第二章电力系统状态估计课件

North China Electric Power UniversityDepartment of Electrical Engineering沈阳沈阳2012.10 电力系统分析电力系统分析 North China Electric Power Uni第二章第二章 电力系统状态估计电力系统状态估计一概述一概述 二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 三三最小二乘估计最小二乘估计 四四静态最小二乘估计的改进静态最小二乘估计的改进 五五支路潮流状态估计法支路潮流状态估计法 六六电力系统的递推状态估计电力系统的递推状态估计 七七不良数据的检测与辨识不良数据的检测与辨识 八八.电力系统网络拓扑分析及网络结构辨识的基本概念电力系统网络拓扑分析及网络结构辨识的基本概念 第二章 电力系统状态估计一概述 二电力系统运行状态的数 一一 状态估计的概念状态估计的概念 如果已知目标状态如果已知目标状态 的运动规律，则可的运动规律，则可根据运动方程从状态初值推算出任一时刻根据运动方程从状态初值推算出任一时刻的状态。这种方法是确定性的，没有估计的状态。这种方法是确定性的，没有估计问题。问题。如果计及随机因素的影响，则这种运动如果计及随机因素的影响，则这种运动方程是无法精确求解的。即使采取近似处方程是无法精确求解的。即使采取近似处理，其计算结果也会出现某种程度的偏差理，其计算结果也会出现某种程度的偏差而得不到实际状态（或称为状态真值）。而得不到实际状态（或称为状态真值）。一概述一概述 一 状态估计的概念一概述 这种环境称为噪声环境，这些介入的和这种环境称为噪声环境，这些介入的和不可预测的随机因素或干扰称为动态噪声。不可预测的随机因素或干扰称为动态噪声。干扰或噪声具有随机性，因而，状态计算干扰或噪声具有随机性，因而，状态计算值的偏差也具有随机特性。值的偏差也具有随机特性。一概述一概述 这种环境称为噪声环境，这些介入的和不可预测的随机因素或 在在实实际际应应用用中中经经常常遇遇到到的的另另一一种种情情况况是是对对运运动动目目标标的的参参数数进进行行观观测测以以确确定定其其状状态态。假假若若测测量量系系统统是是理理想想的的，则则所所得得到到的的测测量量量量向向量量是是理理想想的的，即即可可以以用用来来确确定定状状态态的的真真值值。但但是是实实际际的的测测量量系系统统是是有有随随机机误误差差的的，测测量量向向量量不不能能直直接接通通过过理想的测量方程，直接求出状态真值。理想的测量方程，直接求出状态真值。一概述一概述 在实际应用中经常遇到的另一种情况是对运动目标的 可可见见，由由于于随随机机噪噪声声及及随随机机测测量量误误差差的的介介入入，无无论论是是理理想想的的运运动动方方程程或或测测量量方方程程均均不不能能求求出出精精确确的的状状态态向向量量。只只有有通通过过统统计计学学的的方方法法加加以以处处理理以以求求出出对对状状态态向向量量的的估计值。这种方法，称为估计值。这种方法，称为状态估计状态估计。一概述一概述 可见，由于随机噪声及随机测量误差的介入，无论是 状态估计分为动态估计和静态估计两状态估计分为动态估计和静态估计两种。根据运动方程以某一时刻的测量数种。根据运动方程以某一时刻的测量数据作为初值进行下一个时刻状态量的估据作为初值进行下一个时刻状态量的估计，叫做计，叫做动态估计动态估计；仅仅根据某时刻测；仅仅根据某时刻测量数据，确定该时刻的状态量的估计，量数据，确定该时刻的状态量的估计，叫做叫做静态估计静态估计。一概述一概述 状态估计分为动态估计和静态估计两种。根据运动方程以某一 二二 电力系统状态估计的意义电力系统状态估计的意义 电力系统的信息需通过远动装置传送到电力系统的信息需通过远动装置传送到调度中心，由于远动装置及传送过程各个调度中心，由于远动装置及传送过程各个环节造成的误差，使这些数据存在不同程环节造成的误差，使这些数据存在不同程度的误差和不可靠性。此外，由于测量装度的误差和不可靠性。此外，由于测量装置在数量上或种类上的限制，往往不能得置在数量上或种类上的限制，往往不能得到电力系统分析所需的完整、足够的数据。到电力系统分析所需的完整、足够的数据。为解决上述问题，除了不断改善测量与传为解决上述问题，除了不断改善测量与传输系统外，还可采用数学处理的方法来提输系统外，还可采用数学处理的方法来提高测量数据的可靠性与完整性。电力系统高测量数据的可靠性与完整性。电力系统状态估计就是为适应这一需要而提出的。状态估计就是为适应这一需要而提出的。一概述一概述 二 电力系统状态估计的意义一概述 从了解电力系统运行情况的要求来看，从了解电力系统运行情况的要求来看，希望有足够多的测量信息送到调度中心，希望有足够多的测量信息送到调度中心，但从经济性与可能性来看，只能要求将某但从经济性与可能性来看，只能要求将某些必不可少的信息送到调度中心，通常称些必不可少的信息送到调度中心，通常称能足够表征电力系统特征所需最小数目的能足够表征电力系统特征所需最小数目的变量为电力系统的变量为电力系统的状态变量状态变量。电力系统状。电力系统状态估计就是在测量量有误差的情况下，通态估计就是在测量量有误差的情况下，通过计算得到可靠的并且为数最少的状态变过计算得到可靠的并且为数最少的状态变量值。量值。一概述一概述 从了解电力系统运行情况的要求来看，希望有足够多的测量信 为了满足状态估计的上述需要，对电力为了满足状态估计的上述需要，对电力系统的测量量在数量上要有一定的裕度。系统的测量量在数量上要有一定的裕度。通常将全系统中独立测量量的数目与状态通常将全系统中独立测量量的数目与状态量数目之比，称为量数目之比，称为冗余度冗余度。只有具有足够。只有具有足够冗余度的测量条件，才能通过电力系统调冗余度的测量条件，才能通过电力系统调度中心的计算机以状态估计算法提高实时度中心的计算机以状态估计算法提高实时信息的可靠性与完整性，建立实时数据库。信息的可靠性与完整性，建立实时数据库。一概述一概述 为了满足状态估计的上述需要，对电力系统的测量量在数量上 由于电力系统远动装置的工作情况经常由于电力系统远动装置的工作情况经常变化，当远动信息量严重不足时，状态估变化，当远动信息量严重不足时，状态估计无法工作。