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机械动力学机械动力学第一章第一章 绪论绪论111 1机器动态性能机器动态性能广义讲：动刚度 动精度 热稳定性习惯讲：动力特性 动刚度具体讲：抵抗振动的能力抗振性 加工质量稳定性 切削效率1-1112 2 机械动力学的基本内容机械动力学的基本内容屈维德说：振动设计、系统识别振动设计、系统识别和和环境预测环境预测三三者可概括为现代机械动力学研究者可概括为现代机械动力学研究的基本内容的基本内容1.1.振动设计（动态设计）：已知振动设计（动态设计）：已知激励激励，规定，规定 响应响应要求，设计要求，设计系统系统的振动特性的振动特性 又称动力学的又称动力学的逆问题逆问题 反复试凑修改的过程反复试凑修改的过程1-22.2.系统识别：已知系统识别：已知激励激励，给定，给定系统系统，测试，测试响应响应 用测试数据与数学分析相结合方用测试数据与数学分析相结合方 法确定振动系统数学模型法确定振动系统数学模型 已知机械结构运动方程一般形式时，系已知机械结构运动方程一般形式时，系 统识别简化为统识别简化为参数识别参数识别 又称动力学的又称动力学的正问题正问题 系统识别属动力分析范围系统识别属动力分析范围动力分析研究三方面问题：动力分析研究三方面问题：固有特性问题（系统识别固有特性问题（系统识别 参数识别）参数识别）动力响应问题动力响应问题 动力稳定性问题动力稳定性问题1-33.环境预测：已知环境预测：已知系统系统（特性）、（特性）、响应响应，研研究究激激励励（振源分析（振源分析故障诊断）故障诊断）113 3动态问题的特点动态问题的特点 1.1.振动学科：物理或力学分枝振动学科：物理或力学分枝 基础学科基础学科 解解 决工程中动力学问题决工程中动力学问题-工程学科工程学科-振动振动 工程工程 2.2.振动工程：解决工程中动态问题振动工程：解决工程中动态问题 3.3.动态问题：动态载荷作用于动态系统，构动态问题：动态载荷作用于动态系统，构 成动态问题成动态问题 1-44.4.动动态态载载荷荷：迅迅速速变变化化（交交变变 突突变变）的载荷的载荷 5.5.工程中许多问题必须作为动态问题处理工程中许多问题必须作为动态问题处理 6.6.动态问题的特点动态问题的特点 a.a.复复杂杂性性：载载荷荷作作用用的的“后后效效性性”响应响应 对过去载荷经历的对过去载荷经历的“记忆性记忆性”静载荷静变形与加载过程无关1-5b.b.危险性：共振现象危险性：共振现象 自激振动（颤振）自激振动（颤振）c.c.超常性：其现象、规律及防治方法超越生活超常性：其现象、规律及防治方法超越生活 常识常识 （削边镗杆（削边镗杆 动力减振器）动力减振器）先有严谨完善理论后有工程应用先有严谨完善理论后有工程应用参考书参考书昆明工学院机床动力学昆明工学院机床动力学 清华大学清华大学 机械振动机械振动S SA ATOBAISTOBAIS机床动力学机床动力学WILLIAM T.THOMSONWILLIAM T.THOMSONTheory of Vibration with ApplicationsTheory of Vibration with Applications师汉民等机械振动系统师汉民等机械振动系统1-6115 5 振振 动动 的的 控控 制制一一.振动控制实现途径振动控制实现途径1.振动工程重要分支振动工程重要分支出发点和归宿出发点和归宿2.振动控制：振动控制：利用利用抑制抑制3.振动控制的五个环节振动控制的五个环节(1).确定振源特征：振源位置确定振源特征：振源位置激励特性激励特性振动特征：受迫振动特征：受迫自激振动自激振动(2)确定振动控制水平确定振动控制水平:衡量振动水平的指标（位移衡量振动水平的指标（位移速度速度加速度加速度应力）应力）量（最大值量（最大值均方根值）均方根值）(3)确定振动控制方法：隔振确定振动控制方法：隔振吸振吸振阻振阻振消振消振结构修改结构修改(4)(4)振动分析与设计：建立受控对象和控制装置的力学模型，振动分析与设计：建立受控对象和控制装置的力学模型，设计控制装置参数和结构设计控制装置参数和结构控制装置：吸振器控制装置：吸振器隔振器隔振器阻尼器等阻尼器等(5)实现实现1-7机床的振源分析框图机床的振源分析框图1-8二二.