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第十二章第十二章 平稳过程平稳过程平稳过程是一类特殊的随机过程平稳过程是一类特殊的随机过程,它的应用极为广泛它的应用极为广泛.第一节第一节 严平稳过程严平稳过程一定义定义1 随机过程随机过程 ，如果对任意，如果对任意 维维 分布函数分布函数,:则称则称 为为严平稳过程严平稳过程,或称狭义平稳过程或称狭义平稳过程.1严平稳过程的含义是严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布过程的任何有限维概率分布 与参数的原点选取无关与参数的原点选取无关,二二.严平稳过程的一维严平稳过程的一维,二维分布函数的性质二维分布函数的性质特殊地特殊地,取取 一维分布函数一维分布函数二维分布函数二维分布函数2上式表明上式表明:严平稳过程的一维分布函数严平稳过程的一维分布函数 不依赖不依赖 于参数于参数 ,二维分布函数二维分布函数 仅依赖于参数间距仅依赖于参数间距 而与而与 本身无关本身无关.三三.(1)离散状态随机过程离散状态随机过程 ,严平稳性条件严平稳性条件3(2)连续状态随机过程连续状态随机过程 ,严平稳性条件严平稳性条件一维概率密度函数一维概率密度函数 二维概率密度函数二维概率密度函数4四四.严平稳过程的数字特征的性质严平稳过程的数字特征的性质设设 为连续状态严平稳过程为连续状态严平稳过程(常数常数);(常数常数);(常数常数);5(仅依赖于仅依赖于 ,而不依赖于而不依赖于 );于是得到于是得到6 定理一定理一 设设 是严平稳过程是严平稳过程,如果过程的二如果过程的二 阶矩存在阶矩存在,那么那么(1)均为常数均为常数,与参数与参数 无关无关;(2)仅依赖于参数间距仅依赖于参数间距 ,而不依赖于而不依赖于 .7数字特征的这一性质也称为数字特征的这一性质也称为平稳性平稳性.定理一的逆定理是不成立的定理一的逆定理是不成立的.例例1(Bernoulli序列序列)独立重复地进行某项试验独立重复地进行某项试验,每次每次 试验成功的概率为试验成功的概率为 ,失败的概率为失败的概率为 .表示第表示第 次试验成功的次数次试验成功的次数,是严平稳过程是严平稳过程.试验证试验证8(即，分布函数不变)例例2 设设 是相互独立的标准正态随机变量是相互独立的标准正态随机变量,试验证随机过程试验证随机过程 不是严平稳过程不是严平稳过程,的数字特征也不具有平稳性的数字特征也不具有平稳性.9第二节第二节 广义平稳过程广义平稳过程(一)广义平稳过程的定义广义平稳过程的定义定义2 设随机过程设随机过程 ,对于任意对于任意 ,满足满足:(1)存在且有限存在且有限;(2)是常数是常数;(3)仅依赖于仅依赖于 ,而与而与 无关无关,则称则称 为广义平稳过程为广义平稳过程,或称或称宽平稳过程宽平稳过程,简称简称平稳过程平稳过程.10参数集参数集 为整数集或可列集的平稳过程为整数集或可列集的平稳过程又称为又称为平稳序列平稳序列,或称或称平稳时间序列平稳时间序列.(二二)广义平稳过程的数字特征的性质广义平稳过程的数字特征的性质设设 是平稳过程是平稳过程,则则(1)仅依赖于仅依赖于 ,而与而与 无关无关;(2)是常数是常数;(3)是常数是常数;11(5)(仅依赖于仅依赖于 ,而与而与 无关无关)。是常数是常数;(4)问题问题:12三三.平稳过程的例子平稳过程的例子随机相位正弦随机相位正弦 波波式中式中 和和 是常数是常数,是是 上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量.验证验证 是平稳过程是平稳过程.例例113例例2 随机振幅正弦波随机振幅正弦波,其中其中 和和 都是随机变量都是随机变量,且且 验证验证 是平稳过程是平稳过程.14例例4 通讯系统中的加密序列通讯系统中的加密序列设设 是相互独立的随机是相互独立的随机 变量序列变量序列.同分布同分布,同分布同分布,设设 则加密序列则加密序列 是平稳序列是平稳序列.1516 例例5 随机电报信号随机电报信号 电报信号用电流电报信号用电流 或或 给出给出,任意时刻任意时刻 的电报的电报 信号信号 为为 或或 的概率各为的概率各为 .又以又以 表示表示 内信号变化的次数内信号变化的次数,已知已知 是一泊松是一泊松 过程过程,则则 是一个平稳过程是一个平稳过程.泊松过程的定义泊松过程的定义17181920解解21解解22四四.严平稳过程与广义平稳过程的关系严平稳过程与广义平稳过程的关系推论推论 存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.1.广义平稳过程广义平稳过程,不一定是严平稳过程不一定是严平稳过程.2.严平稳过程严平稳过程,(如果二阶矩不存在如果二阶矩不存在),不一定不一定是广义平稳过程是广义平稳过程23五五.两个平稳过程的关系两个平稳过程的关系下文中广义平稳过程简称平稳过程下文中广义平稳过程简称平稳过程.定义定义3 设设 和和 是两个平稳过程是两个平稳过程,如果互相关如果互相关函数函数 仅是仅是参数间距参数间距 的函数的函数,则称则称 与与 平稳相关平稳相关,或称其为或称其为 联合平稳联合平稳的的.此时此时24定义定义4 称为称为标准互协方差函数标准互协方差函数.特别当特别当 时时,称两个平稳过程称两个平稳过程互不相关互不相关.(均为均为 常数常数).25第三节第三节 正态平稳过程正态平稳过程一一.正态过程正态过程 正态随机变量复习正态随机变量复习：一维正态随机变量一维正态随机变量 ,概率密度概率密度二维正态随机变量二维正态随机变量维正态分布维正态分布概率密度概率密度其中其中协方差矩阵协方差矩阵 定义定义5 如果随机过程如果随机过程 ,对任意正整数对任意正整数 ,服从正态分布服从正态分布则称则称 为为正态过程正态过程,又称高斯又称高斯(Gauss)过程过程.独立正态过程独立正态过程:如果如果 是正态过程是正态过程,独立正态过程独立正态过程.同时又是独立过程同时又是独立过程,则称则称为为正态序列正态序列:正态过程正态过程 ,如果如果 是可列集是可列集,记记 那么那么,是正态序列是正态序列.二二.正态平稳过程正态平稳过程设设 是正态过程是正态过程,服从正态分布服从正态分布,则则 必存在必存在,即二阶矩存在即二阶矩存在.定义定义 如果正态过程如果正态过程 又是又是(广义广义)平稳过程平稳过程,则则 称称 为正态平稳过程为正态平稳过程.定理二定理二：设设 是正态过程是正态过程.则则 为严平稳过程为严平稳过程 为广义平稳过程为广义平稳过程.例例1 设正态过程设正态过程 的均值函数的均值函数 自相关函数自相关函数 试写出过程的一维、二维概率密度函数试写出过程的一维、二维概率密度函数.解解例例2 设设 是正态平稳过程是正态平稳过程,且且 令令 证明证明 是平稳过程是平稳过程.p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
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