数学方法论ch1绪论课件

第一章第一章 绪论绪论方法论部分方法论部分l 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 问题是数学的心脏；问题解决是数学教育问题是数学的心脏；问题解决是数学教育的核心。作为数学教育工作者，如何把握解决数的核心。作为数学教育工作者，如何把握解决数学问题的钥匙，这是他必须关心的重要问题。学问题的钥匙，这是他必须关心的重要问题。我国古代的思想家孔子就有我国古代的思想家孔子就有“工欲善其事，必先工欲善其事，必先利其器利其器”的说法。的说法。第一章 绪论方法论部分 1.1宏观的1 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 当代最著名的数学教育家波利亚当代最著名的数学教育家波利亚（G.Polya）强调指出：）强调指出：“中学教学的首要任务中学教学的首要任务就是加强解题训练。就是加强解题训练。”他还说过：他还说过：“掌握数学意掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题。路合理、见解独到和有发明创造的题。”1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 2 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 解题毕竟是一种复杂的智力劳动，但它是具解题毕竟是一种复杂的智力劳动，但它是具有创造性特征的。有创造性特征的。对于解决数学问题，特别对于解决数学问题，特别是解决中学数学问题来说，依靠经验性的知识积是解决中学数学问题来说，依靠经验性的知识积累的状况是难以令人满意的，我们认为重要的是累的状况是难以令人满意的，我们认为重要的是掌握数学思想方法。掌握数学思想方法。1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 3 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 1、什么是数学方法、什么是数学方法 l 实际上不同的人们对它有不同的理解。实际上不同的人们对它有不同的理解。l 在不同的场合中，人们是从两种既有区别又在不同的场合中，人们是从两种既有区别又有密切联系的涵义来运用有密切联系的涵义来运用“数学方法数学方法”这个词。这个词。l 一是徐利治教授一是徐利治教授 在在数学方法论选讲中数学方法论选讲中认认为数学方法具有为数学方法具有“主要是研究和讨论数学的发展主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则与创新等法则”的表征。的表征。l 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 4 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 二是年出版的中国大百科全书二是年出版的中国大百科全书中对数学方法给出了如下定义中对数学方法给出了如下定义“用数学语言表用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。法。”l 对数学方法的不同理解反映了数学这一科对数学方法的不同理解反映了数学这一科学门类应用广泛的特征。数学方法体系同数学科学门类应用广泛的特征。数学方法体系同数学科学本身一样是极为多样的，与此相应的是大量不学本身一样是极为多样的，与此相应的是大量不同的关于的分类。同的关于的分类。l 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 5 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 在在人人们们的的实实际际活活动动的的各各个个层层次次上上都都需需要要用用到到数数学学方方法法，和和这这种种层层次次相相对对应应，数数学学方方法法也也可可以分为四个层次：以分为四个层次：（）（）数学发展和创新的方法；数学发展和创新的方法；（）运运用用数数学学理理论论研研究究和和表表述述事事物物的的内内在在联联系系和运动规律的方法；和运动规律的方法；（）具有一般意义的数学解题的方法；（）具有一般意义的数学解题的方法；（）（）特殊的数学解题方法。特殊的数学解题方法。1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 6 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 徐徐利利治治教教授授在在数数学学方方法法论论选选讲讲中中提提出出了了关关于于“宏宏观观的的数数学学方方法法论论”与与“微微观观的的数数学学方方法法论论”的的区区别别：关关于于数数学学发发展展规规律律的的研研究究（如如果果撇撇开开数数学学内内在在因因素素不不提提）属属于于宏宏观观的的数数学学方方法法论论，关关于于数数学学思思想想方方法法以以及及对对数数学学中中的的发发现现、发发明明与与创新等法则的研究则属于微观的数学方法论。