江苏大学理论力学复习课件

理论力学复习理论力学复习平面刚体系统的平衡问题平面刚体系统的平衡问题基本要求基本要求尽量做到一个方程只含有一个未知量；基本思路基本思路先整体，后局部-在物系中找出约束力可直接求解的“构件”。2-5 2-5 物体系的平衡物体系的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题充分利用力矩方程的优势充分利用力矩方程的优势（1）矩心的选取；（2）当约束处于同一水平面时，应首先考虑力矩方程；FAxFAyFDxFDyFABCD（3）当约束处于同一竖直面时，也应首先考虑力矩方程。四四.常见几种载荷及其合力的计算常见几种载荷及其合力的计算结论：1、合力的大小等于荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图形的形心（重心）。1 1、均布荷载、均布荷载2 2、三角形荷载、三角形荷载l/2l/2qQQqFAyFAxFFBFEyFExFD 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接。它的支承和受力如图3-13a 所示。已知q=10 kN/m，M=40 kN m，不计梁的自重。求支座A，B，D 的约束力和铰链C 受力。例例2-172-17FAxFAyFBFD1.力对轴的矩2.力对点之的矩3.力对点的矩与力对轴的矩的关系空间问题1.1.力对轴的矩力对轴的矩通过投影对点的矩来定义的xyzOFhBAabFxy对称性循环性2.2.力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩与力对轴的矩的关系xy重心（形心）的计算 求图示均质板重心的位置。解一：（分割法）建立如图坐标：解二：（负面积法）x y a a a a C1 C2 O x a a a a C2 C1 O y含摩擦时物体的平衡问题 分析思路与没有摩擦的情况大致相同，但要注意对摩擦力的分析，特别是摩擦力的大小和方向。1.临界平衡状态分析临界平衡状态分析（a）应用 Fmax=fsFN 作为补充方程,（b）Fmax的方向不能任意假定，必须是真实的方向（此时，Fmax和FN相互关联）。2.非临界平衡状态分析非临界平衡状态分析（a）应用 0 FsFmax，则物体无法平衡，应利用动摩擦力公式计算物体受到的摩擦力；FN1Fs1FN2P2点的合成运动7.1 相对运动牵连运动绝对运动在分析合成运动时，必须选定两个参考系，即定系和动系，同时还要区分三种运动，即绝对运动、相对运动和牵连运动：1.绝对运动-动点相对于定系的运动；2.相对运动-动点相对于动系的运动；3.牵连运动-动系相对于定系的运动。说明：说明：1.绝对运动和相对运动指的是点的运动，2.牵连运动指的是刚体的运动例如，直线运动、圆周运动和曲线运动例如，平动、定轴转动等绝对速度相对速度牵连速度绝对速度、加速度、轨迹绝对速度、加速度、轨迹 动点相对于定系的速度、加速度和轨迹，分别称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。相对速度、加速度、轨迹相对速度、加速度、轨迹 动点相对于动系的速度、加速度和轨迹，分别称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹。牵连点：动系上与动点相重合的那一点。注意：它是动注意：它是动系上的一点系上的一点绝对速度相对速度牵连速度牵连速度、加速度牵连速度、加速度动系正是通过牵连点对动点起着“牵连、连带”作用。牵牵连连点点的速速度度和加加速速度度分别称为动点的牵牵连连速度速度(用ve表示)和牵连加速度牵连加速度(用ae表示)(1)选取动点和动系的基本原则 动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。(2)动点选取的基本方法 若系统存在持续接触点持续接触点，那么通常情况下，选取持续接触点为动点。若系统不存在持续接触点，则按原则（1）处理。点的速度合成定理A 点点(AB杆杆)OC杆杆沿沿AB的直线运动的直线运动沿沿OC的直线运动的直线运动绕绕O轴的定轴转动轴的定轴转动动点：动点：动系：动系：绝对运动绝对运动:相对运动相对运动:牵连运动牵连运动:动点：动点：动系：动系：绝对运动绝对运动:相对运动相对运动:牵连运动牵连运动:C 点点(偏心轮偏心轮)顶杆顶杆AB绕绕O点的圆周运动点的圆周运动直线运动直线运动竖直方向的平动竖直方向的平动点的加速度合成定理1.当牵连运动为平移时，2.