最优控制课件第三章-Recovered

线性二次型指标的最优控制线性二次型指标的最优控制4-14-1 线性线性二次型问题提法二次型问题提法二次型问题提法二次型问题提法4-24-2状态调节器问题状态调节器问题状态调节器问题状态调节器问题4-34-3 线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题4-44-4 输出调节器问题输出调节器问题输出调节器问题输出调节器问题4-54-5 跟踪问题跟踪问题跟踪问题跟踪问题1如果系统是如果系统是如果系统是如果系统是线性线性线性线性的，的，的，的，性能指标性能指标性能指标性能指标为为为为二次型函数二次型函数二次型函数二次型函数，则最优，则最优，则最优，则最优控制问题为线性二次型问题。控制问题为线性二次型问题。控制问题为线性二次型问题。控制问题为线性二次型问题。l l 代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求l l 易于工程实现易于工程实现易于工程实现易于工程实现 （线性最优反馈控制规律的确定可归结为线性最优反馈控制规律的确定可归结为线性最优反馈控制规律的确定可归结为线性最优反馈控制规律的确定可归结为RiccatiRiccati方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解）24-1 二次型问题提法二次型问题提法设线设线性系性系性系性系统统的的的的动态动态方程方程方程方程为为：为为为为n n维状态向量，维状态向量，维状态向量，维状态向量，为为为为mm维控制向量，维控制向量，维控制向量，维控制向量，为输出向量。为输出向量。为输出向量。为输出向量。设设设设 不受限制。定义下列误差向量不受限制。定义下列误差向量不受限制。定义下列误差向量不受限制。定义下列误差向量其中，其中，其中，其中，为为期望期望期望期望输输出向量。出向量。出向量。出向量。寻寻求最求最求最求最优优控制控制控制控制 ，使下列性能指，使下列性能指，使下列性能指，使下列性能指标标最小：最小：最小：最小：3其中，其中，其中，其中，P P P P为半正定对称阵，为半正定对称阵，为半正定对称阵，为半正定对称阵，为半正定对称阵，为半正定对称阵，为半正定对称阵，为半正定对称阵，为正定对为正定对为正定对为正定对称阵。一般将称阵。一般将称阵。一般将称阵。一般将P P P P，取为对角阵。取为对角阵。取为对角阵。取为对角阵。性能指标函数中的每一项：性能指标函数中的每一项：性能指标函数中的每一项：性能指标函数中的每一项：表示对终端误差表示对终端误差表示对终端误差表示对终端误差(例如导弹的脱靶量等例如导弹的脱靶量等例如导弹的脱靶量等例如导弹的脱靶量等)的惩罚的惩罚的惩罚的惩罚（4-1）表示对系统误差的惩罚，定量地刻画了整个控制表示对系统误差的惩罚，定量地刻画了整个控制表示对系统误差的惩罚，定量地刻画了整个控制表示对系统误差的惩罚，定量地刻画了整个控制过程中实际状态偏离期望状态的状况。过程中实际状态偏离期望状态的状况。过程中实际状态偏离期望状态的状况。过程中实际状态偏离期望状态的状况。定量地刻画了整个过程中所消耗的能量，反映定量地刻画了整个过程中所消耗的能量，反映定量地刻画了整个过程中所消耗的能量，反映定量地刻画了整个过程中所消耗的能量，反映了控制的代价，表示对消耗控制能量的惩罚。了控制的代价，表示对消耗控制能量的惩罚。了控制的代价，表示对消耗控制能量的惩罚。了控制的代价，表示对消耗控制能量的惩罚。4（2 2）根据终端状态）根据终端状态）根据终端状态）根据终端状态 l l 自由终端二次型最优控制问题自由终端二次型最优控制问题自由终端二次型最优控制问题自由终端二次型最优控制问题l l 非自由终端二次型最优控制问题非自由终端二次型最优控制问题非自由终端二次型最优控制问题非自由终端二次型最优控制问题根据不同的出发点，二次型最优控制问题具有各种不同的分类：根据不同的出发点，二次型最优控制问题具有各种不同的分类：根据不同的出发点，二次型最优控制问题具有各种不同的分类：根据不同的出发点，二次型最优控制问题具有各种不同的分类：（1 1）根据终点时刻）根据终点时刻）根据终点时刻）根据终点时刻 l l 有限终点时间的二次型最优控制问题有限终点时间的二次型最优控制问题有限终点时间的二次型最优控制问题有限终点时间的二次型最优控制问题l l 无限终点时间的二次型最优控制问题无限终点时间的二次型最优控制问题无限终点时间的二次型最优控制问题无限终点时间的二次型最优控制问题（3 3）根据期望输出）根据期望输出）根据期望输出）根据期望输出 l l 二次型最优调节器问题（二次型最优调节器问题（二次型最优调节器问题（二次型最优调节器问题（定点）定点）定点）定点）l l二次型最优跟踪器问题二次型最优跟踪器问题二次型最优跟踪器问题二次型最优跟踪器问题 (动点）动点）动点）动点）线性二次型问题的本质线性二次型问题的本质线性二次型问题的本质线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。