从几何的角度来分析问题。运动学从几何的角度来分析问题。流体的运动在固体壁面所限制的空间内进行。流体的运动在固体壁面所限制的空间内进行。定义：定义：流体流动所占据的全部空间称为流场。流体流动所占据的全部空间称为流场。1第一节第一节 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 1 理论力学对离散质点的描述理论力学对离散质点的描述 对于有限多个离散质点组成的质点系，可将所有质点编对于有限多个离散质点组成的质点系，可将所有质点编号，然后分析每一个质点的位移随时间的变化过程。号，然后分析每一个质点的位移随时间的变化过程。2 刚体运动的描述刚体运动的描述 刚体没有变形，其运动可分解为刚体没有变形，其运动可分解为平移平移和绕基点的和绕基点的转动转动来来描述。描述。3流体流体 与离散质点比较，其困难在于流体质点无穷多个，无法与离散质点比较，其困难在于流体质点无穷多个，无法编号及排序；编号及排序；与刚体比较，困难在于流体易变形。与刚体比较，困难在于流体易变形。一一 理论力学运动学描述理论力学运动学描述 不不可可小小视视这这一一问问题题，这这需需要要很很好好的的把把握握流流体体的的本本质质。实实际际上上由科学大师完成。由科学大师完成。拉格朗日法、欧拉法拉格朗日法、欧拉法2基本思想：基本思想：跟踪流体每个质点的运动全过程。通过对全跟踪流体每个质点的运动全过程。通过对全部流体质点的跟踪过程，获得流体的总体运动情况。部流体质点的跟踪过程，获得流体的总体运动情况。要点：要点：某一流体质点的各物理量（如某一流体质点的各物理量（如p、u、x）随时间）随时间的变化。的变化。难点：难点：有无穷多个连续质点，不能编号。有无穷多个连续质点，不能编号。解决方法：解决方法：用流体初始时刻用流体初始时刻 t=t0 的空间位置坐标的空间位置坐标（a,b,c）作为区分不同流体质点的标记，（）作为区分不同流体质点的标记，（a,b,c）不）不同，质点不同。即同，质点不同。即以用坐标值代替编号。以用坐标值代替编号。a,b,c,t 称为称为拉格朗日变量拉格朗日变量。（。（a,b,c）称为）称为拉格朗日拉格朗日坐标。坐标。二二 拉格朗日法拉格朗日法（跟踪）（跟踪）3运动：运动：经时间经时间 t 后，初始时刻的质点（后，初始时刻的质点（a,b,c）到）到达新的坐标（达新的坐标（x,y,z）x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)拉格朗日法的优点：可直接运用理论力学中的质点或质拉格朗日法的优点：可直接运用理论力学中的质点或质点系动力学进行分析。点系动力学进行分析。4基本思想：基本思想：不追究各流体质点的运动过程，而在于观察不追究各流体质点的运动过程，而在于观察空间点上先后流过的各个质点的运动情况。通过各点观空间点上先后流过的各个质点的运动情况。通过各点观察结果的综合，获得整个空间的运动情况。察结果的综合，获得整个空间的运动情况。(符合实际符合实际)要点：要点：空间固定点上各物理量（如：空间固定点上各物理量（如：u，p等）随时等）随时间的变化。间的变化。相邻空间点这些物理量的变化相邻空间点这些物理量的变化(场的要点场的要点)。(x,y,z),t 为为欧拉变量欧拉变量。三三 欧拉法欧拉法(布哨布哨)，5四四 加速度，质点导数加速度，质点导数 1 加速度：质点加速度是质点速度对时间的全导数加速度：质点加速度是质点速度对时间的全导数6空间某点的速度随时间空间某点的速度随时间的变化，称当地加速度的变化，称当地加速度 速度场的空间变化引起的速度场的空间变化引起的加速度，称迁移加速度加速度，称迁移加速度 7举例理解：举例理解：水箱放水管水箱放水管A、B两点，放水后分别两点，放水后分别到到A，B。A A BB0；在管径不变处，；在管径不变处，A，A两点流速相同，故迁移加速两点流速相同，故迁移加速度为度为0。在管径变化处，。在管径变化处，B流速大于流速大于B点，点，B点迁移加速点迁移加速度不为度不为0。