当牵连运动为转动时，工程中常见的平面机构，w we和vr往往是垂直的，也就是说，动系角速度的作用面和相对速度共面，此时：科氏加速度科氏加速度vrw weaC的大小 -aC=2evraC的方向 -将vr按动系转动的方向旋转 90aC例例2 图图示示曲曲柄柄滑滑道道机机构构，圆圆弧弧轨轨道道的的半半径径ROA10 cm，已已知知曲曲柄柄绕绕轴轴O以以匀匀速速 n120 rpm转转动动，求求当当 j j30时时，滑滑道道BC的的速度和加速度。速度和加速度。njROO1ABCDjve解：动点：解：动点：动系：动系：绝对运动绝对运动:相对运动相对运动:牵连运动牵连运动:A A点（曲柄点（曲柄OAOA）滑道滑道BCBC 匀速圆周运动匀速圆周运动 圆周运动圆周运动 直线平动直线平动大小大小？方向方向 vavr速速度度分分析析:E由三角几何关系易知由三角几何关系易知OO1ABCDjBC的加速度分析：的加速度分析：12030hAartaearnaan将所有加速度矢向h轴投影 artarnaanae大小大小？方向方向 12030hA绝对运动：绝对运动：匀速匀速圆周运动；圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：相对运动：圆周运动；牵连运动：直线直线平动平动例例3 偏偏心心凸凸轮轮的的偏偏心心距距OCe、半半径径为为 ，以以匀匀角角速速度度w w绕绕O轴轴转转动动，杆杆AB能能在在滑滑槽槽中中上上下下平平动动，杆杆的的端端点点A始始终终与与凸凸轮轮接接触触，且且OAB成成一一直直线线。求在求在OC与与CA垂直时从动杆垂直时从动杆AB的速度和加速度。的速度和加速度。ABOCwq解：解：方向方向速速度度分分析析:运运动动分分析析:大小大小vrvave动点：动点：动系：动系：绝对运动绝对运动:相对运动相对运动:牵连运动牵连运动:A点（点（AB杆）杆）定轴转动定轴转动 圆周运动圆周运动直线运动直线运动凸轮凸轮？由三角几何关系可知由三角几何关系可知科氏加速度的科氏加速度的 大小和方向？大小和方向？hABOCwq加速度分析加速度分析arnartaCaaaen将所有加速度矢向将所有加速度矢向轴投影：轴投影：绝对运动绝对运动:直线运动，牵连运动直线运动，牵连运动:定轴转动定轴转动（匀速）（匀速）相对运动相对运动:圆周运动。圆周运动。大小大小方向方向？vr求求AB杆的杆的加速度加速度 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。结论其中，求平面图形内各点速度的基点法 (1)平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动（只滚不滑），图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。vC求平面图形内各点速度的瞬心法 (2)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。wOvAABvBCwAB (3)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无穷远处。此时，图形上各点速度均相同，称为瞬时平动瞬时平动。wOvAABvB用基点法求平面图形内各点的加速度其中，平面运动加速度合成的基点法：vAvBDvCvA动动 力力 学学动量定理动量定理1.动量定理动量定理2.质心运动定理质心运动定理3.质心运动守恒定理质心运动守恒定理质点系（或刚体）的动量等于质点系（或刚体）的质量与质心速度的乘积。质点系动量的计算质量中心（质心）定义质点系质量中心(质心)C 的矢径质点系动量定理（投影式）该定理一般用来求约束力，并且通常以整体作为研究对象。质点系动量定理（矢量式）2 质心运动定理直角坐标上投影式自然轴上投影式 3 质心运动守恒定理若则质心运动守恒；则质心在x轴方向运动守恒。若ABy动动 力力 学学动量矩定理动量矩定理1.动量矩的计算动量矩的计算2.动量矩定理动量矩定理3.定轴转动的转动微分方程定轴转动的转动微分方程4.平面运动微分方程平面运动微分方程质点系（刚体）动量矩的计算质点系（刚体）动量矩的计算（1 1）刚体平移刚体平移（2 2）刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动（3 3）刚体平面运动）刚体平面运动PACvCmR 平面运动刚体对任一点O的动量矩，等于随质心平移时对O点的动量距加上绕质心转动的动量距。质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于O点矩的矢量和（外力对点O的主距）。