因此，在状态估计之前应先计无法工作。因此，在状态估计之前应先进行进行可观察性检验可观察性检验。如果系统中某些部分。如果系统中某些部分被判定是不可观察的，无法通过状态估计被判定是不可观察的，无法通过状态估计建立实时数据库，则应把它从状态估计的建立实时数据库，则应把它从状态估计的计算中退出来，或用增加人工设置的虚拟计算中退出来，或用增加人工设置的虚拟测量或称伪测量数据来使它变成可观察的。测量或称伪测量数据来使它变成可观察的。一概述一概述 由于电力系统远动装置的工作情况经常变化，当远动信息量严 协同状态估计工作的是协同状态估计工作的是不良数据的检测不良数据的检测与辨识与辨识，如果有误差很大的，一般没有随，如果有误差很大的，一般没有随机性的数据（也称不良数据），就应该将机性的数据（也称不良数据），就应该将它剔除，并重新进行状态估计，最终建立它剔除，并重新进行状态估计，最终建立起完整的电力系统模型。起完整的电力系统模型。由于状态估计必须在几分钟内完成，因由于状态估计必须在几分钟内完成，因此它通常可以跟踪节点负荷的变化规律，此它通常可以跟踪节点负荷的变化规律，在必要时可用来提供补充的测量量。因此，在必要时可用来提供补充的测量量。因此，状态估计的计算结果也可以用于负荷预测。状态估计的计算结果也可以用于负荷预测。一概述一概述 协同状态估计工作的是不良数据的检测与辨识，如果有误差很一概述一概述图图2-12-1电力系统状态估计的功能流程框图电力系统状态估计的功能流程框图 一概述图2-1电力系统状态估计的功能流程框图 电力系统的测量向量电力系统的测量向量 包括支路功率、包括支路功率、节点注入功率、节点电压模值等测量量，节点注入功率、节点电压模值等测量量，待求的系统状态量待求的系统状态量 是各节点的电压模值是各节点的电压模值与电压相角。通过网络方程从估计出的状与电压相角。通过网络方程从估计出的状态量态量 求出支路功率、节点注入功率等的求出支路功率、节点注入功率等的估计计算值估计计算值 。如果测量有误差，则计算。如果测量有误差，则计算值值 与实际值与实际值 之间有误差之间有误差 ，称为，称为残残差向量差向量。一概述一概述 电力系统的测量向量 包括支路功率、节点注入功率、节点 假定状态量有假定状态量有 个，测量量有个，测量量有 个。各个。各测量量列出的计算方程式有测量量列出的计算方程式有 个，当存在个，当存在测量误差时，通过状态估计由测量量求出测量误差时，通过状态估计由测量量求出的状态量不可能使残差向量为零。但可以的状态量不可能使残差向量为零。但可以得到一个使残差平方和为最小的状态估计得到一个使残差平方和为最小的状态估计值值 。一概述一概述 假定状态量有 个，测量量有 个。各测量量列出的计算 19701970年年F.C.SchweppeF.C.Schweppe等人首先提出用最等人首先提出用最小二乘估计法进行电力系统状态估计。与小二乘估计法进行电力系统状态估计。与之同时，之同时，J.F.DopozoJ.F.Dopozo等人也提出使用支路等人也提出使用支路潮流测量值的最小二乘法。随后潮流测量值的最小二乘法。随后R.E.LorsonR.E.Lorson、A.S.DebsA.S.Debs等人提出了应用卡等人提出了应用卡尔曼滤波的递推状态估计算法。至尔曼滤波的递推状态估计算法。至2020世纪世纪7070年代末期年代末期,状态估计在电力系统的应用状态估计在电力系统的应用的效果已被肯定的效果已被肯定,并在数十个电力系统中并在数十个电力系统中得到成功的应用。得到成功的应用。一概述一概述 1970年F.C.Schweppe等人首先提出用最小二 三三 状态估计与常规潮流计算的比较状态估计与常规潮流计算的比较图图2-2 2-2 状态估计与潮流计算的比较框图状态估计与潮流计算的比较框图(a)(a)潮流计算；潮流计算；(b)(b)状态估计状态估计一概述一概述 三 状态估计与常规潮流计算的比较一概述 潮流计算方程式的数目等于未知数的数潮流计算方程式的数目等于未知数的数目。而状态估计的测量向量的维数一般大目。而状态估计的测量向量的维数一般大于未知状态向量的维数，即方程数的个数于未知状态向量的维数，即方程数的个数多于未知数的个数。其中，测量向量可以多于未知数的个数。其中，测量向量可以是节点电压、节点注入功率、线路潮流等是节点电压、节点注入功率、线路潮流等测量量的任意组合。此外，两者求解的数测量量的任意组合。此外，两者求解的数学方法也不同。潮流计算一般用牛顿学方法也不同。潮流计算一般用牛顿-拉拉夫逊法求解夫逊法求解 个非线性方程组。而状态估个非线性方程组。而状态估计则是根据一定的估计准则，按估计理论计则是根据一定的估计准则，按估计理论的方法求解方程组。的方法求解方程组。一概述一概述 潮流计算方程式的数目等于未知数的数目。而状态估计的测量 本章主要介绍：状态估计的基本概念，本章主要介绍：状态估计的基本概念，电力系统状态估计的理论与计算方法，不电力系统状态估计的理论与计算方法，不良数据的检测与辨识的理论与计算方法，良数据的检测与辨识的理论与计算方法，以及电力系统网络拓扑分析和网络结构辨以及电力系统网络拓扑分析和网络结构辨识的基本概念。识的基本概念。一概述一概述 本章主要介绍：状态估计的基本概念，电力系统状态估计的理一一 电力系统测量系统的数学描述电力系统测量系统的数学描述 电力系统的运行状态可以用节点电压电力系统的运行状态可以用节点电压模值、电压相角、线路有功与无功潮流、模值、电压相角、线路有功与无功潮流、节点有功与无功注入量等物理量来表示。节点有功与无功注入量等物理量来表示。状态估计的目的就是应用经测量得到的状态估计的目的就是应用经测量得到的上述物理量通过估计计算求出能表征系上述物理量通过估计计算求出能表征系统运行状态的状态变量。统运行状态的状态变量。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性一 电力系统测量系统的数学描述二电力系统运行状态的数学描述 电力系统静态运行的状态变量，通常电力系统静态运行的状态变量，通常取节点电压模值与电压相角。