水箱水面不断变化水箱水面不断变化：管内各处流速都会随时间减小，：管内各处流速都会随时间减小，故故A,B两点的当地加速度均为两点的当地加速度均为0；A点与点与A点速度相等，点速度相等，故故A点迁移加速度为点迁移加速度为0；B点管径变化，速度也变化，故点管径变化，速度也变化，故迁移加速度不为迁移加速度不为0。分析：分析：水箱水面保持不变水箱水面保持不变：A，B流流速不随时间变化，当地加速度为速不随时间变化，当地加速度为8A点点B点点当地加速度当地加速度 迁移加速度迁移加速度 当地加速度当地加速度 迁移加速度迁移加速度水位不水位不变0001水位降低水位降低1011A A BB92 质点导数质点导数（对时间求全导数）（对时间求全导数）由流场随时间变化的不恒定引起由流场随时间变化的不恒定引起当地导数当地导数有空间变化的不均匀形引起有空间变化的不均匀形引起迁迁移导数移导数 如如10两种方法的优缺点小结：两种方法的优缺点小结：（1）拉格朗日法，更符合习惯，对运动的描述与理论）拉格朗日法，更符合习惯，对运动的描述与理论力学相同而感到熟悉；欧拉法的加速度表述复杂。但流力学相同而感到熟悉；欧拉法的加速度表述复杂。但流体力学不关心流体质点运动的具体情况，而是关心整个体力学不关心流体质点运动的具体情况，而是关心整个流场，只有欧拉法适合这一目的的描述；流场，只有欧拉法适合这一目的的描述；（2）拉格朗日法描述位移、速度、加速度时形式虽简）拉格朗日法描述位移、速度、加速度时形式虽简单，也易理解，但由于流动过程的复杂性，坐标难以确单，也易理解，但由于流动过程的复杂性，坐标难以确定；而欧拉法取固定坐标，使运算简化。定；而欧拉法取固定坐标，使运算简化。（3）欧拉法基于场，可方便利用成熟的场论数学工具。）欧拉法基于场，可方便利用成熟的场论数学工具。因此，流体力学主要采用欧拉法来描述流体运动。因此，流体力学主要采用欧拉法来描述流体运动。但是，拉格朗日法也有存在的道理但是，拉格朗日法也有存在的道理11第二节流动的分类及流场中的几个基本概念第二节流动的分类及流场中的几个基本概念 1 按起因分按起因分：自然流动与强制流动：自然流动与强制流动 2 按流体性质按流体性质：理想（或无粘性）流体与实际流体；：理想（或无粘性）流体与实际流体；可压缩流体与不可压缩流体可压缩流体与不可压缩流体3 按与时间的关系按与时间的关系：恒定：恒定/稳定稳定/定常流动与非恒定流定常流动与非恒定流动动定常流动定常流动/恒定流动恒定流动：空间每一点上流体流动的全部：空间每一点上流体流动的全部要素如要素如u，p，a等都不随时间变化的流动；等都不随时间变化的流动；非定常流动非定常流动：运动要素全部或部分随时间变化的流：运动要素全部或部分随时间变化的流动。动。准定常流动准定常流动：在较短时间内可近似地认为是定常的：在较短时间内可近似地认为是定常的流动。流动。一一 流动的分类流动的分类124 按与空间的关系，按流动要素是坐标的函数的按与空间的关系，按流动要素是坐标的函数的个数来分个数来分，可分为一维、二维和三维（或一元、，可分为一维、二维和三维（或一元、二元和三元）流动二元和三元）流动【1D,2D,3D】注意：注意：是是坐标坐标的个数，而的个数，而不是速度不是速度的个数。的个数。说明：坐标个数越少，问题越简单。因此工程中说明：坐标个数越少，问题越简单。因此工程中应尽量降低维数，从而简化问题。应尽量降低维数，从而简化问题。5 按运动的状态按运动的状态：旋转与无旋转，层流与湍流。：旋转与无旋转，层流与湍流。13二二 基本概念基本概念1 迹线迹线定义：定义：流体质点在一段时间内的运动轨迹称为迹线。流体质点在一段时间内的运动轨迹称为迹线。属属于拉格朗日法于拉格朗日法特点：特点：对于每一个质点都有一个运动轨迹，故迹线是一对于每一个质点都有一个运动轨迹，故迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。2 流线流线定义：定义：同一时刻连续分布的不同位置上的质点的流动方同一时刻连续分布的不同位置上的质点的流动方向线，即曲线上任意一点处流体质点的速度方向与该点向线，即曲线上任意一点处流体质点的速度方向与该点的切线方向一致。的切线方向一致。