材料力学-扭转课件

材料力学Mechanics of Materials第四章扭 转第四章扭 转1材料力学Mechanics of Materials工程实例工程实例引言引言-概念概念工程实例引言-概念2材料力学Mechanics of Materialsn受力特点受力特点：两个等值反向的：两个等值反向的力偶矩分别作用在杆件两端力偶矩分别作用在杆件两端垂直于轴线的平面内垂直于轴线的平面内n变形特点变形特点：杆件的各横截面：杆件的各横截面绕杆的轴线发生相对转动绕杆的轴线发生相对转动引言引言-概念概念受力特点：两个等值反向的力偶矩分别作用在杆件两端垂直于轴线的3材料力学Mechanics of Materialsn已已扭转变形扭转变形为主的杆为主的杆件通常称为件通常称为轴轴n任意两横截面间任意两横截面间相对相对转过的角度称为转过的角度称为扭转扭转角角n力偶矩称为力偶矩称为扭力矩扭力矩（扭力偶矩扭力偶矩）MM引言引言-概念概念已扭转变形为主的杆件通常称为轴MM引言-概念4材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图5材料力学Mechanics of Materials外力偶矩的计算外力偶矩的计算n工程中的传动轴，通常不直工程中的传动轴，通常不直接给出外力偶矩的数值，而接给出外力偶矩的数值，而是给出传动轴所传递的是给出传动轴所传递的功率功率和和转速转速n设外力偶矩为设外力偶矩为M，传动轴的传动轴的功率为功率为P，角速度为角速度为w w，则有则有（理论力学）（理论力学）外力偶矩M 单位：Nm（牛顿米）功率为P 单位：W（瓦）角速度w 单位：arc/s（弧度/秒）外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩的计算外力偶矩M 单位：Nm（牛顿米）外力偶矩、6材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图n在工程中，功率通用在工程中，功率通用千瓦千瓦 PkW (kW)给出，给出，角速度用转速角速度用转速 n（转转/分钟）给出分钟）给出，则外则外力偶矩的计算公式为力偶矩的计算公式为外力偶矩、扭矩和扭矩图在工程中，功率通用千瓦 PkW (k7材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图 扭转时的内力扭转时的内力扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图n杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形，杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形，同时在轴内产生反抗扭转变形的内力偶同时在轴内产生反抗扭转变形的内力偶矩矩T，称为称为扭矩扭矩n扭矩扭矩T 的计算仍采用截面法的计算仍采用截面法外力偶矩、扭矩和扭矩图 扭转时的内力扭矩和扭矩图8材料力学Mechanics of Materials假想截面假想截面m-m将杆件将杆件分为两部分，根据平衡分为两部分，根据平衡关系，有关系，有 T=MMMmmMTM T外力偶矩、扭矩和扭矩图假想截面m-m将杆件分为两部分，根据平衡关系，有MMmmMT9材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图n扭矩符号的规定扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则，如果用四指表采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向，拇指的指向与截面的外示扭矩的转向，拇指的指向与截面的外法线法线n的方向相同时，该扭矩为正；反的方向相同时，该扭矩为正；反之，规定扭矩为负之，规定扭矩为负 正扭矩正扭矩负扭矩负扭矩外力偶矩、扭矩和扭矩图扭矩符号的规定正扭矩负扭矩10材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图11材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图n以水平轴作为杆件横截面位置的坐标，以水平轴作为杆件横截面位置的坐标，垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值，垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值，所绘制的图形成为所绘制的图形成为扭矩图扭矩图 