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6.3 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计定义定义6.2 设总体设总体X的分布中含有未知参数的分布中含有未知参数 ，是来自是来自X的一个样本，的一个样本，若对给定的若对给定的 ，存在统计量，存在统计量使得使得则称则称随机区间随机区间 是是 的置信度为的置信度为 的的置信区间置信区间，称为称为置信下限置信下限，称为称为置信上限置信上限，称为称为置信度置信度或或置信系数置信系数。固定，在固定，在100次抽样中得到次抽样中得到100个区间个区间约有约有95个包含了个包含了 。但但 对应的一个确定区间对应的一个确定区间 如（如（1000，1500），），不能理解为有不能理解为有95的把握包含的把握包含 ，可理解为该区间是以置信度为可理解为该区间是以置信度为95求出来的。求出来的。注：注：2.对给定的置信度对给定的置信度 ，希望找出，希望找出“较短较短”置信区间。置信区间。步骤：步骤：(1)找一个样本函数找一个样本函数 ，满足：，满足：含待估参数含待估参数 及有关的良好统计量及有关的良好统计量(如如:无偏估计量无偏估计量)；（2）对）对 ,查查 w分位点分位点a,b使使解出解出 得得 分布已知。分布已知。（3）对给定的）对给定的求出求出常用的样本函数在第五章给出：常用的样本函数在第五章给出：得置信区间得置信区间一、一个正态总体参数的区间估计一、一个正态总体参数的区间估计由定理由定理5.4(P.127)知，知，1.的区间估计的区间估计对对 查表可得查表可得 ，使得，使得即即故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为双侧分位点双侧分位点例例1（P.146）某厂铁水含炭量正常情况下）某厂铁水含炭量正常情况下X 现测得五炉铁水的含炭量为：现测得五炉铁水的含炭量为：4.28 4.40 4.42 4.35 4.37求求 置信度为置信度为95的置信区间。的置信区间。（1）若已知）若已知 0.108解解 因已知因已知 所以取所以取随机变量随机变量对对 ，查表得，查表得 使使 从而得从而得 的置信区间的置信区间由样本值得由样本值得代入上式得代入上式得 的置信度为的置信度为95的置信区间为：的置信区间为：（）续续若要求区间长度若要求区间长度 0.1，问，问 至少取多少？至少取多少？解解 几个常用分位点几个常用分位点1.的区间估计的区间估计即即故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为对对 查表可得查表可得 ，使得使得由定理由定理5.4(P.126)知，知，P.146例例(P.146-7)某厂铁水含炭量在正常情况下某厂铁水含炭量在正常情况下X 现测得五炉铁水的含炭量为：现测得五炉铁水的含炭量为：4.28 4.40 4.42 4.35 4.37求求 置信度为置信度为95的置信区间。的置信区间。（2）若）若 未知未知解解 因因所以取所以取随机变量随机变量对对 ，查表得，查表得 使使 从而得从而得 的置信区间的置信区间由样本值得由样本值得代入上式得代入上式得 的置信度为的置信度为95的置信区间为：的置信区间为：2.的区间估计的区间估计由定理由定理5.6(P.128)知，知，对于对于 ，由，由即即故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为当当 已知时，可利用定理已知时，可利用定理5.7(P.128)求得置信区间求得置信区间例例2(P.148)从某厂生产的钢珠中随机抽取从某厂生产的钢珠中随机抽取9个，测得个，测得它们的直径（单位：毫米）为：它们的直径（单位：毫米）为：15.2 15.0 14.8 15.1 14.8 15.1 14.7 14.9 15.0假设钢珠的直径服从正态分布假设钢珠的直径服从正态分布 ，求求 的置信度为的置信度为90的置信区间。的置信区间。解解 因为因为 未知，未知，所以取随机变量所以取随机变量对对 使得使得即即从而得置信区间从而得置信区间由样本值计算得由样本值计算得代入上式得代入上式得 的置信度为的置信度为90 的置信区间为的置信区间为二、两个正态总体二、两个正态总体均值差均值差与与方差比方差比的置信区间的置信区间对比两个玉米品种的产量，两个班的学习成绩，通对比两个玉米品种的产量，两个班的学习成绩，通常是比较平均值的差异，方差的差异，即求：常是比较平均值的差异，方差的差异，即求：设两个总体设两个总体样本样本 来自来自X,来自来自Y,两个样本相互独立，两个样本相互独立，样本均值与样本方差分别为样本均值与样本方差分别为1.