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机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分图图6.1xoy机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分三三.不定积分的性质不定积分的性质 (2)有限个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数有限个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和和,即即机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分(3)被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外,即即机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分所以结果是正确的所以结果是正确的.机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 由于不定积分是求导数的逆运算，所以由导数的基本公式由于不定积分是求导数的逆运算，所以由导数的基本公式就可以得到对应的不定积分的基本公式：就可以得到对应的不定积分的基本公式：机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 直接利用不定积分公式和性质或通过简单的代数、三角直接利用不定积分公式和性质或通过简单的代数、三角变形能计算的不定积分是非常有限的变形能计算的不定积分是非常有限的,因此有必要探索计算不因此有必要探索计算不定积分的新方法定积分的新方法,下面介绍一种重要的积分方法下面介绍一种重要的积分方法凑微分法凑微分法.二、凑微分法二、凑微分法为了说明这种方法，我们先看下面的例子为了说明这种方法，我们先看下面的例子.机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 所以上面的方法是正确的所以上面的方法是正确的.机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 一般地一般地,若不定积分的被积表达式能写成若不定积分的被积表达式能写成 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 注：从这个例子可以看出，求积分时经常需要用到下注：从这个例子可以看出，求积分时经常需要用到下面两个微分性质面两个微分性质.机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 变量代换的目的是为了便于使用不定积分的基本公式变量代换的目的是为了便于使用不定积分的基本公式,当当运算比较熟练后运算比较熟练后,就可以略去设中间变量的步骤就可以略去设中间变量的步骤.如这个例子的如这个例子的运算过程可以写成运算过程可以写成机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 注：综合上面所举的例子注：综合上面所举的例子,可以使我们认识到凑微分法可以使我们认识到凑微分法没有一个较统一的方法没有一个较统一的方法,因为其中蕴含一些技巧因为其中蕴含一些技巧,因此要掌握因此要掌握凑微分法凑微分法,我们除需牢记公式、性质外我们除需牢记公式、性质外,还应多做一些练习才还应多做一些练习才行行.机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分思考思考题6.22.当我们对一个不定积分求解时当我们对一个不定积分求解时,如何验证结果的正确性如何验证结果的正确性?练习题练习题6.2 1.求下列不定积分求下列不定积分:2.求下列不定积分：求下列不定积分：机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分第三节第三节 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法一、换元积分法一、换元积分法 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 二、换元积分法的应用举例二、换元积分法的应用举例 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分,机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 解解 为去掉被积函数中的根号为去掉被积函数中的根号,利用三角公式取变量代换利用三角公式取变量代换,令令则则 于是于是 图图6.2 tax机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分其中其中 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分可将被可将被积表达式作如下表达式作如下变换:图图6.3 atx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分解一解一 用换元积分法用换元积分法.可见，有些不带根号的问题也可用换元积分法来解决可见，有些不带根号的问题也可用换元积分法来解决.解二解二 用凑微分法用凑微分法 这三种变换叫三角代换这三种变换叫三角代换.作三角代换时作三角代换时,除注意选择好三除注意选择好三角公式外角公式外,还要作好辅助三角形做代换及还原还要作好辅助三角形做代换及还原.机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分 凑微分法应先进行凑微分，然后再换元凑微分法应先进行凑微分，然后再换元,可省略换元过可省略换元过程，而换元积分法必须先进行换元，但不可省略换元及回程，而换元积分法必须先进行换元，但不可省略换元及回代过程，运算起来比凑微分法更复杂代过程，运算起来比凑微分法更复杂.这也是两种方法的不这也是两种方法的不同之处同之处.本节一些例题的结果本节一些例题的结果,可当做公式使用可当做公式使用,为了方便大家使为了方便大家使用用,将这些常用公式列举如下将这些常用公式列举如下:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分思考题思考题6.31.换元积分法一般适合于求哪些类型的不定积分？换元积分法一般适合于求哪些类型的不定积分？2.应用换元积分法时应注意什么？应用换元积分法时应注意什么？3.凑微分法与换元积分法有何区别？凑微分法与换元积分法有何区别？机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分2.求下列不定积分：求下列不定积分：（1）（2）3.分别用凑微分法及换元积分法求下列不定积分：分别用凑微分法及换元积分法求下列不定积分：（1）（2）（3）（4）练习题练习题 6.31.求下列不定积分求下列不定积分（1）（2）机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分第四节第四节 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分所以可直接设所以可直接设 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分所以所以 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分解解 先用换元积分法先用换元积分法,再用分部积分法再用分部积分法.解一解一 用凑微分法用凑微分法,得得机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分解三解三 用分部积分法用分部积分法,得得机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案不定积分不定积分思考题思考题6.4 1.分部积分法适用于哪些类型的不定积分分部积分法适用于哪些类型的不定积分?练习题练习题6.41.求下列不定积分求下列不定积分谢谢
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