确定最大扭矩确定最大扭矩Tmax截面所在的位置截面所在的位置n对于等截面杆件，最大扭矩所在的位置对于等截面杆件，最大扭矩所在的位置即为危险截面（即为危险截面（最大切应力所在截面的最大切应力所在截面的位置位置）外力偶矩、扭矩和扭矩图以水平轴作为杆件横截面位置的坐标，垂直12材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图例例 如图所示的传动轴的转速如图所示的传动轴的转速n=300转转/分，主动轮的输入功率分，主动轮的输入功率PA=367kW，从动轮从动轮B、C及及D的输出功率分别为的输出功率分别为PB=PC=110kW，PD=147kW，绘制该轴的扭矩图，并确定绘制该轴的扭矩图，并确定最大扭矩最大扭矩Tmax及其所在位置。及其所在位置。BCD A主动轮外力偶矩、扭矩和扭矩图例 如图所示的传动轴的转速n=30013材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图解解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为主动轮和从动轮的外力偶矩分别为方向如图所示方向如图所示MBMCMAMD外力偶矩、扭矩和扭矩图解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为M14材料力学Mechanics of MaterialsMCMAMDMB112233外力偶矩、扭矩和扭矩图各段的扭矩为各段的扭矩为 T1MBT1=MB=3.5103 Nm MCMBT2T2=MB+MC=7103 Nm T3=-MD=-4.68103 NmMDT3若扭矩为正，表明若扭矩为正，表明与所设方向相同（扭矩与所设方向相同（扭矩的正向）；若为负，表的正向）；若为负，表明扭矩与所设方向相反明扭矩与所设方向相反MCMAMDMB112233外力偶矩、扭矩和扭矩图各段的扭矩15材料力学Mechanics of MaterialsMCMAMDMB112233外力偶矩、扭矩和扭矩图绘制扭矩图。绘制扭矩图。最大扭矩产生在CA段上，其值为Tmax=7103(N m)(N m)T(Nm)3.51037.01034.68103xMCMAMDMB112233外力偶矩、扭矩和扭矩图绘制扭矩图16材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图例例 如图所示的水平如图所示的水平圆轴圆轴AB，在在l长度上承受长度上承受均布力偶矩均布力偶矩m（单位长度单位长度的外力偶矩）作用。计算的外力偶矩）作用。计算轴内扭矩并作出扭矩图轴内扭矩并作出扭矩图ABmoTn(x)(l-x)解 取坐标系如图所示，则截面位置为x处的扭矩为 Tn(x)=m(l-x)从而扭矩图为mlMx外力偶矩、扭矩和扭矩图例 如图所示的水平圆轴AB，在l长度17材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力18材料力学Mechanics of Materials下面讨论等直圆轴扭转时横截面上各点下面讨论等直圆轴扭转时横截面上各点处的应力处的应力此问题必须从此问题必须从几何几何、本构本构和和平衡平衡三个方三个方面进行综合分析面进行综合分析MM三个方面三个方面圆轴扭转时的应力下面讨论等直圆轴扭转时横截面上各点处的应力MM三个方面圆轴扭19材料力学Mechanics of Materials回忆轴向拉伸的应力公式的建立回忆轴向拉伸的应力公式的建立n实验观察实验观察-表表 均匀变形均匀变形-几何几何n理论假设理论假设-里里 均匀变形均匀变形-几何几何n理论推论：理论推论：杆件在横截面上的分布内力是均匀的杆件在横截面上的分布内力是均匀的n理论公式理论公式 平衡平衡回忆轴向拉伸的应力公式的建立实验观察-表20材料力学Mechanics of Materials几何关系n实验观察实验观察-画线画线v 圆周线大小、间距、形状不变，只是绕轴转动一个角度v 纵线仍为直线，倾角为gv 矩形变为平行四边形圆轴扭转时的应力几何关系 圆周线大小、间距、形状不变，只是绕轴转动一个角度圆21材料力学Mechanics of