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1.1.电场力、磁场力、洛伦兹力电场力、磁场力、洛伦兹力 4.4.微分形式的麦克斯韦方程微分形式的麦克斯韦方程重点重点：第第2 2章章 电场、磁场与麦克斯韦方程电场、磁场与麦克斯韦方程 3.3.麦克斯韦方程的导出及意义麦克斯韦方程的导出及意义2.2.电磁场中的三种电流以及电流连续性原理电磁场中的三种电流以及电流连续性原理 7.7.电磁场的能量与坡印廷矢量电磁场的能量与坡印廷矢量 5.5.积分形式的麦克斯韦方程积分形式的麦克斯韦方程6.6.时谐形式的麦克斯韦方程时谐形式的麦克斯韦方程2.1 电场力、电场强度与电位电场力、电场强度与电位 1.1.电场力与电场强度电场力与电场强度 1）静止点电荷的作用力）静止点电荷的作用力库仑定律库仑定律 适用条件适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;无限大真空情况无限大真空情况 (式中式中F/m)F/m)可推广到无限大各向同性均匀介质中可推广到无限大各向同性均匀介质中 当真空中引入第三个点电荷当真空中引入第三个点电荷 时，试问时，试问 与与 相互间的相互间的作用力改变吗作用力改变吗?为什么为什么？结论：电场力符合矢量叠加原理结论：电场力符合矢量叠加原理单位：牛顿单位：牛顿假定电荷假定电荷q2=1C，于是电场力，于是电场力 即为即为q1对单位电荷的作用对单位电荷的作用力力,我们将这个特定大小的电场力我们将这个特定大小的电场力 称为电场强度矢量称为电场强度矢量 点电荷点电荷q上的作用力上的作用力单位：牛顿单位：牛顿/库仑库仑2）线电荷的作用力）线电荷的作用力设线电荷密度为设线电荷密度为线电荷线电荷dq在空间产生的电场强度为在空间产生的电场强度为:线电荷在整个空间产生的电场强度为线电荷在整个空间产生的电场强度为:3）面电荷的作用力）面电荷的作用力设面电荷密度为设面电荷密度为面电荷面电荷ds在空间产生的电场强度为在空间产生的电场强度为:面电荷在空间产生的电场强度为面电荷在空间产生的电场强度为:4）体电荷的作用力）体电荷的作用力设体电荷密度为设体电荷密度为面电荷在空间产生的电场强度为面电荷在空间产生的电场强度为:.电位电位 已知试验电荷已知试验电荷 q在电场中的受力为在电场中的受力为 在静电场中欲使试验电荷在静电场中欲使试验电荷 q处于平衡状态，应有一处于平衡状态，应有一外力与电场力大小相等，方向相反，即外力与电场力大小相等，方向相反，即 于是，试验电荷于是，试验电荷q在静电场中由在静电场中由A点移动到点移动到B点时点时外力需做的功为外力需做的功为 我们将静电场内单位正电荷从我们将静电场内单位正电荷从A点移动到点移动到B点时外力所做的点时外力所做的功称为点功称为点B和点和点A之间的电位差之间的电位差 在自由空间，如果点电荷位于原点，原点到场点在自由空间，如果点电荷位于原点，原点到场点A的距离为的距离为RA 原点到场点原点到场点B的距离为的距离为RB，则则B点和点和A点之间的电位差为点之间的电位差为 积分表明，空间两点积分表明，空间两点B和和A之间的电位差只与场点所在位置之间的电位差只与场点所在位置有关，而与积分路径无关。有关，而与积分路径无关。因此，在静电场中因此，在静电场中可将下列左式改写成一个具有普遍意义的式子（右式）可将下列左式改写成一个具有普遍意义的式子（右式）得到空间一段线元上两端点间的电位差为得到空间一段线元上两端点间的电位差为 若单位正电荷是从无穷远处出发移到若单位正电荷是从无穷远处出发移到B点的，则电位差为点的，则电位差为 或写成或写成可得电位与电场强度的关系为可得电位与电场强度的关系为 此式提供了求解静电场中电场强度的一种方法，此式提供了求解静电场中电场强度的一种方法，即把求解电场强度的问题变成先求解电位而后再即把求解电场强度的问题变成先求解电位而后再通过微分关系求电场强度。一般情况下，用这种通过微分关系求电场强度。一般情况下，用这种方法比直接求解电场强度要简便。方法比直接求解电场强度要简便。2.2 磁场力、磁感应强度与磁位磁场力、磁感应强度与磁位 1.1.磁场力与磁感应强度磁场力与磁感应强度 当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力即电流之间的作用力，我们称其为磁场力。假定一个电荷假定一个电荷q以速度以速度 在磁场中运动，则它所受在磁场中运动，则它所受到磁场力为到磁场力为 这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以用一个磁感应强度用一个磁感应强度 来描述。来描述。