14a bcd xyuxuy ydxdydsxu将将b点速度分解为点速度分解为ux和和uy，与速度，与速度u的夹角分别为的夹角分别为 和和。在曲线上的在曲线上的b点取一微元点取一微元端端ds，并在两个方向上分，并在两个方向上分解为解为dx和和dy。与。与ds的夹的夹角分别为角分别为和和。显然有：。显然有：=和和=。和和 15流线的特点：流线的特点：流线是某一瞬时所得到的一条曲线（随时间可能会变化）流线是某一瞬时所得到的一条曲线（随时间可能会变化）；不是某一流体质点的运动轨迹，而是由很多个位于不；不是某一流体质点的运动轨迹，而是由很多个位于不同坐标点上的流体质点的运动速度方向描述出的曲线。同坐标点上的流体质点的运动速度方向描述出的曲线。流线的性质：流线的性质：稳定流场中流线在空间的位置和形状不随时间变化；稳定流场中流线在空间的位置和形状不随时间变化；稳定流场中，流线和迹线重合；稳定流场中，流线和迹线重合；一般情况下，流线是一条光滑曲线，不能相交和转折，一般情况下，流线是一条光滑曲线，不能相交和转折，因为突然转折会破坏连续性条件。因为突然转折会破坏连续性条件。但驻点除外但驻点除外 物体做成流线形可减小阻力，如汽车，飞机等。物体做成流线形可减小阻力，如汽车，飞机等。163 流线的微分方程流线的微分方程 ux uz uy流体内某一点的速度为流体内某一点的速度为 ，将其分解得到三个方向，将其分解得到三个方向上的速度为：上的速度为：ux，uy，uz。与与x轴轴y轴和轴和z轴的夹角轴的夹角分别为分别为、和和，则，则，17在同一点处取微元段在同一点处取微元段ds，在三，在三个坐标轴上的分量分别为个坐标轴上的分量分别为dx，dy，dz。因速度方向与切线方。因速度方向与切线方向重合，故向重合，故ds与与dx，dy，dz（x，y，z轴）的夹角也分别为轴）的夹角也分别为、和和。则。则 所以，所以，流线微分方程流线微分方程 ux uz uy18例例 有一流场内的速度分布为，的单位是有一流场内的速度分布为，的单位是m/s，y的单位是的单位是m，t的单位是的单位是s。（。（1）问该流场是几）问该流场是几维流场？（维流场？（2）该流场是稳定流场还是非稳定流）该流场是稳定流场还是非稳定流场？（场？（3）求当）求当t3s时，点（时，点（1，2，0）处的速）处的速度分量度分量ux，uy，uz。（。（4）求当）求当t3s时，点（时，点（1，2，0）处流线的斜率。）处流线的斜率。解：解：（1）该流场是一维流场。因为速度分布仅）该流场是一维流场。因为速度分布仅是是y的函数。的函数。(判断维数的依据是坐标的个数，不判断维数的依据是坐标的个数，不是流动要素的个数。流动要素很多，如是流动要素的个数。流动要素很多，如ux，uy，uz，p，T，v等等)（2）该流场是非稳定流场。因速度是时间的函）该流场是非稳定流场。因速度是时间的函数。数。19（3）因为）因为t3s时，点（时，点（1，2，0）处）处 ux=5210m/s，uy=236m/s，uz=0（4）据流线的定义，在某时刻，流线上各质点的速度）据流线的定义，在某时刻，流线上各质点的速度方向与曲线上该点的切线方向相重合，因此，由流线方向与曲线上该点的切线方向相重合，因此，由流线微分方程，微分方程，t3s时，点（时，点（1，2，0）处流线的斜率为）处流线的斜率为 204 流管、流束、流量流管、流束、流量 流管：流管：任取一不是流线的封闭曲线，通过曲线上任取一不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，所构成的管状表面。各点作流线，所构成的管状表面。流管具有流线的一切特点，即流管上各点的流速流管具有流线的一切特点，即流管上各点的流速方向与流管表面相切；流体质点不能穿过流管表方向与流管表面相切；流体质点不能穿过流管表面。面。流束：流束：流管内部流动的流体。流管内部流动的流体。有效截面有效截面（过流断面）：在流束（过流断面）：在流束中与各流线相垂直的横截面。中与各流线相垂直的横截面。BBCC过流断面面积为过流断面面积为 A。