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数学模型的构造原则目的性原则科学性原则简单性原则1.1 规划模型例例1：某工厂生产甲乙两种产品,生产技术水平及生产能力如下表,如何组织安排生产?产品材料1材料2工时利润甲4012乙0423资源数量16128可如下建立一种数学模型（1）设 分别为两种产品的计划产量，则按照第一种材料的限制，有产品材料1材料2工时利润甲4012乙0423资源数量16128而按照第二种材料的限制，有产品材料1材料2工时利润甲4012乙0423资源数量16128对应工时限制，应有产品材料1材料2工时利润甲4012乙0423资源数量16128此外，如果限定两种产品的计划产量不运行外购，则有因此，该生产计划方案必须同时满足下列要求如何选择？产品材料1材料2工时利润甲4012乙0423资源数量16128方案的利润为选择利润最大的生产方案所对应的数学表达式为目标函数约束条件非负限制由于目标函数和约束条件均关于决策变量为线性，故称其为线性规划模型。是否有其它的方案要求？成本最小？工期最短？对应模型中越大越好的max，改为越小越好，用min构建规划模型的一般程序明确问题现实需要确定优选原则建立目标函数的依据收集资料获取相应的数据构建可行方案形成恰当约束条件 求解获得决策支持方案 检验与调整与实际的适合状况 应用实施 建模训练对问题的调查决策变量的选择目标函数的表达约束条件求解方法对解的解释例2：合理利用线材问题 现要做100套刚架，每套用长为2.9m,2.1m和1.5m元钢各一根。已知源材料7.4m。应如何下料使用原材料最省？参照清华大学教材p37-38指导思想：套裁 方案分析：2.9 1.5 1.5 1.5 2.9m2.1m1.5m7.4m2.92.91.5方案汇集方案1方案2方案3方案4方案52.92.11.5103201022120013合计料头7.407.30.17.20.27.10.36.60.8数学模型有无问题？目标？可行方案？求解？对应的方案汇集方案1方案2方案3方案4方案5方案62.92.11.5103201022120013111合计料头7.407.30.17.20.27.10.36.60.86.50.9数学模型数学模型整数规划同样的问题某施工企业接受一项工程任务，其中需要905套高级塑钢窗框，窗框由1根2.1m、2根1.5m和4根0.9m的塑钢构成。原材料的长度为9.6m，仅用于制作塑窗。试为企业的此项工程制定塑窗窗框的经济用料方案（只建数学模型，不求解）。参考答案：分析过程（构建各种可能的套裁方案）规格方案2.1米1.5米0.9米剩余14010.323200.333120.043030.652310.062220.672140.382060.091500.0101410.6111330.3121250.0131160.6141080.3150600.6160520.3170440.0180350.6190270.3200190.02100100.6例3：P51 习题 2.8得到10,000美元的奖金。税和请客4,000元，6,000元投资。有两公司可以选择：可以按比例进行投资项目资金投入时间投入利润A5,0004004,500B4,0005004,5006,000600模型一设投入两项目的金额分别为则有数学模型 模型二设投入两项目的金额相对目标量的比例分别为则有数学模型 例4 利博公司广告组合问题每单位广告增加的市场份额产品电视印刷媒体需要最小的增加量去污剂液体洗涤剂洗衣粉0？31？1243184单位成本100万美元200万美元P43模型为设 :作电视广告的数量；：印刷媒体广告的数量目标函数：例5：运输问题3家企业生产同一种产品，产量分别为60，80，95。欲运到4个不同地点，4个地点的需求分别为50，55，75，55单位原价分别如表1所示。如何经济运输？表1B1B2B3B4产量A11221351860A23217412380A32236402595需求50557555建模：设从i到j的运量分别为xij,记cij为对应的单位运价，则模型为平衡问题的一般表达式例6：指派问题4人分别完成4项工作，成本状况如表。如何安排使总成本最小？