当有一个取节点电压模值与电压相角。当有一个平衡节点时，平衡节点时，个节点的电力系统状态个节点的电力系统状态变量维数为变量维数为 。如果系统结构与。如果系统结构与参数都已知，根据状态变量就不难求出参数都已知，根据状态变量就不难求出各支路的有功潮流、无功潮流及所有节各支路的有功潮流、无功潮流及所有节点的注入功率。点的注入功率。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 电力系统静态运行的状态变量，通常取节点电压模值与电压相角 状态变量需借助测量方程式，即联系状态变量需借助测量方程式，即联系状态向量与测量量向量之间的函数关系状态向量与测量量向量之间的函数关系间接求得。在考虑有测量噪声时，它们间接求得。在考虑有测量噪声时，它们之间的关系为之间的关系为 (2-1)(2-1)式中：式中：为为 维的测量量向量；维的测量量向量；为测为测量函数向量量函数向量 (2-2)(2-2)为测量噪声向量，其表达式为为测量噪声向量，其表达式为 (2-3)(2-3)二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 状态变量需借助测量方程式，即联系状态向量与测量量向量之 状态变量与支路潮流的非线性函数表达状态变量与支路潮流的非线性函数表达式，称为式，称为节点电压测量方程式节点电压测量方程式；节点注入；节点注入功率与支路潮流的非线性函数表达式，称功率与支路潮流的非线性函数表达式，称为为注入功率测量方程式注入功率测量方程式。表。表2-12-1列出五种列出五种基本测量方式。第一种测量其维数为基本测量方式。第一种测量其维数为 ，显然没有冗余度，这在状态估计是不实际显然没有冗余度，这在状态估计是不实际的。第五种测量方式具有最高的维数和冗的。第五种测量方式具有最高的维数和冗余度，但所需投资太高，也是不现实的。余度，但所需投资太高，也是不现实的。因此，实际测量方式是第一到第四的组合。因此，实际测量方式是第一到第四的组合。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 状态变量与支路潮流的非线性函数表达式，称为节点电压测量表表2-1 五种基本测量方式五种基本测量方式 测量方式的分量方程式 的维数（1）平衡节点除平衡节点外所有节点的注入功率 、式(2-4)、(2-5)、(2-9)（2）（1）加上所有节点的电压模值 式(2-4)、(2-5)、(2-9)（3）支路两侧的有功、无功潮流 式(2-6)、(2-7)（4）（3）加上所有节点的电压模值式(2-6)、(2-7)、(2-9)（5）完全的测量系统式(2-4)(2-7)、(2-9)二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性表2-1 五种基本测量方式 测量方式的分量方程式 的维数 相应的方程式为相应的方程式为 (2-4)(2-4)(2-5)(2-5)(2-6)(2-6)(2-7)(2-7)(2-8)(2-8)(2-9)(2-9)二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 相应的方程式为二电力系统运行状态的数学描述与可观图图2-3 2-3 形线路元件模型形线路元件模型二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性图2-3 形线路元件模型二电力系统运行状态的数学描述与可观 用测量量来估计系统的状态存在若干用测量量来估计系统的状态存在若干不准确的因素，概括起来有以下几点。不准确的因素，概括起来有以下几点。（1 1）数学模型不完善。测量数学模型）数学模型不完善。测量数学模型通常有工程性的近似处理。此外，还存在通常有工程性的近似处理。此外，还存在模型采用参数不精确的问题，另外，网络模型采用参数不精确的问题，另外，网络结构变化时，结构模型不能及时更新。上结构变化时，结构模型不能及时更新。上述问题属于参数不精确的，通常用参数估述问题属于参数不精确的，通常用参数估计方法解决；属于网络结构错误的，则采计方法解决；属于网络结构错误的，则采用网络接线错误的检测与辨识来解决。用网络接线错误的检测与辨识来解决。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 用测量量来估计系统的状态存在若干不准确的因素，概括起 （2 2）测量系统的系统误差。这是由于仪）测量系统的系统误差。这是由于仪表不精确，通道不完善所引起的。它的特表不精确，通道不完善所引起的。它的特点是误差恒为正或负而没有随机性。一般点是误差恒为正或负而没有随机性。一般这类数据属于不良数据。清除这类误差的这类数据属于不良数据。清除这类误差的方法，主要是依靠提高测量系统的精确性方法，主要是依靠提高测量系统的精确性与可靠性，也可以用软件方法来检测与辨与可靠性，也可以用软件方法来检测与辨识出不良数据，并通过增加测量系统的冗识出不良数据，并通过增加测量系统的冗余度来补救，但这仅是一种辅助手段。余度来补救，但这仅是一种辅助手段。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 （2）测量系统的系统误差。这是由于仪表不精确，通道不完善 （3 3）随机误差。这是测量系统中不可避）随机误差。这是测量系统中不可避免会出现的。其特点是小误差比大误差出免会出现的。其特点是小误差比大误差出现的概率大，正负误差出现的概率相等，现的概率大，正负误差出现的概率相等，即概率密度曲线对称于零值或误差的数学即概率密度曲线对称于零值或误差的数学期望为零。状态估计式期望为零。状态估计式(2-1)(2-1)和式和式(2-3)(2-3)中中的误差向量的误差向量 就是这种误差。就是这种误差。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 （3）随机误差。这是测量系统中不可避免会出现的。