求解磁感应强度求解磁感应强度B设磁场中载流线元为设磁场中载流线元为Idl，则，则线元线元Idl受力受力设两回路电流元为设两回路电流元为 ,则这两个电流元之间的作用力为：则这两个电流元之间的作用力为：称为毕奥称为毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律运用叠加原理，可得闭合回路运用叠加原理，可得闭合回路1在空间所产生的磁感应强度在空间所产生的磁感应强度上式是计算线电流周围磁感应强度的公式。磁感应强度的单上式是计算线电流周围磁感应强度的公式。磁感应强度的单位为牛顿位为牛顿/（安培米），在国际单位制中的单位为特斯拉。（安培米），在国际单位制中的单位为特斯拉。如果如果电流是分布在某一曲面上流是分布在某一曲面上时，若面，若面电流密度流密度为 ，则面面电流在空流在空间产生的磁感生的磁感应强强度度为 如果如果电流是分布在某一体流是分布在某一体积内内时，若面，若面电流密度流密度为 ，则体体电流在空流在空间产生的磁感生的磁感应强强度度为 3.3.矢量磁位矢量磁位 穿过某一曲面穿过某一曲面S的磁感应强度的磁感应强度 的通量称之为穿过该曲的通量称之为穿过该曲面的磁通量面的磁通量 由毕奥由毕奥-沙伐尔定律沙伐尔定律 根据梯度规则根据梯度规则 上式中的被积函数变成上式中的被积函数变成 根据高斯定律根据高斯定律 即即利用矢量恒等式利用矢量恒等式 可得可得因为因为根据根据称称为为矢矢量量磁磁位位单单位位是是韦韦伯伯/米米根据库伦规范，有约束根据库伦规范，有约束可得矢量磁位可得矢量磁位采用面电流密度表示采用面电流密度表示 采用体电流密度表示采用体电流密度表示 这表明整个积分为零，即这表明整个积分为零，即 4.4.标量磁位标量磁位 但在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为但在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数即标量磁位函数 注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。即令即令 对于恒定磁场，安培环路定律对于恒定磁场，安培环路定律 表明磁场是一个表明磁场是一个有旋场，在有电流处磁场的旋度不为零。有旋场，在有电流处磁场的旋度不为零。当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。时，我们称这样的合力为洛伦兹力。我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的定义式。定义式。即即2.3 洛伦兹力洛伦兹力v重要特性：电荷在电场中会受到力重要特性：电荷在电场中会受到力(称电场力称电场力)的作用。的作用。vE E 取决于源取决于源(带电体带电体)的电量、形状及分布情况的电量、形状及分布情况,它可以是它可以是时变的时变的点电荷产生的场及所受的力是计算其它复杂情况的基础点电荷产生的场及所受的力是计算其它复杂情况的基础电场电场v实验证明：电场力大小与电荷所在位置的电场强度大实验证明：电场力大小与电荷所在位置的电场强度大小成正比，即：小成正比，即：v重要特性：在磁场中运动的电荷重要特性：在磁场中运动的电荷(电流电流)会受到力会受到力(称磁场称磁场力力)的作用。的作用。v磁感应强度矢量磁感应强度矢量B B:描述空间磁场的分布描述空间磁场的分布(大小和方向大小和方向)。B B的方向由磁场力和速度的方向确定。的方向由磁场力和速度的方向确定。B B 取决于源取决于源(带电体带电体)的电量、形状及运动的电量、形状及运动分布情况分布情况磁场磁场2.4 电偶极子电偶极子 两个相距很近（距离为两个相距很近（距离为d d）的等量异号点电荷）的等量异号点电荷 +q+q 与与 -q-q 所组成的带电系统。所组成的带电系统。式中式中 和和 分别是两电荷分别是两电荷到到 P P 点的距离。点的距离。电偶极子的定义电偶极子的定义电偶极子在任意一点电偶极子在任意一点P的电位为的电位为如果两电荷沿如果两电荷沿z z轴对称分布并且距离轴对称分布并且距离P P点很远，于是点很远，于是近近似似的的表表示示并且并且所以，所以，P P点电位变成点电位变成当当 时，电偶极子平分面上的任意点处电位都为零。于时，电偶极子平分面上的任意点处电位都为零。于是，在这个平面上如果将电荷从一点移动到另一点是没有能量是，在这个平面上如果将电荷从一点移动到另一点是没有能量损耗的。损耗的。为了便于描述电偶极子，我们定义一个电偶极矩矢量为了便于描述电偶极子，我们定义一个电偶极矩矢量 ，该矢量的大小为该矢量的大小为而其方向则由负电荷指向正电荷，即而其方向则由负电荷指向正电荷，即我们可以得到电偶极子在空间任意一点的电位为我们可以得到电偶极子在空间任意一点的电位为2.5 磁偶极子磁偶极子 在定义磁偶极子之前，首先来分析一个闭合电流回路在空间在定义磁偶极子之前，首先来分析一个闭合电流回路在空间所产生的磁场。