根轨迹与虚轴的交点课件

第第4 4章章 根轨迹分析法根轨迹分析法4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本条件和规则4.3 特殊根轨迹4.4 用根轨迹法分析系统性能第4章 根轨迹分析法4.1 根轨迹的基本概念14.1 根轨迹的基本概念n根轨迹法主要研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。n下面我们可以结合具体的例子来说明根轨迹的含义。4.1 根轨迹的基本概念根轨迹法主要研究当系统的某一参数发生2 设控制系统的结构如图所示 ，系统的开环传递函数为：为开环传递函数零极点形式的放大系数，4.1 根轨迹的基本概念也称为根轨迹增益。设控制系统的结构如图所示 ，系统的开环传递函数为3闭环特征方程为：闭环传递函数为：可以解出该方程的根为：可见，、是随参数的变化而变化的 4.1 根轨迹的基本概念闭环特征方程为：闭环传递函数为：可以解出该方程的根为：4 改变 值时，特征根 、的变化值如表所示，在 平面上的轨迹变化如图所示。表4.1S1S200-20.5-0.29-1.7071-1-12-1+j-1-j-1+j-1-j图4.24.1 根轨迹的基本概念 改变 值时，特征根 、的变5n根轨迹不仅直观地表示出了参数 变化时闭环极点的变化，而且反映了参数 变化对系统性能的影响。n现在你可能产生新的问题了：通过根轨迹的变化趋势来分析系统的性能是比较直观，但问题是如何快捷地得到系统的根轨迹图呢？4.1 根轨迹的基本概念根轨迹不仅直观地表示出了参数 变化时闭环极点的变化，而6第第4 4章章 根轨迹分析法根轨迹分析法4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本条件和规则4.3 特殊根轨迹4.4 用根轨迹法分析系统性能第4章 根轨迹分析法4.1 根轨迹的基本概念74.2 绘制根轨迹的基本条件和规则 1 根轨迹方程根轨迹方程 2 绘制根轨迹的基本规则 4.2 绘制根轨迹的基本条件和规则 1 根轨迹方程8 1 1 根轨迹方程根轨迹方程 设系统开环传递函数为则系统的闭环传递函数为 系统的闭环特征方程为可见，满足开环传递函数等于-1的 即为闭环特征根，也就是根轨迹上的一个点。1 根轨迹方程 设系统开环传递函数为9已知系统开环传递函数的一般表达式为 其中，为开环传递函数的零点，为开环传递函数的极点，为根轨迹增益。1 1 根轨迹方程根轨迹方程已知系统开环传递函数的一般表达式为 其中，10定义根轨迹方程为：幅值方程 相角方程1 1 根轨迹根轨迹方程方程定义根轨迹方程为：幅值方程 相角方程1 根轨迹方程114.2 绘制根轨迹的基本条件和规则 1 根轨迹方程根轨迹方程 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 4.2 绘制根轨迹的基本条件和规则 1 根轨迹方程12 2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则n当根轨迹增益 变化时，要精确地绘制闭环特征根在 平面上的移动轨迹是比较困难的。但可以根据幅值方程和相角方程找到根轨迹的一些关键点和基本特征，绘制出近似的根轨迹曲线。我们来学习绘制规则。2 绘制根轨迹的基本规则当根轨迹增益 13（1）根轨迹的分支数 因为 ，所以特征方程的最高次幂为 ，即有 个特征根。当 时，每个特征根都由起点向终点连续移动，形成一条根轨迹，个根就有 条根轨迹。由根轨迹方程知系统的特征方程为：2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则（1）根轨迹的分支数 因为 ，所14 根轨迹的起点是指 时，特征根在 平面上的位置。此时根轨迹方程为：当 时，上式成立，即 。所以，开环传递函数的极点便是根轨迹的起点。（2）根轨迹的起点与终点2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则当 时，上式成立，15 根轨迹的终点是指 时，特征根在 平面上的位置。(a)当 时，由根轨迹方知 ，当 即 时，等式成立。即系统开环传递函数的零点便是根轨迹的终点。(b)因为 ，所以有 条根轨迹是终止于开环传递函数的零点的，而另外 条根轨迹的终点在何处呢？2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 根轨迹的终点是指 时，特征根在 16考虑 平面的无穷远点，即 时有 满足根轨迹方程，所以另外 条根轨迹终止于无穷远点。