Materialsn基本假设基本假设圆轴横截面始终保持平面，其形状、大小与圆轴横截面始终保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不变，只是绕轴转动一个横截面间的距离均不变，只是绕轴转动一个角度角度圆轴扭转的平面假设圆轴扭转的平面假设n推论推论无轴向变形，无轴向变形，横截面上只有切应力横截面上只有切应力只有横截面内的变形只有横截面内的变形圆轴扭转时的切应力基本假设圆轴扭转时的切应力22材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转时的切应力MexmmnnMemmnnxdxdxabcdRcddgreecc=R dO几何关系几何关系圆轴扭转时的切应力MexmmnnMejmmnnxdxdxab23材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转时的切应力由剪切胡克定律由剪切胡克定律 =Gg g横截面上半径为横截面上半径为r r 处的切应力为处的切应力为考虑到考虑到本构关系本构关系圆轴扭转时的切应力由剪切胡克定律 t=Gg横截面上半径24材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的切应力n剪力方向垂直于半径剪力方向垂直于半径（由于剪切变形发生在（由于剪切变形发生在垂直于半径的平面内）垂直于半径的平面内）UNKNOWNn 圆轴截面上的切应力圆轴截面上的切应力 r r与与r r 成正比成正比-线性分布，线性分布，切应力在圆轴边缘达到最切应力在圆轴边缘达到最大大n 在离圆心等远的各点处，在离圆心等远的各点处，切应力则均相同切应力则均相同-等应力线等应力线圆轴扭转的切应力剪力方向垂直于半径（由于剪切变形发生在垂直于25材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的切应力静力平衡关系 横截面上分布的切横截面上分布的切应力的合力（主矢）等应力的合力（主矢）等于零，切应力关于点于零，切应力关于点o的合力偶应该等于该截的合力偶应该等于该截面上的扭矩面上的扭矩T，即即TT圆轴扭转的切应力静力平衡关系TT26材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的切应力由于由于Mn则则记记称为称为圆截面的极惯性矩圆截面的极惯性矩圆轴扭转变形公式圆轴扭转变形公式则则圆轴扭转的切应力由于Mn则记圆轴扭转变形公式则27材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的切应力从而从而切应力的公式切应力的公式最大切应力为最大切应力为记记称为抗扭截面系数称为抗扭截面系数则最大切应力为则最大切应力为由于由于圆轴扭转的切应力从而最大切应力为记则最大切应力为由于28材料力学Mechanics of Materials极惯性矩和抗扭截面模量定义实心圆轴实心圆轴实心圆轴实心圆轴极惯性矩和抗扭截面模量定义实心圆轴实心圆轴29材料力学Mechanics of Materials极惯性矩和抗扭截面模量空心圆轴a a=0=0何意何意?实心圆轴实心圆轴极惯性矩和抗扭截面模量空心圆轴a=0何意?实心圆轴30材料力学Mechanics of Materials极惯性矩和抗扭截面模量讨论：讨论：极惯性矩和抗扭截面模量讨论：31材料力学Mechanics of Materials薄壁圆筒的扭转设圆筒的壁厚为设圆筒的壁厚为t，R0是圆是圆筒的平均半径筒的平均半径n薄壁圆筒的几何特征薄壁圆筒的几何特征 t/R0 10-1n空心圆截面处理空心圆截面处理-精确精确n近似处理近似处理R0t薄壁圆筒的扭转设圆筒的壁厚为t，R0是圆筒的平均半径R0t32材料力学Mechanics of Materialsn由于是薄壁圆筒，所以，假定由于是薄壁圆筒，所以，假定切应力切应力沿壁厚方向是均匀的，且切应力方向沿壁厚方向是均匀的，且切应力方向垂直于半径，垂直于半径，于是，于是，切切应力t 在整个横截面上相等n横截面上切应力横截面上切应力 对原点对原点o的力偶矩的力偶矩（扭矩）为（扭矩）为薄壁圆筒的扭转tR0t dA于是于是，误差小于误差小于4.73%由于是薄壁圆筒，所以，假定切应力沿壁厚方向是均匀的，且切应力33材料力学Mechanics of Materials薄壁圆筒的扭转n适用性适用性 1.