5线性二次型问题的三种重要情形：线性二次型问题的三种重要情形：线性二次型问题的三种重要情形：线性二次型问题的三种重要情形：状态调节器状态调节器状态调节器状态调节器输出调节器输出调节器输出调节器输出调节器跟踪问题跟踪问题跟踪问题跟踪问题6该该性能指性能指性能指性能指标标的物理含的物理含的物理含的物理含义为义为：以：以：以：以较较小的控制能量小的控制能量小的控制能量小的控制能量为为代价，使代价，使代价，使代价，使 保持在零值附近。保持在零值附近。保持在零值附近。保持在零值附近。4-2 状态调节器问题状态调节器问题系系系系统统状状状状态态方程和性能指方程和性能指方程和性能指方程和性能指标标 （4-24-24-24-2）和前一和前一和前一和前一节节比比比比较较:,，则则（4-34-34-34-3）7横截条件横截条件横截条件横截条件（4-64-6）则协态则协态方程方程方程方程为为（4-44-4）控制方程控制方程控制方程控制方程为为取哈密顿函数为取哈密顿函数为取哈密顿函数为取哈密顿函数为（4-54-5）思路：思路：思路：思路：确定确定确定确定 与与与与 的关系，带入（的关系，带入（的关系，带入（的关系，带入（4-54-5）形成状态反馈）形成状态反馈）形成状态反馈）形成状态反馈8，这这种方法称种方法称种方法称种方法称为为扫扫描法描法描法描法。由上式可由上式可由上式可由上式可见见，协态协态 和状和状和状和状态态，在，在，在，在终终端端端端时时刻成刻成刻成刻成线线性关系。性关系。性关系。性关系。然后再求然后再求然后再求然后再求假定：假定：假定：假定：（4-74-7）将（将（将（将（4-74-7）式两）式两）式两）式两边边分分分分别对别对t t求求求求导导，并将（，并将（，并将（，并将（4-44-4）式代入得）式代入得）式代入得）式代入得（4-94-9）由（由（由（由（4-24-2）、（）、（）、（）、（4-54-5）、（）、（）、（）、（4-74-7）式得）式得）式得）式得（4-84-8）9把式（把式（把式（把式（4-84-8）代入上式并整理得）代入上式并整理得）代入上式并整理得）代入上式并整理得 （4-104-10）上式上式上式上式对对任意任意任意任意均成立，因而有均成立，因而有均成立，因而有均成立，因而有（4-114-11）式（式（式（式（4-114-11）称为黎卡提（）称为黎卡提（）称为黎卡提（）称为黎卡提（RiccatiRiccati）矩阵微分方程，）矩阵微分方程，）矩阵微分方程，）矩阵微分方程，即为该即为该即为该即为该矩阵微分方程的解。一般来说得不出矩阵微分方程的解。一般来说得不出矩阵微分方程的解。一般来说得不出矩阵微分方程的解。一般来说得不出 的解析表达式，但可的解析表达式，但可的解析表达式，但可的解析表达式，但可利用数值计算得到其数值解。比较（利用数值计算得到其数值解。比较（利用数值计算得到其数值解。比较（利用数值计算得到其数值解。比较（4-64-6）和（）和（）和（）和（4-74-7）式可得）式可得）式可得）式可得 的边界条件为：的边界条件为：的边界条件为：的边界条件为：(4-12)(4-12)101 1）与状态与状态与状态与状态 无关，故可在系统运行之前，将其先计算出无关，故可在系统运行之前，将其先计算出无关，故可在系统运行之前，将其先计算出无关，故可在系统运行之前，将其先计算出来，把它存储在计算机中，系统运行时只需计算简单的乘法，来，把它存储在计算机中，系统运行时只需计算简单的乘法，来，把它存储在计算机中，系统运行时只需计算简单的乘法，来，把它存储在计算机中，系统运行时只需计算简单的乘法，节省计算时间。节省计算时间。节省计算时间。节省计算时间。求解黎卡提矩阵微分方程时，利用求解黎卡提矩阵微分方程时，利用求解黎卡提矩阵微分方程时，利用求解黎卡提矩阵微分方程时，利用 ，从，从，从，从 时刻开始逆时刻开始逆时刻开始逆时刻开始逆时间求解。在获得时间求解。在获得时间求解。在获得时间求解。在获得 之后，可计算最优反馈控制规律：之后，可计算最优反馈控制规律：之后，可计算最优反馈控制规律：之后，可计算最优反馈控制规律：从式（从式（从式（从式（4-114-11）可以看出：）可以看出：）可以看出：）可以看出：只要控制时间只要控制时间只要控制时间只要控制时间 是有限的，是有限的，是有限的，是有限的，就是时变的，最优就是时变的，最优就是时变的，最优就是时变的，最优反馈系统将为线性时变系统。反馈系统将为线性时变系统。反馈系统将为线性时变系统。反馈系统将为线性时变系统。2 2）11 是黎卡提矩是黎卡提矩是黎卡提矩是黎卡提矩阵阵微分方程的解，微分方程的解，微分方程的解，微分方程的解，则则 必为对称必为对称必为对称必为对称阵，即阵，即阵，即阵，即定理定理定理定理4-14-1 矩阵矩阵矩阵矩阵 性质：性质：性质：性质：证证明明明明:对黎卡提矩阵微分方程取转置对黎卡提矩阵微分方程取转置对黎卡提矩阵微分方程取转置对黎卡提矩阵微分方程取转置方程形式相同且边界条件相同方程形式相同且边界条件相同方程形式相同且边界条件相同方程形式相同且边界条件相同（思路：思路：思路：思路：）12又又又又 对对任意任意任意任意均成立，故可得均成立，故可得均成立，故可得均成立，故可得（4-114-11）比比比比较较式式式式(4-11)(4-11)(4-11)(4-11)和和和和(4-13)(4-13)(4-13)(4-13)，二者，二者，二者，二者为为同一形式的矩同一形式的矩同一形式的矩同一形式的矩阵阵微分方程，且微分方程，且微分方程，且微分方程，且边边界条件相同即界条件相同即界条件相同即界条件相同即 ，因此二者的解必相同，证，因此二者的解必相同，证，因此二者的解必相同，证，因此二者的解必相同，证毕。