工作人 A1A2A3 A4甲C11=8C12=23C13=35C14=50乙C21=9C22=21C23=42C24=39丙C31=6C32=25C33=30C34=46丁C41=10C42=21C43=31C44=4801变量的引进设Xij按如下规则取值：安排第i人做第j项工作时取1，否则取0则模型为小结：三类模型资源分配问题（如：收益最大的生产安排问题）成本收益平衡问题（如：线材的最佳利用问题）网络配送问题（如：运输问题）练习1：某企业现生产甲、乙、丙三种产品，所需的原材料、工时及可得利润如表所示。每天只能保证得到200kg的A种原材料和180kg的B种原材料，可用工时为150h，董事会要求经营者年利润目标不低于4850万元。若一年按365天计，如何判断经营者能否完成目标。产品A B C生产单位产品所需工时（h）生产单位产品所需A种原材料（kg）生产单位产品所需B种原材料（kg）单位产品利润（千元）5 3 64 4 53 5 14 2 3练习2：P20伟恩德玻璃制品公司产品组合问题1.2 评价模型评价活动的特点：目的因决策、荣誉等含有激励和导向 内容非单一性 评价者决策者、群体、任何人 评价标准价值观念（1）评价内容的表现形式评价指标体系例如，对参加高考考生的评价指标体系考生状况身体状况道德品质状况知识水平数学水平语文水平物理水平化学水平外语水平现在有文综合、理综合之说一般而言，评价是处理多指标问题，每项指标都具有取向偏好；并希望同时达到最佳。以高考招生为例，希望考生成绩越高越好；模型的表达形式为 数学成绩(x)语文成绩(x)max 物理成绩(x)化学成绩(x)外语成绩(x)其中表示考生x,D是考生全体集合。x D多目标评价问题的表达方式（2）评价模型的特点多指标存在不可比现象缺少“最优解”今有四人参加了两门课程的博士研究生入学考试，每门课满分是100分，最低的可能分是0分。四人的两科成绩分别如表所示。例如：甲乙丙丁第一科成绩80945872第二科成绩68569175 竞赛成绩表竞赛成绩表若只有一个指标，即：只取一人，如何选择？若录取两人呢？指标向量的对比甲 乙 丙 丁指标1指标2谁是最佳人选？谁是最佳人选？（3）评价问题的有关概念决策单元决策方案决策集合结局决策单元优越性判断非劣解弱有效解，有效解理想结局理想点决策单元或决策方案或被评价对象的指标值向量。例如：结局甲 乙 丙 丁指标1指标2决策单元决策单元对应的结局以所有指标均是越大越好的情景为例，对于任意 ，若有且其中至少有一个不等式严格成立，则称 优越于 。决策单元优越性判断例如：（优越与不可比现象）甲 乙 丙 丁非劣解（弱有效解、有效解）记 ，若D中没有比x0优越的决策单元，则称x0弱有效解；若D中既没有比x0优越的决策单元，也没有与x0等价的决策单元，则称x0为有效解；两者和称为非劣解。甲 乙 丙 丁指标1指标2均为非劣结局；决定了均为非劣解。理想结局理想点由决策集合中，各指标值最大的指标值构成的结局为理想结局。如甲 乙 丙 丁指标1指标2该问题中的理想结局为（4）评价模型的求解方式非劣解的重要性多指标向单指标转化不同的转化方式导致不同的解决方法。今有四人参加了两门课程的博士研究生入学考试，每门课满分是100分，最低的可能分是0分。四人的两科成绩分别如表所示。前例：甲乙丙丁第一科成绩80945872第二科成绩68569175 竞赛成绩表竞赛成绩表A.按照总和成绩标准处理记 为决策单元 的第i个指标值评价函数为评价值越大的决策单元越好！甲乙丙丁第一科成绩80945872第二科成绩68569175总分148150149147成绩表成绩表乙丙甲丁排序结果：排序结果：排序结果：排序结果：简单！合理不？同样的数据，可以有不同的背景某战役中，在坐标为（100，100）的地点上，战斗异常惨烈，需要增援。指挥部的坐标是（0，0），还有四支后备部队，他们的位置分别为甲乙丙丁横坐标80945872纵坐标68569175四支后备部队在装备、行进路线的路面条件等方面无显著差异。派哪支部队？B 与目标点的距离最近为标准甲乙丙丁横坐标80945872纵坐标68569175z37.73 44.41 42.95 37.54坐标及距离结果坐标及距离结果乙丙 甲丁排序结果：排序结果：由此得到最小距离标准理想点标准与偏好结局距离最小为标准 目标规划方法甲乙丙丁最佳成绩第一科成绩80945872100第二科成绩68569175100与最佳成绩的距离37.73 44.41 42.95 37.540 竞赛成绩及距离结果竞赛成绩及距离结果乙丙 甲丁排序结果：排序结果：选理想结局（100，100）为偏好结局同一个问题，不同的结果，甚至截然相反的结果！哪个更好！如何抉择？计划在第三章中分析1.3 确定型分析模型运用不含随机变量和模糊变量的数学模型对事物特征进行分析。