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我我们们首首先先引引入入的的计计算算概概率率的的数数学学模模型型，是是在在概概率率论论的的发发展展过过程程中中最最早早出出现现的的研研究究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型 一、古典概型一、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分析，假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei，比比任一其它结果，例如任一其它结果，例如 ej,更有优势，则我们只好认更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会的出现机会.e1,e2,，eN,常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.e1,e2,，eN 试验结果试验结果你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？2 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球个大小、形状完全相同的球.将球编号为将球编号为110.把球搅匀，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球蒙上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认全平等的，我们没有理由认为为10个球中的某一个会比另个球中的某一个会比另一个更容易取得一个更容易取得.也就是说，也就是说，10个球中的任一个被取出的个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为机会是相等的，均为1/10.1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球，i=1,2,10.称这样一类随机试验为称这样一类随机试验为古古典概型典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说基本或者说基本事件事件)出现的可能性相同出现的可能性相同.S=1,2,10,则该试验的样本空间则该试验的样本空间 如如i=2称这种试验为称这种试验为等可能随机试验等可能随机试验或或古典概型古典概型.若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.定义定义定义定义 1 1二、古典概型中事件概率的计算二、古典概型中事件概率的计算记记 A=摸到摸到2号球号球 P(A)=?P(A)=1/10记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=?P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6这里实际上是从这里实际上是从“比例比例”转化为转化为“概率概率”记记 B=摸到红球摸到红球 ,P(B)=6/10静态动态 当我们要求当我们要求“摸到红球摸到红球”的概率的概率时，只要找出它在静态时相应的比时，只要找出它在静态时相应的比例例.2 3479108615三、古典概率计算举例三、古典概率计算举例例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：个英文单词：C ISN C EE问：在多大程度上认为这样的结果问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在的事件在1260次试验中大约出现次试验中大约出现1次次.解解 七个字母的排列总数为七个字母的排列总数为7！这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术的把握怀疑这是魔术.解解=0.3024允许重复的排列允许重复的排列问问错在何处？错在何处？例例2 某城市的电话号码由某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可个数字组成，每个数字可能是从能是从0-9这十个数字中的任一个，求这十个数字中的任一个，求电话号码由五电话号码由五个不同数字组成个不同数字组成的概率的概率.计算样本空间样本点总数和所求事件计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同所含样本点数计数方法不同.从从10个不同数字中个不同数字中取取5个的排列个的排列例例3 设有设有N件产品件产品,其中有其中有M件次品件次品,现从这现从这N件中件中任取任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解解 令令B=恰有恰有k件次品件次品P(B)=？次品正品M件次件次品品N-M件件正品正品解解 把把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只的分法只的分法总数为总数为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,故故例例4 n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，每堆堆，每堆2只只.问问:“各堆都自成一双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的概率是多的概率是多少？少？分球入箱问题分球入箱问题请看下面的演示请看下面的演示以球、箱模型为例给出一类常见的以球、箱模型为例给出一类常见的古典概型中的概率计算古典概型中的概率计算 “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.请注意：请注意：在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我们就可我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏要重复计数，也不要遗漏.例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中只鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？）的概率是多少？下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？错在同样的错在同样的“4只配成两只配成两双双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中只鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？）的概率是多少？正确的答案是：正确的答案是：请思考：请思考：还有其它解法吗？还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏要重复计数，也不要遗漏.3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有间房中各有一人的概率一人的概率.人人房房3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这求这n(n 365)个人的生日互不相同的概率个人的生日互不相同的概率.人人任一天任一天3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在个车站，设每个人在每站下车的概率为每站下车的概率为1/N(N n)，求指定的，求指定的n个站各个站各有一人下车的概率有一人下车的概率.旅客旅客车站车站3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：某城市每周发生某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸次车祸，假设每天发生车祸的概率相同的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸车祸天天你还可以举出其它例子，留作课下练习你还可以举出其它例子，留作课下练习.这一讲，我们介绍了古典概型这一讲，我们介绍了古典概型.古典概型古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用虽然比较简单，但它有多方面的应用.是常见的几种模型是常见的几种模型.箱中摸球箱中摸球分球入箱分球入箱随机取数随机取数分组分配分组分配课下可通过作业进一步掌握课下可通过作业进一步掌握.四、小结四、小结古典概型的定义古典概型的定义古典概率的求法古典概率的求法概率统计标准化作业概率统计标准化作业(一一)五、五、布置作业布置作业
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