创新等法则的研究则属于微观的数学方法论。l 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 7 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 2、什么是数学问题、什么是数学问题 l 数数学学是是研研究究客客观观世世界界和和空空间间形形式式的的科科学学。当当人人们们与与客客观观世世界界产产生生接接触触，从从数数量量关关系系或或空空间间形形式式的的角角度度反反映映出出认认识识与与客客观观世世界界的的矛矛盾盾时时，就就形成了数学问题。形成了数学问题。l 以以数数学学为为内内容容，或或者者虽虽不不以以数数学学为为内内容容，但但必必须须运运用用数数学学概概念念、理理论论或或方方法法才才能能解解决决的的问问题称为数学问题。题称为数学问题。l 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 8 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 数数学学发发展展史史就就是是一一部部数数学学问问题题解解决决的的历历史史，而而数数学学方法的产生和发展也是和数学问题的解决紧紧相伴的。方法的产生和发展也是和数学问题的解决紧紧相伴的。l 伟伟大大的的数数学学家家希希尔尔伯伯特特说说过过：“只只要要一一门门科科学学分分支支能能提提出出大大量量的的问问题题，它它就就充充满满着着生生命命力力；而而问问题题缺缺乏乏则则预预示示着着独独立立发发展展的的衰衰亡亡或或终终止止。正正如如人人类类的的每每项项事事业业都都追追求求着着确确定定的的目目标标一一样样，数数学学研研究究也也需需要要自自己己的的问问题题。正正是是通通过过这这些些问问题题的的解解决决，研研究究者者锻锻炼炼其其钢钢铁铁意意志志，发发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 9 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 数学问题一般具有几个特性：数学问题一般具有几个特性：（1 1）它它包包含含着着有有关关数数学学的的疑疑问因因素素和和未未知知方方面；面；（2 2）问题的的出出现表表明明主主体体的的思思维水水平平和和当当时的的状状况况之之间失失去去了了平平衡衡和和协调，主主体体的的数数学学思思维产生了隙生了隙缝和空缺；和空缺；（3 3）主主体体为填填补一一定定的的数数学学问题带来来的的隙隙缝和空缺，就引起和空缺，就引起紧张，激，激发思思维活活动的的进行。行。1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 10 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 在在数数学学教教学学中中，问问题题解解决决是是一一切切活活动动的的核核心心。不不同同的的是是，在在教教学学中中所所要要解解决决的的问问题题并并不不是是那那些些尚尚未未解解决决的的数数学学科科学学问问题题，而而是是前前人人已已有有的的数数学学知识的再发现。知识的再发现。l 在在数数学学教教学学中中，只只有有提提出出问题，让学学生生明明了了产生生问题的的情情景景，并并留留给学学生生必必要要的的时间，才才能能引起学生有目的的思考。引起学生有目的的思考。1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 11 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 在在数数学学教教学学中中，若若能能使使学学生生把把特特定定的的数数学学问问题题确确定定为为自自己己努努力力攻攻克克的的方方向向，才才能能使使学学生生的的思思维维活活动动以以一一定定的的方方法法、在在一一定定的的范范围围内内进进行行，才才能能激激发发学学生生的的创创造造热热情情，不不断断冲冲击击其其头头脑脑中中旧旧有有的的认认知知结结构构，不不断断构构建建新新的的认认知知结结构构，最最后后引引起起自身行为的改变自身行为的改变数学学习。数学学习。1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 在12 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 希尔伯特说：希尔伯特说：“数学中每一步真正的进展都数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。”