方程的根与函数的零点课件

一种科学只有在成功地运用数学一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步才算达到完善的地步切莫忘，几何代数切莫忘，几何代数统一体，永一体，永远联系，莫分离系，莫分离数形数形结合百般好，隔离分家万事休，合百般好，隔离分家万事休，数与形，本是相倚依，焉能分作两数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？3.1.1方程的根方程的根与与 函数的零点函数的零点数与形，本是相倚依，焉能分作两数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数与形，本是相倚依，焉能分作两数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数形数形结合百般好，隔离分家万事休，合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数切莫忘，几何代数统一体，永一体，永远联系，莫分离系，莫分离一种科学只有在成功地运用数学一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步才算达到完善的地步数缺形数缺形时少直少直观，形少数，形少数时难入微，入微，数形数形结合百般好，隔离分家万事休，合百般好，隔离分家万事休，数缺形数缺形时少直少直观，形少数，形少数时难入微，入微，数缺形数缺形时少直少直观，形少数，形少数时难入微，入微，学学习目目标1.通通过二次函数的二次函数的图像，了解二次函数与一元二像，了解二次函数与一元二次方程的关系，能判断一元二次方程根的存在性次方程的关系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数；及根的个数；2.了解函数的零点与方程根的了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数。零点与方程根的关系确定方程根的个数。问题探探究究 今天我今天我们可以从教科可以从教科书中了解各中了解各式各式各样方程的解法，但在数学方程的解法，但在数学发展史展史上，方程的求解却上，方程的求解却经历了相当漫了相当漫长的的岁月月.我国古代数学家在我国古代数学家在约公元公元50年年100年年编成的成的九章算九章算术，给出了求出了求一次方程、二次方程和三次方程根的一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法具体方法 花拉子米(约780约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。阿贝尔(18021829)挪威数学家.证明了五次以上一般方程没有求根公式。卡卡尔达达诺，意大利数学家，他第一个，意大利数学家，他第一个发表了三次代数方程一般解法的卡表了三次代数方程一般解法的卡尔达达诺公式，也称卡当公式（解法的思路来自公式，也称卡当公式（解法的思路来自塔塔利塔塔利亚，两人因此，两人因此结怨，争怨，争论多年）。多年）。他的学生他的学生费拉里拉里第一个求出四次方程的第一个求出四次方程的代数解。代数解。韦达是达是法国法国十六世十六世纪最有影响的最有影响的数学家数学家之之一。第一个引一。第一个引进系系统的的代数代数符号，并符号，并对方方程程论做了改做了改进。韦达达讨论了方程根的各种了方程根的各种有理有理变换，发现了方程根与系数之了方程根与系数之间的关的关系即系即“韦达定理达定理”。方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3y=x22x+1函数函数函函数数的的图象象方程的方程的实数根数根x1=1,x2=3x1=x2=1无无实数根数根函数的函数的图象象与与x轴的交点的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y=x22x+3问题探究探究问题2 2 求出表中一元二次方程的求出表中一元二次方程的实数根，画数根，画出相出相应的二次函数的二次函数图像的像的简图，并写出，并写出函数函数的的图象与象与x x轴的交点坐的交点坐标方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的的图象象判判别式式=b24ac0=00函数的函数的图象象与与 x 轴的交点的交点有两个相等的有两个相等的实数根数根x1=x2没有没有实数根数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的的实数根数根x1、x2问题3 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相一元二次方程及相应的二次函数的的二次函数的图象与象与x x轴交点的交点的关系，上述关系，上述结论是否仍然成立？是否仍然成立？1.1.方程根的个数就是函数方程根的个数就是函数图象与象与x x轴交点的个数。交点的个数。2.2.方程的方程的实数根就是函数数根就是函数图象与象与x x轴交点的横坐交点的横坐标。结论 对于函数于函数y=f(x),叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有有实数根数根函数函数y=f(x)的的图象与象与x轴有交点有交点函数函数y=f(x)有零点有零点函数函数的的零点定零点定义：等价关系等价关系使使f(x)=0的的实数数x辨辨析析:函函数数的的零零点点是是不不是是交交点点？概念概念形成形成 2-2和和71 示例示例练习零点的求法零点的求法零点的求法零点的求法（1 1 1 1）代数法代数法问题4 4 如如图是某地从是某地从0 0点到点到1212点的气温点的气温变化化图，假假设气温是气温是连续变化的，化的，请将将图形形补充成完充成完整的函数整的函数图象。象。这段段时间内，是否一定有某内，是否一定有某时刻的气温刻的气温为0 0度？度？为什么？什么？问题探究探究结论xy00yx0yx0yx如果函数如果函数y=f(x)在区在区间a,b上的上的图象是象是连续不断不断的一条曲的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0,那么，函数那么，函数y=f(x)在区在区间(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在 使得使得f(c)=0,这个个c也就是方程也就是方程f(c)=0 的根。