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则考虑 平面的无穷远点，即 时有 17（3）根轨迹的对称性 控制系统闭环特征方程的系数是由实际物理系统的结构决定的，均为实数，所以闭环特征根若为实数根，则分布在 平面的实轴上；若为复数，则成对出现为共轭复根。因此它们形成的根轨迹必对称于实轴。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则（3）根轨迹的对称性 控制系统闭环特征方程18 例例4.1 4.1 已知系统的开环传递函数为试确定系统的根轨迹。解：由系统开环传递函数 ，系统有3条根轨迹。根轨迹起点为 2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 解：由系统开环传递函数 19 根轨迹终点为 另外 条根轨迹终止于无穷远点。时，系统根轨迹如图示。图4.3 系统的根轨迹2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 根轨迹终点为 20（4）实轴上的根轨迹 若实轴上的某一点是根轨迹上的点，则它必然满足相角方程。设系统的开环零、极点分布如图4.4（a）所示，实轴上分布的零、极点将实轴分成了若干个区间断。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则图4.4 实轴上根轨迹的分布（4）实轴上的根轨迹 若实轴上的某一点是根轨迹21 在 区间上取一点 ，由各开环零、极点向 分别引矢量，设 则 可见，满足相角方程。此时 2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 在 区间上取一点 ，由22 在 区间上取一点 ，由各开环零、极点向 分别引矢量设 则 可见，满足相角方程。此时 2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 在 区间上取一点 23 综上所述，实轴上的根轨迹只能是那些其右侧实数开环零点和开环极点总数为奇数的区间段。而 平面上的共轭复数开环零、极点对确定实轴上的根轨迹没有影响。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 综上所述，实轴上的根轨迹只能是那些其右侧实数开24(5)根轨迹的渐近线 当 时，有 条根轨迹终止于无穷远点，其方向需要由根轨迹的渐近线来确定。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则(5)根轨迹的渐近线 当 时，25 渐近线与实轴的夹角n设无穷远点是根轨迹上的点，记为 ，则它到各开环零、极点的矢量与实轴正方向的夹角可看作都是相等的，记为 。应满足相角方程：即 则 当 增大时，将重复出现。显然渐近线的数目等于终点在无穷远点的根轨迹的数目。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 渐近线与实轴的夹角设无穷远点是根轨迹上的点，记为 26 渐近线与实轴的交点n若无穷远点是根轨迹上的点，则可以认为 平面上的所有有限开环零、极点到它的矢量长度均相等，即对无穷远闭环极点 来说，所有的开环零、极点汇集成一个点，用 表示。它就是所求渐近线与实轴的交点。根据上述描述，由根轨迹方程，利用二次项定理，可求出：2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 渐近线与实轴的交点若无穷远点是根轨迹上的点，则可以认为 27 例例4.2 4.2 已知系统开环传递函数试绘制系统的根轨迹。解：，所以相应有3条根轨迹，且全部趋于无穷远点；根轨迹的起点：终点：无穷远点实轴上-1，0 和-，-3区间段为实轴上的根轨迹2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 例4.2 已知系统开环传递函数试绘制系统的根轨28根轨迹的渐进线 夹角：交点：2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则根轨迹的渐进线2 绘制根轨迹的基本规则29（6）根轨迹的分离点和会合点 根轨迹在实轴相交后进入复平面的点称为根轨迹的分离点，而根轨迹由复平面进入实轴的交汇点称为根轨迹的会合点。分离点与会合点实际上是闭环特征方程的重根。