通通过一些数学史料的学一些数学史料的学习，使我，使我们明了数学明了数学上的发上的发现、发明主要是方法上的创新。现、发明主要是方法上的创新。1.2研究数学方法论的意义和目的 希尔伯特13 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 有有了了方方法法才才获获得得了了“钥钥匙匙”，数数学学的的发发展展绝绝不不仅仅仅仅是是材材料料，事事实实，知知识识的的积积累累和和增增加加，而而必必须须有有新新的的思思想想方方法法的的参参与与，才才会会有有创创新新，才才会会有有发发现现和和发发明明。因因此此，从从宏宏观观意意义义上上来来说说，数数学学思思想想方方法法是是数数学学发发现现、发发明明的的关关键键和和动动力力，也也就就是是说说，对对于于数数学学发发展展规规律律的的研研究究及及明明确确的的认认识识，显显然然可可以以帮帮助助我我们们去去努努力力创创造造有有利利于于数数学学发发展展的的良良好环境。好环境。l 1.2研究数学方法论的意义和目的 有了方法14 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 从从数数学学的的教教学学工工作作而而言言，数数学学方方法法论事事实上上是是对我我们的的数数学学教教师提提出出了了更更高高的的要要求求，即即我我们不不仅应当当注注意意具具体体的的数数学学知知识的的传授授，而而且且也也应注意数学方法注意数学方法论方面的方面的训练和培养。和培养。l 只只有有注注意意数数学学思思想想方方法法的的分分析析，我我们才才能能把把数学数学课讲活，活，讲懂，懂，讲深。深。l 1.2研究数学方法论的意义和目的 从数学的15 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 所所谓“讲活活”就就是是让学学生生看看到到活活生生生生的的数数学学研研究究工工作作，而不是死的数学知而不是死的数学知识。l 所所谓“讲懂懂”，就就是是让学学生生真真正正理理解解有有关关的的数数学学内内容容，而不是囫而不是囫囵吞吞枣、死、死记硬背硬背。l 所所谓“讲深深”，则是是指指使使学学生生不不仅能能掌掌握握具具体体的的数数学学知知识，而且也能，而且也能领会内在的思想方法。会内在的思想方法。l 总之之，学学习和和研研究究数数学学方方法法论将将对提提高高数数学学教教学学质量量、提高教提高教师的数学教学学的数学教学学术水平起到水平起到积极的作用。极的作用。l l 1.2研究数学方法论的意义和目的 所谓“讲活”16 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 从从更更为基基本本的的意意义上上说，数数学学学学习不不仅仅是是指指具具体体的的数数学学知知识的的学学习，而而且且也也是是指指数数学学方方法法的的学学习。应充充分分肯肯定定对数数学学方方法法论的的研研究究对数数学学学学习者的重要意者的重要意义。l 数数学学的的思思想想方方法法是是处理理数数学学问题或或实实际际问问题题的的指指导思思想想和和基基本本策策略略，是是数数学学的的灵灵魂魂。学学习习和和研研究究数数学学方方法法论论，能能帮帮助助人人们们真真正正认认识识数数学学科科学学的价值。的价值。1.2研究数学方法论的意义和目的 从更为基171.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的 l 数数学学作作为一一种种科科学学语言言及及工工具具，将将同同语言言、宗教和宗教和艺术一一样，是人，是人类文化影响全局的部分文化影响全局的部分。l 数数学学在在自自然然科科学学、社社会会科科学学、行行为科科学学等等方方面面的的广广泛泛应用用，使使得得现代代科科学学的的任任何何部部分分几几乎乎都都已已带上了抹不掉的数学印上了抹不掉的数学印记。l 1.2研究数学方法论的意义和目的 数学作为一种科学181.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的 l 数数学学文文化化作作为为当当代代文文化化的的重重要要组组成成部部分分，其其思思想想方方法法，是是铭记在在人人们头脑中中起起永永恒恒作作用用的的数数学学观念念和和文文化化，数数学学的的精精神神和和态度度，它它使使人人思思维敏敏捷捷、表表达达清清楚楚、工工作作有有条条理理；使使人人善善于于处世世和和做做事事，使使人人实事事求求是是，锲而而不不舍舍；使使人人得得到到文文化化方方面面的的修修养养，从从而而更更好好地地理理解解、领略略和和创造造现代代社社会会的的文文明明；数数学学的的思思想想方方法法对对提提高高人人的的整整体体素素质和文化修养有着重要意义。