该类模型很多。例如：博弈分析模型最简单的形式是“零和”对策某赌博游戏是否公平？游戏规则：甲、乙两位参与者，同时在1,2,3中各任选一个数，若两数和为奇数，则甲付给乙3元；若两数和为偶数则乙付给甲2元。矩阵对策模型：1 2 31 2 3用甲的收益表表示数学表达式：甲对应的对策模型乙对应的对策模型比一般的优化问题复杂以“石头、剪子、布”对决的模型以1记“赢，0记和，-1记输用甲的收益表表示，则对应的对策模型为 石头 剪子 布石头 剪子 布确定性彩票规则下的盈亏分析再如：种群模型天体运行模型（1）总模型（2）力合成模型请分析并想象，能发现什么问题？天体运行模型！1.4 统计分析模型含有概率性质或随机变量的数学模型常常是确定型模型的实用形式该类模型也非常多例如天气预报集中参数估计模型（以时间为例）回归分析模型主成份分析模型因子分析模型集中参数估计模型简单模型的表达其中a是欲估计的参数，通常是均值为0的随机变量。具体的处理方法也很多例如：通过某种设备，可多次测量该参数，得到n个测量值依据车贝晓夫大数定律依据车贝晓夫大数定律设1，2，n,是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限方差，并且有公共上界，则对任意的0,皆有可以把结论应用于参数估计设1，2，n,是由两两不相关的相同随机变量所构成的序列，该随机变量有限方差，则对任意的0,皆有可以把结论应用于参数估计设n是n次重复试验中事件A出现的次数，而p是事件在每次试验中出现的概率，则对于任意的0，都有因此，由y的数学期望就是a对a的估计公式为可信程度怎样？回归分析模型例如，有关“自由”落体运动 某企业设立奖励基金，发动各中小学为其开展科学研究，课题是设计一种装置，使鸡蛋从50米的塔上落到地上能完好无损。如果是匀加速运动，需要考虑的模型到达地面时的速度，如果以9.8m/s2考虑，到达地面的速度超过30m/s.即超过108公里/h!须解决的问题：如何估计a？如何降低a？或者采取非匀加速形式！建立统计模型可检测的量是什么？速度？降落时间？以速度作为被控制的对象速度可检测在模型 中，可设其中是随机误差。而a随着外形的设计而变化每设想一种方案就进行全过程的实验往往是不经济的。快速而准确地获得加速度a的估计非常重要。对某已设计方案，如果能够获得试验数据则可以通过参数估计的方法得到a的估计。该问题的估计公式非常简单50米1米主成分分析在繁杂的信息中提炼主要或主流信息的一种统计分析方法。作用与意义 揭示隐含在表面的内在特征 简化描述的一种：方式降维方法 如：服装标准 尺码标准的制定 汉字的识别 信息的压缩服装尺寸如何刻画服装？应该用多少指标？现实中为什么只要用1-2个指标即可？转换器还原器原信息信息标准比例还原器原信息历史信息服装类尺码的解释新的信息尺码记忆主成分分析的评价功能主成分分析的评价功能招生考核的目的是对考生多种能力的考核因子分析模型作用与意义 由于分析因常在表象背后的因子作用的一种统计模型和方法，起源于心理度量学。能力分析、系统内含特质分析等。实现方式正交因子模型 设p维随机向量 受到m个不可观测的随机因子 的控制（作用），称这m个影响 的因子为公共因子，因此可以用函数形式表达其中 是随机变量的水平；L是pm矩阵，其第i行表示公共因子对x的第i各分量的影响系数。是p维随机变量，表示非可控的部分。1.5 模糊数学模型模糊数学也是从描述现实的你需要产生的。因为很多情况是无法用清晰的语言表达的。例如：和尚与秃顶的关系再如，色彩的表述。模糊数学模型就是用模糊变量及其特定的运算规则表示的模型。隶属度函数与模糊变量 状态维度积分面积等于1模糊变量是描述事物状态的一种方式也具有较广的应用，尤其在社会与管理领域。例如：在咨询工作中，如果用“好”、“较好”、“不好”来评定某事物。经调查100人的结果为状况好较好不好意见人数405010则该事物关于“好”的隶属度为0.4，“较好”的隶属度为0.5，而“不好”的隶属度为0.1。本章小结世上拥有太多的事物，需要的模型太多！我们实在没有能力建造所有的模型！好在我们某个人遇到的事情没有那么多，关心的事物更不会那么多！好在很多事物具有相似性！仰仗数学的高度概括性，我们应该拥有这样的能力建造我们所关注事物的模型。本章小结恭喜你：已经抢先建造了的那些模型！期待你：建造很多更美的模型，尤其是数学模型数学模型谢谢
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