毕。毕。毕。)()()()()()()()()()()(1tQtKtBtRtBtKtKtAtAtKdttdKTTTTTT-+-=-（4-134-13）13作用下，性能指作用下，性能指作用下，性能指作用下，性能指标标取取取取且当且当且当且当时时，在，在，在，在区区区区间间上，上，上，上，为为为为半正定矩半正定矩半正定矩半正定矩阵阵。正定阵，正定阵，正定阵，正定阵，定理定理定理定理4-24-2 当性能指标为（当性能指标为（当性能指标为（当性能指标为（4-34-3）式时，系统（）式时，系统（）式时，系统（）式时，系统（4-24-2）在最）在最）在最）在最 优优优优控制律控制律控制律控制律最小值：最小值：最小值：最小值：时时当当当当证证明明明明:将其转化为性能指标的形式）将其转化为性能指标的形式）将其转化为性能指标的形式）将其转化为性能指标的形式）构造构造构造构造（思路：思路：思路：思路：构造下面等式构造下面等式构造下面等式构造下面等式:（4-34-34-34-3）14（4-144-14）上式左上式左上式左上式左边边可展成可展成可展成可展成:将状将状将状将状态态方程及黎卡提方程代入可得方程及黎卡提方程代入可得方程及黎卡提方程代入可得方程及黎卡提方程代入可得(4-15)(4-15)15由式（由式（由式（由式（4-144-14）和（）和（）和（）和（4-154-15）得）得）得）得对对上式整理得上式整理得上式整理得上式整理得:16左端即为在最优控制下从左端即为在最优控制下从左端即为在最优控制下从左端即为在最优控制下从t t到到到到 的性能指标，故有的性能指标，故有的性能指标，故有的性能指标，故有由于由于由于由于P P、QQ、R R为半正定或正定阵，当为半正定或正定阵，当为半正定或正定阵，当为半正定或正定阵，当 时，必有时，必有时，必有时，必有 可见可见可见可见 必为正定阵，仅当必为正定阵，仅当必为正定阵，仅当必为正定阵，仅当 时，时，时，时，为半正定阵，为半正定阵，为半正定阵，为半正定阵，J J的最小值与起始时间有关。的最小值与起始时间有关。的最小值与起始时间有关。的最小值与起始时间有关。（4-34-34-34-3）17（1 1 1 1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵P,Q,RP,Q,RP,Q,RP,Q,R状态调节器的设计步骤状态调节器的设计步骤状态调节器的设计步骤状态调节器的设计步骤（2 2 2 2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵求解黎卡提微分方程，求得矩阵求解黎卡提微分方程，求得矩阵求解黎卡提微分方程，求得矩阵K(t)K(t)K(t)K(t)（3 3 3 3）求反馈增益矩阵求反馈增益矩阵求反馈增益矩阵求反馈增益矩阵K(t)K(t)K(t)K(t)及最优控制及最优控制及最优控制及最优控制u u u u*(t)(t)(t)(t)（4 4 4 4）求解最优轨线求解最优轨线求解最优轨线求解最优轨线x x x x*(t)(t)(t)(t)（5 5 5 5）计算性能指标最优值计算性能指标最优值计算性能指标最优值计算性能指标最优值18例例例例4-14-14-14-1 系统状态方程为系统状态方程为系统状态方程为系统状态方程为 初始条件初始条件初始条件初始条件为为 。终终端端端端时间时间给给定，性能指定，性能指定，性能指定，性能指标为标为试试求最求最求最求最优优控制，使其性能指控制，使其性能指控制，使其性能指控制，使其性能指标标取得最小取得最小取得最小取得最小值值。解解解解:题题中中中中 19设设，由黎卡提矩，由黎卡提矩，由黎卡提矩，由黎卡提矩阵阵微分方程可得微分方程可得微分方程可得微分方程可得即即即即边边界条件界条件界条件界条件为为。对对上面三个上面三个上面三个上面三个微分微分微分微分方程可用数值求解法：方程可用数值求解法：方程可用数值求解法：方程可用数值求解法：20取取取取为为一一一一较较小的小的小的小的负负数数数数，从，从，从，从时时刻求解刻求解刻求解刻求解然后再增加一个步然后再增加一个步然后再增加一个步然后再增加一个步长长，求出，求出，求出，求出，一直到，一直到，一直到，一直到为止。为止。为止。为止。21设设设设 ，图图4-14-1中的（中的（中的（中的（a a）、）、）、）、(b)(b)、（、（、（、（c c）分）分）分）分别别表示黎卡提方程表示黎卡提方程表示黎卡提方程表示黎卡提方程的解、最的解、最的解、最的解、最优优状状状状态轨线态轨线及最及最及最及最优优控制。控制。控制。控制。