质和文化修养有着重要意义。1.2研究数学方法论的意义和目的 数学文化作为当代19 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 有关数学方法的研究，特别是早期研究中，存在一有关数学方法的研究，特别是早期研究中，存在一个明显的特点是，企图找到这样一种个明显的特点是，企图找到这样一种“万能的方法万能的方法”，以便一劳永逸地解决一切数学问题，或者使科学的发明以便一劳永逸地解决一切数学问题，或者使科学的发明创造可以循规蹈矩地进行。创造可以循规蹈矩地进行。笛卡儿在它未完成的著笛卡儿在它未完成的著作思维的法则里，设计了一种能解各种问题的万能作思维的法则里，设计了一种能解各种问题的万能方法，即方法，即 首先，把任何问题化为数学问题；首先，把任何问题化为数学问题；其次，把任何数学问题化为一个代数问题；其次，把任何数学问题化为一个代数问题；第三，把任何代数问题归结到一个解方程问题。第三，把任何代数问题归结到一个解方程问题。1.2研究数学方法论的意义和目的 有20 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的 1922年，年，希尔伯特也提出了他的证明论（或希尔伯特也提出了他的证明论（或称元数学），试图找到一种方法绝对的证明数学称元数学），试图找到一种方法绝对的证明数学理论的无矛盾性，这一想法被人们称为希尔伯特理论的无矛盾性，这一想法被人们称为希尔伯特规划。这一规划的内容包括：规划。这一规划的内容包括：（1 1）把数）把数学理学理论公理化，把所得的公理化理公理化，把所得的公理化理论和所用的逻论和所用的逻辑彻底地形式化，从而组成形式系统；辑彻底地形式化，从而组成形式系统；（2 2）用有）用有穷方法方法证明明这一系一系统的无矛盾性。的无矛盾性。1.2研究数学方法论的意义和目的 21 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 希尔伯特曾经满怀信心地认为：那种用自然希尔伯特曾经满怀信心地认为：那种用自然语言来表述的具有内容的数学知识在内容上的推语言来表述的具有内容的数学知识在内容上的推理可以为由数学和逻辑的符号所组成的形式系统理可以为由数学和逻辑的符号所组成的形式系统的规划所代替。的规划所代替。历史的史的发展告展告诉我我们，笛笛卡儿的万能方法和卡儿的万能方法和希尔伯特规划希尔伯特规划都被证明是行不都被证明是行不同的。但它们仍不失为一个伟大的设想，因为不同的。但它们仍不失为一个伟大的设想，因为不论是笛卡儿的万能方法还是论是笛卡儿的万能方法还是希尔伯特规划，都确希尔伯特规划，都确实存在深刻的道理。实存在深刻的道理。l 1.2研究数学方法论的意义和目的 希尔伯特22 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 人们意识到，研究数学方法的任务，不是去人们意识到，研究数学方法的任务，不是去发现那种发现那种一劳永逸地解决一切数学问题的万能方一劳永逸地解决一切数学问题的万能方法，而是通过活生生的解决数学问题的经验，使法，而是通过活生生的解决数学问题的经验，使人们正确地认识数学，有效地运用数学，并且创人们正确地认识数学，有效地运用数学，并且创造性地发展数学。造性地发展数学。1.2研究数学方法论的意义和目的 人们意识23 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 当人们从发明万能方法的梦幻中醒悟之后，又是怎当人们从发明万能方法的梦幻中醒悟之后，又是怎样对待数学方法的研究呢？郑毓信分析到：样对待数学方法的研究呢？郑毓信分析到：“就现代而就现代而言，人们在这一方面的研究工作，却又受到逻辑实证主言，人们在这一方面的研究工作，却又受到逻辑实证主义这一义这一20世纪上半叶在西方学术占据主导地位的哲学思世纪上半叶在西方学术占据主导地位的哲学思想的极大影响。想的极大影响。”“逻辑实证主义者明确地提出了发现逻辑实证主义者明确地提出了发现与检验（证明）的区分，并认为科学哲学与科学方法论与检验（证明）的区分，并认为科学哲学与科学方法论的研究应当局限于检验的范围，而发现问题则完全从属的研究应当局限于检验的范围，而发现问题则完全从属于心理学的研究范围于心理学的研究范围对此不需要，也不可能作出逻对此不需要，也不可能作出逻辑的分析，从而，也就不存在任何意义的发现方法。辑的分析，从而，也就不存在任何意义的发现方法。”1.2研究数学方法论的意义和目的 当24 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 于是，于是，“人们事实上就从一个极端走向了另一个极人们事实上就从一个极端走向了另一个极端，即由对万能方法的追求而转向对数学方法论的实际端，即由对万能方法的追求而转向对数学方法论的实际否定。否定。”