振动控制的分类振动控制的分类1.按不同性质的振动分按不同性质的振动分(1)动力响应的控制：受迫振动的控制（共振）动力响应的控制：受迫振动的控制（共振）(2)动力稳定性的控制：自激振动的控制动力稳定性的控制：自激振动的控制2.按不同抑制振动手段分（按不同抑制振动手段分（5种）种）(1)消振：消除或减弱振源（治本）消振：消除或减弱振源（治本）动平衡方法消除质量不平衡引起的离心力及力矩动平衡方法消除质量不平衡引起的离心力及力矩 车刀颤振车刀颤振冷却剂减少车刀后刀面与工件间磨擦力冷却剂减少车刀后刀面与工件间磨擦力（破坏产生颤振的条件）破坏产生颤振的条件）抵消振动：由控制引起的振动抵消未加控制的原振动抵消振动：由控制引起的振动抵消未加控制的原振动(2)隔振：振源与受控对象之间串加一个子系统隔振：振源与受控对象之间串加一个子系统(3)吸振：动力吸振吸振：动力吸振-受控对象上附加一个子系统受控对象上附加一个子系统1-9(4)阻振：阻尼减振阻振：阻尼减振-受控对象上附加阻尼器或阻尼元件（消受控对象上附加阻尼器或阻尼元件（消耗能量）耗能量）(5)结构修改：修改受控对象的动力学特征参数（质量结构修改：修改受控对象的动力学特征参数（质量刚度刚度阻阻尼参数）尼参数）实际存在的受控对象：结构修改问题实际存在的受控对象：结构修改问题设计阶段的受控对象：动态设计问题设计阶段的受控对象：动态设计问题3.按是否要能源分按是否要能源分(1)无源控制：被动控制无源控制：被动控制(2)有源控制：主动控制有源控制：主动控制1-10三、振动主动控制三、振动主动控制1.两类控制方式：开环两类控制方式：开环闭环闭环开环控制开环控制闭环控制闭环控制开环控制：控制器中的控制规律是预先设置好，与振动状开环控制：控制器中的控制规律是预先设置好，与振动状态无关态无关闭环控制：控制器按受控对象的振动状态为反馈信息而工作闭环控制：控制器按受控对象的振动状态为反馈信息而工作2.振动主动控制系统的组成振动主动控制系统的组成(1)受控对象：控制对象（产品受控对象：控制对象（产品结构或系统的总称）结构或系统的总称）(2)作动器：又称作动机构。提供作用力（或力矩）的装置作动器：又称作动机构。提供作用力（或力矩）的装置1-11直接施加在受控对象或通过附加子系统作用受控对象直接施加在受控对象或通过附加子系统作用受控对象常用作动器：伺服液压式常用作动器：伺服液压式伺服气动式伺服气动式电磁式电磁式电动式电动式电压式电压式(3)控制器：核心环节控制器：核心环节实现所需的控制律实现所需的控制律其输出是驱动作其输出是驱动作动器动器动作的指令动作的指令开环：其输入是按程序预先设置开环：其输入是按程序预先设置闭环：其输入通过测量系统感受受控对象的振动信息闭环：其输入通过测量系统感受受控对象的振动信息控制律：模拟电路控制律：模拟电路-模拟控制模拟控制数字计算机数字计算机-数字控制数字控制(4)测量系统：振动信息转换并传输到控制器（传感器测量系统：振动信息转换并传输到控制器（传感器适调器适调器放大器放大器滤波器）滤波器）(5)能源：为作动器提供外界能量（液压油源能源：为作动器提供外界能量（液压油源气源气源电源）电源）(6)附加子系统：有些系统没有附加子系统：有些系统没有1-123.两类振动主动控制问题两类振动主动控制问题:动力响应的主动控制动力响应的主动控制动稳定性的主动控制动稳定性的主动控制四、振动主动控制的应用简介四、振动主动控制的应用简介1.二十世纪20年代 电磁阀控制的缓冲器（雏型）2.1960年前后 出现复杂振动主动控制系统-解决航空工程的振动问题 59年对B52型飞机机身侧向弯曲模态进行主动控制 美国空军飞行动力实验室两项结构模态控制的研究，一项66年开始“载荷减轻与模态镇定”另一项67年开始“突风减缓与结构动力增稳系统”为飞机颤振主动抑制的研究创造了条件3.1971年9月止,B-52G、H型飞机都装上了抑制低频结构模态振动的系统.4.1980年振动主动控制的研究从航空工程扩展到其它工程领域航天工程领域：大柔性结构(大型天线 太阳能电池板 空间站)其模态频率低且密集、阻尼 小 在太空运行时,一旦受外干扰,大幅度的自由振动要延续很长时间.