(a)(a)(b)(b)(c)(c)u(t)u(t)t tt tt t图图 4-1 例例4-1中各变量的变化过程中各变量的变化过程2243无限时间定常状态调节器无限时间定常状态调节器上面讨论的状态调节器，即使系统是时不变的，由于控制时上面讨论的状态调节器，即使系统是时不变的，由于控制时上面讨论的状态调节器，即使系统是时不变的，由于控制时上面讨论的状态调节器，即使系统是时不变的，由于控制时间区间间区间间区间间区间是有限的，求得的是有限的，求得的是有限的，求得的是有限的，求得的 是时变的，大大增加了是时变的，大大增加了是时变的，大大增加了是时变的，大大增加了系统结构的复杂性。系统结构的复杂性。系统结构的复杂性。系统结构的复杂性。问题的提出：问题的提出：问题的提出：问题的提出：解决思路解决思路解决思路解决思路:为了探索使为了探索使为了探索使为了探索使 成为常阵的条件，终端时刻取成为常阵的条件，终端时刻取成为常阵的条件，终端时刻取成为常阵的条件，终端时刻取 ，期，期，期，期望得到望得到望得到望得到 ，即所谓，即所谓，即所谓，即所谓无限时间状态调节器无限时间状态调节器无限时间状态调节器无限时间状态调节器或稳态状或稳态状或稳态状或稳态状态调节器。态调节器。态调节器。态调节器。23 设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为 其中其中其中其中 ,均为常值正定对称矩阵。均为常值正定对称矩阵。均为常值正定对称矩阵。均为常值正定对称矩阵。初始条件初始条件初始条件初始条件终端时刻终端时刻终端时刻终端时刻 假设控制向量假设控制向量假设控制向量假设控制向量 不受约束不受约束不受约束不受约束 ，求最优控制，求最优控制，求最优控制，求最优控制 ，使系统的，使系统的，使系统的，使系统的二次型性能指标二次型性能指标二次型性能指标二次型性能指标取极小值。取极小值。取极小值。取极小值。，矩阵对，矩阵对，矩阵对，矩阵对A,BA,B完全可控，完全可控，完全可控，完全可控，24与有限时间状态调节器的不同点：与有限时间状态调节器的不同点：与有限时间状态调节器的不同点：与有限时间状态调节器的不同点：1 1）系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵；系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵；系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵；系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵；3 3）终端权矩阵终端权矩阵终端权矩阵终端权矩阵P=0,P=0,没有终端性能要求；没有终端性能要求；没有终端性能要求；没有终端性能要求；2 2）要求系统完全可控要求系统完全可控要求系统完全可控要求系统完全可控;趋于常值；趋于常值；趋于常值；趋于常值；4 4）终端时刻终端时刻终端时刻终端时刻 ，稳态时：稳态时：稳态时：稳态时：稳态时间稳态时间稳态时间稳态时间过渡时间过渡时间过渡时间过渡时间黎卡提矩阵微分方程黎卡提矩阵微分方程黎卡提矩阵微分方程黎卡提矩阵微分方程黎卡提代数方程黎卡提代数方程黎卡提代数方程黎卡提代数方程K K 阵为常值矩阵阵为常值矩阵阵为常值矩阵阵为常值矩阵由于由于由于由于25下面直接给出最优解的下面直接给出最优解的下面直接给出最优解的下面直接给出最优解的结论结论结论结论：是可控的，性能指是可控的，性能指是可控的，性能指是可控的，性能指标为标为(4-17)(4-17)线线性定常系性定常系性定常系性定常系统统（4-164-16）其中其中其中其中u u不受限制，不受限制，不受限制，不受限制，和和和和 为常数对称正定阵。则使为常数对称正定阵。则使为常数对称正定阵。则使为常数对称正定阵。则使J J为极小的为极小的为极小的为极小的最优控制存在，且唯一，并可表示为最优控制存在，且唯一，并可表示为最优控制存在，且唯一，并可表示为最优控制存在，且唯一，并可表示为(4-18)(4-18)26式中式中式中式中KK为为黎卡提代数方程黎卡提代数方程黎卡提代数方程黎卡提代数方程 (4-19)(4-19)在最在最在最在最优优控制下，最控制下，最控制下，最控制下，最优轨线优轨线是下面是下面是下面是下面线线性定常性定常性定常性定常齐齐次微分方程的解次微分方程的解次微分方程的解次微分方程的解(4-20)(4-20)所所所所对应对应的性能指的性能指的性能指的性能指标标的最小的最小的最小的最小值为值为(4-21)(4-21)对于无限时间状态调节器，要强调以下三点：对于无限时间状态调节器，要强调以下三点：对于无限时间状态调节器，要强调以下三点：对于无限时间状态调节器，要强调以下三点：的解。的解。的解。的解。