l 20世纪下半叶，在国际上以波利亚的三部名著世纪下半叶，在国际上以波利亚的三部名著怎样解题（怎样解题（1944）、数学与猜想（）、数学与猜想（1954）、）、数学的发现（数学的发现（1961）的出版为契机，一股重视数学）的出版为契机，一股重视数学方法和数学解题的潮流又悄然兴起。人们以波利亚的以方法和数学解题的潮流又悄然兴起。人们以波利亚的以下论述作为指南：下论述作为指南：“合理的探索法不能以万灵规律为目合理的探索法不能以万灵规律为目标，但它可以努力研究在解题中典型有用的做法。这种标，但它可以努力研究在解题中典型有用的做法。这种做法是每一个对他的问题很感兴趣的正常人所经验过的。做法是每一个对他的问题很感兴趣的正常人所经验过的。”l 1.2研究数学方法论的意义和目的 25 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 1980年，美国全国数学教师协会年，美国全国数学教师协会（NCTM）在第四届国际数学教育大会（）在第四届国际数学教育大会（ICME-4）上提出：）上提出：“问题解决是问题解决是80年代学校数学教育年代学校数学教育的核心。的核心。”这一口号提出至今，一直被人们广泛这一口号提出至今，一直被人们广泛接受，直到现在，接受，直到现在，“问题解决问题解决”依然是数学教育依然是数学教育的中心课题，这说明在数学教育中重视数学方法的中心课题，这说明在数学教育中重视数学方法和解题研究乃是符合时代潮流的历史必然。和解题研究乃是符合时代潮流的历史必然。1.2研究数学方法论的意义和目的 126 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l “问题解决问题解决”是在科学技术迅猛发展、知识是在科学技术迅猛发展、知识量急剧增长的时代，以提高能力为教学的主要目量急剧增长的时代，以提高能力为教学的主要目标的背景下提出来的。标的背景下提出来的。l 当代学校教育能为学生今后的生活和工作当代学校教育能为学生今后的生活和工作所做的准备主要有两个方面，一是科学知识，一所做的准备主要有两个方面，一是科学知识，一是科学方法，这两者的有机结合便形成能力，与是科学方法，这两者的有机结合便形成能力，与一般知识相比，科学方法具有更广泛的迁移作用，一般知识相比，科学方法具有更广泛的迁移作用，其有效性更长些，因此在当代的学校教育中，科其有效性更长些，因此在当代的学校教育中，科学方法的作用被提到更重要的地位上来。学方法的作用被提到更重要的地位上来。1.2研究数学方法论的意义和目的 “问27 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的 对于对于“问题解决问题解决”，各国研究工作的注意点是：，各国研究工作的注意点是：（1）给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环）给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环境；境；（2）寻求好的问题，从学生迫切追求的愿望，）寻求好的问题，从学生迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的地位；将学生置于一种主动参与的地位；（3）大胆鼓励学生运用直觉去寻求解提策略；）大胆鼓励学生运用直觉去寻求解提策略；（4）讨论各种成功的策略，如果可能的话，和以前的）讨论各种成功的策略，如果可能的话，和以前的问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。1.2研究数学方法论的意义和目的 28 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 数学方法和解题研究的现代复兴的又一标数学方法和解题研究的现代复兴的又一标志是，志是，20世纪世纪70年代以来，数学建模已成为国年代以来，数学建模已成为国际上的热点。际上的热点。近半个世纪以来，计算机科近半个世纪以来，计算机科学技术的迅猛发展，在某种意义上说，计算机各学技术的迅猛发展，在某种意义上说，计算机各种应用的桥梁正是数学建模，这样，数学建模就种应用的桥梁正是数学建模，这样，数学建模就发展成为一个与多种学科相互作用的新的数学领发展成为一个与多种学科相互作用的新的数学领域。域。1.2研究数学方法论的意义和目的 29 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 数学建模是实际问题数学化的产物，它是一数学建模是实际问题数学化的产物，它是一种解决问题的强有力的数学方法。种解决问题的强有力的数学方法。数学建模数学建模的迅速发展使得数学不再被局限于作为一门基础的迅速发展使得数学不再被局限于作为一门基础科学的范围之内，在计算机的辅助下，数学已成科学的范围之内，在计算机的辅助下，数学已成为解决问题的一种技术。