椭圆标准方程及几何性质-课件

5.2 椭圆椭圆第一节第一节 椭圆的椭圆的 标准方程标准方程 2008年年9月月25日晚日晚21时时10分分04秒，秒，“神舟神舟 七号七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。了一个新台阶。生活中的椭圆数学实验：数学实验：新课讲解结合实验以及结合实验以及“圆的定义圆的定义”,思考讨论一下应该思考讨论一下应该如何定义椭圆？如何定义椭圆？思考：思考：F1F2MF1F2M平面内到两个定点平面内到两个定点平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和等于常数的距离的和等于常数的距离的和等于常数的距离的和等于常数（大于（大于（大于（大于|F|F1 1F F2 2|）的点的轨迹叫的点的轨迹叫的点的轨迹叫的点的轨迹叫椭圆椭圆椭圆椭圆。这两个定点这两个定点这两个定点这两个定点F F1 1、F F2 2叫做椭圆的叫做椭圆的叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点焦点焦点两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做焦距焦距焦距焦距。1 1、椭圆的定义、椭圆的定义 如果设轨迹上任一点如果设轨迹上任一点M到两定点到两定点F F1 1、F F2 2的距离和为的距离和为常数常数2a，两定点之间的距离为，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：以用集合语言表示为：P=M|MF1|+|MF2|=2a（2a2c）平面内到两个定点平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常的距离的和等于常数数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫的点的轨迹叫椭圆。椭圆。这两个定点这两个定点F1、F2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做焦距。焦距。（1 1）平面曲线）平面曲线（2 2）到两定点）到两定点F F1 1，F F2 2的距离等于定长的距离等于定长2a2a（3 3）定长）定长|F|F1 1F F2 2|(2a2c)|(2a2c)理解：理解：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？椭圆上的点要满足怎样的几何条件？动点动点M M的轨迹：的轨迹：线段线段F F1 1F F2 2.MF1 F2 动点动点M M的轨迹：的轨迹：不存在不存在.时，即a=c时当2121FFMFMF=+时，即ac时当2121FFMFMF0)，M与与F1和和F2的距离的的距离的和等于正和等于正常数常数2a(2a2c)，则，则F1、F2的坐的坐标分别是标分别是(c,0)、(c,0).（想一想：下面怎样（想一想：下面怎样化简化简？）？）由由椭圆的定义椭圆的定义，代入坐标代入坐标OxyMF1F2则方程可化为则方程可化为则方程可化为则方程可化为观察左图，观察左图，观察左图，观察左图，你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示 c c、a a 的线段吗？的线段吗？的线段吗？的线段吗？即即即即a a2 2-c-c2 2 有什么几何意义？有什么几何意义？有什么几何意义？有什么几何意义？（）焦点在焦点在y y轴：轴：焦点在焦点在x x轴：轴：椭圆的标准方程椭圆的标准方程1oFyx2FM1 12 2yoFFMx F1（-c，0）、F2（c，0）F1（0，-c）、F2（0，c）注意理解以下几点：注意理解以下几点：在在椭圆的两种的两种标准方程中，都有准方程中，都有的要求；的要求；在在椭圆的两种的两种标准方程中，由于准方程中，由于 ，所以可以根据分母的大小来判定焦点所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐在哪一个坐标轴上；上；椭圆的三个参数的三个参数之之间的关系是的关系是 ，其中其中大小不确定大小不确定思考：思考：（1）将一个底面）将一个底面圆半径半径为5的的圆柱沿与底面成柱沿与底面成600角作一个截面，截面角作一个截面，截面为椭圆，求其，求其标准方程。准方程。（2）椭圆的中心在点（的中心在点（m,n），），标准方程式什么？准方程式什么？分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。注意：注意：1.下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？哪个坐标轴上？跟踪练习变式一变式一:将将上题上题焦点改为焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？结果如何？变式二变式二变式二变式二:将将上题上题改为改为两个焦点的距离为两个焦点的距离为8 8，椭圆上一点椭圆上一点P P到两到两焦点的距离和等于焦点的距离和等于1010，结果如何？，结果如何？