其特点是 测量的随机误差或嗓声向量测量的随机误差或嗓声向量 是均值为是均值为零的高斯白噪声，其概率密度为零的高斯白噪声，其概率密度为 式中：式中：是误差是误差 的标准差；方差的标准差；方差 越大表越大表示误差大的概率增大。示误差大的概率增大。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 测量的随机误差或嗓声向量 是均值为零的高斯白噪声，对对 进行多次测量后就可以用协方差进行多次测量后就可以用协方差 表示不同时刻测量数据误差之间均值的相表示不同时刻测量数据误差之间均值的相关程度关程度 (2-10)(2-10)若若 时，时，；时，时，这表示不同，这表示不同时间的测量之间是不相关的。时间的测量之间是不相关的。一般情况下，不同测量的误差之间是不一般情况下，不同测量的误差之间是不相关的。相关的。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 对 进行多次测量后就可以用协方差 表示不同时刻测量 由于误差的概率密度或协方差很难由测量由于误差的概率密度或协方差很难由测量或计算确定，因此在实际应用中常用测量或计算确定，因此在实际应用中常用测量设备的误差来代替。测量误差的方差为设备的误差来代替。测量误差的方差为 (2-11)(2-11)式中：为仪表测量误差，一般取式中：为仪表测量误差，一般取0.01 0.02；为远动和模数转换的误差，一般取；为远动和模数转换的误差，一般取0.0025 0.005；为满刻度时的仪表误差；为满刻度时的仪表误差；为规格化因子。为规格化因子。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 由于误差的概率密度或协方差很难由测量或计算确定，因此在实 每个测量量的方差为每个测量量的方差为 。测量误差。测量误差的方差阵，可以写成每个测量误差方差的的方差阵，可以写成每个测量误差方差的对角阵为对角阵为 (2-12)(2-12)二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 每个测量量的方差为 。测量误差的方差阵，可以 二二 电力系统的可观察性电力系统的可观察性 电力系统状态能够被表征的必要条件是电力系统状态能够被表征的必要条件是它的可观察性。如果对系统进行有限次独它的可观察性。如果对系统进行有限次独立的观察（测量），由这些观察向量所确立的观察（测量），由这些观察向量所确定的状态是唯一的，就称该系统是可观察定的状态是唯一的，就称该系统是可观察的。卡尔曼最初提出可观察的概念只是在的。卡尔曼最初提出可观察的概念只是在线性系统范围内，在电力系统的问题中可线性系统范围内，在电力系统的问题中可以由式以由式(2-1)(2-1)的雅可比矩阵的雅可比矩阵 来确定来确定 (2-13)(2-13)二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 二 电力系统的可观察性二电力系统运行状态的数学描述与 只要只要 阶测量矩阵阶测量矩阵 的秩为的秩为 ，则系，则系统是可观察的，这表示通过测量量可以唯统是可观察的，这表示通过测量量可以唯一地确定系统的状态量，或者说，测量点一地确定系统的状态量，或者说，测量点的数量及其分布可以保证系统是可观察的。的数量及其分布可以保证系统是可观察的。在非线性系统中，可观察性问题虽复杂得在非线性系统中，可观察性问题虽复杂得多，但可观察的一个必要但非充分条件仍多，但可观察的一个必要但非充分条件仍是雅可比矩阵是雅可比矩阵 的秩等于的秩等于 ，每一时刻的，每一时刻的测量量维数至少应与状态量的维数相等。测量量维数至少应与状态量的维数相等。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 只要 阶测量矩阵 的秩为 ，则系统是可观察的 电力系统测量需要有较大的冗余度。有电力系统测量需要有较大的冗余度。有冗余度的目的是提高测量系统的可靠性和冗余度的目的是提高测量系统的可靠性和提高状态估计的精确度。保证可观察性是提高状态估计的精确度。保证可观察性是测量点布置的最低要求。测量点布置的最低要求。前面说过，电力系统出现异常大误差的前面说过，电力系统出现异常大误差的数据，称为不良数据。查找出不良数据，数据，称为不良数据。查找出不良数据，并将其剔除是建立实时数据库的基本要求。并将其剔除是建立实时数据库的基本要求。测量具有冗余度则是实现这一工作的基本测量具有冗余度则是实现这一工作的基本条件。条件。二电力系统运行状态的数学描述与可观察性二电力系统运行状态的数学描述与可观察性 电力系统测量需要有较大的冗余度。有冗余度的目的是提高测 一一 基本原理基本原理 静态估计是用一定的统计学准则通过静态估计是用一定的统计学准则通过测量向量测量向量 求出状态向量求出状态向量 ，并使之尽量，并使之尽量接近其真值接近其真值 。是一个估计值，估计值是一个估计值，估计值与真值之间的误差称为估计误差与真值之间的误差称为估计误差 (2-14)(2-14)估计误差值估计误差值 是是 维向量。判断估计方维向量。判断估计方法的优劣不是根据法的优劣不是根据 中个别分量的估计误中个别分量的估计误差值，而是根据差值，而是根据 的整个统计特性来决定。的整个统计特性来决定。三最小二乘估计三最小二乘估计 一 基本原理三最小二乘估计 如果估计量如果估计量 的分量大部分密集在真的分量大部分密集在真值值 附近，则这种估计结果比较理想。因附近，则这种估计结果比较理想。因此，可用此，可用 的二阶原点矩的二阶原点矩 作为衡量估作为衡量估计质量的一种标志，计质量的一种标志，均方误差阵是均方误差阵是 阶的。如果所用的估计方法遵循最小方差阶的。如果所用的估计方法遵循最小方差准则，则称这种方法为最小方差估计。但准则，则称这种方法为最小方差估计。但最小方差估计作为一种统计学的估计方法，最小方差估计作为一种统计学的估计方法，要求事先掌握较多的随机变量的统计特性，要求事先掌握较多的随机变量的统计特性，这在电力系统状态估计实践中难以做到。这在电力系统状态估计实践中难以做到。以下介绍的最小二乘法是一种非统计学的以下介绍的最小二乘法是一种非统计学的估计方法。