271 1 1 1）适用于线性定常系统适用于线性定常系统适用于线性定常系统适用于线性定常系统,且要求且要求且要求且要求系统完全可控，系统完全可控，系统完全可控，系统完全可控，而在有限时间而在有限时间而在有限时间而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控制区间扩大至无穷，为了保证积分值为有限，制区间扩大至无穷，为了保证积分值为有限，制区间扩大至无穷，为了保证积分值为有限，制区间扩大至无穷，为了保证积分值为有限，和和和和 要收要收要收要收敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐近稳定的。对有敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐近稳定的。对有敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐近稳定的。对有敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐近稳定的。对有限时间调节器来讲，因为积分上限限时间调节器来讲，因为积分上限限时间调节器来讲，因为积分上限限时间调节器来讲，因为积分上限 有限值，即使系统不可有限值，即使系统不可有限值，即使系统不可有限值，即使系统不可控，状态变量不稳定，但积分指标仍可为有限值，故仍旧有最控，状态变量不稳定，但积分指标仍可为有限值，故仍旧有最控，状态变量不稳定，但积分指标仍可为有限值，故仍旧有最控，状态变量不稳定，但积分指标仍可为有限值，故仍旧有最优解。优解。优解。优解。2 2）闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵 的特的特的特的特征值均具有负实部，而不论原系统征值均具有负实部，而不论原系统征值均具有负实部，而不论原系统征值均具有负实部，而不论原系统A A的特征值如何。的特征值如何。的特征值如何。的特征值如何。证明思路：证明思路：证明思路：证明思路：采用李亚普诺夫第二法，证明李亚普诺夫函数采用李亚普诺夫第二法，证明李亚普诺夫函数采用李亚普诺夫第二法，证明李亚普诺夫函数采用李亚普诺夫第二法，证明李亚普诺夫函数 正定，正定，正定，正定，负定，则原系统是渐进稳定的。（李亚普诺夫第二法稳定性定理）负定，则原系统是渐进稳定的。（李亚普诺夫第二法稳定性定理）负定，则原系统是渐进稳定的。（李亚普诺夫第二法稳定性定理）负定，则原系统是渐进稳定的。（李亚普诺夫第二法稳定性定理）（见例（见例（见例（见例4-34-3）（见例（见例（见例（见例4-44-4）28证证明：明：明：明：设设李雅普李雅普李雅普李雅普诺诺夫函数夫函数夫函数夫函数因因因因K K K K正定，故正定，故正定，故正定，故是正定的是正定的是正定的是正定的与黎卡提代数方程（与黎卡提代数方程（与黎卡提代数方程（与黎卡提代数方程（4-194-194-194-19）式比）式比）式比）式比较较得得得得由于由于由于由于Q Q Q Q，R R R R均均均均为为正定矩正定矩正定矩正定矩阵阵，故，故，故，故负负定，定，定，定，结论结论得得得得证证。293 3 3 3）Q Q Q Q为正定，这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。为正定，这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。为正定，这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。为正定，这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。性能指标性能指标性能指标性能指标J J J J取有限值，还不能保系统稳定，例如，只要不稳定取有限值，还不能保系统稳定，例如，只要不稳定取有限值，还不能保系统稳定，例如，只要不稳定取有限值，还不能保系统稳定，例如，只要不稳定的状态变量在性能指标中不出现（未被指标函数所的状态变量在性能指标中不出现（未被指标函数所的状态变量在性能指标中不出现（未被指标函数所的状态变量在性能指标中不出现（未被指标函数所“观测观测观测观测”到）到）到）到）即可，即可，即可，即可，Q Q Q Q为半正定时就可能出现这种情况，所以为半正定时就可能出现这种情况，所以为半正定时就可能出现这种情况，所以为半正定时就可能出现这种情况，所以Q Q Q Q必须正定。必须正定。必须正定。必须正定。（见例（见例（见例（见例4-24-2）30例例例例 4 4 4 42 2 2 2 已知系已知系已知系已知系统统方程方程方程方程为为性能指性能指性能指性能指标为标为要求要求要求要求寻寻找最找最找最找最优优控制使控制使控制使控制使J J J J最小。最小。最小。最小。若若若若 ，即，即，即，即 ，为正定，此时黎卡提代数为正定，此时黎卡提代数为正定，此时黎卡提代数为正定，此时黎卡提代数解：解：解：解：设设即原系即原系即原系即原系统统是不是不是不是不稳稳定的。定的。定的。定的。