均质材料：弹性、非弹性（没有用到均质材料：弹性、非弹性（没有用到胡克定律）；胡克定律）；各向同性与各向异性各向同性与各向异性 2.t/R0 10-1薄壁圆筒的扭转适用性34材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的强度分析圆轴扭转的强度分析圆轴扭转的强度分析35材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析n扭转试验是在扭转试验机扭转试验是在扭转试验机上对圆截面试样进行测试上对圆截面试样进行测试n塑性材料塑性材料的的 g g 曲线与曲线与杆件的拉伸杆件的拉伸s s e e 曲线形曲线形状相似状相似（如图）（如图）n在剪切比例极限内在剪切比例极限内，切应，切应力和切应变成正比，即力和切应变成正比，即 =Gg g 扭转试验和破坏分析扭转试验是在扭转试验机上对圆截面试样进行测36材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析破坏类型破坏类型 试验发现：试验发现：n 塑性材料塑性材料小变形小变形小变形小变形屈服屈服屈服屈服强化强化强化强化剪断剪断剪断剪断小变形小变形小变形小变形剪断剪断剪断剪断q 脆性材料脆性材料扭转试验和破坏分析破坏类型小变形屈服强化剪断小变形剪断 脆37材料力学Mechanics of MaterialsdxdydzxyzABCD扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析斜截面上的应力斜截面上的应力 从圆轴中取出一单元体从圆轴中取出一单元体nAB、CD面属于圆轴的横面属于圆轴的横截面截面(垂直垂直 x 轴轴)nAD、BC面属于圆轴的径面属于圆轴的径向面向面(垂直垂直 y 轴轴)n前、后两侧面属于圆轴的前、后两侧面属于圆轴的两个柱面两个柱面(垂直垂直 z 轴轴)q该单元体的受力状态为该单元体的受力状态为纯剪切应力状态纯剪切应力状态qAB、CD、AD、BC面面受剪力受剪力 的作用，方向的作用，方向如图所示如图所示 dxdydzxyzABCD扭转试验和破坏分析斜截面上的应力该38材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析dxdydzxyzABCD ADCB a an研究法向研究法向n与与x轴夹角为轴夹角为a a 的斜截面上的应力的斜截面上的应力扭转试验和破坏分析dxdydzxyzABCDADCBtt39材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析s sa a a andydxxy a a注意到：注意到：dAx=dAsina a dAy=dAcosa a得：利用截面法和静力衡，利用截面法和静力衡，扭转试验和破坏分析sattandydxxyta注意到：40材料力学Mechanics of Materialsn在在a a=0o或或a a=90o的截的截面上，面上，a a达到极值，其绝达到极值，其绝对值大小为对值大小为，并且，截并且，截面上没有正应力面上没有正应力n在在a a=45o的截面上，的截面上，s sa a达到极值，其绝对值大达到极值，其绝对值大小仍为小仍为，并且，截面上并且，截面上没有切应力没有切应力 s=s=s=-s=-扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析在a=0o或a=90o的截面上，ta达到极值，其41材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析破坏机理破坏机理n塑性材料：塑性材料：受剪破坏受剪破坏。低碳钢的抗剪强度低于低碳钢的抗剪强度低于抗拉强度抗拉强度q脆性材料脆性材料：受拉破坏受拉破坏。脆性材料的抗剪强度脆性材料的抗剪强度大于抗拉强度大于抗拉强度45o s=s=s=-s=-扭转试验和破坏分析破坏机理脆性材料：受拉破坏。45otts 42材料力学Mechanics of Materialsn拉伸拉伸steeliron抗剪抗剪抗拉抗拉抗拉抗拉抗剪抗剪分析破坏截面与材料性质之间的关系分析破坏截面与材料性质之间的关系轴向拉伸的破坏分析轴向拉伸的破坏分析拉伸steeliron抗剪抗拉抗拉抗剪分析破坏截面与材料43材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件从破坏类型可见，对于从破坏类型可见，对于脆性材料脆性材料（如（如铸铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉铸铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力。