正如电偶极子是常见的电场源的存在形式一样，所产生的磁场。正如电偶极子是常见的电场源的存在形式一样，闭合电流回路是磁场源的最常见形式。闭合电流回路是磁场源的最常见形式。如图所示，在电流回路如图所示，在电流回路 所产生的磁场中，任取一闭合回路所产生的磁场中，任取一闭合回路 ,设设P是是 回路上的一点，则电流回路回路上的一点，则电流回路 在在P点处产生的点处产生的磁感应强度为磁感应强度为计算计算 在回路在回路 上的闭合线积分有上的闭合线积分有角角的的积积分分为为 所所张张立立体体因此，由上式可得因此，由上式可得根据势函数与有势场的对应关系，可得到空间一点根据势函数与有势场的对应关系，可得到空间一点P P处的处的标量磁位与磁场强度的关系为标量磁位与磁场强度的关系为 P0是标量磁位的参是标量磁位的参考点考点当场源电流分布在有限区域内时，一般将参考点选在无穷远处，当场源电流分布在有限区域内时，一般将参考点选在无穷远处，此时此时P P点的标量磁位为点的标量磁位为 可得空间任意点可得空间任意点P P的标量磁位为的标量磁位为 其中的其中的是点是点P P对电流回路对电流回路所张的立体角所张的立体角 因为因为一般情况下，求任意点一般情况下，求任意点P P对回路面积的立体角并不很容易，对回路面积的立体角并不很容易，但是当但是当P P点与回路点与回路 的距离比起电流回路的尺寸大得多的时候的距离比起电流回路的尺寸大得多的时候 立体角可以近似地表示为立体角可以近似地表示为 可得到电流回路可得到电流回路在远区在远区P P点处产生的标量磁位点处产生的标量磁位其中其中 是是 与与 的的夹角。角。为了便于描述磁偶极子，我们定义一个磁偶极矩矢量为了便于描述磁偶极子，我们定义一个磁偶极矩矢量经过整理经过整理可见，磁偶极子与电偶极子不同，它不能在物理上实现，在可见，磁偶极子与电偶极子不同，它不能在物理上实现，在工程上它是一个载有交变电流的小圆环的等效模型。工程上它是一个载有交变电流的小圆环的等效模型。大小大小方向由方向由 确定确定即即因此因此2.6 由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程 规定规定电力线的数目就称为电通量电力线的数目就称为电通量。一个电荷。一个电荷q所产生所产生的电力线条数（即电通量）等于用库仑表示的的电力线条数（即电通量）等于用库仑表示的电荷的大小。电荷的大小。于是，通过整个球面的电通量为于是，通过整个球面的电通量为 电通量密度与电场强度的电通量密度与电场强度的关系关系为为 设半径为的球面中有点电荷设半径为的球面中有点电荷q,用符号用符号 表示球面上的电表示球面上的电通量密度，即通量密度，即 根据高斯定律根据高斯定律 可得可得麦克斯韦第一方程麦克斯韦第一方程 ：或或若闭合曲面所包围的电荷多于一个以上，则电通量关系应改若闭合曲面所包围的电荷多于一个以上，则电通量关系应改写为写为 并且并且电场强度电场强度 穿出球面的电场强度通量为穿出球面的电场强度通量为 2.7 由电磁感应定律与斯托克斯定律由电磁感应定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第二方程导出麦克斯韦第二方程 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 可得可得麦克斯韦第二方程麦克斯韦第二方程 ：感应电动势感应电动势 闭合路径所包围的磁通闭合路径所包围的磁通 根据斯托克斯定律根据斯托克斯定律 2.8 由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程 可得可得麦克斯韦第三方程麦克斯韦第三方程 ：根据高斯定律根据高斯定律 磁通连续性原理磁通连续性原理 穿过开表面积穿过开表面积S S的磁通的磁通 1.1.传导电流、运流电流和位移电流传导电流、运流电流和位移电流 自由电荷在有阻力区域（导电媒质）中作有自由电荷在有阻力区域（导电媒质）中作有规则运动而形成规则运动而形成 传导电流传导电流2.9 由安培环路定律与斯托克斯定律由安培环路定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第四方程导出麦克斯韦第四方程 为电阻率，为电阻率，由电场强度与电势的由电场强度与电势的关系关系有有 此式说明传导电流密度服从于欧姆定律此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohms law)，并且，并且传导电流为传导电流为 传导电流的电流密度传导电流的电流密度 与电场强度与电场强度 的关系为：的关系为：因此因此电荷在无阻力空间作有规则运动而形成。