第7章-梁的弯曲变形(机械类)课件

材材 料料 力力 学学戴宏亮戴宏亮 编著编著湖南大学湖南大学 机械与运载工程学院机械与运载工程学院工程力学系工程力学系材 料 力 学戴宏亮 编著湖南大学 机械与运载工程学院第七章 梁的弯曲变形第七章 梁的弯曲变形首页上一页下一页3第七章 梁的弯曲变形第七章第七章第七章第七章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的弯曲变形 5 5.1 .1 梁弯曲梁弯曲梁弯曲梁弯曲变变形的概念形的概念形的概念形的概念 5 5.2 .2 挠曲线微分方程和刚度条件挠曲线微分方程和刚度条件挠曲线微分方程和刚度条件挠曲线微分方程和刚度条件 5 5.3 .3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形第七章 梁的弯曲变形5.1 梁弯曲变形的概念5.2 首页上一页下一页4第七章 梁的弯曲变形本章小结本章小结本章小结本章小结 5 5.5 5 简单超静定梁简单超静定梁简单超静定梁简单超静定梁 5 5.6 6 提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施 5 5.4 4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形本章小结5.5 简单超静定梁5.6 提高梁抗弯刚度的首页上一页下一页5第七章 梁的弯曲变形7-17-17.1 梁弯曲变形的概念梁弯曲变形的概念7-17.1 梁弯曲变形的概念首页上一页下一页6第七章 梁的弯曲变形挠曲线方程：挠曲线方程：由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠曲线挠度转角挠度挠度w：截面形心在y方向的位移。符号：符号：与y轴正方向相同为正。转角转角：截面绕中性轴转过的角度。符号：符号：与y轴正方向相同为正。挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠曲线首页上一页下一页7第七章 梁的弯曲变形2 2.挠度：挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移用横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移用 w 表示，与坐标表示，与坐标 y 同向为正，反之为负。同向为正，反之为负。3 3.转角：转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示表示 逆时针转动为正，逆时针转动为正，反之为负。反之为负。1 1.挠曲线：挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线梁变形后，轴线变成的光滑曲线2.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移用 首页上一页下一页8第七章 梁的弯曲变形挠曲线挠曲线挠度挠度转角转角7-27-27.2 挠曲线微分方程和刚度条件挠曲线微分方程和刚度条件1.1.梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程纯弯曲纯弯曲时，得到：时，得到：MM横力弯曲横力弯曲时时,忽略剪力忽略剪力对变形的影响对变形的影响挠曲线挠度转角7-27.2 挠曲线微分方程和刚度条件1首页上一页下一页9第七章 梁的弯曲变形由数学知识可知：由数学知识可知：略去高阶小量，得略去高阶小量，得所以所以由数学知识可知：略去高阶小量，得所以首页上一页下一页10第七章 梁的弯曲变形 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数首页上一页下一页11第七章 梁的弯曲变形2.2.梁弯曲的刚度条件梁弯曲的刚度条件 工程中根据不同的需要，常限制梁的最工程中根据不同的需要，常限制梁的最大挠度和最大转角使其不超过某一规定数值。大挠度和最大转角使其不超过某一规定数值。建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：2.梁弯曲的刚度条件 工程中根据不同的首页上一页下一页12第七章 梁的弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程为：7.3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠首页上一页下一页13第七章 梁的弯曲变形 积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。条件确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 弹簧变形弹簧变形 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定首页上一页下一页14第七章 梁的弯曲变形例题例题 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的梁的EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整体平衡分析可得：）由梁的整体平衡分析可得：2 2）写出）写出x x截面的弯矩方程截面的弯矩方程3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次积分一次再积分一次再积分一次A AB BF F例题 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的首页上一页下一页15第七章 梁的弯曲变形 4 4）由位移边界条件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数 代入求解代入求解5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度A AB BF F 4）由位移边界条件确定积分常数 代入求解5）确定转角方程和首页上一页下一页16第七章 梁的弯曲变形例题例题 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的度，梁的EIEI已知，已知，l=a+b，ab。