流线为平行直线时，过流断面为平面，否则为曲面流线为平行直线时，过流断面为平面，否则为曲面 21微元流束、微元流管：微元流束、微元流管：过流断面面积为无限小的过流断面面积为无限小的流束或流管。流束或流管。特点：微元流束的有效断面上各点的流速可认为特点：微元流束的有效断面上各点的流速可认为相等。相等。总流：总流：固体边界内所有微元流束的总和。固体边界内所有微元流束的总和。4 平均流速和水利要素平均流速和水利要素 湿周：湿周：在总流有效断面上流体与固体边界接触部在总流有效断面上流体与固体边界接触部分的周长。分的周长。符号：符号：水力半径：水力半径：有效断面面积有效断面面积A与湿周与湿周 之比之比 当量直径：当量直径：四倍的水力半径。四倍的水力半径。22流量：流量：单位时间内通过有效断面的流体的数量。单位时间内通过有效断面的流体的数量。常用体积流量和质量流量。常用体积流量和质量流量。平均流速：平均流速：流过过流断面的体积流量除以面积。流过过流断面的体积流量除以面积。23 2）缓变流与急变流）缓变流与急变流缓变流：流速的曲率和流线间的夹角都很小的流缓变流：流速的曲率和流线间的夹角都很小的流动，即流线近似是平行线。动，即流线近似是平行线。急变流：流线具有较大的曲率，流线间夹角较大。急变流：流线具有较大的曲率，流线间夹角较大。4 定常流动的类型定常流动的类型1）均匀流与非均匀流）均匀流与非均匀流均匀流：流速的大小和方向沿流线不变的定常流均匀流：流速的大小和方向沿流线不变的定常流动。流线为相互平行的直线动。流线为相互平行的直线非均匀流：流速方向随空间位置变化的定常流动。非均匀流：流速方向随空间位置变化的定常流动。流线不相互平行流线不相互平行24第四节第四节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 一一 运动的分解运动的分解理论力学中，刚体的运动可分理论力学中，刚体的运动可分解为随极点和绕极点的转动两解为随极点和绕极点的转动两种。任意点种。任意点M的速度由随极点的速度由随极点A的移动速度和对极点的移动速度和对极点A的瞬时轴的瞬时轴的转动速度，即的转动速度，即 流体除了移动和转动外，还伴随变形运动。因流体除了移动和转动外，还伴随变形运动。因此，流体微团运动可分解为移动、转动和变形此，流体微团运动可分解为移动、转动和变形转转 形形转转 25二二 柯西柯西亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理补充：二元函数的泰勒级数展开补充：二元函数的泰勒级数展开定理：在一般情况下，任一流体微团的运动可分定理：在一般情况下，任一流体微团的运动可分解为三个运动：随同任意极点的平移，对于通过解为三个运动：随同任意极点的平移，对于通过这个极点的瞬时轴的旋转运动和变形运动。这个极点的瞬时轴的旋转运动和变形运动。26ABDMyxzC在在 t 时刻，取边长为时刻，取边长为 x,y,z 的的六面体。点六面体。点A（x,y,z）速度为）速度为 点点M（xx,yy,zz）的速度为）的速度为 27用泰勒级数展开，并略去二阶无穷小得用泰勒级数展开，并略去二阶无穷小得 若写成矢量形式，展开式中共有若写成矢量形式，展开式中共有9项一阶偏导数项，其项一阶偏导数项，其中对角线上的三项称为同名偏导数中对角线上的三项称为同名偏导数 分析不同类偏导数表示的物理意义，分以下几种情况：分析不同类偏导数表示的物理意义，分以下几种情况：，28yxxyABCD1 平移运动速度平移运动速度 当所有偏导数均为当所有偏导数均为0，四个角点速度相等，做平，四个角点速度相等，做平移运动移运动平移运动速度。平移运动速度。292 线变形速率线变形速率 yxxyABCD同名偏导数不为同名偏导数不为0，异名偏导数为异名偏导数为0 时间内，时间内，AB,AD的线变形为的线变形为 线变形速率：线变形速率：单位时间内微元线段的相对伸长量。单位时间内微元线段的相对伸长量。