画法几何---点线面的相对位置课件

2.4 2.4 线面相对位置线面相对位置 一般面与投影面垂直面互交一般面与投影面垂直面互交aabbccddeeffnnm0m0mm求交线：求交线：可见性判别：可见性判别：【例【例【例【例2.302.302.302.30】如图所示，作如图所示，作如图所示，作如图所示，作 ABCABCABCABC与铅垂的矩形与铅垂的矩形与铅垂的矩形与铅垂的矩形DEFGDEFGDEFGDEFG的交的交的交的交线，并表明可见性。线，并表明可见性。线，并表明可见性。线，并表明可见性。aabbccdd(e)eg(f)fgi ik ki ik k求交线：求交线：可见性判别：可见性判别：【例【例【例【例2.312.312.312.31】如图所示，作平行于侧面的如图所示，作平行于侧面的如图所示，作平行于侧面的如图所示，作平行于侧面的 ABCABCABCABC和垂直于和垂直于和垂直于和垂直于正面的正面的正面的正面的 DEFDEFDEFDEF的交线，并表明可见性。的交线，并表明可见性。的交线，并表明可见性。的交线，并表明可见性。e”f”e f a”b”c”a b c d d”OOZ Z k(l)l”k”求交线：求交线：可见性判别：可见性判别：【例【例【例【例2.322.322.322.32】如图所示，分别作出正垂面如图所示，分别作出正垂面如图所示，分别作出正垂面如图所示，分别作出正垂面P P P P与与与与 ABCABCABCABC，水平，水平，水平，水平面面面面Q Q Q Q的交线，并表明可见性。的交线，并表明可见性。的交线，并表明可见性。的交线，并表明可见性。aabf (g)cbcP PV VQQV VfgX XOOdede求交线：求交线：可见性判别：可见性判别：2.4.2.22.4.2.2、两相交元素的投影都无积聚性时求交、两相交元素的投影都无积聚性时求交 由于相交的两元素均无积聚由于相交的两元素均无积聚由于相交的两元素均无积聚由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积聚性进行性，故不能直接利用积聚性进行性，故不能直接利用积聚性进行性，故不能直接利用积聚性进行求解。解决这类问题，求解。解决这类问题，求解。解决这类问题，求解。解决这类问题，.通常可借通常可借通常可借通常可借助设置助设置助设置助设置特殊辅助平面特殊辅助平面特殊辅助平面特殊辅助平面进行求解。进行求解。进行求解。进行求解。一般直线与一般平面相交；一般直线与一般平面相交；两一般位置平面相交。两一般位置平面相交。基本作图基本作图MBCAFKNLEABCF可以利用可以利用辅助平面辅助平面和和辅助投影辅助投影的方法使相交一方具有积聚性。的方法使相交一方具有积聚性。ABCQNM（3 3）求交线与已知直）求交线与已知直线的交点，此即所求。线的交点，此即所求。（2 2）求辅助平面与已知）求辅助平面与已知平面（平面（ABCABC）的交线）的交线（）；）；求交点的步骤求交点的步骤:（1 1）包含直线（）包含直线（MNMN）作）作辅助平面（辅助平面（Q Q）；）；K K辅助平面法：辅助平面法：通过已知直线做投影面垂直面，求出两平面通过已知直线做投影面垂直面，求出两平面的交线，此直线与原直线的交点即为所求的点。的交线，此直线与原直线的交点即为所求的点。(一一)一般线与一般面相交一般线与一般面相交(一一一一)一般线与一般面相交一般线与一般面相交 m m n n QV 解题步骤解题步骤：1 1、过过EFEF作正垂面作正垂面Q Q。2 2、求求Q Q平面与平面与.ABCABC的交线的交线MNMN。3 3、求交线求交线MNMN与与EFEF的交点的交点K K。4 4、可见性判别可见性判别f eefbaacbcmmn nFECABQMNKk k k kHVabcceaABbCFEf fkKke可见性判别方法可见性判别方法1 1 (2(2)判别可见性的原理判别可见性的原理是利用重影点。是利用重影点。3 3(4)(4)利用重影点判别可见性利用重影点判别可见性f eefbaacbckk1 12 2 1 1 2 2 4 4 3 3 4 4 3 3()()()()线面交点法线面交点法 三面共点法三面共点法 求两平面的交线，只要求出两平面的求两平面的交线，只要求出两平面的两个公共点两个公共点或或一个公共点和交线的方向一个公共点和交线的方向。(二二)两一般位置平面相交两一般位置平面相交 求交线步骤求交线步骤求交线步骤求交线步骤：1 1 1 1、用直线与平面求、用直线与平面求、用直线与平面求、用直线与平面求交点的方法求两平面交点的方法求两平面交点的方法求两平面交点的方法求两平面的共有点；的共有点；的共有点；的共有点；nbaccbahhnmmQV1 1 2 2 2 21 1PVkkee2 2 2 2、判别可见性。