图图 实轴上根轨迹的分离点实轴上根轨迹的分离点 2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则（6）根轨迹的分离点和会合点 根轨迹在实轴相30 当系统特征根具有复数重根时，分离点和会合点也可能产生于共轭复数对中。如图4.7所示。图图4.7 根轨迹的复数分离点根轨迹的复数分离点 鉴于分离点和会合点的实质就是特征方程的重根，因此可用求解特征方程重根的方法对它们进行求解。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 当系统特征根具有复数重根时，分离点和会合点31 设系统的开环传递函数为闭环特征方程为 当 且 特征方程有重根存在。化简上述方程可得：上式即为确定各个分离点和会合点的方程。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 设系统的开环传递函数为闭环特征方程为 当上32例例4.3 4.3 求例4.2中根轨迹的分离点或会合点。解：由系统的开环传递函数：得：可求出显然，位于根轨迹上，所以它是分离点。而 不在根轨迹上，故舍去。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则例4.3 求例4.2中根轨迹的分离点或会合点。解：由系统的33（7）根轨迹的出射角与入射角 寻找根轨迹的出射角和入射角的目的在于了解开环复数零、极点附近根轨迹的变化趋势。所谓出射角指根轨迹在复数开环极点（根轨迹起点）处的切线与正实轴的夹角。所谓入射角指根轨迹在复数开环零点（根轨迹终点）处的切线与正实轴的夹角。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则（7）根轨迹的出射角与入射角 寻找根轨迹的出34设某一系统的开环零、极点分布如图所示 设其中起点 的出射角为 ，为根轨迹上的一点。即 当 时，由此可推出求根轨迹出射角的一般公式：2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则设某一系统的开环零、极点分布如图所示 设其中起点 的35n式中，为待求开环复数极点 的出射角，为其它开环极点到 的矢量相角，为开环零点到 的矢量相角。同理，可得计算入射角的公式：2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则式中，为待求开环复数极点 的出射角，36 例例4.4 4.4 已知系统开环传递函数 试绘制系统的根轨迹。解：，系统有两条根轨迹，且有 条趋于无穷远点。根轨迹的起点为 ，根轨迹的终点为 实轴上的根轨迹是（-，-1 区间段。根轨迹有一条渐近线，为负实轴。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 例4.4 已知系统开环传递函数 试绘制系统的根轨迹。37 根轨迹的会合点 据公式得 可求出方程的两个根为 ，根据前面的分析可知，不在根轨迹上，故舍去；是根轨迹在实轴上的会合点。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 根轨迹的会合点2 绘制根轨迹的基本规则38 根轨迹的出射角 因 ，可求出 根轨迹如下图所示。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 根轨迹的出射角2 绘制根轨迹的基本规则392 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则（8 8）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点有两种方法可以求解这两个值第一，根据劳斯判据求临界稳定时的 值及根轨迹与虚轴交点的 值；第二，将 直接代入闭环特征方程，令其实部和虚部分别为零，从而求出相应的 和 。2 绘制根轨迹的基本规则（8）根轨迹与虚轴的交点40例例4.5 试确定例4.2中根轨迹与虚轴的交点。解：由系统的开环传递函数得系统闭环特征方程 根据劳斯判据，特征方程的劳斯表为：2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则例4.5 试确定例4.2中根轨迹与虚轴的交点。解：由系统的41由劳斯表可知 当 时，行的所有元素均为零。按 行元素组成辅助方程：当 时，解得 ，即例4.2所示系统根轨迹中两条穿越虚轴的根轨迹分支与虚轴的交点为 ，对应的 值为12。