电荷在无阻力空间作有规则运动而形成。运运流电流不服从于欧姆定律。流电流不服从于欧姆定律。运流电流运流电流假设存在一个电荷体密度为假设存在一个电荷体密度为 的区域，在电场作用下，的区域，在电场作用下，电荷以平均速度电荷以平均速度v 运动，在运动，在dt 时间内，电荷运动的距离为时间内，电荷运动的距离为dl则则如果存在一个面积元如果存在一个面积元 dS，当运动电荷垂直穿过面积元时，当运动电荷垂直穿过面积元时，dt 时间内穿过的总电量为时间内穿过的总电量为 式中运流电流密度为式中运流电流密度为 通常，传导电流与运流电流并不同时存在。通常，传导电流与运流电流并不同时存在。则穿过的电流为则穿过的电流为 所以，运流电流为所以，运流电流为 则穿过闭合面则穿过闭合面S的位移电流为：的位移电流为：电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成 位移电流位移电流作一个闭合面作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为，假定其中所包围的电量为q式中位移电流密度式中位移电流密度 2.2.电流连续性原理电流连续性原理 麦克斯韦假设，麦克斯韦假设，S S面内自由电量面内自由电量q q的增长应与穿出的位移电流的增长应与穿出的位移电流相一致，并且若指定穿出相一致，并且若指定穿出S S面的电流为正，则面的电流为正，则 在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则穿，则穿入的传导电流和运流电流应等于入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量面内自由电量q的增加率，的增加率，即即 于是可得于是可得此式称为电流连续此式称为电流连续性原理性原理电流连续性原理表明：在时变场中，在传导电流中断处必有运电流连续性原理表明：在时变场中，在传导电流中断处必有运流电流或位移电流接续。流电流或位移电流接续。其中其中称为全电流密度称为全电流密度 或或 运用高斯定律运用高斯定律则有则有积分形式的电流连续性方程积分形式的电流连续性方程 微分形式的电流连续性方程微分形式的电流连续性方程 设设3.3.麦克斯韦第四方程麦克斯韦第四方程 静电场的环流为零静电场的环流为零稳恒磁场的环流如何呢？稳恒磁场的环流如何呢？说明静电场是保守场；说明静电场是保守场；对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。安培环路定理安培环路定理与环路成右旋关系的电流取正与环路成右旋关系的电流取正。在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 沿任意闭沿任意闭合曲线的线积分（也称合曲线的线积分（也称 的环流）的环流）,等于穿过该闭合曲线的等于穿过该闭合曲线的所有电流强度所有电流强度 （即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的强度）的代数和的0 0倍。倍。当电流呈体分布时当电流呈体分布时定义自由空间用磁场强度定义自由空间用磁场强度 表示的磁通密度为表示的磁通密度为 则安培环路定律可写成则安培环路定律可写成 在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电流，在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电流，即即 其中其中麦克斯韦麦克斯韦第四方程第四方程由斯托克斯定律得由斯托克斯定律得 即即2.10 微分形式的麦克斯韦方程组微分形式的麦克斯韦方程组 将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微分形式的麦克斯韦方程组分形式的麦克斯韦方程组。或或将电场与其场源将电场与其场源电荷密度联系电荷密度联系了起来，实际上，它是库仑定律的了起来，实际上，它是库仑定律的另一种形式。另一种形式。第一方程第一方程表明了随时间变化的磁场会产生电表明了随时间变化的磁场会产生电场场 这是法拉第电磁感应定律的这是法拉第电磁感应定律的微分形式微分形式。第二方程第二方程表明了在形成磁场的源中，不存在表明了在形成磁场的源中，不存在“点磁荷点磁荷磁力线始终闭合磁力线始终闭合。第三方程第三方程表明了产生磁场的源是电流或变化表明了产生磁场的源是电流或变化的电场的电场安培定律的另一种表现安培定律的另一种表现形式。形式。