美国爱克逊研究和发展为解决问题的一种技术。美国爱克逊研究和发展部总裁戴维（部总裁戴维（E.E.David）曾说过）曾说过:“很少有人很少有人认识到被如此称颂的高技术本质上是一种数学技认识到被如此称颂的高技术本质上是一种数学技术。术。”1.2研究数学方法论的意义和目的 数30 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 在数学教育中，对数学建模方法的研究，在数学教育中，对数学建模方法的研究，以及在大学、高中、初中怎样开设好数学建模课以及在大学、高中、初中怎样开设好数学建模课程也成为当今数学教育改革的重要方向。程也成为当今数学教育改革的重要方向。我们可以说，对数学建模的重视的确是数学方法我们可以说，对数学建模的重视的确是数学方法和解题研究的复兴中的一个举世瞩目的现象。和解题研究的复兴中的一个举世瞩目的现象。1.2研究数学方法论的意义和目的 31 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 数数学学方方法法起起源源于于实践践活活动，它它是是伴伴随随数数学学问题的的解解决决而而产生生的的。人人类解解决决数数学学问题的的实践践主主要要有有两两方方面面：一一是是生生产实践践和和社社会会实践践；二二是是科科学研究，特学研究，特别是数学研究的是数学研究的实践。践。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 32 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 由由于于生生产实践践、社社会会实践践和和数数学学发展展本本身身的的需需要要，人人们提提出出了了许多多数数学学问题，这些些数数学学问题或或是是一一个个个个地地被被解解决决，或或是是因因无无裨裨益益而而被被弃弃置置并并代代之之以以新新的的问题。在在解解决决这些些层出出不不穷的的数数学学问题的的过程中，程中，绚丽多彩的数学方法就多彩的数学方法就诞生了。生了。l 考考察察数数学学问题的的源源泉泉，在在每每个个数数学学分分支支中中，那那些些最最初初、最最老老的的问题肯肯定定是是起起源源于于经验，是是由由外部世界所提出的。外部世界所提出的。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 33 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 公公元元前前30003000年年的的埃埃及及尼尼罗河河流流域域，美美索索不不达达米米亚的的底底格格里里斯斯河河等等流流域域，以以及及稍稍晚晚一一些些的的中中国国黄黄河河流流域域、印印度度恒恒河河流流域域，原原始始阶段段都都已已结束束，在在这些些大大河河流流域域文文明明中中，整整数数运运算算法法则在在人人们的的生生产实践和彼此的交往中都已践和彼此的交往中都已经被被发现。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 34 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 当当原原始始的的经经济济逐逐渐渐被被农农业业所所代代替替，由由于于修修建建灌灌溉溉系系统统，排排水水设设施施以以及及管管理理的的需需要要，测测量量耕耕地地，计计算算收收获获物物，征征收收赋赋税税及及营营造造建建筑筑物物的的需需要要，观观测测天天体体，确确定定季季节节的的需需要要，一一些些几几何何问问题题、比比例例问问题题、分分数数问问题题等等就就被被提提了了出出来。来。l 巴巴比比仑人人可可能能是是在在天天文文观察察、土土地地丈丈量量和和贸易易中中形形成成了了位位值观念念和和六六十十进制制数数系系，为了了计算算快快速速、方方便便，他他们制制作作大大量量数数表表，其其中中包包括括倒倒数数表表、平平方方表表、平平方方根根表表和和立立方方表表，形形成成了了用用表表格格进行行数数学学计算算的的相相当当先先进的的数数学方法。学方法。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 当35 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 如如目目前前保保存存在在英英国国大大不不列列颠博博物物馆的的BMB901BMB901号号泥泥板板，就就记载着着2424个个数数学学问题，其其中中有有解解一一元元二二次次方方程程的的问题，从从这里里我我们可可以以看看到到人人类最最早早的的数数学学模模型型方方法法思思想想的的萌萌芽。芽。