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则由劳斯表可知即例4.2所示系统根轨迹中两条穿越虚轴的根轨迹分42 将 代入特征方程：合并整理，有即得 ，2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 将 代入特征方程：合并整理，有43（9）根轨迹的平衡性 设阶系统的闭环特征方程可表示为式中 ，为开环极点与零点 根据代数方程与系数的关系，可以写出次高项 的系数为2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则（9）根轨迹的平衡性 设阶系统的闭环特征方程可表示为44若满足条件，有：即则 上式说明当 时，系统开环极点之和等于闭环极点之和。对于一个给定的系统来说，开环极点之和是一个常数，那么当根轨迹增益变化时，虽然每个闭环极点都会随之变化，但它们之和却恒等于开环极点之和。所以在平面上，如果有一些闭环极点往左移动，则必有另外一些闭环极点向右移动，以保持上式成立。这一性质可用来估计根轨迹分支的变化趋势。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则若满足条件，有：即则 上式说明当 时，系45同理，讨论上述系统闭环特征方程的常数项，可得：以上九条便是绘制根轨迹的基本规则。可根据不同的情况和要求，全部或部分采用上述规则来绘制根轨迹的大致形状。2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则同理，讨论上述系统闭环特征方程的常数项，可得：以上九条便是绘46 例例4.6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的闭环根轨迹图。解解 ,系统有五条根轨迹，且五条均趋于无穷远点。根轨迹的渐进线2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 例4.6 已知单位负反馈系统的开环传递函数47根轨迹的分离点令解得根轨迹与虚轴的交点 将 代入系统的闭环特征方程，并令其实部和虚部分别为零，得解得2 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则根轨迹的分离点令解得根轨迹与虚轴的交点解得2 绘制根轨迹48根轨迹如图所示：根轨迹如图所示：49第第4 4章章 根轨迹分析法根轨迹分析法4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本条件和规则4.3 特殊根轨迹4.4 用根轨迹法分析系统性能第4章 根轨迹分析法4.1 根轨迹的基本概念501 参数根轨迹2 正反馈系统根轨迹 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹4.3 4.3 特殊根轨迹特殊根轨迹1 参数根轨迹4.3 特殊根轨迹51 有时除了根轨迹增益外，我们需要了解其它一些参数如反馈系数、时间常数等对系统性能的影响，这时就需要绘制增益一定而其它某个参数变化时的根轨迹，称为参数根轨迹。绘制参数根轨迹首先必须完成以下变换。1 1 参数根轨迹参数根轨迹 有时除了根轨迹增益外，我们需要了解其它一些52 系统的闭环特征方程可写成即 需要绘制以 为可变参数时的根轨迹时，可用上式中不含 的各项来除该方程，得到等效变换再按照前述根轨迹绘制规则来绘制参数变化时的根轨迹图。1 1 参数根轨迹参数根轨迹 系统的闭环特征方程可写成即 需要绘制以 为53 例例4.7 4.7 设系统开环传递函数 试绘制 变化时系统的根轨迹。解：系统的特征方程为做等效变换，得等效开环传递函数为 1 1 参数根轨迹参数根轨迹 例4.7 设系统开环传递函数 试绘制 54 ，有两条根轨迹且一条趋于无穷远点。实轴上的根轨迹是（-，-4区间段。根轨迹的分离点代入公式得 根轨迹的出射角 1 1 参数根轨迹参数根轨迹 ，有两条根轨迹且一条55根轨迹如图所示:1 1 参数根轨迹参数根轨迹根轨迹如图所示:1 参数根轨迹561 参数根轨迹2 正反馈系统根轨迹 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹4.3 4.3 特殊根轨迹特殊根轨迹1 参数根轨迹4.3 特殊根轨迹572 2 正反馈系统根轨迹正反馈系统根轨迹 复杂控制系统中可能包含正反馈内回路。如图4.12所示。