同名偏导数给出流体微团的线变形速率同名偏导数给出流体微团的线变形速率 30体积变形速率体积变形速率 流体微团体积流体微团体积 经时间后体积变形率（单位时间内体积的相经时间后体积变形率（单位时间内体积的相对变化率）为对变化率）为 可用于判断是否可压可用于判断是否可压 为不可压缩流动为不可压缩流动313 角变形速率角变形速率 同名偏导数为同名偏导数为0，异名偏导数不为异名偏导数不为0 假设无平移，假设无平移，AB,AD边做如图所示运动。边做如图所示运动。DAB减小减小则在则在 dt 时间内时间内DAB的减小量为：的减小量为：ABCDCDBd1 d2 32牛顿内摩擦定律：牛顿内摩擦定律：角变形速率：角变形速率：微元面上两垂直线段的夹角在单位时间微元面上两垂直线段的夹角在单位时间减小量的减小量的一半一半。同理，同理，334 转动角速度转动角速度 一般一般对角线对角线AC转动至转动至AC ABCDCDBd1 d2 d 转动的角度为转动的角度为旋转角速度：旋转角速度：单位时间内微元面对角线转动的角度。单位时间内微元面对角线转动的角度。34同理，同理，流体旋转角速度矢量为流体旋转角速度矢量为涡量涡量355 亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理同理，同理，结论：流体微团运动由三部分组成：平移运动、变形运结论：流体微团运动由三部分组成：平移运动、变形运动、旋转运动。动、旋转运动。36第五节第五节 有旋运动的一般性质有旋运动的一般性质 判断流体微团是否旋转的判据：判断流体微团是否旋转的判据：或或时称为无旋流动，否则称为有旋流动。时称为无旋流动，否则称为有旋流动。37一一 涡量场涡量场 在有旋流动的流场中，全部或局部地区的流体微团绕在有旋流动的流场中，全部或局部地区的流体微团绕自身轴旋转，于是形成一个用涡量或速度表示的涡量自身轴旋转，于是形成一个用涡量或速度表示的涡量场，或旋涡场。场，或旋涡场。是一个向量场。是一个向量场。二二 涡线、涡管、涡束和涡通量涡线、涡管、涡束和涡通量 类比：类比：流场流场流线、流管、流束、流量等；流线、流管、流束、流量等；涡量场涡量场涡线、涡管、涡束、涡通量等。涡线、涡管、涡束、涡通量等。381 涡线涡线定义：定义：曲线任一点的方向与该点的涡量方向一致。曲线任一点的方向与该点的涡量方向一致。流线微分方程：流线微分方程：涡线微分方程：涡线微分方程：392 涡管涡管定义：定义：在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过该封闭曲线上每一点作涡线，的封闭曲线，通过该封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线构成一管状表面，称为涡管。这些涡线构成一管状表面，称为涡管。涡束：涡束：涡管中充满着作旋转运动的流体，即涡管涡管中充满着作旋转运动的流体，即涡管中所有涡线构成的涡线簇，称涡束。中所有涡线构成的涡线簇，称涡束。涡管截面：涡管截面：垂直于涡管中所有涡线的截面。垂直于涡管中所有涡线的截面。特点：特点：涡线不能相交；涡线不能相交；不能穿过涡管；不能穿过涡管；定常流场中，涡管形状和位置不变。定常流场中，涡管形状和位置不变。403 涡通量涡通量定义：定义：通过某一开口曲面的涡量总和成涡通量，通过某一开口曲面的涡量总和成涡通量，或涡管强度。或涡管强度。I 对于涡旋截面，对于涡旋截面，整个涡管，整个涡管，4 速度环量速度环量 在流场中，任取一封闭曲线在流场中，任取一封闭曲线S，速度，速度 沿此曲沿此曲线的积分称为曲线线的积分称为曲线S上的速度环量，记为上的速度环量，记为，即，即41有旋运动的性质：有旋运动的性质：同一瞬时通过同一涡管各涡旋截同一瞬时通过同一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等。面的旋涡强度都相等。推论：推论：（1）对于同一涡管，涡旋截面越小，涡量越大；对于同一涡管，涡旋截面越小，涡量越大；（2）涡管不能在流体内部以尖端形式产生或终）涡管不能在流体内部以尖端形式产生或终止，而只能自行封闭成涡环。这是因为涡旋截面趋止，而只能自行封闭成涡环。这是因为涡旋截面趋近于近于0的地方，流体角速度趋于无穷大，这不可能。的地方，流体角速度趋于无穷大，这不可能。