方程为：方程为：方程为：方程为：31整理得：整理得：整理得：整理得：取正定解取正定解取正定解取正定解由（由（由（由（4-184-184-184-18）式求得最）式求得最）式求得最）式求得最优优控制控制控制控制将上式代入状将上式代入状将上式代入状将上式代入状态态方程，得方程，得方程，得方程，得闭环闭环特征根特征根特征根特征根为为32若若若若（相当于（相当于（相当于（相当于QQ半正定）半正定）半正定）半正定）则则指指指指标蜕标蜕化化化化为为由由由由J J的形成，可知的形成，可知的形成，可知的形成，可知 时时J J最小。最小。最小。最小。这时这时无反无反无反无反馈馈控制作用，控制作用，控制作用，控制作用，系系系系统统保持保持保持保持为为开开开开环环不不不不稳稳定状定状定状定状态态。从黎卡提方程来看，。从黎卡提方程来看，。从黎卡提方程来看，。从黎卡提方程来看，这时这时有有有有有二个解有二个解有二个解有二个解 和和和和 ，只有，只有，只有，只有 可使可使可使可使 ，从而性能指标为最小，但这时系统不稳定。从而性能指标为最小，但这时系统不稳定。从而性能指标为最小，但这时系统不稳定。从而性能指标为最小，但这时系统不稳定。33例例例例 4 4 4 43 3 3 3 设系统状态方程为设系统状态方程为设系统状态方程为设系统状态方程为性能指性能指性能指性能指标为标为解解解解 根据最根据最根据最根据最优优控制控制控制控制规规律律律律由于34尽管尽管尽管尽管 是不可控的，但反馈控制中仍可包含有状态是不可控的，但反馈控制中仍可包含有状态是不可控的，但反馈控制中仍可包含有状态是不可控的，但反馈控制中仍可包含有状态 ，性能指，性能指，性能指，性能指标尽管有标尽管有标尽管有标尽管有 ，J J仍有最小值。仍有最小值。仍有最小值。仍有最小值。可由黎卡提矩可由黎卡提矩可由黎卡提矩可由黎卡提矩阵阵微分方程得到微分方程得到微分方程得到微分方程得到:又又又又，解得，解得，解得，解得 当当当当 时，时，时，时，中必有中必有中必有中必有 。当当当当 时，必有时，必有时，必有时，必有 ，因为，因为，因为，因为35积积分可得：分可得：分可得：分可得：在在在在时，故有，故有，故有，故有式中指数部分不式中指数部分不式中指数部分不式中指数部分不为为零，只有零，只有零，只有零，只有，可推得，可推得，可推得，可推得这时这时中将不包含中将不包含中将不包含中将不包含。36例例例例4 4 4 44 4 4 4 设系统的状态方程为设系统的状态方程为设系统的状态方程为设系统的状态方程为性能指性能指性能指性能指标为标为试试确定最确定最确定最确定最优优控制，使控制，使控制，使控制，使J J J J最小。最小。最小。最小。设设保保保保证证Q Q Q Q为为正定。正定。正定。正定。解：解：解：解：系系系系统统中中中中设设37由式（由式（由式（由式（4-184-184-184-18）可得最）可得最）可得最）可得最优优控制控制控制控制整理得整理得整理得整理得由由由由Q Q Q Q、K K K K的正定性，下式成立的正定性，下式成立的正定性，下式成立的正定性，下式成立38最最最最优优控制函数控制函数控制函数控制函数为为可看出可看出可看出可看出闭环闭环系系系系统统是是是是稳稳定的。定的。定的。定的。将上式代入状态方程，可得闭环系统的特征方程为将上式代入状态方程，可得闭环系统的特征方程为将上式代入状态方程，可得闭环系统的特征方程为将上式代入状态方程，可得闭环系统的特征方程为3944输出调节器问题输出调节器问题在在在在这节这节中，我中，我中，我中，我们们将依据系将依据系将依据系将依据系统统可可可可观测这观测这一条件，来一条件，来一条件，来一条件，来证证明明明明输输出出出出调调节节器器器器问题问题可以可以可以可以转转化成等效的状化成等效的状化成等效的状化成等效的状态调节态调节器器器器问题问题，并利用前两，并利用前两，并利用前两，并利用前两节节的的的的结结果，果，果，果，应应用用用用类类比法，建立比法，建立比法，建立比法，建立输输出出出出调节调节器的控制器的控制器的控制器的控制规规律。律。律。律。其控制其控制其控制其控制不受不受不受不受约约束，假定系束，假定系束，假定系束，假定系统统(4-22)(4-22)(4-22)(4-22)完全可完全可完全可完全可观测观测，寻寻找控制找控制找控制找控制，使下列性能指，使下列性能指，使下列性能指，使下列性能指标标最小。最小。最小。最小。（4-234-234-234-23）（4-22a4-22a4-22a4-22a）（4-22b4-22b4-22b4-22b）设线性时变系统的动态方程为设线性时变系统的动态方程为设线性时变系统的动态方程为设线性时变系统的动态方程为:40 其中其中其中其中 和和和和 是半正定矩阵，是半正定矩阵，是半正定矩阵，是半正定矩阵，是正定矩阵，终端时间是正定矩阵，终端时间是正定矩阵，终端时间是正定矩阵，终端时间 固定。固定。固定。固定。这一问题的这一问题的这一问题的这一问题的物理含义物理含义物理含义物理含义是：以比较小的控制能量为代价，使是：以比较小的控制能量为代价，使是：以比较小的控制能量为代价，使是：以比较小的控制能量为代价，使输出输出输出输出 保持在零值附近。保持在零值附近。保持在零值附近。保持在零值附近。