这时可以绘制正反馈系统的根轨迹，来分析内回路的零、极点分布对整个系统性能的影响 图4.12 具有正反馈内回路的控制系统2 正反馈系统根轨迹 复杂控制系统中可能包含正反馈内58 正反馈系统的闭环特征方程为即 幅值方程与负反馈系统一致，而相角方程为 可见，相角条件不是常规的 ，而是 ，所以正反馈系统的根轨迹又被称为零度根轨迹零度根轨迹。2 2 正反馈系统根轨迹正反馈系统根轨迹 正反馈系统的闭环特征方程为即 幅值方程与负59 在绘制零度根轨迹时，因为相角方程的不同，在绘制规则上有以下几点区别于负反馈系统：（1）实轴上的根轨迹 为那些其右侧的开环零、极点数目之和为偶数的区间段。（2）根轨迹渐近线与实轴的夹角为 （3）根轨迹出射角和入射角2 2 正反馈系统根轨迹正反馈系统根轨迹 在绘制零度根轨迹时，因为相角方程的不同，在60 例例4.8 4.8 若一反馈控制系统的内回路框图下图所示，试绘制它的根轨迹。解 绘制正反馈系统的根轨迹。,所以系统有三条根轨迹。起点为 ,；终点为无穷远点。2 2 正反馈系统根轨迹正反馈系统根轨迹 例4.8 若一反馈控制系统的内回路框图下图所示，61 实轴上的根轨迹为-3，-1 和 0，区间段。根轨迹的渐近线渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的交点根轨迹的分离点同例4.3可求得：，。考虑实轴上的根轨迹区间段，所以舍去 点，分离点为 点。2 2 正反馈系统根轨迹正反馈系统根轨迹 实轴上的根轨迹为-3，-1 和 0，区间62根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为将 代入上式得 解得 根轨迹与虚轴无交点。2 2 正反馈系统根轨迹正反馈系统根轨迹根轨迹与虚轴的交点将 代入63根轨迹如图示：根轨迹如图示：641 参数根轨迹2 正反馈系统根轨迹 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹4.3 4.3 特殊根轨迹特殊根轨迹1 参数根轨迹4.3 特殊根轨迹65 3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹 系统具有纯滞后环节时，因为纯滞后环节的传递函数为 ，使得系统闭环特征方程不再是一个单纯的代数方程，而相应的根轨迹也具有区别于其它系统的明显特征。3 具有纯滞后环节系统的根轨迹 系统具有纯66 设具有纯滞后环节的系统如下图所示 其闭环传递函数为 闭环特征方程为 3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹 设具有纯滞后环节的系统如下图所示 其闭环传递函数为 闭环67令 可得幅值方程相角方程 当 时，幅值方程与相角方程与前面是一样的。3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹令 可得 当 68 当 时，的实部和虚部将分别影响根轨迹的幅值条件和相角条件，使系统的根轨迹具有以下的特点。（1）根轨迹的起点和终点 由幅值方程知，当 时，除了开环极点 外，也是根轨迹的起点。当 时，除了开环零点 外，也是根轨迹的终点。3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹 当 时，的实部和虚部69（2）根轨迹的分支数与对称性 因为 可用下列无穷级数表示所以相应的系统根轨迹有无穷多条。同常规参数根轨迹一样，含有纯滞后环节的系统其闭环特征方程的系数为实数，因此其闭环特征根为实数或共轭复数，根轨迹对称于平面的实轴。3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹（2）根轨迹的分支数与对称性 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹70 （3）根轨迹的根轨迹 因为实轴上的特征根虚部为零，所以含有纯滞后环节系统在实轴上的根轨迹与根轨迹 增益变化时在实轴上的根轨迹分布一样。（4）根轨迹的渐近线 系统根轨迹的渐近线出现在 和 处。当 时，部分根轨迹分支起始于 处。由于所有开环极点和零点到点 的相角均为 ，因此由相角方程得：3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹 （3）根轨迹的根轨迹（4）根轨迹的渐近线 3 具有纯滞71当 为奇数时：当 为偶数时：式中，为开环有限极点数，为开环有限零点数。3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹当 为奇数时：当 为偶72 时，部分根轨迹分支终止于无穷远处。