由此 提出许多主动控制的新方案.机械工程领域：采用主动控制技术消除柔性机器人臂在终端位置处的振动 抑制挠性转轴通过临界转速的主动控制研究,是当今转子动力学研究热点交通运输工程领域：车辆主动隔振、半主动隔振方面,已研制出主动支承元件.1-13五、振动主动控制的近期新进展五、振动主动控制的近期新进展1.受控对象与控制器的联合优化设计受控对象与控制器的联合优化设计有三种不同的解法：有三种不同的解法：(1)串串行行(顺顺序序)解解法法：受受控控结结构构优优化化与与控控制制器器优优化化设设计计分分成成两两个个”独独立立”阶阶段段进进行行.在在完成一次循环迭代后完成一次循环迭代后,与前一次循环迭代结果进行比较与前一次循环迭代结果进行比较,以决定需再从哪个阶段以决定需再从哪个阶段进行设计进行设计.(2)并行并行(同时同时)解法：受控结构与控制器设计参数都等同地视为设计变量解法：受控结构与控制器设计参数都等同地视为设计变量,同时进同时进行优化行优化.(3)多级分解的一体化设计方法：把整个优化过程分为系统级和子系统级的优化多级分解的一体化设计方法：把整个优化过程分为系统级和子系统级的优化1-142.新型作动器及其它主动元件新型作动器及其它主动元件作动器是影响主动控制实现的重要环节作动器是影响主动控制实现的重要环节.目前重点在对不需要固定基础目前重点在对不需要固定基础的轻型作动器的研究的轻型作动器的研究。主要有反作用式作动器。主要有反作用式作动器压电陶瓷压电陶瓷形状记忆合形状记忆合金金电电/磁致伸缩材料磁致伸缩材料电流变液等构成的作动器或主动元件。电流变液等构成的作动器或主动元件。(1)反作用式作动器反作用式作动器控制作动器中某一部件的运动控制作动器中某一部件的运动,使其产生的反作用力作用于受控对象使其产生的反作用力作用于受控对象,以控制受控对象的振动水平以控制受控对象的振动水平.对线位移振动对线位移振动有惯性质量型作动器有惯性质量型作动器角位移振动角位移振动有反作用轮型作动器有反作用轮型作动器(Reactionwheel)(2)压电式作动器压电式作动器压电式作动器利用压电材料的逆压电效应压电式作动器利用压电材料的逆压电效应,通过施加外部电场通过施加外部电场,将电能将电能转换成机械能的装置。转换成机械能的装置。压电材料有：压电陶瓷压电材料有：压电陶瓷压电高分子材料压电高分子材料(聚氟乙烯聚氟乙烯聚偏氟乙烯聚偏氟乙烯)它它们们均可制成任意形状均可制成任意形状,易于与其它材料复合易于与其它材料复合应用范围：应用范围：柔性结构柔性结构天线天线柔性机器人手臂的振动与形状控制中柔性机器人手臂的振动与形状控制中;作作为自适应智能结构的作动器为自适应智能结构的作动器;1-15(3)形状记忆材料作动形状记忆材料作动形形状状记记忆忆效效应应（ShapeMemoryEffectSME）指指某某些些具具有有热热弹弹性性或或应应力力诱诱发发马马氏氏体体相相变变的的材材料料处处于于马马氏氏体体状状态态，并并进进行行一一定定限限度度的的变变形形后后，在在随随后后加加热热并并超超过过马马氏氏体体相消失温度时，材料能完全恢复到变形前的形状和体积。相消失温度时，材料能完全恢复到变形前的形状和体积。经过处理经过处理,材料能记忆其在相变材料能记忆其在相变前后前后的形的形状状.可加工成片材、可加工成片材、丝线、薄膜，丝线、薄膜，特别是产生大的应力或应特别是产生大的应力或应变变包括形状记忆合金包括形状记忆合金(NiTiCuZnAlCuAlNi最具实用价值最具实用价值)。应用范围：低频振动的控制应用范围：低频振动的控制(形状记忆材料响应慢形状记忆材料响应慢)1-16(4)磁致伸缩材料作动器磁致伸缩材料作动器磁致伸缩材料在外加磁场的作用下磁致伸缩材料在外加磁场的作用下,其尺寸、体积等会发生改变其尺寸、体积等会发生改变,能提供较大能提供较大控制力控制力,并且在低压电流产生的磁场中具有很好的线性度和电场变化的响应能力并且在低压电流产生的磁场中具有很好的线性度和电场变化的响应能力.