因此，本质上讲，理应对斜截面上应力。因此，本质上讲，理应对斜截面上的正应力进行强度计算。然而，由于斜截的正应力进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和横截面上的切应力间有固面上的正应力和横截面上的切应力间有固定的关系，所以，习惯上仍按定的关系，所以，习惯上仍按最大切应力最大切应力进行强度计算进行强度计算圆轴扭转强度条件从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸铁），其破44材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件n受扭轴的破坏标志仍为受扭轴的破坏标志仍为屈服屈服和和断裂断裂n屈服时横截面上的最大切应力称为屈服时横截面上的最大切应力称为扭转扭转屈服应力屈服应力，记为，记为 sn断裂时横截面上的最大切应力称为断裂时横截面上的最大切应力称为扭转扭转强度极限强度极限，记为，记为 b 它们统称为它们统称为扭转极限应力扭转极限应力，记为，记为 u45o圆轴扭转强度条件受扭轴的破坏标志仍为屈服和断裂45o45材料力学Mechanics of Materialsq等截面圆轴扭转强度条件等截面圆轴扭转强度条件 Tmax为截面上的最大扭矩为截面上的最大扭矩扭转强度条件扭转强度条件t 为扭转许用切应力为扭转许用切应力圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件等截面圆轴扭转强度条件扭转强度条件圆轴扭转强度条件46材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转强度条件q 阶梯形圆轴阶梯形圆轴q许用切应力许用切应力t 与许用正应力与许用正应力s 的关系的关系v塑性材料塑性材料：t t (0.50.577)(0.50.577)s s v脆性材料脆性材料：t t (0.81.0)(0.81.0)s st t s st t 许用拉应力许用拉应力圆轴扭转强度条件 阶梯形圆轴许用切应力t 与许用正应力47材料力学Mechanics of MaterialsExample-1例例 已知已知 =60 MPa D=85 mm t=2 mm M=1.2 kNm校核其强度校核其强度 MMt解解 由于由于t/R010-1，因此，可用薄壁圆筒理因此，可用薄壁圆筒理论。由于扭矩论。由于扭矩 T=M，则则 故满足强度要求故满足强度要求Example-1例 已知 t=60 MPaMMt解48材料力学Mechanics of MaterialsExample-2例例 轴的转速轴的转速n=100r/min，传递功率传递功率P=7.5kW，材料的许用应力材料的许用应力 =40MPa。空心轴的内外半径之比为空心轴的内外半径之比为d/D=0.5。为满足为满足强度要求，求实心轴的直径强度要求，求实心轴的直径d1和空心轴的外和空心轴的外直径直径D。Example-2例 轴的转速n=100r/min，传递49材料力学Mechanics of MaterialsExample-2n n=100r/min=100r/min，P P=7.5kW=7.5kW，t t=40MPa=40MPa，d d/D D=0.5=0.5空心圆轴直径空心圆轴直径从而，实心圆轴直径从而，实心圆轴直径解解 轴的扭矩为轴的扭矩为Example-2n=100r/min，P=7.5kW，50材料力学Mechanics of MaterialsExample-2 设实心和空心圆轴的材料相同，长度相设实心和空心圆轴的材料相同，长度相等，等，则空心圆轴和实心圆轴的重量之比为则空心圆轴和实心圆轴的重量之比为可见，在相同的强度要求下可见，在相同的强度要求下，空心圆轴比空心圆轴比实心圆轴节省材料实心圆轴节省材料Example-2 设实心和空心圆轴的材料相同，长51材料力学Mechanics of MaterialsExample-3例例 阶梯圆轴阶梯圆轴AB段的直径段的直径dI=120mm，BC段的直径段的直径dII=100mm，扭转力偶分别扭转力偶分别为为MA=22kNm，MB=36kNm，MC=14kNm。