估计方法。三最小二乘估计三最小二乘估计 如果估计量 的分量大部分密集在真值 附近，则这种 最小二乘估计是在电力系统状态估计中最小二乘估计是在电力系统状态估计中应用最为广泛的方法之一。最早的最小二应用最为广泛的方法之一。最早的最小二乘方法是高斯解决天体运动轨迹问题时提乘方法是高斯解决天体运动轨迹问题时提出的。这种方法的优点之一是不需要随机出的。这种方法的优点之一是不需要随机变量的任何统计特性，它以测量值变量的任何统计特性，它以测量值 和测和测量估计值量估计值 之差的平方和最小为目标准则，之差的平方和最小为目标准则，即即 应用在电力系统，状态估计是按测量应用在电力系统，状态估计是按测量值值 与系统数学模型确定的值与系统数学模型确定的值 的误差的误差平方和最小来确定的系统状态平方和最小来确定的系统状态 ，即目标，即目标函数为函数为 (2-15)(2-15)三最小二乘估计三最小二乘估计 最小二乘估计是在电力系统状态估计中应用最为广泛的方法之 二二 加权的意义加权的意义 这一方法对于任一个测量分量的误差这一方法对于任一个测量分量的误差 都以相同的机会加进目标函数，即都以相同的机会加进目标函数，即它们在目标函数中所占的份额一样。但由它们在目标函数中所占的份额一样。但由于各个测量量的量测精度不一致，因此它于各个测量量的量测精度不一致，因此它们以同样的权重组成目标函数是不合理的。们以同样的权重组成目标函数是不合理的。为提高整个估计值的精度，应该使各个量为提高整个估计值的精度，应该使各个量测量各取一个权值，精度高的测量量权大测量各取一个权值，精度高的测量量权大一些，而精度低的测量量权小一些。根据一些，而精度低的测量量权小一些。根据这一原理提出了加权最小二乘准则。这一原理提出了加权最小二乘准则。三最小二乘估计三最小二乘估计 二 加权的意义三最小二乘估计 加权最小二乘准则的目标函数为加权最小二乘准则的目标函数为 (2-(2-16)16)式中：式中：为一适当选择的正定阵，当为一适当选择的正定阵，当 为为单位阵时单位阵时(2-16)(2-16)就是最小二乘准则。就是最小二乘准则。假设假设 ，为式为式(2-12)(2-12)的测量误差方的测量误差方差阵。其中各元素为差阵。其中各元素为 于是目标函数于是目标函数可写成可写成 (2-(2-17)17)三最小二乘估计三最小二乘估计 加权最小二乘准则的目标函数为三最小二乘估计 三三 最小二乘算法最小二乘算法 为线性函数为线性函数 先假定先假定 是线性向量函数。是线性向量函数。(2-18)(2-18)或或 式中：式中：为为 矩阵，其元素为矩阵，其元素为 。状态量的值状态量的值 与测量值与测量值 的关系为的关系为三最小二乘估计三最小二乘估计 三 最小二乘算法三最小二乘估计 按最小二乘准则建立目标函数按最小二乘准则建立目标函数 或或 (2-19)(2-19)对目标函数求导数并取为零，即对目标函数求导数并取为零，即 (2-20)(2-20)亦即亦即 这是一组有这是一组有 个未知数的个未知数的 维方程组，维方程组，联立求解即可求得联立求解即可求得 的最佳估计值的最佳估计值 。三最小二乘估计三最小二乘估计 按最小二乘准则建立目标函数三最小二乘估计 为非线性函数为非线性函数 以上是在以上是在 为线性函数的前提下讨沦为线性函数的前提下讨沦的。但电力系统的测量函数向量的。但电力系统的测量函数向量 是非是非线性的向量函数，这时无法直接由目标函线性的向量函数，这时无法直接由目标函数数 的极值条件求解的极值条件求解 ，需要用迭代的，需要用迭代的方法求解。方法求解。1 1 设状态变量的初值为设状态变量的初值为 将将 在在 处线性化，并用泰勒级数在处线性化，并用泰勒级数在附近展开，即附近展开，即 (2-27)(2-27)三最小二乘估计三最小二乘估计 为非线性函数三最小二乘估计 是函数向量是函数向量 的雅可比矩阵，其的雅可比矩阵，其元素为元素为 (2-28)(2-28)2 2 目标函数目标函数 略去略去 的高阶项，取目标函数为的高阶项，取目标函数为 (2-29)(2-29)取取 ，有，有 (2-30)(2-30)三最小二乘估计三最小二乘估计 是函数向量 的雅可比矩阵，其元素为三最 3 3 极值条件极值条件即即则则式中式中 由此可得由此可得 (2-31)(2-31)三最小二乘估计三最小二乘估计 3 极值条件三最小二乘估计 4 4 迭代格式迭代格式 当当 充分接近充分接近 时泰勒级数略去高阶项时泰勒级数略去高阶项后才是足够近似的。用式后才是足够近似的。用式(2-31)(2-31)作逐次迭作逐次迭代，可以得到代，可以得到 。若以。若以 表示迭代序号，表示迭代序号，式式(2-31)(2-31)可以写成可以写成 (2-32)(2-32)(2-33)(2-33)三最小二乘估计三最小二乘估计 4 迭代格式三最小二乘估计 5 5 收敛判据收敛判据 按式按式(2-32)(2-32)和式和式(2-33)(2-33)进行迭代修正，进行迭代修正，直到目标函数接近于最小为止。所采用的直到目标函数接近于最小为止。所采用的收敛判据可以是以下三项中的任一项收敛判据可以是以下三项中的任一项 （1 1）(2-34)(2-34)（2 2）(2-35)(2-35)（3 3）(2-36)(2-36)三最小二乘估计三最小二乘估计 5 收敛判据三最小二乘估计 上三式是三种收敛标准。其中式上三式是三种收敛标准。其中式(2-34)(2-34)表示状态修正量绝对值最大者小于规定的表示状态修正量绝对值最大者小于规定的收敛标准，这是最常用的判据。收敛标准，这是最常用的判据。可取基可取基准电压模值的准电压模值的 。满足收敛标准时的满足收敛标准时的 即为最优状态估即为最优状态估计值计值 。此时测量量的估计值是。此时测量量的估计值是 。三最小二乘估计三最小二乘估计 上三式是三种收敛标准。其中式(2-34)表示状态修正量 6 6 状态估计的计算步骤及程序框图状态估计的计算步骤及程序框图 当当 是是 的非线性函数时，进行状态的非线性函数时，进行状态估计的步骤如下：估计的步骤如下：1)1)从状态量的初值计算测量函数向量从状态量的初值计算测量函数向量 和雅可比矩阵和雅可比矩阵 。