已知两个焦点的坐标分别是已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点，椭圆上一点P到到两焦点距离的和等于两焦点距离的和等于10；2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在当焦点在X X轴时，方程为：轴时，方程为：当焦点在当焦点在Y Y轴时，方程为：轴时，方程为：例例1.椭圆两个焦点的坐标是（椭圆两个焦点的坐标是（0，-2）和（）和（0，2），并且），并且经过点经过点P ，求标准方程。，求标准方程。解解：法法1：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，轴上，设它的标准方程为设它的标准方程为 c=2，且 c2=a2-b2 4=a2-b2 又又椭圆经过点椭圆经过点P 联立联立可求得：可求得：椭圆的椭圆的标准方程为标准方程为 xyF1F2P例题讲解法法2：设它的标准方程为设它的标准方程为 由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为求椭圆标准方程的步骤：（1）先判断焦点的位置，设出标准方程；（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b.（后定量)1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在焦点在x 轴；轴；（2）a=5,c=2,焦点在焦点在y 轴上轴上2椭圆的焦距是的焦距是 ，焦点坐，焦点坐标为 ；的弦，的弦，则的周的周长为 若若CD为过左焦点为过左焦点跟踪练习分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点 图图 形形 焦点坐标焦点坐标探究定义探究定义a、b、c 的关系的关系xyF1 1F2 2MOxyF1 1F2 2MOa2-c2=b2(ab0)P=M|MFP=M|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|=2a（2a2c2a2c）知识总结例例1.求适合下列条件的求适合下列条件的椭圆的的标准方程：准方程：(1)两两个个焦焦点点的的坐坐标分分别为(4,0)和和(4,0)，且且椭圆经过点点(5,0)；(2)焦点在焦点在y轴上，且上，且经过两个点两个点(0,2)和和(1,0)一、求椭圆的标准方程一、求椭圆的标准方程例题讲解解：解：(1)由于椭圆的焦点在由于椭圆的焦点在x轴上，轴上，设它的标准方程为设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)2a(54)2(54)210a5.又又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为x225y291.(2)由于椭圆的焦点在由于椭圆的焦点在y轴上，轴上，设它的标准方程为设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由于椭圆经过点由于椭圆经过点(0,2)和和(1,0)4a20b210a21b21 a24，b21.故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为y24x21.1.根据下列条件，求椭圆的标准方程根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和和B(12，3)；(2)经过点经过点(2，3)且与椭圆且与椭圆9x24y236有有共同的焦点共同的焦点 跟踪练习解：解：(1)设所求椭圆的方程为设所求椭圆的方程为x2my2n1(m0，n0且且mn)椭圆经过两点椭圆经过两点A(0,2)、B(12，3)，0m4n1，14m3n1，解得解得 m1，n4.所求椭圆方程为所求椭圆方程为x2y241.(2)椭圆椭圆9x24y236的焦点为的焦点为(0，5)则可设所求椭圆则可设所求椭圆方程为方程为x2my2m51(m0)又椭圆经过点又椭圆经过点(2，-3)则有则有4m9m51.解得解得m10或或m2(舍去舍去)所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为x210y2151.例例2.已已知知动圆M过定定点点A(3,0)，并并且且内内切切于于定定圆B：(x3)2y264，求求动圆圆心心M的的轨迹方程迹方程二、利用椭圆的定义求轨迹方程二、利用椭圆的定义求轨迹方程例例3.已知圆已知圆B:(x+1)2+y2=16，A(1,0)，C为圆上任意为圆上任意一点，一点，AC中垂线与中垂线与CB交于点交于点P，求点，求点P的轨迹方程。的轨迹方程。解：解：设动圆设动圆M的半径为的半径为r，则，则|MA|r，|MB|8r，|MA|MB|8，且，且8|AB|6，动点动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3,0)，B(3,0)，且，且2a8，a4，c3a2c21697.所求动圆圆心所求动圆圆心M的轨迹方程是的轨迹方程是x216y271.b2例例4.有一颗地球卫星沿地球中心为一个焦点的有一颗地球卫星沿地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行，卫星近地点约椭圆轨道运行，卫星近地点约200公里，远地公里，远地点约点约500公里，地球半径公里，地球半径R约约6400公里，求运行公里，求运行轨道方程。轨道方程。