已知已知 材料的许用切应力材料的许用切应力 =80 MPa，校核该轴强度。校核该轴强度。MAMCMBIIIACBExample-3例 阶梯圆轴AB段的直径dI=1252材料力学Mechanics of MaterialsExample-3MAMCMBIIIACB 由于两端的直由于两端的直径不同，因此，应径不同，因此，应分别校核两段轴的分别校核两段轴的强度强度 xT解解 利用截面法，利用截面法，可得可得AB段和段和BC段段的扭矩分别的扭矩分别TI=22kNm，TII=-14kNm扭矩图如图所示扭矩图如图所示Example-3MAMCMBIIIACB 由53材料力学Mechanics of MaterialsExample-3对对AB段段因此，该阶梯圆轴满足强度要求因此，该阶梯圆轴满足强度要求对对BCBC段段 =80 MPaExample-3对AB段因此，该阶梯圆轴满足强度要求对BC54材料力学Mechanics of MaterialsExample-4例例 图示圆柱形密圈图示圆柱形密圈螺线弹簧（螺线弹簧（密圈螺线弹簧密圈螺线弹簧是指是指螺旋升角螺旋升角a a 50），），沿弹簧的沿弹簧的轴线承受拉力轴线承受拉力F的作用，设的作用，设弹簧的平均直径为弹簧的平均直径为D，弹簧弹簧丝的直径为丝的直径为d，分析弹簧的分析弹簧的应力，并建立相应的强度条应力，并建立相应的强度条件。件。da aD/2D/2FExample-4例 图示圆柱形密圈螺线弹簧（密圈螺55材料力学Mechanics of MaterialsExample-4解解 利用截面法，以通利用截面法，以通过弹簧轴线的平面将弹簧丝切过弹簧轴线的平面将弹簧丝切断，选择上部为研究对象。由断，选择上部为研究对象。由于螺旋升角于螺旋升角a a很小，此切面可很小，此切面可视为弹簧丝的横截面。视为弹簧丝的横截面。可见，弹簧丝的横截可见，弹簧丝的横截面上作用有剪力面上作用有剪力F Fs s和扭矩和扭矩T T，其分别值为其分别值为 Fs=F，T=FD/2dFsTFD/2Example-4解 利用截面法，以通过弹簧轴线的平56材料力学Mechanics of MaterialsExample-4假设与剪力假设与剪力Fs相应的相应的切切应应力力 沿截面分布均匀，则沿截面分布均匀，则t 扭矩扭矩T T 引起的最大切引起的最大切应力应力 max 为为t dFsTFD/2Example-4假设与剪力Fs相应的切应力t 沿截面分布57材料力学Mechanics of MaterialsExample-4由叠加原理可得截面上的由叠加原理可得截面上的最大最大切切应力应力 max 可见，弹簧丝处于纯可见，弹簧丝处于纯剪切状态，所以其强度条剪切状态，所以其强度条件为件为t tdFsTFD/2Example-4由叠加原理可得截面上的最大切应力tmax 58材料力学Mechanics of MaterialsExample-4当当D/d 10时，时，最大最大切切应应力力 max可近似为可近似为t 当当D/d 10时时（狭长矩形截面狭长矩形截面直杆直杆），有有即即非圆截面杆的扭转当h/b10时（狭长矩形截面直杆），有92材料力学Mechanics of Materials例例 材料、横截面面积和长度均相同的材料、横截面面积和长度均相同的两根轴，其横截面分别为圆形截面和正方两根轴，其横截面分别为圆形截面和正方形截面，若两端作用的扭矩形截面，若两端作用的扭矩M也相同，计也相同，计算两轴的最大切应力和扭转变形算两轴的最大切应力和扭转变形解解 设圆截面的直径为设圆截面的直径为d，矩形截面矩形截面的边长为的边长为a，则由于两截面的面积相等则由于两截面的面积相等，有有EXAMPLE例 材料、横截面面积和长度均相同的两根轴，其横截面分别为93材料力学Mechanics of Materials对于圆形截面轴，最大切应力和扭转对于圆形截面轴，最大切应力和扭转角分别为角分别为对于矩形截面轴，查表可得对于矩形截面轴，查表可得a a=0.208，b b=0.141，最大切应力和扭转角分别为最大切应力和扭转角分别为EXAMPLE对于圆形截面轴，最大切应力和扭转角分别为对于矩形截面轴，查表94材料力学Mechanics of Materials从而，从而，q无论是扭转强度或是扭转刚度，圆形无论是扭转强度或是扭转刚度，圆形截面轴比正方形截面轴具有更好的力截面轴比正方形截面轴具有更好的力学性能学性能EXAMPLE从而，无论是扭转强度或是扭转刚度，圆形截面轴比正方形截面轴具95材料力学Mechanics