如纯镍如纯镍NiFeNiCo等等应用范围：高精度微幅隔振和自适应结构应用范围：高精度微幅隔振和自适应结构(5)电流变流体电流变流体由不导电流体和细小的悬浮状可极化的粒子组成由不导电流体和细小的悬浮状可极化的粒子组成.在通电状况下在通电状况下在极短的在极短的时间时间内内,粒子极化粒子极化,液体变成固体液体变成固体,悬浮粒子极化形成很强的静电引力链悬浮粒子极化形成很强的静电引力链,这这种链即使断开种链即使断开,仍能重新结合起来。当电场撤消后仍能重新结合起来。当电场撤消后,材料又恢复液态材料又恢复液态玉米油中加入玉米淀粉玉米油中加入玉米淀粉矿物油中加入硅胶矿物油中加入硅胶变压器油中加入纤维素变压器油中加入纤维素硅油硅油中加入沸石都可形成电流变流体中加入沸石都可形成电流变流体.我校研究的电流变流体减振器采用由聚苯胺我校研究的电流变流体减振器采用由聚苯胺/钛酸钡纳米复合粒子与降粘的钛酸钡纳米复合粒子与降粘的甲基硅油组成的电流变流体甲基硅油组成的电流变流体应用范围应用范围:用于自适应结构用于自适应结构.灌入某些重要结构中灌入某些重要结构中,使结构受到冲击时能使结构受到冲击时能自自动加固动加固,能减振和防断裂能减振和防断裂可控型动态阻尼器可控型动态阻尼器智能材料：智能材料：压电材料压电材料形状记忆材料形状记忆材料磁致伸缩材料磁致伸缩材料电流变流体统称智能电流变流体统称智能材料材料目前正尝试将几种材料复合在一起成最佳性能组合目前正尝试将几种材料复合在一起成最佳性能组合智能结构：集智能传感元件、智能作动元件、微型计算机控制芯片于一智能结构：集智能传感元件、智能作动元件、微型计算机控制芯片于一体的结构体的结构1-17第二章第二章振动分析基础振动分析基础21概述概述振动分析的研究思路：振动分析的研究思路：一一动力学模型动力学模型任何实际的振动系统是无限复杂的任何实际的振动系统是无限复杂的,为了便于分析为了便于分析,要作简化要作简化,在简化的基础上在简化的基础上建立建立动力学模型动力学模型振动系统的力学模型由三种理想化元件组成：质量振动系统的力学模型由三种理想化元件组成：质量m阻尼阻尼c弹性弹性k系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、阻尼线性化处理实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、阻尼线性化处理对其分布规律作离散化处理对其分布规律作离散化处理动力学模型采用的正确与否要由实践检验动力学模型采用的正确与否要由实践检验动力学模型分三类：动力学模型分三类：a集中参数模型集中参数模型(常微分方程常微分方程)b有限元模型有限元模型(常微分方程常微分方程)c连续弹性体模型连续弹性体模型(偏微分方程偏微分方程)1-181弹性元件：只有弹性弹性元件：只有弹性,无惯性、阻尼无惯性、阻尼(理想化元件理想化元件)弹簧所受外力弹簧所受外力Fx是位移是位移x的函数：的函数：Fx=f(x)在线性范围内在线性范围内Fx=kx(对弹簧的线性化处理对弹簧的线性化处理)通常假定弹簧没有质量通常假定弹簧没有质量若：若：弹簧质量相对小弹簧质量相对小,可忽略可忽略弹簧质量相对较大弹簧质量相对较大,一定要处理一定要处理实际工程结构中许多构件实际工程结构中许多构件在一定范围内所受作用力在一定范围内所受作用力与变形是线性关系与变形是线性关系,可作线性弹性元件处理可作线性弹性元件处理.例例图示悬臂梁图示悬臂梁根据材力根据材力P与变形与变形的关系的关系杆长杆长E材料弹性模量材料弹性模量I抗弯截面惯性矩抗弯截面惯性矩设设则则P=k因此悬臂梁相当一个刚度为因此悬臂梁相当一个刚度为的线性弹簧的线性弹簧1-19角振动系统：弹簧为扭转弹簧角振动系统：弹簧为扭转弹簧M=kM外力矩外力矩转角转角k刚度刚度扭振系统扭振系统G轴材料剪切模量轴材料剪切模量J轴截面极惯性矩轴截面极惯性矩M扭矩扭矩因此因此扭转刚度扭转刚度：从能量角度：弹性元件不消耗能量从能量角度：弹性元件不消耗能量,而是以势能方式贮存能量而是以势能方式贮存能量.