、判别可见性。、判别可见性。、判别可见性。MBCAKENH线面交点法线面交点法线面交点法线面交点法判别两平面的可见性判别两平面的可见性nbaccbahhnmm（）1 1 2 2 1 1 2 2()3 3 4 4 3 3 4 4 判别可见性的原判别可见性的原判别可见性的原判别可见性的原理是利用重影点。理是利用重影点。理是利用重影点。理是利用重影点。通过第三面找到三个平面的共有点，找到两个这样通过第三面找到三个平面的共有点，找到两个这样的共有点，连接这两点，即为两平面的交线。的共有点，连接这两点，即为两平面的交线。P2P1(三三)三面共点法（两平面轮廓部分不直接相交）三面共点法（两平面轮廓部分不直接相交）r rs sPVQVlkk l bc cd adea b e ff g h gh1 1、直线与平面垂直、直线与平面垂直2 2、平面与平面垂直、平面与平面垂直ABCDL1L2EFPHPV2.4.32.4.3、直线与平面以及两平面垂直、直线与平面以及两平面垂直2.4.3.12.4.3.1、直线与平面以及两平面垂直垂直的几何、直线与平面以及两平面垂直垂直的几何条件与投影特性条件与投影特性几何条件几何条件:直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线基本作图：基本作图：判别直线是否与平判别直线是否与平判别直线是否与平判别直线是否与平面垂直面垂直面垂直面垂直ABCDL1L2EFPHPV 过空间一点作已知过空间一点作已知过空间一点作已知过空间一点作已知平面的垂线平面的垂线平面的垂线平面的垂线 过空间一点作已知过空间一点作已知过空间一点作已知过空间一点作已知直线的垂面直线的垂面直线的垂面直线的垂面一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直P判别直线是否与平面垂直判别直线是否与平面垂直1 1、几何条件、几何条件MNKL1L2如果一直线垂直于平如果一直线垂直于平面内的一对相交直线，面内的一对相交直线，则此直线垂直于该平面则此直线垂直于该平面PMNL1L2K如果一直线垂直于某如果一直线垂直于某平面，则此直线垂直于平面，则此直线垂直于该平面内的任意直线该平面内的任意直线PMNL1L2PPHPVHV2 2、投影特性、投影特性DABCMNbc caa b mm nn dd 如果一直线垂直于一平面，如果一直线垂直于一平面，则该直线的则该直线的正面投影正面投影垂直于该平垂直于该平面内面内正平线的正面投影正平线的正面投影，该直线，该直线的的水平投影水平投影垂直于该平面内垂直于该平面内水平水平线的水平投影。线的水平投影。(直线垂直于一平面直线垂直于一平面)【基本作图一】判别直线是否与平面垂直【基本作图一】判别直线是否与平面垂直1122eeffaabbccKKPHghghEFABCGHP平面【基本作图二】过空间一点作已知平面的垂线【基本作图二】过空间一点作已知平面的垂线1122ffeeaabbcc【基本作图三】过空间一点作已知直线的垂面【基本作图三】过空间一点作已知直线的垂面bbccfaaefe【例【例【例【例2.342.342.342.34】如图所示，过点】如图所示，过点】如图所示，过点】如图所示，过点A A A A作一平面，平行于直线作一平面，平行于直线作一平面，平行于直线作一平面，平行于直线BCBCBCBC，垂直于垂直于垂直于垂直于DEFDEFDEFDEFbbccfaadfeedhghg2 21 12 21 1二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直几何条件：几何条件：几何条件：几何条件：一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通过另一平面的法线。过另一平面的法线。过另一平面的法线。过另一平面的法线。基本作图：基本作图：基本作图：基本作图：判别两平面是否垂直判别两平面是否垂直判别两平面是否垂直判别两平面是否垂直 过空间一直线作已知平过空间一直线作已知平过空间一直线作已知平过空间一直线作已知平面的垂面面的垂面面的垂面面的垂面QPL1L2NM【基本作图一】判别两平面是否垂直【基本作图一】判别两平面是否垂直【基本作图一】判别两平面是否垂直【基本作图一】判别两平面是否垂直e e e eaabbccf ff fg ggg1122ABCEFGdd【基本作图二】过空间一直线作已知平面的垂面【基本作图二】过空间一直线作已知平面的垂面1122ffeeaabbccgg2.4.3.2 2.4.3.2 2.4.3.2 2.4.3.2 两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与平面以及两平面垂直平面以及两平面垂直平面以及两平面垂直平面以及两平面垂直n（1 1）特殊位置的直线与平面相互垂直）特殊位置的直线与平面相互垂直当直线垂直于某投影面垂直面时，当直线垂直于某投影面垂直面时，当直线垂直于某投影面垂直面时，当直线垂直于某投影面垂直面时，则此直线必为该投影面平行线。