of Materials薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转96材料力学Mechanics of Materials薄壁杆件薄壁杆件横截面的厚度远小于其它横截面的厚度远小于其它两个尺寸的杆件，即两个尺寸的杆件，即t 截面壁厚截面壁厚d 截面的横向尺寸截面的横向尺寸l 杆件的纵向尺寸杆件的纵向尺寸l ld dd dt t薄壁杆的自由扭转薄壁杆件横截面的厚度远小于其它两个尺寸的杆件，即t 截97材料力学Mechanics of Materialsn横截面的厚度平分横截面的厚度平分线称为线称为截面中线截面中线n n开口薄壁杆件开口薄壁杆件 横截面中线不横截面中线不是一条封闭曲线是一条封闭曲线q闭口薄壁杆件 横截面中线是横截面中线是一条封闭曲线一条封闭曲线薄壁杆的自由扭转横截面的厚度平分线称为截面中线闭口薄壁杆件薄壁杆的自由扭转98材料力学Mechanics of Materials开口薄壁杆件开口薄壁杆件的自由开口薄壁杆件的自由扭转扭转 分析表明，对于分析表明，对于由若干个矩形组成截由若干个矩形组成截面的开口薄壁杆件的面的开口薄壁杆件的自由扭转，采用以下自由扭转，采用以下近似假设近似假设开口薄壁杆件开口薄壁杆件的自由扭转99材料力学Mechanics of Materials开口薄壁杆件1.切应力在每个切应力在每个小矩形上的分小矩形上的分布与矩形截面布与矩形截面杆扭转时相同，杆扭转时相同，即即切应力沿壁切应力沿壁厚线性分布，厚线性分布，在边界上达到在边界上达到最大值，并沿最大值，并沿边界的切线方边界的切线方向向开口薄壁杆件切应力在每个小矩形上的分布与矩形截面杆扭转时相同100材料力学Mechanics of Materials开口薄壁杆件2.每个小矩形截面的每个小矩形截面的扭转角相等，而且扭转角相等，而且等于薄壁杆件的整等于薄壁杆件的整个扭转角，即个扭转角，即 1=2=1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 23.每个小矩形截面上的每个小矩形截面上的扭矩总和等于整个截扭矩总和等于整个截面上的扭矩，即面上的扭矩，即 T1+T2+=TT T1 1T T3 3T T2 2开口薄壁杆件每个小矩形截面的扭转角相等，而且等于薄壁杆件的整101材料力学Mechanics of Materials开口薄壁杆件对于由狭长矩形组成的截面，最大剪对于由狭长矩形组成的截面，最大剪应力将发生在厚度最大的窄矩形截面的长应力将发生在厚度最大的窄矩形截面的长边上边上扭转角为扭转角为：开口薄壁杆件对于由狭长矩形组成的截面，最大剪应力将发生在厚度102材料力学Mechanics of Materials闭口薄壁杆件闭口薄壁杆件的自由扭转闭口薄壁杆件的自由扭转 对于其它形状的闭口对于其它形状的闭口薄壁杆件的自由扭转，与薄壁杆件的自由扭转，与薄壁圆筒相似，由于壁厚薄壁圆筒相似，由于壁厚很小，可以假定很小，可以假定切应力切应力 沿壁厚均匀分布，其方向沿壁厚均匀分布，其方向沿着截面中线的切线而形沿着截面中线的切线而形成环流成环流。t闭口薄壁杆件闭口薄壁杆件的自由扭转t103材料力学Mechanics of Materials在此假设下，用相在此假设下，用相距距dx的两个横截面以及的两个横截面以及垂直于截面中线的两个垂直于截面中线的两个纵截面切去一个单元体，纵截面切去一个单元体，由单元体的轴向（由单元体的轴向（x方方向）平衡得向）平衡得 1 1t1 1dx-2t2dx=0于是，于是，1 1t1 1=2t2=constdxt1t2t1t2t2t1ttM闭口薄壁杆件 t=const称为称为剪力流剪力流。在此假设下，用相距dx的两个横截面以及垂直于截面中线的两个纵104材料力学Mechanics of Materials闭口薄壁杆件Ot tdsrA A闭口薄壁杆件Ot tdsrA105材料力学Mechanics of Materials最大切应力最大切应力tmax和截和截面扭转角面扭转角 的计算公式为的计算公式为最大切应力最大切应力A为截面中线所围成为截面中线所围成的面积的面积当壁厚当壁厚t=const时时，切应力均布切应力均布，且为且为ttM闭口薄壁杆件最大切应力tmax和截面扭转角 的计算公式为当壁厚t=c106材料力学Mechanics of Materials闭口薄壁杆件利用能量法，求截面扭转角利用能量法，求截面扭转角 Ot tdsr当壁厚当壁厚t=const 时时，截面扭转角截面扭转角由闭口薄壁杆件利用能量法，求截面扭转角 Ot tdsr当壁厚107材料力学Mechanics of Materials例例 如图所示的盒形薄壁杆如图所示的盒形薄壁杆件，两端受扭矩件，两端受扭矩M的作用，以至的作用，以至许用剪应力许用剪应力 =60MPa，单位单位长度的许用扭转角长度的许用扭转角q q=0.50/m，剪切模量剪切模量G=80GPa，确定扭矩确定扭矩的许用值。