棱柱-棱锥-棱台和球的表面积和体积课件

1.1.6 1.1.6 柱、锥、台和球的柱、锥、台和球的柱、锥、台和球的柱、锥、台和球的表面积和体积表面积和体积表面积和体积表面积和体积.1.1.6 柱、锥、台和球的表面积和体积.1圆周长公式：圆周长公式：扇形面积公式：扇形面积公式：梯形面积公式：梯形面积公式：常用公式：常用公式：圆面积公式：圆面积公式：一、复习回顾一、复习回顾正方形面积公式：正方形面积公式：正三角形的面积：正三角形的面积：a.圆周长公式：扇形面积公式：梯形面积公式：常用公式：圆面积公式2问题问题问题问题:你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？吗？S正方体表正方体表=6a2a一、复习回顾一、复习回顾正方体和长方体的正方体和长方体的表面积表面积就是就是各面面积之和各面面积之和.问题:你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？S正方3二、二、引入新课引入新课 我们可以把棱我们可以把棱柱柱、棱锥、棱台展成平面图形，、棱锥、棱台展成平面图形，从而从而求其表面积吗？求其表面积吗？自主探究自主探究自主探究自主探究:直直棱柱、正棱锥、正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图是什么？棱台的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？如何计算它们的表面积？直棱柱的侧面展开图为_正棱锥的侧面展开图为_正棱台的侧面展开图为_矩形矩形有公共顶点且全等的等腰三角形有公共顶点且全等的等腰三角形全等的等腰梯形全等的等腰梯形.二、引入新课 我们可以把棱柱、棱锥、棱台展成平面图形4S直棱柱侧直棱柱侧=ch.直棱柱的侧面积等于它的直棱柱的侧面积等于它的底面周长底面周长和和高高的乘积。的乘积。hhc1、直棱柱的表面积、直棱柱的表面积三、讲解新课三、讲解新课S直棱柱表直棱柱表=S直棱柱侧直棱柱侧+2S底底 .S直棱柱侧=ch.直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。5例1：已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则侧面积为()表面积为（表面积为（）6ah解题关键：解题关键：解题关键：解题关键：棱柱的高、底面周长.例1：已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则侧面积为(6正棱锥的侧面积等于它的正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的底面周长和斜高乘积的一半。一半。S正棱锥侧正棱锥侧=aah 底面为正多边形，顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上。侧面为全等的等腰三角形。2、正棱锥的表面积、正棱锥的表面积S正棱锥表正棱锥表=S正棱锥侧正棱锥侧+S底底 .正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半。S正棱锥侧=7解题关键解题关键：斜高、底面边长解题方法解题方法：四个关键直角三角形SAOMBDC.解题关键：斜高、底面边长解题方法：四个关键直角三角形SAOM8 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成因为因为BC=a，所以：所以：因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 典型例题典型例题.例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的9S正棱台侧正棱台侧=3.正棱台的表面积正棱台的表面积正棱台的侧面积等于正棱台的侧面积等于两底面周长的和与斜高乘积的一半。两底面周长的和与斜高乘积的一半。由正棱锥截得的棱台，侧面为全等的等腰梯形haa展开图展开图S正棱台表正棱台表=S正棱台侧正棱台侧+S上底上底+S下底下底.S正棱台侧=3.正棱台的表面积正棱台的侧面积等于两底面周长10解题关键：解题关键：斜高、上底面边长、下底面边长斜高、上底面边长、下底面边长解题方法：解题方法：3个直角梯形个直角梯形OBAOMDCABCDM例：课本P28 3.解题关键：斜高、上底面边长、下底面边长解题方法：3个直角梯形11直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：思考思考:c=c上底扩大上底扩大c=0上底缩小上底缩小.直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：思考:c124、圆柱的表面积、圆柱的表面积 侧面展开图是侧面展开图是矩形矩形，矩形的一边为，矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长。母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长。其中底面半径为其中底面半径为r，母线长为，母线长为l。OOS圆柱侧圆柱侧=2rl=clS圆柱表圆柱表=2rl+2r22rl.4、圆柱的表面积 侧面展开图是矩形，矩形的一边13S圆锥侧圆锥侧=2rl=rl，S圆锥表圆锥表=rl+r25、圆锥的表面积、圆锥的表面积侧面展开图为侧面展开图为扇形扇形.S圆锥侧=2rl=rl，5、圆锥的表面积侧面146.圆台的表面积圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 OO圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环你能尝试你能尝试着证明一着证明一下吗？下吗？.6.圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，15三者之间关系三者之间关系OOOO 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？系？rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小.三者之间关系OOOO 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公16 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 典型例题典型例题.例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底17S球球=4R2.球面面积等于它的大圆面积的球面面积等于它的大圆面积的4倍。倍。7、球、球解题关键：解题关键：大圆半径大圆半径R例：课本P28 4.S球=4R2.球面面积等于它的大圆面积的4倍。7、球解题关18柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和知识小结知识小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥.柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和知识小结展开图 圆台圆19柱、锥、台、球的体积柱、锥、台、球的体积.柱、锥、台、球的体积.20一一.祖暅原理祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异祖暅原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，夹在也就是说，夹在两个平行平面两个平行平面间的两个间的两个几何体，被平行于这两个平面的几何体，被平行于这两个平面的任意平面任意平面所截，如果截得的两个截面的所截，如果截得的两个截面的面积总相等面积总相等，那么这两个几何体的那么这两个几何体的体积相等体积相等.