第四方程第四方程 例例2.2P532.11 积分形式的麦克斯韦方程组积分形式的麦克斯韦方程组 根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯韦方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。韦方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。转化为转化为第一方程表明，电场是有散度场，即电场可以由点源电荷所激发；第一方程表明，电场是有散度场，即电场可以由点源电荷所激发；第三方程表明，磁场为无散度场，即磁场不可能由单极磁荷所激第三方程表明，磁场为无散度场，即磁场不可能由单极磁荷所激发；而第二和第四方程则描述了电场与磁场相互依存、相互制约发；而第二和第四方程则描述了电场与磁场相互依存、相互制约并且相互转化。并且相互转化。其中引出了三个媒其中引出了三个媒质特性方程质特性方程以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组，程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组，又称为电磁场的完整方程组。其所以称为又称为电磁场的完整方程组。其所以称为“完整完整”方程组，方程组，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面电场与磁场的相互关系电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的规，以及电场、磁场本身所具有的规律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。2.12 麦克斯韦方程的时谐形式麦克斯韦方程的时谐形式 时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场,简称时简称时谐场。所谓时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化谐场。所谓时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的场。在线性系统中，一时所激发的也随时间按照正弦变化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所有的点都将产生随时间按照同样个正弦变化的源在系统中所有的点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对于时谐场，我们可以用相量分析规律（正弦）变化的场。对于时谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态响应。获得单频率（单色）的稳态响应。微分形式的时谐表示微分形式的时谐表示积分形式的时谐表示积分形式的时谐表示例例2.52.52.13 电磁场的能量与坡印廷矢量电磁场的能量与坡印廷矢量 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程.麦克斯韦方程组如下麦克斯韦方程组如下两式相减，可得两式相减，可得式中，令式中，令称其为坡印廷矢量称其为坡印廷矢量用用 点乘方程（点乘方程（4）用用 点乘方程（点乘方程（2）坡印廷定理的坡印廷定理的微分形式微分形式 或或坡印廷定理坡印廷定理的积分形式的积分形式 或或第一项第一项:穿过包围体积穿过包围体积V的封闭面的封闭面S的功率。为正时流出功率；为的功率。为正时流出功率；为负时流入功率。（净功率）负时流入功率。（净功率）第二项：由场供给带电粒子的功率。为正时场对带电粒子做功；第二项：由场供给带电粒子的功率。为正时场对带电粒子做功；为负时外力做功。（损耗功率）为负时外力做功。（损耗功率）第三项：电场储能的变化率，为正时电场增强；为负时减弱。第三项：电场储能的变化率，为正时电场增强；为负时减弱。第四项：磁场储能的变化率，为正时磁场增强；为负时减弱。第四项：磁场储能的变化率，为正时磁场增强；为负时减弱。电场和磁场的能量电场和磁场的能量密度瞬时表达式为：密度瞬时表达式为：在时谐形式下的复坡印廷矢量在时谐形式下的复坡印廷矢量 利用复坡印廷矢量可以方便地计算出平均坡印廷矢量方便地计算出平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量 当电磁场用复数形当电磁场用复数形式表示时式表示时 例例2.62.6本章要点本章要点 Page 6162
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