的许用值。解解 盒形薄壁杆的最大盒形薄壁杆的最大切应力发生在壁厚为切应力发生在壁厚为3mm的部的部分分。MM4433100200EXAMPLE例 如图所示的盒形薄壁杆件，两端受扭矩M的作用，以至许用108材料力学Mechanics of Materials由许用切应力由许用切应力得得4433100200EXAMPLE由许用切应力得4433100200EXAMPLE109材料力学Mechanics of Materials由许用扭转角由许用扭转角得得4433100200EXAMPLE由许用扭转角得4433100200EXAMPLE110材料力学Mechanics of Materials从而，许用扭矩为从而，许用扭矩为MM4433100200EXAMPLE从而，许用扭矩为MM4433100200EXAMPLE111材料力学Mechanics of Materials例例 设有相同尺寸的设有相同尺寸的无缝钢管和有缝钢管，无缝钢管和有缝钢管，D/t=20，承受相同的扭矩承受相同的扭矩T，计算并比较它们的剪计算并比较它们的剪应力和扭转角。应力和扭转角。tt薄壁杆件的自由扭转例 设有相同尺寸的无缝钢管和有缝钢管，D/t=20，承受112材料力学Mechanics of Materials解解 根据假定，对有缝根据假定，对有缝钢管，最大剪应力为钢管，最大剪应力为t扭转角为扭转角为解 根据假定，对有缝钢管，最大剪应力为t扭转角为113材料力学Mechanics of Materials 对无缝钢管，最大剪应力为对无缝钢管，最大剪应力为t扭转角为薄壁杆件的自由扭转 对无缝钢管，最大剪应力为t扭转角为薄壁杆件的自由扭114材料力学Mechanics of Materials薄壁杆件的自由扭转 于是，于是，薄壁杆件的自由扭转 于是，115材料力学Mechanics of Materials例例 有一环形薄壁截面有一环形薄壁截面轴和一正方形的箱性薄壁截轴和一正方形的箱性薄壁截面轴，两轴的材料相同，长面轴，两轴的材料相同，长度为度为l，壁厚壁厚d d 和截面面积均和截面面积均相同。如作用在杆端的扭转相同。如作用在杆端的扭转力偶均为力偶均为T，计算并比较它计算并比较它们的剪应力和扭转角。们的剪应力和扭转角。r0b薄壁杆件的自由扭转例 有一环形薄壁截面轴和一正方形的箱性薄壁截面轴，两轴的116材料力学Mechanics of Materials解解 由于环形和箱性薄壁截由于环形和箱性薄壁截面轴的横截面面积相同，即面轴的横截面面积相同，即环形和箱性薄壁截面杆的环形和箱性薄壁截面杆的横截面面积分别为横截面面积分别为从而从而r0b薄壁杆件的自由扭转解 由于环形和箱性薄壁截面轴的横截面面积相同，即环形和箱性117材料力学Mechanics of Materials根据薄壁杆扭转切应力的根据薄壁杆扭转切应力的计算公式，环形和箱性薄壁计算公式，环形和箱性薄壁截面杆的切应力截面杆的切应力 1和和 2之比为之比为r0b薄壁杆件的自由扭转根据薄壁杆扭转切应力的计算公式，环形和箱性薄壁截面杆的切应力118材料力学Mechanics of Materials而环形和箱性薄壁截面杆而环形和箱性薄壁截面杆的扭转角的扭转角 1和和 2之比为之比为r0b薄壁杆件的自由扭转而环形和箱性薄壁截面杆的扭转角j1和j2之比为r0b薄壁杆件119材料力学Mechanics of Materials薄壁杆件的自由扭转一般情况下，有结论一般情况下，有结论闭口截面杆件比开口截面杆件有更闭口截面杆件比开口截面杆件有更好的抗扭性能好的抗扭性能环形闭口截面杆件比矩形闭口截面环形闭口截面杆件比矩形闭口截面杆件有更好的抗扭性能杆件有更好的抗扭性能在矩形闭口截面的内角处，同时存在矩形闭口截面的内角处，同时存在应力集中，进一步降低了材料的在应力集中，进一步降低了材料的使用效率使用效率薄壁杆件的自由扭转一般情况下，有结论120