xoFF1ABy规律：近地点和远地点规律：近地点和远地点一定是长轴的两个端点。一定是长轴的两个端点。1.已已知知动圆M和和定定圆C1：x2(y3)264内内切切，而而和和定定圆C2：x2(y3)24外外切切求求动圆圆心心M的的轨迹方程迹方程跟踪练习解：解：设动圆设动圆 M的半径为的半径为r，圆心，圆心M(x，y)，两定圆，两定圆圆心圆心C1(0,3)，C2(0，3），半径，半径r18，r22.则则|MC1|8r，|MC2|r2.|MC1|MC2|(8r)(r2)10.又又|C1C2|6，动圆圆心动圆圆心M的轨迹是椭圆，且焦的轨迹是椭圆，且焦点为点为C1(0,3)，C2(0，3)，且，且2a10，a5，c3，b2a2c225916.动圆圆心动圆圆心M 的轨迹方程是的轨迹方程是y225x2161.2.设点设点A,B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0)，(5,0)。直线直线AM，BM相交于点相交于点M，且它们的斜率之，且它们的斜率之积为积为 ，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。思考：斜率之积为思考：斜率之积为m(m2c)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆。这两。这两个定点叫做个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点之间的，两焦点之间的距离叫做距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距(2c)。1、椭圆的定义、椭圆的定义注意注意“常数常数2a”的条件：的条件：2a=2c 等于等于线段线段 2ab0)为例为例由标准方程可知，椭圆上点的坐标由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式都适合不等式1,即即x2a2 ,y2b2，x a ,y b.1,椭圆的几何性质新课讲解x这说明椭圆位于直线这说明椭圆位于直线x=a和和y=b所围成所围成的矩形里。的矩形里。oya-ab-b 在椭圆上，任取一点在椭圆上，任取一点(x,y),其其关于关于x轴、轴、y 轴和坐标原点对称的点仍在椭圆上。所以椭圆轴和坐标原点对称的点仍在椭圆上。所以椭圆关于关于x轴轴、y 轴轴和和坐标坐标原点原点都是对称的。都是对称的。xo(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)y、对称性、对称性 其中坐标轴是椭圆的其中坐标轴是椭圆的对称轴对称轴,原点是椭圆的原点是椭圆的对称中心对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.、顶点、顶点 椭圆与它的对称轴有椭圆与它的对称轴有四个四个交点，这四个交点叫交点，这四个交点叫做椭圆的做椭圆的顶点顶点线段线段A1A2，B1B2分别叫做分别叫做椭圆的椭圆的长轴长轴和和短轴短轴，a和和b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长xo(a,0)(0,b)(-a,0)(0,-b)yA1A2B1B24 4、离心率、离心率【定义】【定义】焦距与长轴长的比焦距与长轴长的比【范围】【范围】0e0即3k2+k+3/40恒成立（事实上，点（事实上，点P在椭圆内在椭圆内,直线与椭圆恒相交）直线与椭圆恒相交）K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1（法二）（法二）：设A(x1,y1),B(x2,y2),x12+4y12=4x22+4y22=4点差得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0即2+4k=0K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1代入方程由弦长公式得到弦长。代入方程由弦长公式得到弦长。3.椭圆椭圆C中心在原点，交点在中心在原点，交点在x轴上轴上,过点过点P(1,0)的直线的直线L与椭圆交于与椭圆交于A，B，直线，直线y=x/2过过AB中点，同时，椭圆上存在一点中点，同时，椭圆上存在一点N与右焦点与右焦点F关于关于L对称，求对称，求L及椭圆及椭圆C.xoAByFN4.长轴为长轴为4的椭圆上有的椭圆上有A,B,C三点，三点，A为长轴一端点，为长轴一端点，BC过椭圆中心过椭圆中心O，且，且AC.BC=0，|BC|=2|AC|(1)建立适当坐标系，求椭圆方程；建立适当坐标系，求椭圆方程；(2)如果椭圆上有两点如果椭圆上有两点P,Q，使角，使角PCQ的平分线垂直于的平分线垂直于AO,证明：证明：PQ=tABxoAByCPQ解解:(1):(1)方程：方程：x x2 2+3y+3y2 2=4=4(2)(2)解：若斜率不存在，CP，CQ重合，故两直线都有斜率，令xoAByCPQ由从这里就要解出 来（呵呵。很多人已经没勇气再算下去了，解析几何在高考中很多时候就是考计算，这点不算什么）大家注意，硬解那当然就bt了，这方程中肯定有一解是1，因为直线是过了(1,1)的，呵呵，所以另一根用韦达定理求得。呵呵，所以呵呵，再算可以再同样算，但是注意到就是先的变-就完了，所以所以正好是AB 的斜率，（因为B（-1，-1）所以PQ=tAB