在应用时，常取直角坐标投影式：动量矩和力矩的符号可以任意设正，但两者必须要统一，不能混合假定。一般用来求和转动问题转动问题相关的运动，如角加速度、加速度等。FyFxmAgmBgMgvAvB 11-3 11-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程主动力主动力:约束力约束力:即即:或或或或转动微分方程刚体平面运动微分方程的投影式刚体平面运动微分方程的投影式说说 明明（1）C点必须是质心，否则结果一般不成立；（2）通常要配合补充方程联合使用；（3）补充方程：补充方程：一般来自于质心加速度和角加速度之间的关系，常见的有 ac=R 和 act=R 等，以及摩擦力与法向约束力之间的关系。刚体的平面运动微分方程1)重力的功1 常见力的功动能定理M1M2Mmgz1z2Oxyz单个质点质点系2)弹性力的功A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr常见力的功弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量（变形量的平方差）有关，与力的作用点A的轨迹形状无关。3)定轴转动刚体上作用力的功常见力的功FtFrFbFnOzO1Aq力F在刚体从角j1转到j2所作的功为Mz可视为作用在刚体上的力偶距 静摩擦力不作功，滑动摩擦力作负功。当轮子在固定面上纯滚动时，FSF摩擦力作功 摩擦力不作功。FCFSFCFS (1)平动刚体的动能2 质点系动能的计算 (2)定轴转动刚体的动能(3)平面运动刚体的动能(a)对每瞬时来说，刚体的平面运动可以视为绕速度瞬心的定轴转动。其中，p 是刚体的速度瞬心(b)刚体的平面运动由随质心的平移与绕质心的转动两部分组成。Cv vC C牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:均质圆环在地面上作纯滚动时的动能O只要是纯滚动（沿地面，沿绳子等），计算公式不变。2.质点系的动能定理 设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi，速度为vi，则这样的方程共n个，相加得于是质点系在某一运动过程中，起点和终点动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和。一般用来求运动（如速度、角速度、加速度、角加速度等），特别是和路程有关的运动。令3.刚体作平面运动（向质心简化）达朗贝尔原理-惯性力系的简化主矢：主距：2.刚体定轴转动（向轴与质量对称面的交点简化）主矢：主距：1.刚体平动（向质心简化）主矢：主距：解：解：质心的加速度：方向及作用线位置如图所示。actacn所以，主矢的大小：主距的大小：方向如图所示。FtIOFnIOMIOOABaa例例13-2：如图所示均：如图所示均质杆的质量为质杆的质量为m，长，长为为a，绕定轴，绕定轴O转动的转动的角速度为角速度为 ，角加速，角加速度为度为 。求：惯性力系向点简化的结果求：惯性力系向点简化的结果（方向在图上画出）。（方向在图上画出）。DBA 例例3 如如图图所所示示,均均质质杆杆AB的的质质量量m40 kg,长长l4 m,A点点以以铰铰链链连连接接于于小小车车上上。不不计计摩摩擦擦,当当小小车车以以加加速速度度a15 m/s2向向左左运运动动时时,求求D处和铰处和铰A处的约束反力。处的约束反力。解解：以以杆杆为为研研究究对对象象,受受力力如如图图,建立如图坐标。建立如图坐标。杆杆作作平平动动,惯惯性性力力的的大大小小为为FIma。由由质质点点系系的的达达朗朗贝贝尔尔原原理理,主主动动力力、约约束束力以及惯性力构成形式上的平衡力系。力以及惯性力构成形式上的平衡力系。FIlA30DBh1maaFDmgFAxFAy 解之得：解之得：DBAFIaFDmgFAxFAyxyqrC 例例4 重重P、半半径径为为r的的均均质质圆圆轮轮沿沿倾倾角角为为q q 的的斜斜面面向向下下滚滚动动。求轮心求轮心C的加速度。的加速度。解：以解：以圆轮圆轮为研究对象为研究对象,受力如图受力如图,建立如图坐标。建立如图坐标。将将惯惯性性力力系系向向质质心心简简化化,惯惯性性力力和和惯惯性性力力偶偶矩矩的的大大小小为为qCrFSFIMIFNPaaC则则由由质质点点系系的的达达朗朗贝贝尔尔原原理理,主主动动力力、约约束束力力以及虚加的惯性力构成了形式上的平衡力系。以及虚加的惯性力构成了形式上的平衡力系。向向O点取距得：点取距得：将将 FI 和和 MI 代入上式，可得代入上式，可得O所以所以O