1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：2 2）弯矩方程）弯矩方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：解解例题 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁首页上一页下一页17第七章 梁的弯曲变形3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分AC AC 段：段：CB CB 段：段：3）列挠曲线近似微分方程并积分AC 段：CB 段：首页上一页下一页18第七章 梁的弯曲变形4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条首页上一页下一页19第七章 梁的弯曲变形5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：5）确定转角方程和挠度方程AC 段：CB 段：首页上一页下一页20第七章 梁的弯曲变形6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，令令 得，得，6）确定最大转角和最大挠度令 得，令 首页上一页下一页21第七章 梁的弯曲变形积分法求梁的变形关键点：积分法求梁的变形关键点：分段列弯距方程 寻找边界条件分段 AB、BC、CD三段，六个积分常数边界条件 PDABC积分法求梁的变形关键点：分段列弯距方程 寻找边界条件分首页上一页下一页22第七章 梁的弯曲变形边界条件：分分分分段段段段原原原原则则则则：集集中中力力、集集中中力力偶偶作作用用点点，分分布布力力的的起、终点，梁的自然端点为分段点。起、终点，梁的自然端点为分段点。边边边边界界界界条条条条件件件件：支支承承条条件件、连连续续条条件件、光光滑滑条条件件。有有多多少少积积分分常常数数就就有有且且仅仅有有多多少少个个边边界界条件。条件。ABC边界条件：分段原则：集中力、集中力偶作用点，分布力的起、终点首页上一页下一页23第七章 梁的弯曲变形 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处处转角不超过许用数值。转角不超过许用数值。B1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为：解解例题例题 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 20 kN，al m，l2 m，E E=206=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5=0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转首页上一页下一页24第七章 梁的弯曲变形B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径：B2）由刚度条件确定轴的直径：首页上一页下一页25第七章 梁的弯曲变形例题例题例题例题 已知：q=10kN/m，L=3m，试设计截面。hbABLq解：解：(1)按强度条件设计按强度条件设计A截面为危险截面例题 已知：q=10kN/m，L=3m，试设计截面。hb首页上一页下一页26第七章 梁的弯曲变形(2)按刚度条件设计按刚度条件设计ABLqhb代入刚度条件可得：综合考虑强度和刚度条件，取：(2)按刚度条件设计ABLqhb代入刚度条件可得：综合考虑首页上一页下一页27第七章 梁的弯曲变形 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为w w，则有：，则有：若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：所以，所以，7.4 叠加叠加法求弯曲变形法求弯曲变形1.叠加叠加法法 设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x首页上一页下一页28第七章 梁的弯曲变形故故由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此重要结论：重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算这就是计算弯曲变形的叠加原理弯曲变形的叠加原理。故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：首页上一页下一页29第七章 梁的弯曲变形LAPBABLq挠度：3、8、48、5384转角：2、6、16、24APBL/2L/2CABqL/2L/2CLAPBABLq挠度：3、8、48、5384转角：2、6首页上一页下一页30第七章 梁的弯曲变形例例题题：求求A点转角和点转角和C点挠度。点挠度。BBqBqPP=+AAACaa解解：a)载荷分解如图b)查表例题：求A点转角和C点挠度。BBqBqPP=+AAACaa首页上一页下一页31第七章 梁的弯曲变形c)叠加c)叠加首页上一页下一页32第七章 梁的弯曲变形qBACla例题例题:已知：悬臂梁受力如图已知：悬臂梁受力如图示，示，q、l、a、EI均为已知。求均为已知。求C 截面的挠度截面的挠度yC和转角和转角 C。解：解：解：解：qBAClaByByCqBACla例题:已知：悬臂梁受力如图示，q、l、a、E首页上一页下一页33第七章 梁的弯曲变形例题例题 已知：悬臂梁受力如图已知：悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的挠度w wC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 先将均布载荷延长至梁先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在荷作用的效果，在AB AB 段还段还需再加上集度相同、方向相需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。反的均布载荷。解解例题 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截首页上一页下一页34第七章 梁的弯曲变形3 3）将结果叠加）将结果叠加 2 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。3）将结果叠加 2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，首页上一页下一页35第七章 梁的弯曲变形解解：分别考虑AB和BC梁段的情况。LaABCP(a)刚化BC例题例题例题例题 求图示荷载作用下，C截面的挠度。LaABCPLaABCPBaB2.逐段叠加法逐段叠加法解：分别考虑AB和BC梁段的情况。LaABCP(a)刚化B首页上一页下一页36第七章 梁的弯曲变形(c)叠加(b)刚化ABBCPLaABCPLaABCPBaB(a)刚化BC(c)叠加(b)刚化ABBCPLaABCPLaABCP首页上一页下一页37第七章 梁的弯曲变形例题：例题：如图，求C截面的挠度和转角 ABC例题：如图，求C截面的挠度和转角 ABC首页上一页下一页38第七章 梁的弯曲变形（1）逐段刚化法。）