则此直线必为该投影面平行线。则此直线必为该投影面平行线。则此直线必为该投影面平行线。VHOXPmnm MN特殊位置的线面垂直问题特殊位置的线面垂直问题pp mnm n PVPHmnm n p pmnm(n)【例【例2.362.36】如图所示，过点如图所示，过点A A作正垂面作正垂面CDECDE的垂的垂线线ABAB和垂足和垂足B B，并确定点，并确定点A A与与CDECDE平面的真实距离。平面的真实距离。bbccaeddea真实距离P 如果一直线如果一直线垂直于一平面，则包垂直于一平面，则包含此直线的一切平面含此直线的一切平面都与该平面垂直。都与该平面垂直。(2)(2)平面与平面垂直平面与平面垂直几何条件几何条件ABPQK 如果两平面互相垂直，则从一平面上任一如果两平面互相垂直，则从一平面上任一点向另一平面所作的垂线必在前一平面上。点向另一平面所作的垂线必在前一平面上。几何条件几何条件LPQKL【例【例2.372.37】如图所示，过直线如图所示，过直线ABAB作一般位置平面垂直于作一般位置平面垂直于正垂面正垂面P P，过点，过点C C作正垂面作正垂面P P的正垂面的正垂面Q Q和正平面和正平面R R。bbccaaPVXOdd【例】【例】过点过点K K作一平面垂直平面作一平面垂直平面ABCDABCD。k kbaa b dcc d 121 2 ee 例例 包含直线包含直线MNMN作平面垂直于平面作平面垂直于平面ABCABC。baa b cc m n nmll 面面相交为直线的性质面面相交为直线的性质投影面平行面相交：投影面平行面相交：水平面与正平面相交为水平面与正平面相交为侧垂线侧垂线水平面与侧平面相交为水平面与侧平面相交为正垂线正垂线侧平面与正平面相交为侧平面与正平面相交为铅垂线铅垂线不同投影面的两平行平面不同投影面的两平行平面相交为投影面相交为投影面垂直线垂直线投影面平行面与投影面垂直面相交：投影面平行面与投影面垂直面相交：投影面平行面与另两投影面的垂直面的交线为投影面平行面与另两投影面的垂直面的交线为投影面垂直线投影面垂直线投影面平行面与该面的垂直面的交线为投影面平行面与该面的垂直面的交线为投影面平行线投影面平行线投影面平行面与一般位置平面相交：投影面平行面与一般位置平面相交：交线为交线为投影面平行线投影面平行线投影面垂直面与一般位置平面相交：投影面垂直面与一般位置平面相交：交线为交线为一般位置直线一般位置直线四、综合作图题示例四、综合作图题示例 1 1 1 1、审题、审题、审题、审题 明确题意、已知条件和作图要求。明确题意、已知条件和作图要求。2 2 2 2、空间分析、空间分析、空间分析、空间分析 逆推分析法：逆推分析法：逆推分析法：逆推分析法：假设满足题目要求的几何元素已经给出，将它假设满足题目要求的几何元素已经给出，将它和题目所给的几何元素一起，按题目要求的几何条件逐一分析，和题目所给的几何元素一起，按题目要求的几何条件逐一分析，综合研究它们之间的相对位置和从属关系，进而探求由给定的几综合研究它们之间的相对位置和从属关系，进而探求由给定的几何元素确定所求的几何元素的途径，进而得出解题方法。何元素确定所求的几何元素的途径，进而得出解题方法。轨迹分析法：轨迹分析法：轨迹分析法：轨迹分析法：根据题目要满足的若干几何条件逐个地运用空根据题目要满足的若干几何条件逐个地运用空间几何元素轨迹的概念，分析所求的几何元素在该条件下的空间间几何元素轨迹的概念，分析所求的几何元素在该条件下的空间几何轨迹，然后综合这些空间几何轨迹取公共元素，进而得出解几何轨迹，然后综合这些空间几何轨迹取公共元素，进而得出解题方案。题方案。3 3 3 3、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图 解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。c【例【例1 1】求点求点C C到直线到直线ABAB的距离。的距离。baa b kc k 22 1 1距离实长距离实长2【例【例2 2】求点求点K K到平面到平面ABCABC的距离。的距离。cbaa b kc k 21 1ll 求实长求实长距离实长距离实长kk a b c abcll【例题【例题【例题【例题3 3 3 3】已知直角三角形】已知直角三角形】已知直角三角形】已知直角三角形ABCABCABCABC的水平投影，及直角边的水平投影，及直角边的水平投影，及直角边的水平投影，及直角边ABABABAB的的的的V V V V投影，试完成其正面投影。