等效刚度：复杂弹性元件组合形式等效刚度：复杂弹性元件组合形式,可用等效弹簧取代可用等效弹簧取代等效弹簧的刚度等效弹簧的刚度用等效刚度用等效刚度表示表示(等于组合弹簧的刚度等于组合弹簧的刚度)并联弹簧：并联弹簧：比各组成弹簧比各组成弹簧”硬硬”共位移共位移串联弹簧：串联弹簧：比各组成弹簧比各组成弹簧”软软”共力共力确确定定弹弹性性元元件件组组合合方方式式是是”并并联联”还还是是”串串联联”关关键键看看是是”共共位位移移”还还是是”共共力力”1-20见下例：见下例：例例1a.两弹簧共位移两弹簧共位移(x)并联并联b.两弹簧共力两弹簧共力(Fs)串联串联例例2确定阶梯轴的等效扭转刚度确定阶梯轴的等效扭转刚度解解共力矩共力矩M为串联为串联由扭振由扭振2阻尼元件阻尼元件:只有阻尼只有阻尼无惯性无惯性,弹性弹性(理想元件理想元件)振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一,也是最活跃的研究方向之一也是最活跃的研究方向之一阻尼力阻尼力是振动速度是振动速度的函数的函数对线性阻尼器对线性阻尼器C:阻尼系数阻尼系数阻尼元件消耗能量阻尼元件消耗能量以热能声能等方式耗散系统的机械能以热能声能等方式耗散系统的机械能角振动系统角振动系统:有以上类似关系有以上类似关系为阻尼力矩为阻尼力矩1-21非粘性阻尼非粘性阻尼:与速度成正比的阻尼为粘性与速度成正比的阻尼为粘性(Viscous)阻尼阻尼,又称线性阻尼又称线性阻尼其它性质的阻尼统称非粘性阻尼其它性质的阻尼统称非粘性阻尼工程中将非粘性阻尼折算成等效工程中将非粘性阻尼折算成等效粘性阻尼系数粘性阻尼系数Ceq折算原则折算原则:一个振动周期内非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周一个振动周期内非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周期所消耗的能量期所消耗的能量非粘性阻尼种类：非粘性阻尼种类：a.库仑库仑(Coulemb)阻尼阻尼即干磨擦阻尼即干磨擦阻尼b.流体阻尼流体阻尼:物体以较大速度在粘性很小的流体物体以较大速度在粘性很小的流体(空气空气液体液体)中运动中运动.阻尼阻尼力与速度平方成正比力与速度平方成正比:c.结构阻尼：结构阻尼：材料内磨擦产生的阻尼材料内磨擦产生的阻尼(又称材料阻尼又称材料阻尼)由结构各部件连接面之间相对滑移而产生的阻尼由结构各部件连接面之间相对滑移而产生的阻尼:滑移阻滑移阻尼尼结构阻尼结构阻尼=材料阻尼材料阻尼+滑移阻尼滑移阻尼(两项统称两项统称)3.质量元件质量元件只有惯性只有惯性无弹性和阻尼的理想元件无弹性和阻尼的理想元件.(略略)1-22.二二.动力学模型的建立动力学模型的建立举例说明举例说明:南京工学院南京工学院(东南大学东南大学)为无锡机床厂外园磨床作振动分析为无锡机床厂外园磨床作振动分析:1-2322单自由度系统单自由度系统一一.自由振动自由振动自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数,因此是在理论上十分重要的一因此是在理论上十分重要的一种振动形式种振动形式.系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些”固有特固有特性性”或或”固有参数固有参数”.反映了系统内部结构的所有信息反映了系统内部结构的所有信息,是研究强迫振动的基础是研究强迫振动的基础.1.单自由度自由振动概述单自由度自由振动概述当外界对系统没有持续的激励当外界对系统没有持续的激励即即F(t)=0但系统仍可以在初速度或但系统仍可以在初速度或初位移的作用下发生振动初位移的作用下发生振动,称为自由振动称为自由振动其运动微分方程为其运动微分方程为:二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程,方程还可方程还可其中其中（衰减系数）（衰减系数）（固有频率）（固有频率）方程特征方程方程特征方程通解通解其中其中:为特征方程的二个特征根为特征方程的二个特征根为积分常数为积分常数,由初始条件定由初始条件定1-24系统的运动情况随系统的运动情况随(衰减系数衰减系数)不同值不同值,分五种情况：分五种情况：(1)=0(无阻尼情况无阻尼情况)0(正阻尼情况正阻尼情况)(2)(弱阻尼情况弱阻尼情况)(3)(强阻尼情况强阻尼情况)(4)=(临界阻尼情况临界阻尼情况)(5)0(负阻尼情况负阻尼情况)首先从无阻尼情况首先从无阻尼情况(最简单最简单)介绍介绍2.