如：如：抽烟时，烟圈是封闭的涡环；龙卷风开始抽烟时，烟圈是封闭的涡环；龙卷风开始于底面，终止于云层。于底面，终止于云层。42例例 判断下列两种流动是否有旋。（判断下列两种流动是否有旋。（1）；（；（2），。Uhyx43解：解：第一种流动的流场在直线坐标系中的表达式为第一种流动的流场在直线坐标系中的表达式为 由此可见，由此可见，流动无旋。，流动无旋。第二种流动有：第二种流动有：故有旋。故有旋。44三三 平面流与流函数平面流与流函数 平面流动：平面流动：流场中流体的流动参量只是两个坐标的流场中流体的流动参量只是两个坐标的函数，也就是二维流动。函数，也就是二维流动。流函数引入：流函数引入：用函数表示流线族。用函数表示流线族。对于不可压缩流体，体积变形率为对于不可压缩流体，体积变形率为0，即，即 对于二维流动：对于二维流动：左边为某一函数左边为某一函数的全微分，即的全微分，即 45函数函数称为流函数：称为流函数：,代入体积变形率得：代入体积变形率得：即流函数恒满足速度场散度为即流函数恒满足速度场散度为0的条件。的条件。流函数存在的条件：只要是不可压缩流体的平面流函数存在的条件：只要是不可压缩流体的平面流动（不管是粘性流体还是理想流体、有旋流动流动（不管是粘性流体还是理想流体、有旋流动还是无旋流动）。还是无旋流动）。46流函数的性质流函数的性质（1）流函数）流函数 方程为流线方程方程为流线方程;（2）通过两条流线间各截面上的流体的体积流量相等；）通过两条流线间各截面上的流体的体积流量相等；（3）不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯）不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，即方程，即 证明：证明：因为对于二维无旋流动，因为对于二维无旋流动，即即 而而，代入上式即可得到结论。代入上式即可得到结论。（4）在不可压缩流体平面无旋流动流场中，流线与）在不可压缩流体平面无旋流动流场中，流线与等势线处处正交。等势线处处正交。47例例 已知不可压缩流体平面流动的流速为已知不可压缩流体平面流动的流速为(1)是否有旋；是否有旋；(2)求驻点的位置；求驻点的位置；(3)求流函数。求流函数。解：解：（1）故流动是有旋的。故流动是有旋的。（2）驻点的条件是，）驻点的条件是，48解方程组得，解方程组得，故有三个驻点，它们的位置分别是（故有三个驻点，它们的位置分别是（0,0）,(-2,0),(-1,-1/4)(3)又又 令令 有有 49第六节第六节 无旋运动的一般性质无旋运动的一般性质 是是某某一一函函数数的的全全微微分分的充要条件：的充要条件：无旋流动满足：无旋流动满足：，即，即50上式是使上式是使成为函数成为函数的全微分的充要条件的全微分的充要条件 所以，所以，这表明，无旋流动的速度场是数量场这表明，无旋流动的速度场是数量场的梯度的梯度，称为，称为速度势函数速度势函数。存在速度势函数的流动，称为存在速度势函数的流动，称为有势流动。有势流动。无旋流动速度场必有速度势，故无旋流动也称有势流无旋流动速度场必有速度势，故无旋流动也称有势流动动 两者等价两者等价/fai/51势函数的性质：势函数的性质：（1）速度势函数）速度势函数 为等势线方程，为等势线方程，是等势面方程；是等势面方程；（2）速度势函数的梯度就是流场中流体的速度）速度势函数的梯度就是流场中流体的速度（3）不可压缩流体的有势流动，其速度势函数满）不可压缩流体的有势流动，其速度势函数满足拉普拉斯方程。足拉普拉斯方程。利用利用，代入势函数即可，代入势函数即可 52（4）在不可压缩流体平面流动中，等势线与流线）在不可压缩流体平面流动中，等势线与流线处处正交。处处正交。证明证明（思路：正交的条件为斜率互为负倒数思路：正交的条件为斜率互为负倒数）对流线上任一点，由流线微分方程对流线上任一点，由流线微分方程 流线在该点的斜率流线在该点的斜率 由等势线微分方程由等势线微分方程 等势线在该点的斜率为：等势线在该点的斜率为：由此可见，流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数，由此可见，流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数，故正交。