逐段刚化法。分段，区分支承部分和附加部分。ABC（2 2）刚化）刚化BCBC段。段。静力等效BC段的均布载荷。（1）逐段刚化法。ABC（2）刚化BC段。首页上一页下一页39第七章 梁的弯曲变形（3）刚化）刚化AB段。段。ABC（4）叠加）叠加（3）刚化AB段。ABC（4）叠加首页上一页下一页40第七章 梁的弯曲变形1.超静定梁简述超静定梁简述超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.超静定梁的基本求解方法：超静定梁的基本求解方法：确定超静定次数 将超静定梁转化为静定梁 写出变形协调条件 联立求解平衡方程、变形协调方程以及物理方程 解出全部未知力 进行强度与刚度的计算。变协调方程：变协调方程：根据多余约束对位移的限制，建立各部分位 移之间的几何方程。7.5 简单超静定梁简单超静定梁1.超静定梁简述超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁首页上一页下一页41第七章 梁的弯曲变形解：解：3个反力，2个平衡方程ACqFRBFRAFRCACqFRB例题例题 求图示梁的约束反力。ABCllq相当系统（或静定基）如图1.变形协调关系：变形协调关系：2.物理关系：物理关系：解：3个反力，2个平衡方程ACqFRBFRAFRCACqFR首页上一页下一页42第七章 梁的弯曲变形ACqFRBFRAFRC3.平衡关系：平衡关系：4.联立三式：联立三式：ACqFRBFRAFRC3.平衡关系：4.联立三式：首页上一页下一页43第七章 梁的弯曲变形解解例题例题 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，转化为静定梁）解除多余约束，转化为静定梁3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件解例题 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。1）判定超静定次首页上一页下一页44第七章 梁的弯曲变形4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 所以所以5 5）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 4）由物理关系，列出补充方程 所以5）由整体平衡条件求其他约首页上一页下一页45第七章 梁的弯曲变形例题例题 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度两端固定，梁的抗弯刚度均为均为EIEI，F F=40kN=40kN，q q=20kN/m=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：FBMMA AF FA AwB1 FBMMC CF FC CwB2物理关系物理关系解解例题 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁首页上一页下一页46第七章 梁的弯曲变形FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CwB1wB2代入得补充方程：代入得补充方程：确定确定A A 端约束力端约束力FB FBMAFAMCFCwB1wB2代入得补充方程：确定首页上一页下一页47第七章 梁的弯曲变形FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CwB1wB2确定确定B B 端约束力端约束力FB FBMAFAMCFCwB1wB2确定B 端约束力首页上一页下一页48第七章 梁的弯曲变形MMA AF FA AMMC CF FC CA A、B B 端约束力已求出端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图MAFAMCFCA、B 端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩首页上一页下一页49第七章 梁的弯曲变形7.6 提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施材料材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；截面截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；跨度跨度梁的位移与跨度 l 的 n次幂LAPB7.6 提高梁抗弯刚度的措施材料梁的位移与材料的弹性首页上一页下一页50第七章 梁的弯曲变形1 1 选择合理的截面形状选择合理的截面形状7.6 提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施1 选择合理的截面形状7.6 提高梁抗弯刚度的措施首页上一页下一页51第七章 梁的弯曲变形2 2 合理选择材料合理选择材料影响梁强度强度的材料性能是极限应力极限应力 u；影响梁刚度刚度的材料性能是弹性模量弹性模量 E。钢材(或各种铝合金)的极限应力虽然差别很大，但它们的弹性模量十分接近。2 合理选择材料影响梁强度的材料性能是极限应力 u；影响梁首页上一页下一页52第七章 梁的弯曲变形3 3 梁的合理加强梁的合理加强超静定加强超静定加强3 梁的合理加强超静定加强首页上一页下一页53第七章 梁的弯曲变形4 4 合理安排梁的约束与加载方式合理安排梁的约束与加载方式改变支座形式改变支座形式APBL/2L/2CLAPB4 合理安排梁的约束与加载方式改变支座形式APBL/2L/2首页上一页下一页54第七章 梁的弯曲变形改变载荷类型改变载荷类型APBL/2L/2CABqL/2L/2C改变载荷类型APBL/2L/2CABqL/2L/2C首页上一页下一页55第七章 梁的弯曲变形1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3 3、学会求解简单超静定问题、学会求解简单超静定问题本章小结本章小结1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分法和首页上一页下一页56第七章 梁的弯曲变形作业题作业题第一次课：第一次课：7-1，7-7，7-10，7-13第二次课：第二次课：7-20，7-21第三次课：第三次课：7-15，7-16，7-18第四次课：第四次课：7-19，7-22作业题第一次课：7-1，7-7，7-10，7-13第七章结 束第七章结 束