总体均值差的区间估计总体均值差的区间估计由定理由定理5.9(P.130)知，知，对给定的对给定的 ，查得分位点，使得，查得分位点，使得由此可得由此可得 置信度为置信度为 的置信区间为的置信区间为例例3（P.149)某厂生产的甲、乙两种香烟，独立地抽某厂生产的甲、乙两种香烟，独立地抽取重量相同的两个样本，测得尼古丁含量（单位取重量相同的两个样本，测得尼古丁含量（单位:mg):甲甲 24 25 23 30 28乙乙 30 24 27 31 27设甲、乙两种尼古丁含量分别为设甲、乙两种尼古丁含量分别为X与与Y,且且求求 的置信度为的置信度为95的置信区间。的置信区间。解解 因为因为所以取随机变量所以取随机变量由此可得由此可得置信区间置信区间由样本值得：由样本值得：代入上式得代入上式得 的置信度为的置信度为95的置信区间为：的置信区间为：2.总体方差比的区间估计总体方差比的区间估计由定理由定理5.8(P.129)知，知，对于对于 ，使得使得即即从而得从而得故故 的置信区间为的置信区间为当当 已知时的置信区间见已知时的置信区间见P159表表6.1。例例4(P.151)设有两个正态总体设有两个正态总体 今分别从今分别从X与与Y中抽取容量中抽取容量 的两个独立样本，的两个独立样本，其样本方差分别为其样本方差分别为求求 的置信度为的置信度为90的置信区间。的置信区间。解解 因为因为 未知，未知，所以取随机变量所以取随机变量使得使得即即从而得置信区间从而得置信区间将将代入上式代入上式,得得 置信度为置信度为90的置信区间为的置信区间为:(0.016,0.534).6.4 大样本下非正态总体参数的区间估计大样本下非正态总体参数的区间估计对于非正态总体对于非正态总体 X,设设求求 的置信区间。的置信区间。设设 是来自是来自X的一个样本，的一个样本，由定理由定理5.5(P.127)知，当知，当 充分大时，充分大时，于是可得于是可得 的置信度为的置信度为 的的近似置信区间近似置信区间当当 未知时，可用样本标准差未知时，可用样本标准差 S 代替代替 。例例1（P.152）对某商场每天的顾客人数作了）对某商场每天的顾客人数作了60天的记天的记录，其平均人数为录，其平均人数为800人，标准差为人，标准差为60人。求每天顾人。求每天顾客平均人数的置信区间（置信度客平均人数的置信区间（置信度95）。）。解解 设设X 为每天商场的顾客人数，为每天商场的顾客人数，因样本容量因样本容量 ，可认为是大样本，可认为是大样本，故有故有对对 ，查正态分布表得，查正态分布表得使得使得故得故得 的置信度为的置信度为95的近似置信区间的近似置信区间（785，815）01分布中参数分布中参数 p 的区间估计的区间估计总体总体X 的概率分布为的概率分布为其中其中p 是未知参数，求是未知参数，求 p 的置信区间。的置信区间。所以当所以当 充分大时有充分大时有对给定的对给定的 ，有，有 若二次方程若二次方程有两个互异实根有两个互异实根 和和则可得则可得其中其中故故 p 的置信度为的置信度为 近似置信区间为：近似置信区间为：例例 P.153单侧置信限单侧置信限 (B.9)定义定义 设总体设总体X的分布中含有未知参数的分布中含有未知参数 ，是来自是来自X的一个样本，的一个样本，对给定的对给定的 ，若存在统计量，若存在统计量使得使得 称称 为为 置信度为置信度为 的的置信下限置信下限；若存在统计量若存在统计量使得使得 称称 为为 置信度为置信度为 的的置信上限置信上限。将求双侧置信限的方法平移过来即可。将求双侧置信限的方法平移过来即可。例例1（P.146）某厂铁水含炭量在正常情况下）某厂铁水含炭量在正常情况下X 现测得五炉铁水的含炭量为：现测得五炉铁水的含炭量为：4.28 4.40 4.42 4.35 4.37求求 置信度为置信度为95的置信上限（的置信上限（未知）。未知）。解解 因为因为 未知，未知，所以取随机变量所以取随机变量（P.259表四中的表四中的 ）使得使得从而得从而得 的置信度为的置信度为95置信上限为置信上限为对应的区间为：对应的区间为：
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