方程与方程组的迭代解法课件

引言引言6.1 方程求根法方程求根法n试探法与二分法n迭代法及其收敛条件n迭代法收敛速度n加速收敛技术n牛顿迭代法n弦割法6.1.1 试探法和二分法试探法和二分法理论依据：理论依据：试探法试探法二分法（区间平分法）二分法（区间平分法）于是求方程求方程 f(x)=0的根的二分法算法的根的二分法算法例题例题n例 设方程 解：取h=0.1,扫描得：又 即 在 有唯一根。有根区间有根区间：1.300000000,1.4000000001.300000000,1.3500000001.300000000,1.3250000001.312500000,1.3250000001.318750000,1.3250000001.321875000,1.3250000001.323437500,1.3250000001.324218750,1.3250000001.324609375,1.325000000 x1.32480f=3.6990*10(-4)6.1.2 迭代法及收敛性迭代法及收敛性对于 有时可以写成 形式 如：如：迭代法及收敛性迭代法及收敛性 考察方程 。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ，代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得迭代法及收敛性迭代法及收敛性 若 收敛，即 故 是 的一个根迭代法的几何意义迭代法的几何意义n 交点的横坐标 y=x简单迭代法简单迭代法 将 变为另一种等价形式 。选取 的某一近似值 ，则按递推关系 产生迭代序列 。这种方法称为简单迭代法。例题例题例题例题n精确到小数点后五位例题n但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ，显然结果越来越大，是发散序列迭代法的收敛性迭代法的收敛性迭代收敛定理迭代收敛定理n证明：不失一般性，不妨设 否则 为方程的根。n首先证明根的存在性首先证明根的存在性 令 迭代收敛定理迭代收敛定理 则 ，即 由条件2）是 上的连续函数所以 是 上的连续函数。故由零点定理 在 上至少有一根迭代收敛定理迭代收敛定理n再证根的唯一性 设有 均为方程的根 则 因为 0L1 ，所以只可能 ，即根是唯一的。迭代收敛定理迭代收敛定理n最后证迭代序列的收敛性 与n 无关，而0L1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。迭代法p 阶收敛的充要条件是：迭代函数 满足6.1.4 加速收敛技术加速收敛技术6.1.5 Newton迭代法迭代法Newton迭代法迭代法去掉 的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：Newton迭代法迭代法Newton迭代法几何解释迭代法几何解释n几何意义例例 用牛顿法求 的近似解。解：由零点定理：例题n例 用Newton法计算 解：Newton迭代法算法框图迭代法算法框图Newton迭代法算法迭代法算法Newton迭代法收敛性迭代法收敛性定理 设函数 ，且满足 若初值 满足 时，由Newton法产生的序列收敛到 在a,b上的唯一根。Newton迭代法收敛性迭代法收敛性证明：根的存在性n根的唯一性Newton迭代法收敛性迭代法收敛性n收敛性Newton迭代法收敛性迭代法收敛性 Newton迭代法收敛性迭代法收敛性Newton迭代法收敛性迭代法收敛性n推论推论 在定理条件下，在定理条件下，Newton迭代法迭代法具有平方收敛速度。具有平方收敛速度。Newton迭代法的变形迭代法的变形6.2.4 弦截法弦截法nNewton迭代法有一个较强的要求是迭代法有一个较强的要求是 且存在。因此，用弦的斜率且存在。因此，用弦的斜率 近似的替代近似的替代 。弦截法弦截法n令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2弦截法弦截法弦截法的几何解释弦截法的几何解释弦截法收敛定理弦截法收敛定理6.2 线性方程组迭代解法线性方程组迭代解法 迭代法适用于系数矩阵为稀疏矩阵稀疏矩阵的方程组.n基本迭代法n基本迭代法的收敛条件6.2.1 基本迭代法基本迭代法(Jacobi迭代法迭代法)6.2.1 基本迭代法基本迭代法(Seidel迭代法迭代法)6.2.1 基本迭代法基本迭代法(SOR迭代法迭代法)6.2.2 基本迭代法收敛条件基本迭代法收敛条件迭代收敛定理迭代收敛定理例例6.4 判断求解判断求解AX=b的三种迭代法是否收的三种迭代法是否收敛，其中敛，其中A为为(2)A对称正定，但|2D-A|=0,说明2D-A不正定，故Jacobi迭代发散，02时SOR迭代收敛；(3)A为严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代收敛，0=1时SOR迭代收敛；6.3 非线性代数方程组的迭代解法非线性代数方程组的迭代解法6.3.1 简单迭代法简单迭代法6.3.1 Seidel迭代迭代6.3.2 牛顿迭代法牛顿迭代法