一.祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异.21 祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的式的基础和纽带基础和纽带，原理中含有三个条件，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在条件一是两个几何体夹在两个平行平两个平行平面面之间；之间；条件二是用条件二是用平行于两个平行平面平行于两个平行平面的任的任何一平面可截得两个平面；何一平面可截得两个平面；条件三是两个条件三是两个截面的面积总相等截面的面积总相等，这，这三个条件缺一不可，否则结论不成立三个条件缺一不可，否则结论不成立.祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原22 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）柱体体积柱体体积一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高.以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱的体积公23棱柱和圆柱的体积棱柱和圆柱的体积 柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面底面积积S和高和高h的积的积.即即V柱体柱体=Sh.hh底面半径是底面半径是R，高为的圆柱体的体积的计算，高为的圆柱体的体积的计算公式是公式是S圆柱圆柱=R2h.棱柱和圆柱的体积 柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和24锥体体积锥体体积.锥体体积.25（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的底面面积乘高的 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：锥体体积锥体体积.（其中S为底面面积，h为高）由此可知，棱柱与圆柱的体26台体体积台体体积 由于圆台由于圆台(棱台棱台)是由圆锥是由圆锥(棱棱锥锥)截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台(棱台棱台)的的体积公式体积公式(过程略过程略)根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？.台体体积 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此27棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式 其中其中 ，分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高台体体积台体体积.棱台（圆台）的体积公式 其中 ，28.台体.29柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高台体体积台体体积上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为30柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积锥体锥体台体台体柱体柱体知识小结知识小结.柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体知识小结.31实验:给出如下几何模型给出如下几何模型RR5.球的体积球的体积.实验:给出如下几何模型RR5.球的体积.32步骤步骤拿出圆锥和圆柱将圆锥倒立放入圆柱.步骤拿出圆锥将圆锥倒立放入圆柱.33结论结论:截面面积相等截面面积相等 R则两个几何体的体积相等则两个几何体的体积相等取出半球和新的几何体做它们的截面.结论:截面面积相等R则两个几何体的体积相等取出半球和新的34RRR球的体积计算公式：.RRR球的体积计算公式：.35RS1探究球的表面积：球的表面积：.RS1探究球的表面积：.36.37例例例例2 2有一堆规格相同的铁制有一堆规格相同的铁制有一堆规格相同的铁制有一堆规格相同的铁制(铁的密度是铁的密度是铁的密度是铁的密度是7.8g/cm7.8g/cm3 3)六六六六角螺帽共重角螺帽共重角螺帽共重角螺帽共重5.8kg5.8kg，已知螺帽底面是正六边形，边长为，已知螺帽底面是正六边形，边长为，已知螺帽底面是正六边形，边长为，已知螺帽底面是正六边形，边长为12mm,12mm,内孔直径为内孔直径为内孔直径为内孔直径为10mm10mm，高为，高为，高为，高为10mm10mm，问这堆螺帽大，问这堆螺帽大，问这堆螺帽大，问这堆螺帽大约有多少个（约有多少个（约有多少个（约有多少个（取取取取3.143.14，可用计算器）？，可用计算器）？，可用计算器）？，可用计算器）？解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，的体积与圆柱体积之差，的体积与圆柱体积之差，的体积与圆柱体积之差，.例2有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角38 因此约有因此约有因此约有因此约有 5.8105.8103 3(7.82.956)252(7.82.956)252(个个个个)答：螺帽的个数约为答：螺帽的个数约为答：螺帽的个数约为答：螺帽的个数约为252252个个个个.因此约有答：螺帽的个数约为252个.39例例1.如图所示，在长方体如图所示，在长方体ABCDABC D中，中，用截面截下一个棱锥用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比。的体积与剩余部分的体积之比。.例1.如图所示，在长方体ABCDABC D中，用40则它的体积为则它的体积为 V=Sh.因为棱锥因为棱锥CADD的底面面积是的底面面积是 S，高是，高是h，所以棱锥所以棱锥CADD的体积是的体积是 VCADD=所以所以 棱锥棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比是的体积与剩余部分的体积之比是1：5.解：已知长方体可以看作是直解：已知长方体可以看作是直四棱柱四棱柱ADDABCCB。设底面设底面ADDA的面积是的面积是S，高为高为h，.则它的体积为 V=Sh.因为棱锥CADD的底面面积是 41例例2 2、一个容器的盖子用一个正四棱台和、一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为一个球焊接而成，球的半径为R R，正四棱，正四棱台的上、下底面边长分别为台的上、下底面边长分别为2.5R2.5R和和3R,3R,斜斜高为高为0.6R0.6R。求这个容器盖子的表面积（用求这个容器盖子的表面积（用R R表示，焊接处对面积影响忽略不计）；表示，焊接处对面积影响忽略不计）；.例2、一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径42S正四棱台正四棱台=4 (2.5R+3R)0.6R +(2.5R)2+(3R)2 =21.85R2.S球球=4R2.因此，盖子的全面积为因此，盖子的全面积为S全全=(21.85+4)R2.解：因为解：因为.S正四棱台=4 (2.5R+3R)0.6R S球43