因而，从所有的开环极点和开环零点到 的矢量相角均为 ，则由相角方程 即上述表明，包含纯滞后环节系统的根轨迹渐近线不论是起始部分，还是终止部分均为平行于实轴的直线，不同之处在于渐近线与虚轴的交点 。3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹 时，部分根轨迹分支终止于无穷远处。73（5）根轨迹的分离点与会合点根轨迹分离点和会合点由下式确定：即 3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹（5）根轨迹的分离点与会合点即 3 具有纯滞后环节系统的根轨74（6）根轨迹与虚轴的交点 将 代入相角方程，得：同理,可由幅值方程求根轨迹与虚轴相交时的临界增益 。即将 代入幅值方程得：3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹（6）根轨迹与虚轴的交点同理,可由幅值方程求根轨迹与虚轴相交75 例例4.9 图示系统中，试绘制系统根轨迹图。解：系统的特征方程方程为（1）根轨迹的起点和终点根轨迹的起点为 及无穷远点；根轨迹的终点为无穷远点。（2）根轨迹对称于实轴，且有无穷多条。（3）实轴上（-，0）区间段是根轨迹。3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹 例4.9 图示系统中，76 （4）根轨迹的分离点 可以求出 ，因为该点位于根轨迹上，因而它是实际的根轨迹分离点:（5）复平面上的根轨迹 讨论复平面上根轨迹的走向，令 带入特征方程:即由此可得 3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹 （4）根轨迹的分离点 （5）复平面上的根轨迹即由此可77当 时，上两式消去 可得：令 接近 ，则有当 时 当 时即 是根轨迹的渐近线 3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹当 78 （6）根轨迹与虚轴的交点 令 中的 ，则 ，可得根轨迹与虚轴的交点 可作出相应根轨迹如下图所示。由式 和式 消去 和 ，解出 ，可得 ，利用它在根轨迹图中将 的数值分度。3 3 具有纯滞后环节系统的根轨迹具有纯滞后环节系统的根轨迹 （6）根轨迹与虚轴的交点 可作出相应根轨迹如下图所示79根轨迹与虚轴的交点课件80第第4 4章章 根轨迹分析法根轨迹分析法4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本条件和规则4.3 特殊根轨迹4.4 用根轨迹法分析系统性能第4章 根轨迹分析法4.1 根轨迹的基本概念81 4.4 用根轨迹法分析系统性能1 闭环极点的位置与系统性能的关系 2 增加开环零、极点对系统性能的影响 4.4 用根轨迹法分析系统性能1 闭环极点的位置与系统821 闭环极点的位置与系统性能的关系 系统单位阶跃响应的一般表达式为 式中，为闭环零点，为闭环极点。待定系数求法如下1 闭环极点的位置与系统性能的关系 系统单位阶跃83单位阶跃响应为可见，输出响应的各项系数由闭环零、极点决定。但由于系数只决定了输出响应的初值，影响相对较弱。而输出响应的形式却完全由闭环极点左右，因此闭环极点是决定系统性能的主要因素。我们知道，当系统所有的闭环极点均位于 左半平面时，系统才是稳定的，当极点为负实数时，它离虚轴越远，对应分量 衰减越快，系统的过渡时间就越短，响应越快。1 闭环极点的位置与系统性能的关系 单位阶跃响应为可见，输出响应的各项系数由闭环零、极点决定。但84对复数极点可做如下分析设一系统的共轭复数极点分布如图 图4.17 共轭复数极点在平面上的分布1 闭环极点的位置与系统性能的关系 对复数极点可做如下分析图4.17 共轭复数极点在平面上的分85由时域分析法知 复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标之间的关系为 1 闭环极点的位置与系统性能的关系 由时域分析法知 复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标之间的86 闭环极点的位置与系统性能指标之间有以下关系：（1）闭环极点的实部（）反映了系统的过渡过程的长短；（2）闭环极点的虚部（）反映了系统振荡频率的快慢；（3）闭环极点与坐标原点的距离即为系统的无阻尼自然振荡角频率；（4）闭环极点与负实轴的夹角 决定了系统阻尼比 ，进而影响系统超调量的大小。