把把把把代入方程（代入方程（代入方程（代入方程（4-234-23）得）得）得）得:（4-244-24）（4-34-34-34-3）比较（比较（比较（比较（4-244-24）和（）和（）和（）和（4-34-3）式）式）式）式41 要是能证明当矩阵要是能证明当矩阵要是能证明当矩阵要是能证明当矩阵 和和和和 是半正定的，是半正定的，是半正定的，是半正定的，那么那么那么那么输出调节器问题也就转化成等效的状态调节器问题输出调节器问题也就转化成等效的状态调节器问题输出调节器问题也就转化成等效的状态调节器问题输出调节器问题也就转化成等效的状态调节器问题，于是，于是，于是，于是状态调节器问题的所有研究结果，都可以推广到输出调节器问状态调节器问题的所有研究结果，都可以推广到输出调节器问状态调节器问题的所有研究结果，都可以推广到输出调节器问状态调节器问题的所有研究结果，都可以推广到输出调节器问题中来。题中来。题中来。题中来。可见它们的结构形式相同，唯一差别是指标函数中的权函数可见它们的结构形式相同，唯一差别是指标函数中的权函数可见它们的结构形式相同，唯一差别是指标函数中的权函数可见它们的结构形式相同，唯一差别是指标函数中的权函数发生了变化：发生了变化：发生了变化：发生了变化：在在在在（4-34-3）式中的矩阵式中的矩阵式中的矩阵式中的矩阵 和和和和 在在在在（4-244-24）式中分别换成式中分别换成式中分别换成式中分别换成 和和和和。42，则对则对把把把把代入上式得代入上式得代入上式得代入上式得(4-26)(4-26)式（式（式（式（4-264-26）对对于所有的于所有的于所有的于所有的均成立，所以均成立，所以均成立，所以均成立，所以即即即即是半正定的。同理可是半正定的。同理可是半正定的。同理可是半正定的。同理可证证是半正定是半正定是半正定是半正定阵阵。证明证明证明证明:因系因系因系因系统统可可可可观测观测，故，故，故，故,又又又又都有都有都有都有（4-254-25）所有的所有的所有的所有的(根据半正定阵的定义证明根据半正定阵的定义证明根据半正定阵的定义证明根据半正定阵的定义证明)43因此对输出调节器问题可阐述为：因此对输出调节器问题可阐述为：因此对输出调节器问题可阐述为：因此对输出调节器问题可阐述为：（4-274-274-274-27）最最最最优轨优轨迹是下列迹是下列迹是下列迹是下列线线性微分方程的解性微分方程的解性微分方程的解性微分方程的解:满满足足足足边边界条件界条件界条件界条件为为下列黎卡提矩下列黎卡提矩下列黎卡提矩下列黎卡提矩阵阵微分方程的解微分方程的解微分方程的解微分方程的解其中其中其中其中对于系统（对于系统（对于系统（对于系统（4-224-22）和性能指标（）和性能指标（）和性能指标（）和性能指标（4-234-23），最优控制存在、唯一，），最优控制存在、唯一，），最优控制存在、唯一，），最优控制存在、唯一，且可表示为且可表示为且可表示为且可表示为:44由于状态信息更完整地反映了系统的动态性能，比由于状态信息更完整地反映了系统的动态性能，比由于状态信息更完整地反映了系统的动态性能，比由于状态信息更完整地反映了系统的动态性能，比 更为丰富更为丰富更为丰富更为丰富，当系统可观测时，必可从，当系统可观测时，必可从，当系统可观测时，必可从，当系统可观测时，必可从 中求得系统的全部状态信息。中求得系统的全部状态信息。中求得系统的全部状态信息。中求得系统的全部状态信息。为实现最优控制，应当利用系统中所有可能的信息，故输出调为实现最优控制，应当利用系统中所有可能的信息，故输出调为实现最优控制，应当利用系统中所有可能的信息，故输出调为实现最优控制，应当利用系统中所有可能的信息，故输出调节器的最优控制规律仍是以状态的线性函数构成节器的最优控制规律仍是以状态的线性函数构成节器的最优控制规律仍是以状态的线性函数构成节器的最优控制规律仍是以状态的线性函数构成状态反馈状态反馈状态反馈状态反馈。45无限时间定常输出调节器：无限时间定常输出调节器：无限时间定常输出调节器：无限时间定常输出调节器：关于线性时不变系统当关于线性时不变系统当关于线性时不变系统当关于线性时不变系统当 时的输出调节器问题，可参时的输出调节器问题，可参时的输出调节器问题，可参时的输出调节器问题，可参照照照照 时的状态调节器问题，得到相应的控制规律。时的状态调节器问题，得到相应的控制规律。时的状态调节器问题，得到相应的控制规律。时的状态调节器问题，得到相应的控制规律。设线设线性性性性时时不不不不变变系系系系统统完全可控，可完全可控，可完全可控，可完全可控，可观测观测，性能指，性能指，性能指，性能指标为标为46其中其中其中其中 不受约束，不受约束，不受约束，不受约束，和和和和 都是正定对称常数矩阵，则最优都是正定对称常数矩阵，则最优都是正定对称常数矩阵，则最优都是正定对称常数矩阵，则最优控制存在，唯一，且由下式确定控制存在，唯一，且由下式确定控制存在，唯一，且由下式确定控制存在，唯一，且由下式确定其中其中其中其中KK是正定常数矩是正定常数矩是正定常数矩是正定常数矩阵阵，满满足下列矩足下列矩足下列矩足下列矩阵阵代数黎卡提方程代数黎卡提方程代数黎卡提方程代数黎卡提方程最最最最优优状状状状态态是下列是下列是下列是下列齐齐次方程的解次方程的解次方程的解次方程的解且矩且矩且矩且矩阵阵的特征的特征的特征的特征值值具有具有具有具有负实负实部。