2)2)由遥测量由遥测量 和和 计算残差计算残差 和目和目标函数标函数 ，并由雅可比矩阵，并由雅可比矩阵 计算信计算信息矩阵息矩阵 和向量和向量 。三最小二乘估计三最小二乘估计 6 状态估计的计算步骤及程序框图三最小二乘估计 3)3)解方程式解方程式(2-32)(2-32)求得状态修正量求得状态修正量 ，并取其中绝对值最大者并取其中绝对值最大者 。4)4)检查是否达到收敛标准。检查是否达到收敛标准。5)5)若未达到收敛标准，修改状态量，若未达到收敛标准，修改状态量，继续迭代计算，直到收敛为止。继续迭代计算，直到收敛为止。6)6)将计算结果送入不良数据检测与辨识将计算结果送入不良数据检测与辨识入口。入口。三最小二乘估计三最小二乘估计 3)解方程式(2-32)求得状态修正量 ，并取其中绝 图图2-42-4是加权最小二乘估计程序框图，是加权最小二乘估计程序框图，其中框其中框1 1包括输入各测量量的权值。框包括输入各测量量的权值。框1 1的的初值在实际应用中一般取前一次状态估计初值在实际应用中一般取前一次状态估计的电压值，以加快迭代的收敛速度。框的电压值，以加快迭代的收敛速度。框3 3中用现有的状态量中用现有的状态量 （如电压模值与电压（如电压模值与电压相角）计算相角）计算 及其偏导数及其偏导数 。框。框4 4求求解电压模值与相角的修正量，选出解电压模值与相角的修正量，选出 及及 ，供框，供框5 5作收敛检查。框作收敛检查。框6 6转入下一转入下一次迭代并对状态变量作修正。次迭代并对状态变量作修正。三最小二乘估计三最小二乘估计 图2-4是加权最小二乘估计程序框图，其中框1包括输入各图图2-4 2-4 加权最小二乘估计框图加权最小二乘估计框图 三最小二乘估计三最小二乘估计入口输入测量信息给定初值计算计算计算解非线性方程式(2-30)求及l=l+1到不良数据检测与辨识入口l1图2-4 加权最小二乘估计框图 三最小二乘估计入口输入测量 四四 信息矩阵（信息矩阵（阵）的特点阵）的特点 稀疏性和对称性稀疏性和对称性 因为因为 一般为稀疏矩阵，所以可以一般为稀疏矩阵，所以可以用稀疏矩阵技巧进行求解。以下先讨论这用稀疏矩阵技巧进行求解。以下先讨论这个矩阵的结构，由式个矩阵的结构，由式(2-32)(2-32)可得可得 (2-38)(2-38)或写成或写成 (2-39)(2-39)为了求解式为了求解式(2-39)(2-39)，先研究，先研究 阵的特点。阵的特点。三最小二乘估计三最小二乘估计 四 信息矩阵（阵）的特点三最小二乘估计 阵的元素：阵的元素：因为因为 是对角阵，所以是对角阵，所以 阵的结构与阵的结构与 的结构一致。由于的结构一致。由于 是稀疏的，而且是稀疏的，而且 和和 换位并不影响换位并不影响 的值，因此的值，因此 阵是阵是 的对称稀疏矩阵。的对称稀疏矩阵。阵的结构与导纳矩阵阵的结构与导纳矩阵不一样，取决于网络结构与测点的布置。不一样，取决于网络结构与测点的布置。式式(2-38)(2-38)中中 阵的每一行元素是相应的一阵的每一行元素是相应的一个测量量对状态量的偏导数，即式个测量量对状态量的偏导数，即式(2-28)(2-28)。三最小二乘估计三最小二乘估计 阵的元素：三最小二乘估计 从从 的累加计算式看，累加顺序并不影的累加计算式看，累加顺序并不影响响 的值，所以改变测量量的顺序（即的值，所以改变测量量的顺序（即 的行互换）并不影响计算结果。当然，的行互换）并不影响计算结果。当然，也不影响阵也不影响阵 的结构。的结构。三最小二乘估计三最小二乘估计 从 的累加计算式看，累加顺序并不影响 的值，所以改 的结构与系统网络结构和测量系统的结构与系统网络结构和测量系统配置的关系配置的关系 1 1支路功率测量支路功率测量 对于连接节点对于连接节点 、的支路，当有有功、的支路，当有有功、无功测量时，因测量值只与该支路两端的无功测量时，因测量值只与该支路两端的状态变量有关，所以在状态变量有关，所以在 阵相应的测量量阵相应的测量量行中在行中在 列与列与 列有非零元素（若测量量列有非零元素（若测量量为第为第 个，则非零元素为个，则非零元素为 和和 ），），阵将阵将出现非零的出现非零的 元素（元素（、和和 均非零）均非零）。因此，不论有功或无功。因此，不论有功或无功,不论在线路哪不论在线路哪一侧，有一个测量就能出现一侧，有一个测量就能出现 元素。元素。三最小二乘估计三最小二乘估计 的结构与系统网络结构和测量系统配置的关系三 2 2节点注入功率测量节点注入功率测量 节点节点 的有功或无功注入的测量值，不的有功或无功注入的测量值，不仅与节点仅与节点 的状态量有关，而且还与同节的状态量有关，而且还与同节点点 直接连接的相邻节点的状态量有关。直接连接的相邻节点的状态量有关。对于图对于图2-52-5例子，在例子，在 阵中，相应于节阵中，相应于节点点 注入测量的行（设为注入测量的行（设为 行）的行）的 列以列以及与及与 相关的各节点（如相关的各节点（如 、）的列均、）的列均为非零元素，即为非零元素，即 、为非零元素，为非零元素，即相应的阵为即相应的阵为三最小二乘估计三最小二乘估计 2节点注入功率测量三最小二乘估计图图2-5 2-5 节点注入对节点注入对H H阵影响示意图阵影响示意图iekj三最小二乘估计三最小二乘估计图2-5 节点注入对H阵影响示意图iekj三最小二乘估计 根据式根据式(2-38)(2-38)可看出，这一测量值，在可看出，这一测量值，在 阵中将使阵中将使 、六个非对角元六个非对角元发生变化（由于发生变化（由于 是对称阵，这里仅列出是对称阵，这里仅列出下三角部分）并成为非零元素（这时下三角部分）并成为非零元素（这时 、均非零）。、均非零）。它的作用相当于在它的作用相当于在 、六条支路上装有测量，而实际上图六条支路上装有测量，而实际上图2-52-5中以虚线表示的线路是不存在的。中以虚线表示的线路是不存在的。三最小二乘估计三最小二乘估计 根据式(2-38)可看出，这一测量值，在 三最小 3 3节点电压测量节点电压测量 节点节点 的电压测量值仅在的电压测量值仅在 阵阵 列有非列有非零元素，在零元素，在 阵中也只影响相应的阵中也只影响相应的 行对行对角元。