的根。xy0思考思考1 1：函数函数y=f(x)y=f(x)在区在区间a,ba,b上的上的图象象是一条是一条连续不断的曲不断的曲线，若函数，若函数y=f(x)y=f(x)在在区区间(a,b)(a,b)内有零点，一定能得出内有零点，一定能得出f f(a a)f f(b b)0)0的的结论吗？结论：函数：函数y=f(x)y=f(x)在区在区间a,ba,b上的上的图象是象是连续不断的一条不断的一条曲曲线：（1 1）f(a)f(a)f(b)0 f(b)0 函数函数y=f(x)y=f(x)在区在区间(a,b)(a,b)内有零点；内有零点；（2 2）函数）函数y=f(x)y=f(x)在区在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点 f(a)f(a)f(b)0f(b)0。思考思考2 2：如果函数如果函数 y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上是上是连续的的单调函数函数,并且在并且在闭区区间的两个端点上的函数的两个端点上的函数值互异即互异即f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,那么那么这个函数在个函数在(a,b)(a,b)内的零点个数能确定内的零点个数能确定吗？由表由表3-13-1和和图3.13.13 3可知可知f(2)0f(2)0，即即f(2)f(2)f(3)0f(3)0,f(1.5)=f(1)=10,f(1.5)=2.8750,2.8750,所以所以f(x)=f(x)=x x3 33x+53x+5在区在区间(1,1.5)(1,1.5)上有零点。又因上有零点。又因为f(x)f(x)是是(,）上的减函数，所以在区上的减函数，所以在区间(1,1.5)(1,1.5)上有上有且只有一个零点。且只有一个零点。xy0132112543.零点的求法零点的求法（2 2）图像法像法问题6 6.练习2：1问题7 7.已知关于已知关于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(1)(1)若方程有两根，其中一根在区若方程有两根，其中一根在区间(1,0)1,0)内，内，另一根在区另一根在区间(1(1，2)2)内，求内，求m m的范的范围.(2)(2)若方程有一个根在若方程有一个根在(0,2)(0,2)内内,求求m m的范的范围.(3)(3)若方程有一个根比若方程有一个根比2 2大大,另一个根比另一个根比2 2小小,求求m m范范围.(4)(4)若方程两根均在区若方程两根均在区间(0(0，1)1)内，求内，求m m的范的范围.【变式引申式引申】解：解：(1)(1)条件条件说明抛物明抛物线f(x)=xf(x)=x2 2+2mx+2m+1+2mx+2m+1与与x x轴的交点分的交点分别在区在区间(1 1，0)0)和和(1(1，2)2)内，内，画出示意画出示意图，得，得.问题7 7：已知关于已知关于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(2)(2)若方程有一个根在若方程有一个根在(0,2)(0,2)内内,求求m m的范的范围.(3)(3)若方程有一个根比若方程有一个根比2 2大大,另一个根比另一个根比2 2小小,求求m m范范围.(4)(4)若方程两根均在区若方程两根均在区间(0(0，1)1)内，求内，求m m的范的范围.解解:由由题意得意得:f(0)f(2)0:f(0)f(2)0即即(2m+1)(6m+5)0(2m+1)(6m+5)0解得解得:问题7 7：已知关于已知关于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(3)(3)若方程有一个根比若方程有一个根比2 2大大,另一个根比另一个根比2 2小小,求求m m范范围.(4)(4)若方程两根均在区若方程两根均在区间(0(0，1)1)内，求内，求m m的范的范围.解解:由由题意得意得:f(2)0:f(2)0即即6m+506m+50解得解得:问题7 7：已知关于已知关于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(4)(4)若方程两根均在区若方程两根均在区间(0(0，1)1)内，求内，求m m的范的范围.解解:由由题意得意得:解得解得:对于函数于函数y=f(x),叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有有实数根数根函数函数y=f(x)的的图象与象与x轴有交点有交点函数函数y=f(x)有零点有零点函数函数的的零点定零点定义：等价关系等价关系使使f(x)=0的的实数数x如果函数如果函数y=f(x)在区在区间a,b上的上的图象是象是连续不断不断的一条曲的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0,那么，函数那么，函数y=f(x)在区在区间(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在 使得使得f(c)=0,这个个c也就是方程也就是方程f(c)=0 的根。的根。零点存在定理零点存在定理函数函数y=f(x)y=f(x)在区在区间a,ba,b上的上的图象是象是连续不断的一条曲不断的一条曲线：（1 1）f(a)f(a)f(b)0 f(b)0 函数函数y=f(x)y=f(x)在区在区间(a,b)(a,b)内有零点；内有零点；（2 2）函数）函数y=f(x)y=f(x)在区在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点 f(a)f(a)f(b)0f(b)0。三个三个结论：（3）如果函数）如果函数 y=f(x)在在a,b上是上是连续的的单调函数函数,且且f(a)f(b)0,那么那么这个函数在个函数在(a,b)内的零点个数内的零点个数是唯一的。是唯一的。零点的求法零点的求法代数法和代数法和图象法象法函数函数零点零点方程根，方程根，图象象连续总有痕。有痕。数形本是同根生，数形本是同根生，端端值计算是根本。算是根本。借借问零点零点何何处有，有，端端值互异互异零点生。零点生。温温馨馨提提示示作作业：作：作业本本设计思路基于数形结合思想基于数学文化谢 谢，再 见！