无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动运动方程为运动方程为（C=0,F(t)=0）或或式中式中其通解其通解:x(t)=Asin(t+)是系统自由振动的角频率是系统自由振动的角频率,也称为系统无阻尼固有频率也称为系统无阻尼固有频率单位单位:Hz或或1/sA振动幅值振动幅值初相角初相角(由初始条件确定由初始条件确定)1-25若记初始位移若记初始位移初始速度初始速度则则因因当当t=0时时得得分析：分析：单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数,可用谐波函数表示可用谐波函数表示,故称简谐振动故称简谐振动自由振动的角频率即为自由振动的角频率即为仅由系统本身参数确定仅由系统本身参数确定,与外界激励与外界激励,初始条件均无关初始条件均无关.反映了系统内在的特征反映了系统内在的特征.自由振动的振幅自由振动的振幅A和初相角和初相角由初始条件确定由初始条件确定无阻尼自由振动是等幅振动无阻尼自由振动是等幅振动研究无阻尼自由振动时研究无阻尼自由振动时,常用到常用到”能量法能量法”1-263.能量法：能量法：(1)用能量的观点研究振动有时很方便用能量的观点研究振动有时很方便.例只需计算系统固有频率时例只需计算系统固有频率时,可避免写微可避免写微分方分方程程,直接得结果直接得结果.(也可用能量法写系统微分方程也可用能量法写系统微分方程)在无阻尼又无外作用力时在无阻尼又无外作用力时,系统的动量系统的动量T和势能和势能U是守恒的是守恒的.即即T+U=恒量恒量(2-1)对上式时间取一次导数：对上式时间取一次导数：（2-2）式中式中:T为系统中运动质量所具有的动能为系统中运动质量所具有的动能U为系统的弹性势能或重力势能为系统的弹性势能或重力势能由由(2-1)式式,有：有：任意选两个瞬时位置任意选两个瞬时位置1和和2机械能总和应相等机械能总和应相等对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置,此时速度最大此时速度最大,动能动能此时此时再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置,此时速度为此时速度为0,而势能而势能（2-3）利用利用(2-3)式可直接得系统固有频率式可直接得系统固有频率1-27例例如图测量低频振幅用的传感器中的一个元件如图测量低频振幅用的传感器中的一个元件无无定向摆的示意图定向摆的示意图,摆轮摆轮2上铰接一摇杆上铰接一摇杆1,摇杆另摇杆另一端有敏感质量一端有敏感质量M，在摇杆离转轴在摇杆离转轴0距离为距离为a处处左右各联一刚度为左右各联一刚度为k的平衡弹簧的平衡弹簧,以保持摆的垂直以保持摆的垂直方向的稳定位置方向的稳定位置.已知系统对已知系统对0的转动惯量为的转动惯量为解：以摇杆偏离平衡位置的解：以摇杆偏离平衡位置的角位移角位移为为参数并设参数并设:则则摇杆通过静平衡位置时系统动能最大摇杆通过静平衡位置时系统动能最大在摇杆摆到最大角位移在摇杆摆到最大角位移处时系统最大势处时系统最大势能包能包括两部分括两部分:弹性变形后储存的弹性势能弹性变形后储存的弹性势能:质量块质量块m的重心下降后重力势能的重心下降后重力势能:由于由于得得:1-28（2）能量法求系统振动微分方程）能量法求系统振动微分方程例例图示一半径为图示一半径为r,重量为重量为w的园柱体在一个半径为的园柱体在一个半径为R的园柱面内作无滑动的园柱面内作无滑动的滚动的滚动,在园柱面最低位置在园柱面最低位置0点左右微摆动点左右微摆动.