角元。根据上述，对于图根据上述，对于图2-6(a)2-6(a)的网络与测的网络与测点布置情况，其点布置情况，其 阵的结构如图阵的结构如图2-6(b)2-6(b)所所示，其中列号为节点号，亦即该节点的状示，其中列号为节点号，亦即该节点的状态量电压模值与电压相角的序号。图中有态量电压模值与电压相角的序号。图中有9 9个测量量，个测量量，7 7个状态量。个状态量。三最小二乘估计三最小二乘估计 3节点电压测量三最小二乘估计 由式由式(2-38)(2-38)，阵结构如图阵结构如图2-2-6(c)6(c)所示。用图所示。用图2-6(c)2-6(c)的关联关系可以绘的关联关系可以绘出出 阵的线图阵的线图2-6(d)2-6(d)，比较图，比较图2-6(a)2-6(a)与图与图2-6(d)2-6(d)可见，凡没有配置支路功率测量，可见，凡没有配置支路功率测量，且其两侧又无注入功率的，其且其两侧又无注入功率的，其 阵的阵的 。如果在节点。如果在节点 有注入功率测量，则与有注入功率测量，则与 有关联的各节点间就形成一闭合的回路。有关联的各节点间就形成一闭合的回路。三最小二乘估计三最小二乘估计 由式(2-38)，阵结构如图2-6(图图2-6 2-6 信息矩阵的结构示意图信息矩阵的结构示意图(a)(a)系统网络示意图系统网络示意图;(b);(b)H H矩阵矩阵;(c);(c)A A矩阵矩阵;(d);(d)A A矩阵网络示意图矩阵网络示意图电压测量；电压测量；支路功率测量；支路功率测量；注入功率测量注入功率测量三最小二乘估计三最小二乘估计432（a）1（d）4321（c）（b）P12 Q12P23 Q23P34 Q34V1P3 Q3 图2-6 信息矩阵的结构示意图三最小二乘估计432（a）1 一快速解耦状态估计一快速解耦状态估计 加权最小二乘状态估计算法与潮流计算的牛加权最小二乘状态估计算法与潮流计算的牛-拉法相似。该算法具有良好的收敛性能，但占拉法相似。该算法具有良好的收敛性能，但占用内存较大，计算时间也较长。用内存较大，计算时间也较长。在式在式(2-38)(2-38)中，如把信息矩阵常数化，在迭代中，如把信息矩阵常数化，在迭代过程中就只需进行一次因子分解。如再使之对过程中就只需进行一次因子分解。如再使之对角化，就可进一步提高计算效率，快速解耦状角化，就可进一步提高计算效率，快速解耦状态估计就是在这个思想基础上建立的。态估计就是在这个思想基础上建立的。快速解耦状态估计充分利用电力系统的物理特快速解耦状态估计充分利用电力系统的物理特性，忽略次要因素的影响，在修正方程解算过性，忽略次要因素的影响，在修正方程解算过程中减少了计算量，提高了计算速度、降低了程中减少了计算量，提高了计算速度、降低了内存占用量。内存占用量。四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 一快速解耦状态估计四静态最小二乘估计的改进 数学模型数学模型 对极坐标形式的电力系统加权最小二乘对极坐标形式的电力系统加权最小二乘状态估计基本算法进行简化。状态估计基本算法进行简化。将状态变量按节点电压相角和模值分别将状态变量按节点电压相角和模值分别排列，即排列，即 将测量量按有功和无功分别排列，即将测量量按有功和无功分别排列，即 四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 数学模型四静态最小二乘估计的改进 式中：表示支路有功潮流、节点有功注入式中：表示支路有功潮流、节点有功注入测量量向量；表示支路无功潮流、节点无测量量向量；表示支路无功潮流、节点无功注入、节点电压模值的测量向量。功注入、节点电压模值的测量向量。雅可比矩阵可表示为雅可比矩阵可表示为 (2-40)(2-40)同时，对角权矩阵也相应地按有功和无功同时，对角权矩阵也相应地按有功和无功分别排列，即分别排列，即 (2-41)(2-41)四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 式中：表示支路有功潮流、节点有功注入测量量向量；表示支路 信息矩阵可以写成信息矩阵可以写成 (2-42)(2-42)在高压电网中，有功主要取决于节点电在高压电网中，有功主要取决于节点电压相角，无功主要取决于节点电压模值。压相角，无功主要取决于节点电压模值。即即四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 信息矩阵可以写成四静态最小二乘估计的改进 因此，可引入第一项简化假设：因此，可引入第一项简化假设：这样，这样，矩阵变为准对角阵：矩阵变为准对角阵：式式(2-42)(2-42)可以转化为对角矩阵可以转化为对角矩阵四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 因此，可引入第一项简化假设：四静态最小二乘估计的改 如再假定各支路电阻远远小于电抗，支如再假定各支路电阻远远小于电抗，支路两端的相角差很小，各节点电压模值接路两端的相角差很小，各节点电压模值接近于参考节点电压，即近于参考节点电压，即 ，这样有这样有 取支路电抗倒数（不计变压器非标准取支路电抗倒数（不计变压器非标准变比及线路对地电容的影响）；变比及线路对地电容的影响）；取支路导纳的虚部（电压测量的取支路导纳的虚部（电压测量的 元元素取素取 ）。）。四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 如再假定各支路电阻远远小于电抗，支路两端的相角差很小，于是信息矩阵就成为常数矩阵，不必在于是信息矩阵就成为常数矩阵，不必在迭代过程中修改。迭代过程中修改。(2-43)(2-43)对于修正方程右边项的处理不同于常规对于修正方程右边项的处理不同于常规潮流计算。计算经验表明：潮流计算。计算经验表明：矩阵元素采矩阵元素采用上述两项假设比准确计算更有利于收敛用上述两项假设比准确计算更有利于收敛性的改善，提高迭代计算的速度。性的改善，提高迭代计算的速度。四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 于是信息矩阵就成为常数矩阵，不必在迭代过程中修改。