故正交。53二二 流网流网等势线与流线簇构成的正交网格称为等势线与流线簇构成的正交网格称为流网流网。流网的特点：流网的特点：（1）流网要求流函数与势函数都存在。流函数要求）流网要求流函数与势函数都存在。流函数要求是二维、不可压缩流动；势函数要求无旋，而无旋通是二维、不可压缩流动；势函数要求无旋，而无旋通常又是理想流体的要求，所以，流网只适用于二维不常又是理想流体的要求，所以，流网只适用于二维不可压缩理想流体的流动。可压缩理想流体的流动。（2）流线愈密，速度越大。）流线愈密，速度越大。54三三 平面流中流函数与势函数的关系平面流中流函数与势函数的关系流函数的引入流函数的引入不可压缩不可压缩 势函数的引入势函数的引入无旋流动无旋流动 据势函数和流函数的定义：据势函数和流函数的定义：经推导可得：经推导可得：满足上述关系的两个调和函数称为共轭满足上述关系的两个调和函数称为共轭(即正交垂直即正交垂直)调和调和函数，其特点是已知其中一个函数可求得另一个函数。函数，其特点是已知其中一个函数可求得另一个函数。满足拉普拉斯方程的函数称为满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数调和函数。55四四 几种基本的平面有势流动（无旋）几种基本的平面有势流动（无旋）1 均匀直线流均匀直线流 速度场可表示为：速度场可表示为：其势函数和流函数为：其势函数和流函数为：2 点源与点汇点源与点汇 设无限平板内有一点设无限平板内有一点O，流体不断从，流体不断从O点流出后，沿点流出后，沿径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动，这种流动径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动，这种流动称为称为源流源流，或，或点源点源，O点称源点。点称源点。若流体不断地沿径向均匀的从各个方向流入若流体不断地沿径向均匀的从各个方向流入O点，成点，成汇流汇流或或点汇点汇。O点称汇点。点称汇点。56取极坐标，对于不可压缩流体的稳定流动，流体每秒钟取极坐标，对于不可压缩流体的稳定流动，流体每秒钟通过任一半径为通过任一半径为 r 的单位长度圆柱面上的体积流量为的单位长度圆柱面上的体积流量为Q（源流强度）都应该相等，即（源流强度）都应该相等，即 (1)对于点源，对于点源，Q0，因而，因而(2)对于点汇，对于点汇，Q0，因而，因而 57五五 势流叠加势流叠加 对于平面无旋流动，势函数方程对于平面无旋流动，势函数方程 流函数方程流函数方程 以上方程是线性偏微分方程，其特点是解的可叠加性。以上方程是线性偏微分方程，其特点是解的可叠加性。这样，对于一个复杂的流动过程，可以把它分解为若干这样，对于一个复杂的流动过程，可以把它分解为若干个简单流动过程的叠加，这些简单的流动过程的解是已个简单流动过程的叠加，这些简单的流动过程的解是已知的。它们的解的叠加就是复杂流动过程的解。知的。它们的解的叠加就是复杂流动过程的解。581 等强度源和汇的叠加等强度源和汇的叠加 等强等强Q、-Q放在放在A(-a,0)，B(a,0)，叠加后得，叠加后得 A(-a,0)xyP(x,y)B(a,0)592 直线等速流与点源的叠加直线等速流与点源的叠加二维钝头流线型二维钝头流线型半无穷体的扰流。半无穷体的扰流。3 匀速直线流中的等强源汇流匀速直线流中的等强源汇流二维圆柱绕流。二维圆柱绕流。60 Thank you拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗 拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗
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