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休息休息结束结束第六章 样本及抽样分布休息休息结束结束本章本章转转入入课课程的第二部分程的第二部分数理统计数理数理统计统计的特点是的特点是应应用面广，分支用面广，分支较较多。多。社会的社会的发发展不断向展不断向统计统计提出新的提出新的问题问题。休息休息结束结束需要需要强强调说调说明一点：明一点：统计统计方法具有方法具有“部分推断整体部分推断整体”的特的特征征。因因为为我我们们是从一小部分是从一小部分样样本本观观察察值值去推断去推断该该全体全体对对象（象（总总体体）情况，即由）情况，即由部分推断全体。部分推断全体。这这里使用的推理方法是里使用的推理方法是“归纳归纳推理推理”。休息休息结束结束6.1随机随机样样本本1.1.总总体与个体体与个体一一个个统计问题总统计问题总有它明确的研究有它明确的研究对对象。象。研究研究对对象的全体称象的全体称为为总总体体(母体母体)，总总体中每个成体中每个成员员称称为为个体个体。休息休息结束结束在数理在数理统计统计中，中，总总体体这这个概念个概念的的要旨要旨是：是：总体就是一个概率分布。-50005001000150020000510152025休息休息结束结束容量容量为为n 的的样样本（也称本（也称为为子子样样）可以可以看作看作n 维维随机随机变变量：量：(X1,X2,Xn )但是，一旦取定一但是，一旦取定一组样组样本，得到的是本，得到的是n个具体的数个具体的数(x1,x2,xn)，称，称为样为样本的本的一次一次观观察察值值，简简称称样样本本观观察察值值。休息休息结束结束最常用的一种抽最常用的一种抽样样方法叫作方法叫作“简单简单随机抽随机抽样样”，它要求抽取的，它要求抽取的样样本本满满足下足下面两点面两点:休息休息结束结束1.代表性代表性：X1,X2,Xn 中每一个中每一个与所考察的与所考察的总总体有相同的分布。体有相同的分布。2.独立性独立性：X1,X2,Xn是相互独是相互独立的随机立的随机变变量。量。休息休息结束结束由由简单简单随机抽随机抽样样得到的得到的样样本本(子子样样）称）称为为简单简单随机随机样样本（子本（子样样）。用用（X1,X2,Xn）表示。表示。简单简单随机随机样样本是本是应应用中最常用中最常见见的情形，的情形，今后，当今后，当说说到到（X1,X2,Xn）是取自是取自某某总总体的体的样样本本时时，就指，就指简单简单随机随机样样本本。休息休息结束结束3.总总体、体、样样本、本、样样本本值值的关系的关系总总体（理体（理论论分布）分布）样样本本样样本本值值休息休息结束结束6.2抽抽样样分布分布1.统计统计量及其抽量及其抽样样分布分布这这种种不含任何未知参数的不含任何未知参数的样样本的函数称本的函数称为为统统计计量量。它是完全由。它是完全由样样本决定的量。本决定的量。统计统计量的分布量的分布称称为为抽抽样样分布分布。休息休息结束结束2.样样本均本均值值及其抽及其抽样样分布分布1.样样本均本均值值反映了总体均值的信息休息休息结束结束定定理理:设设是是来来自自某某总总体体X的的样样本本,为样为样本均本均值值。1.若若总总体体分分布布为为N(,2),则则的的精精确确分分布布为为N(,2/n)；2.若若总总体体分分布布未未知知或或不不是是正正态态分分布布，则则的的渐渐近分布近分布为为N(,2/n)；休息休息结束结束2.样样本方差与本方差与样样本本标标准差准差它反映了它反映了总总体方差体方差的信息的信息样样本方差本方差样样本本标标准差准差休息休息结束结束休息休息结束结束定理定理设总设总体体X有有EX=,DX=2，X1,X2,Xn 是来自是来自总总体体 X 的的样样本，本，则则：休息休息结束结束3.样样本本k阶阶原点矩原点矩它反映了它反映了总总体体k 阶阶矩矩的信息的信息4.样样本本k阶阶中心矩中心矩k=1,2,它反映了它反映了总总体体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息休息休息结束结束统计统计量也是随机量也是随机变变量量，统计统计量的量的分布称分布称为统计为统计量的量的“抽抽样样分布分布”.