投影，试完成其正面投影。投影，试完成其正面投影。投影，试完成其正面投影。bcbaac1122作图步骤作图步骤作图步骤作图步骤1 1 1 1、过点作直线、过点作直线、过点作直线、过点作直线ABABABAB的垂直面的垂直面的垂直面的垂直面AAAA；2 2 2 2、在垂直面、在垂直面、在垂直面、在垂直面AAAA上，运用平面定线方上，运用平面定线方上，运用平面定线方上，运用平面定线方法确定法确定法确定法确定ACACACAC边；边；边；边；3 3 3 3、连线完成直角、连线完成直角、连线完成直角、连线完成直角三角形三角形三角形三角形ABCABCABCABC的投影。的投影。的投影。的投影。【例题【例题4 4】作一直线与两交叉直线】作一直线与两交叉直线ABAB和和CDCD相交，同相交，同时与直线时与直线EFEF平行。平行。f222 21 111n nmmmmnnabbaefcdcdeABCDEF1MN【例题【例题5 5】过点】过点N N作直线，使其与作直线，使其与ABCABC平行，平行，且与直线且与直线EFEF相交。相交。effemmabbacc222 2111 1nn作图步骤作图步骤1 1、过点、过点M M作平面作平面MM平行平行于已知平面于已知平面ABCABC；2 2、求平面、求平面M M 与已与已知直线知直线EFEF的的交点交点N N；3 3、连接、连接MNMN【例题【例题【例题【例题6 6 6 6】过点】过点】过点】过点K K K K作直线作直线作直线作直线KLKLKLKL与直线与直线与直线与直线MNMNMNMN垂直，并与垂直，并与垂直，并与垂直，并与ABCABCABCABC平行。平行。平行。平行。ggllaabccbkkmnnm作图步骤作图步骤作图步骤作图步骤1 1 1 1、过、过、过、过MN MN MN MN 作平作平作平作平面面面面 MNGMNGMNGMNG垂直于垂直于垂直于垂直于平面平面平面平面ABCABCABCABC；2 2 2 2、过点、过点、过点、过点K K K K作直作直作直作直线线线线KLKLKLKL垂直于平垂直于平垂直于平垂直于平面面面面MNGMNGMNGMNG。【例题【例题【例题【例题7 7 7 7】已知直线】已知直线】已知直线】已知直线ABABABAB与与与与EFGEFGEFGEFG平面的夹角为平面的夹角为平面的夹角为平面的夹角为60606060，ABABABAB在在在在EFGEFGEFGEFG上的正投影为上的正投影为上的正投影为上的正投影为ACACACAC，求作，求作，求作，求作ABABABAB的两投影。的两投影。的两投影。的两投影。ef ggfeacca60 ACB=A=A0 0 c c b b b bB0cBcB0 0=BC=BCA0ZACZACZC 11 1 ZC 11 1【例题【例题【例题【例题8 8 8 8】已知等边已知等边已知等边已知等边ABCABCABCABC与与与与H H面的倾角面的倾角面的倾角面的倾角=30=30=30=30，试完成该，试完成该，试完成该，试完成该等边等边等边等边ABCABCABCABC的两面投影。的两面投影。的两面投影。的两面投影。caacbbB0等边ABC高BD的实长ddZBDZBD作图步骤作图步骤作图步骤作图步骤1 1 1 1、求作等边、求作等边、求作等边、求作等边高的实长高的实长高的实长高的实长2 2 2 2、直角三角形法求作、直角三角形法求作、直角三角形法求作、直角三角形法求作的坐标差的坐标差的坐标差的坐标差【例题【例题【例题【例题9 9 9 9】已知等腰】已知等腰】已知等腰】已知等腰的顶点和一腰的顶点和一腰的顶点和一腰的顶点和一腰DEDEDEDE在直线在直线在直线在直线DGDGDGDG上，另一腰上，另一腰上，另一腰上，另一腰，且点在上，且点在上，且点在上，且点在上，试完成试完成试完成试完成的两面投影。的两面投影。的两面投影。的两面投影。aabbccmndmndggff2211e=DF=DFe=DE=DE 作图步骤：作图步骤：作图步骤：作图步骤：1 1 1 1、过、过、过、过D D D D作平面作平面作平面作平面D12D12D12D122 2 2 2、求、求、求、求D12D12D12D12与与与与MNMNMNMN交点交点交点交点F F F F3 3 3 3、求、求、求、求DFDFDFDF的实长的实长的实长的实长4 4 4 4、在、在、在、在dgdgdgdg上，取上，取上，取上，取DE=DFDE=DFDE=DFDE=DF5 5 5 5、连接等腰三角形各、连接等腰三角形各、连接等腰三角形各、连接等腰三角形各条边，完成投影图条边，完成投影图条边，完成投影图条边，完成投影图