1 闭环极点的位置与系统性能的关系 闭环极点的位置与系统性能指标之间有以下关系：1 闭环极87 当系统有多个闭环极点时，可利用主导极点的概念降低系统的阶次，简化系统分析。系统中的主导极点离虚轴最近，对系统暂态性能的影响最大。若主导极点到虚轴的距离远远小于其它极点到虚轴的距离，且它附近没有闭环零点，这时其它极点对系统性能的影响可忽略不计。1 闭环极点的位置与系统性能的关系 当系统有多个闭环极点时，可利用主导极点的概念降88例例4.10 已知系统的闭环传递函数为试分析系统的性能指标。解：系统有三个闭环极点1 闭环极点的位置与系统性能的关系 例4.10 已知系统的闭环传递函数为试分析系统的89 为主导极点；、与虚轴之间的距离是 与虚轴距离的四倍，因此可以忽略不计。则系统可以简化为一个一阶系统系统没有超调量，1 闭环极点的位置与系统性能的关系 为主导极点；系统没有超调量，1 闭环极点的位置与902 2 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响（1）增加开环零点（2）增加开环极点2 增加开环零、极点对系统性能的影响（1）增加开环零点91 （1）增加开环零点 设二阶系统的开环传递函数为 增加开环零点 后的传递函数为或增加开环零点 ，这时传递函数为增加开环零点前后所对应的根轨迹如图4.19所示。2 2 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响 （1）增加开环零点2 增加开环零、极点对系统性能的影响922 2 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响2 增加开环零、极点对系统性能的影响93由图可见，没有增加开环零点时，系统的根轨迹是距离虚轴0.5单位的虚线，分别沿正负虚轴方向趋向无穷远。不管怎样选择 值，闭环极点都过于靠近虚轴，系统稳定性不佳，过渡时间 长，快速性不好。且随着 值的增加，角增大，减小，超调量增大。当增加开环零点 时，根轨迹向左弯曲，最后进入实轴，趋于开环零点和负无穷远点。适当选择 （图（b）所示），可使闭环极点离开虚轴一定的距离，提高系统的快速性，且因 角的减小，使得系统超调量有所降低。当增加开环零点 时（图（c）所示），无论怎样选择 值，闭环极点均为两个实数极点，其中主导极点离虚轴的距离总在00.5之间，致使系统的过渡时间不可能缩短。2 2 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响由图可见，没有增加开环零点时，系统的根轨迹是距离虚轴0.5单94 通过对上例的分析可见，选择增加合适的开环零点，可使根轨迹生产向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。但零点选择不当，则达不到改善系统性能指标的目的。有时，我们也可以根据系统性能指标的要求，选择适当的开环零点，来满足系统的性能指标。2 2 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响 通过对上例的分析可见，选择增加合适的开环零点，95 （2）增加开环极点 当在系统的开环传递函数中增加极点时，会使系统的根轨迹向右弯曲，造成系统的稳定性变差。设系统的开环传递函数 ，增加开环极点 （）后，传递函数为当增大时，相应的根轨迹族如下图所示。2 2 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响 （2）增加开环极点 设系统的开环传递函数 962 2 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响2 增加开环零、极点对系统性能的影响97对原系统（如图4.19a）来讲，增加开环极点 后，根轨迹由两条变成三条，根轨迹渐近线也增加到三条，且渐近线与实轴的夹角由 变为 和 ，与实轴的交点也由原来的 变为 ，并随 值的增加越来越远离虚轴。2 2 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响对原系统（如图4.19a）来讲，增加开环极点 后98 增加开环极点对系统根轨迹有以下影响：改变了根轨迹在实轴上的分布 增加了根轨迹的条数，使根轨迹渐近线的条数、方向及与实轴的夹角等随之改变。使根轨迹的走向向右偏移，削弱了系统的稳定性。2 2 增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响 增加开环极点对系统根轨迹有以下影响：2 增加开环零99 The End100