部。部。部。4745 跟踪问题跟踪问题设设有可有可有可有可观测线观测线性系性系性系性系统统（4-27a4-27a）(4-27b)(4-27b)系统输出系统输出系统输出系统输出 的期望值为的期望值为的期望值为的期望值为 ，即为所跟踪目标的运动规律，即为所跟踪目标的运动规律，即为所跟踪目标的运动规律，即为所跟踪目标的运动规律，维数与维数与维数与维数与 相同，定义相同，定义相同，定义相同，定义 (4-28)(4-28)为误差函数。要求设计一控制向量为误差函数。要求设计一控制向量为误差函数。要求设计一控制向量为误差函数。要求设计一控制向量 ，使，使，使，使 跟踪跟踪跟踪跟踪 的的的的变化，且使性能指标变化，且使性能指标变化，且使性能指标变化，且使性能指标 (4-29(4-29）取最小取最小取最小取最小值值，为给为给定定定定值值，这类问题这类问题称称称称为为跟踪跟踪跟踪跟踪问题问题。物理意义物理意义物理意义物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。48定定定定义义哈密哈密哈密哈密顿顿函数函数函数函数（4-304-30）控制方程控制方程控制方程控制方程为为（4-314-31）协态协态方程方程方程方程为为（4-324-32）49横截条件横截条件横截条件横截条件(4-33)(4-33)由上式可见，由上式可见，由上式可见，由上式可见，中有一项与中有一项与中有一项与中有一项与 成线性关系，另一项与成线性关系，另一项与成线性关系，另一项与成线性关系，另一项与 理想输出成线性关系，根据扫描法的思想，令理想输出成线性关系，根据扫描法的思想，令理想输出成线性关系，根据扫描法的思想，令理想输出成线性关系，根据扫描法的思想，令(4-34)(4-34)其中矩阵其中矩阵其中矩阵其中矩阵 和向量时间函数和向量时间函数和向量时间函数和向量时间函数 待定。待定。待定。待定。将上式将上式将上式将上式对对t t 求求求求导导得得得得(4-35)(4-35)50将（将（将（将（4-364-36）式代入）式代入）式代入）式代入(4-35(4-35）式得）式得）式得）式得(4-37)(4-37)把把把把代入代入代入代入(4-27a)(4-27a)得得得得(4-36)(4-36)又由式（又由式（又由式（又由式（4-324-32）和（）和（）和（）和（4-344-34）得）得）得）得(4-38)(4-38)（4-374-37）式减（）式减（）式减（）式减（4-384-38）式得）式得）式得）式得51(4-39(4-39）上式上式上式上式对对任意的任意的任意的任意的，均均均均应应成立，于是可得成立，于是可得成立，于是可得成立，于是可得(4-40)(4-40)(4-41)(4-41)52由（由（由（由（4-334-33）式及（）式及（）式及（）式及（4-424-42）式可得）式可得）式可得）式可得（4-424-42）此此此此时时最最最最优优控制控制控制控制为为(4-43)(4-43)第一项与状态第一项与状态第一项与状态第一项与状态 成正比（同状态调节器问题），第二成正比（同状态调节器问题），第二成正比（同状态调节器问题），第二成正比（同状态调节器问题），第二项与时间函数项与时间函数项与时间函数项与时间函数 成正比，而成正比，而成正比，而成正比，而 是与理想输出是与理想输出是与理想输出是与理想输出 有关的，有关的，有关的，有关的，故它表示了跟踪故它表示了跟踪故它表示了跟踪故它表示了跟踪 的驱动作用。的驱动作用。的驱动作用。的驱动作用。53 在最在最在最在最优优控制下状控制下状控制下状控制下状态态最最最最优轨线为优轨线为下面微分方程的解下面微分方程的解下面微分方程的解下面微分方程的解值得指出的是，为了求值得指出的是，为了求值得指出的是，为了求值得指出的是，为了求 ，必须先确定，必须先确定，必须先确定，必须先确定 。一般情况下。一般情况下。一般情况下。一般情况下 事先难以确定事先难以确定事先难以确定事先难以确定,故或者将故或者将故或者将故或者将 设为某种典型函数或者将设为某种典型函数或者将设为某种典型函数或者将设为某种典型函数或者将 作作作作为随机函数，从统计平均意义下求解为随机函数，从统计平均意义下求解为随机函数，从统计平均意义下求解为随机函数，从统计平均意义下求解 。54 例例例例4 45 5 已知动态系统已知动态系统已知动态系统已知动态系统 其控制其控制其控制其控制 不受约束。不受约束。不受约束。不受约束。表示希望输出，表示希望输出，表示希望输出，表示希望输出，表示误差。寻找控制表示误差。寻找控制表示误差。寻找控制表示误差。寻找控制 ，使性能指标，使性能指标，使性能指标，使性能指标最小，其中最小，其中最小，其中最小，其中。解：解：解：解：最最最最优优控制控制控制控制为为55 式中式中式中式中满满足下列黎卡提方程足下列黎卡提方程足下列黎卡提方程足下列黎卡提方程函数函数函数函数为为下列一下列一下列一下列一阶线阶线性方程的解性方程的解性方程的解性方程的解最最最最优轨线优轨线是下列一是下列一是下列一是下列一阶线阶线性微分方程的解性微分方程的解性微分方程的解性微分方程的解56