抽抽样样分布分布精确抽精确抽样样分布分布（小（小样样本本问题问题中使用）中使用）渐渐近分布近分布（大（大样样本本问题问题中使用中使用)休息休息结束结束三大抽三大抽样样分布分布分布分布1、定定义义:设设相互独立相互独立,都服从正都服从正态态分布分布N(0,1),则则称随机称随机变变量：量：所服从的分布所服从的分布为为自由度自由度为为 n的的 分布分布.记为记为：休息休息结束结束分布的密度函数分布的密度函数为为：.其中伽其中伽玛玛函数函数定定义为义为休息休息结束结束1.设设相互独立相互独立,都服从分布都服从分布则则2.设设且且X1,X2相互相互独立，独立，则则分布的性分布的性质质：休息休息结束结束若若则则 EX=n,DX=2n由中心极限定理可得，若由中心极限定理可得，若，则则当当n充分大充分大时时，的分布近似正的分布近似正态态分布分布N(0,1).休息休息结束结束2、t 分布分布设设XN(0,1),Y,且且X与与Y相相互互独立，独立，则则称称变变量量所服从的分布所服从的分布为为自由度自由度为为n的的t 分布分布。记为记为：T t(n).休息休息结束结束T 的密度函数的密度函数为为：具有自由度具有自由度为为n的的t分布的随机分布的随机变变量量T的数的数学期望和方差学期望和方差为为:E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对对 n 2休息休息结束结束t分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对对称，且称，且当当n充分大充分大时时，其，其图图形形类类似于似于标标准正准正态态分布密度函数的分布密度函数的图图形。形。休息休息结束结束不不难难看到，当看到，当n充分大充分大时时，t 分布近分布近似似N (0,1)分布。分布。但但对对于于较较小的小的n，t分布分布与与N(0,1)分布相差很大。分布相差很大。休息休息结束结束3、F分布分布设设X与与Y相互独立，相互独立，则则称称统计统计量量服从服从自由度自由度为为n1及及n2的的F分布分布，n1称称为为第第一自由度，一自由度，n2称称为为第二自由度，第二自由度，记记作作：F F(n1,n2).休息休息结束结束由定由定义义可可见见，F(n2,n1)休息休息结束结束若若XF(n1,n2)，X的概率密度的概率密度为为X的数学期望的数学期望为为:若若n22即它的数学期望并不依即它的数学期望并不依赖赖于第一自由度于第一自由度n1.休息休息结束结束9.20 xy一般地，一般地，休息休息结束结束令：令：则则xy休息休息结束结束=0.1605休息休息结束结束四、几个重要的抽四、几个重要的抽样样分布定理分布定理定理定理1(样样本均本均值值的分布的分布)设设X1,X2,Xn 是取自正是取自正态总态总体体的的样样本，本，则则有：有：休息休息结束结束 n取不同取不同值时样值时样本均本均值值的分布的分布休息休息结束结束定理定理2(样样本方差的分布本方差的分布)设设X1,X2,Xn 是取自正是取自正态总态总体体的的样样本本,分分别为样别为样本均本均值值和和样样本方差本方差,则则有：有：休息休息结束结束比较：休息休息结束结束n取不同取不同值时值时的分布的分布休息休息结束结束定理定理3设设X1,X2,Xn 是取自正是取自正态总态总体体的的样样本本,分分别为样别为样本均本均值值和和样样本方差本方差,则则有：有：休息休息结束结束证明：独立独立休息休息结束结束定理定理4(两两总总体体样样本均本均值值差的分布差的分布)分分别别是是这这两个两个样样本的本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取自X的的样样本本,取自取自Y的的样样本本,分分别别是是这这两个两个样样本的本的样样本方差本方差,均均值值,则则有：有：Y1,Y2,是是样样本本休息休息结束结束其中其中休息休息结束结束证明：休息休息结束结束定理定理5(两两总总体体样样本方差比的分布本方差比的分布)分分别别是是这这两个两个样样本的本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取自X的的样样本本,取自取自Y的的样样本本,分分别别是它是它们们的的样样本方差本方差,均均值值，则则有：有：Y1,Y2,是是样样本本休息休息结束结束证明：独立独立
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