推导园柱体摆动的微分方程推导园柱体摆动的微分方程.解解:园柱体有两种运动园柱体有两种运动:园柱体质心的线位移园柱体质心的线位移(Rr),线速度为线速度为园柱体绕质心转动园柱体绕质心转动,因无滑动因无滑动,角速度为角速度为(以以A点为瞬心点为瞬心)在任一瞬时位置在任一瞬时位置,园柱体的动能为园柱体的动能为:为园柱体的质量，为园柱体的质量，为园柱体绕质点轴的转动惯量为园柱体绕质点轴的转动惯量园柱体的势能为相对最低点园柱体的势能为相对最低点O的重力势能，在同一瞬时园柱体质心升高了的重力势能，在同一瞬时园柱体质心升高了故按（故按（2-2）式）式对于微幅摆动对于微幅摆动:上式可简化为上式可简化为:1-29（3）用能量法计算弹簧的）用能量法计算弹簧的等效质量等效质量用能量法原理，可把弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计用能量法原理，可把弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计.得频率准确值。得频率准确值。下面介绍用等效质量下面介绍用等效质量进行折算的一种近似方法。进行折算的一种近似方法。先假定弹簧各截面的位移与其距固定端处的原始距离成正比。设弹簧在联结质量先假定弹簧各截面的位移与其距固定端处的原始距离成正比。设弹簧在联结质量块的一端位移为块的一端位移为X，弹簧轴向长为弹簧轴向长为L,则距固定端则距固定端处，位移为处，位移为，因此，当质量，因此，当质量块块m在某一瞬时的速度为在某一瞬时的速度为时时,弹簧在弹簧在处的微段处的微段d,相对速度为相对速度为。设。设为弹为弹簧单位长度的质量，则弹簧簧单位长度的质量，则弹簧d段的动能为段的动能为整个弹簧的动能为整个弹簧的动能为:（整个弹簧质量）（整个弹簧质量）系统总动能为质量块系统总动能为质量块m的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置时的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置时,系统最大动能为系统最大动能为:系统的势能仍与忽略弹簧质量时一样系统的势能仍与忽略弹簧质量时一样:由由对简谐振动对简谐振动:得得:=代代入入:称为系统等效质量称为系统等效质量.1-304有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动图示图示系统的运动方程系统的运动方程:前面已述前面已述:特征方程特征方程:通解通解:其中其中:（1）弱阻尼状态弱阻尼状态为虚数为虚数,令令方程通解方程通解:若若为为方方程程的的复复解解,数数学学上上可可证证明明,它它的的实实部部和和虚虚部部也也是是方方程程的的解解,由欧拉公式；由欧拉公式；=实部实部:虚部虚部:均为方程解均为方程解,且是线性无关解且是线性无关解.由此由此,方程的通解为方程的通解为:1-31同时同时:当初始条件当初始条件t=0时时,代入得代入得:解得解得:分析分析:由于有阻尼由于有阻尼,振幅随时间衰减振幅随时间衰减有阻尼有阻尼,系统振动周期略有增大系统振动周期略有增大可通过振幅衰减曲线求阻尼大小值可通过振幅衰减曲线求阻尼大小值(对数减对数减缩缩)1-32（2）强阻尼状态强阻尼状态，是非周期性蠕动，是非周期性蠕动(3)临界阻尼状态临界阻尼状态非周期性运动非周期性运动是一种从振动过渡到不振动的临界情况是一种从振动过渡到不振动的临界情况,此时系统阻尼称为此时系统阻尼称为临界阻尼临界阻尼,临界阻临界阻尼系数为尼系数为临界情况临界情况:令阻尼比令阻尼比（4）负值负值瞬时振幅瞬时振幅逐渐增大逐渐增大:微小扰动微小扰动不会恢复到平衡不会恢复到平衡不稳定不稳定负阻尼系统负阻尼系统,一定是不稳定系统一定是不稳定系统阻尼正负阻尼正负稳定性判据稳定性判据1-33阻尼参数小结阻尼参数小结:粘性阻尼系数粘性阻尼系数C衰减系数衰减系数阻尼比阻尼比对数减缩对数减缩之间关系之间关系:1-34
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