四 迭代的修正方程式可以写成迭代的修正方程式可以写成 (2-44)(2-44)(2-45)(2-45)展开为展开为 (2-46)(2-46)(2-47)(2-47)四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 四静态最小二乘估计的改进 其中：其中：(2-48)(2-48)(2-49)(2-49)式中：式中：为节点电压相角的向量，为节点电压相角的向量，为节点为节点电压模值的向量。电压模值的向量。方程式方程式(2-44)(2-44)和式和式(2-45)(2-45)的方法，称为的方法，称为快速解耦状态估计算法。快速解耦状态估计算法。四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 其中：四静态最小二乘估计的改进 当有功测量的维数为当有功测量的维数为 ，无功测量的维，无功测量的维数为数为 时，状态量时，状态量 、的维数是网络节的维数是网络节点数中减去平衡节点的状态量数，分别为点数中减去平衡节点的状态量数，分别为 、，于是，于是 是是 阶的，阶的，是是 阶的，阶的，是是 阶常数对称矩阵，阶常数对称矩阵，是是 阶常数阶常数对称矩阵，对称矩阵，是是 维向量，维向量，是是 维向量。维向量。四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 当有功测量的维数为 ，无功测量的维数为 时，状态 为进一步加快速度，可对式为进一步加快速度，可对式(2-44)(2-44)和式和式(2-45)(2-45)右边也做类似简化。这种方法，也右边也做类似简化。这种方法，也称为模分解估计算法。其简化式为称为模分解估计算法。其简化式为 (2-50)(2-50)(2-51)(2-51)四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 为进一步加快速度，可对式(2-44)和式(2-45)图图2-7 2-7 快速解耦法状态估计程序框图快速解耦法状态估计程序框图四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进图2-7 快速解耦法状态估计程序框图四静态最小二乘估计的改 二二 正交变换法正交变换法 在状态估计中感兴趣的问题是，哪些在状态估计中感兴趣的问题是，哪些测量量对提高估计精度是最有利的，或者测量量对提高估计精度是最有利的，或者在一组已有的测量中应增加哪些新的测量在一组已有的测量中应增加哪些新的测量量，就可以取得最佳估计效果。现用一个量，就可以取得最佳估计效果。现用一个二维例子分析如下：二维例子分析如下：(2-(2-52)52)四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 二 正交变换法四静态最小二乘估计的改进 观察矩阵的转置为观察矩阵的转置为 (2-53)(2-53)式中：式中：时时 的秩为的秩为2 2。如不考虑测量。如不考虑测量误差，将误差，将 、绘成图形，如图绘成图形，如图2-92-9所示。所示。忽略测量误差后忽略测量误差后,由式由式(2-52)(2-52)得得 (2-54)(2-54)四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 观察矩阵的转置为四静态最小二乘估计的改进图图2-9 2-9 、向量及其正交向量向量及其正交向量 示意图示意图 图图2-10 2-10 含误差时向量含误差时向量 与与 的交叉图的交叉图 四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进图2-9 、向量及其正交向量 示意图 图2 由式由式(2-54)(2-54)可以看出，当可以看出，当 接近接近 时，时，此两方程式差别很小，于是其差值的倒数此两方程式差别很小，于是其差值的倒数项很大。导致测量量项很大。导致测量量 的不精确性放大，的不精确性放大，使估计值使估计值 误差增大。当误差增大。当 等于零时，计等于零时，计及测量误差，式及测量误差，式(2-52)(2-52)的两个方程式交叉的两个方程式交叉的解如图的解如图2-102-10所示的阴影部分。显然，若所示的阴影部分。显然，若式式(2-52)(2-52)中两个方程式正交，则阴影面积中两个方程式正交，则阴影面积最小。最小。四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 由式(2-54)可以看出，当 接近 时，此两方程 在这个二维例子中，若要增加一个测量，在这个二维例子中，若要增加一个测量，使得测量的估计值误差达到最小，显然，使得测量的估计值误差达到最小，显然，其最佳选择应是正交于其最佳选择应是正交于 、的向量的向量 ,如图如图2-92-9所示。所示。四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 在这个二维例子中，若要增加一个测量，使得测量的估计值 根据以上讨论，产生了如何求最正交方根据以上讨论，产生了如何求最正交方程式的问题。程式的问题。定义定义:满足满足 的单位向量为最正交单的单位向量为最正交单位向量。位向量。正规化矩阵正规化矩阵 ，将其列向量的模值规格，将其列向量的模值规格化，保留角度关系，于是正规化的矩阵为化，保留角度关系，于是正规化的矩阵为 (2-55)(2-55)四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 根据以上讨论，产生了如何求最正交方程式的问题。四静态 定义一个函数为定义一个函数为 (2-56)(2-56)若若 的方向使内积之和的方向使内积之和 最小，则由最小，则由式式(2-56)(2-56)得得 (2-57)(2-57)将式将式(2-55)(2-55)代入式代入式(2-57)(2-57)得得 (2-58)(2-58)四静态最小二乘估计的改进四静态最小二乘估计的改进 定