l 早早在在公公元元前前5 5世世纪，希希腊腊人人已已经形形成成了了三三个个几几何何作作图问题，被被称称为几几何何三三大大问题：（1 1）倍倍立立方方问题，求求作作一一立立方方体体，使使它它的的体体积等等于于一一已已知知立立方方体体；（2 2）三三等等分分角角问题，求求三三等等分分一一已已知知角角；（3 3）化化园园为方方问题，求求作作一一正方形，使它的面正方形，使它的面积等于一已知园的面等于一已知园的面积。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 如36 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 集集古古代代数数学学问题之之大大成成的的，要要数数成成书于于公公元元1 1世世纪前前后后的的我我国国辉煌煌的的数数学学文文献献九九章章算算术，九九章章算算术中中收收集集了了方方田田（各各种种形形状状的的田田地地面面积计算算）、粟粟米米（各各种种粮粮食食谷谷物物间的的按按比比例例交交换）、商商功功（体体积计算算）、均均输（按按比比例例摊派派赋税税和和徭徭投投）、盈盈不不足足（根根据据两两次次假假设产生生过剩剩或或不不足足来来求求解解的的问题）、方方程程（求求解解一一次次方方程程组）、勾勾股股（有有关关勾勾股股测量量的的各各种种问题）共共九九章章计246246个个问题，几乎包括了当，几乎包括了当时社会生活的各个方面。社会生活的各个方面。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 集古代37 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 九九章章算算术中中的的数数学学问题包包括括“题”、“答答”和和“术”三三个个部部分分。所所谓“术”即即是是解解决决数数学学问题的的数数学学方方法法，它它常常常常包包含含着着解解决决数数学学问题所所应用用的的公公式式，定定理理或或原原理理的的叙叙述述。处理理方方法法上上有有一一题一一术，一一题多多术与与多多题一一术的的不不同同，通通过246246个个数数学学问题共共介介绍202202个个术，可可以以说九九章章算算术的的全全部部理理论是是以以寻求求各各种种应用用问题的的普普遍遍解解决决为中中心心课题。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 38 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 九九章章算算术是是我我国国古古代代传统数数学学中中影影响响最最深深远的的一一部部著著作作，从从中中我我们可可以以看看到到我我国国古古代代数数学学，是是怎怎样从从实际生生活活中中分分析析出出数数量量关关系系，建建立立数数学学模模型型，又又怎怎样从从研研究究具具体体的的数数学学问题入入手手，通通过抽象与抽象与归纳问题而得到解决而得到解决问题的数学方法。的数学方法。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 391.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 古古希希腊腊欧欧几几里里得得几几何何所所追追求求的的是是逻辑的的完完美美。成成书于于公公元元前前300300年年的的欧欧几几里里得得几几何何原原本本实际上上总结了了公公元元前前600600年年前前到到公公元元前前300300年年间流流行行在在希希腊腊帝帝国国的的很很多多几几何何学学方方面面的的成成果果。几几何何原原本本是是一一部部在在定定义、公公设和和公公理理基基础上上按按演演绎方方法法建建立立起起来来的的命命题系系统，它它包包含含2323个个预备性性定定义，5 5个公个公设，5 5条公理和条公理和465465个命个命题。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 古希40 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 欧欧几几里里得得原原本本的的出出现，标志志着着一一种种重重要要的的数数学学方方法法公公理理化化方方法法的的形形成成，20002000多多年年来来，公公理理化化方方法法对整整个个数数学学的的发展展乃乃至至物物理理学学，现代代理理论力力学学及及各各门自自然然科科学学的的发展展都都带来来深深远的的影影响响。人人们通通过欧欧几几里里得得几几何何的的学学习，受受到到了了公公理理化方法的化方法的训练，从而，从而迈入科学的殿堂。入科学的殿堂。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 411.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 爱爱因因斯斯坦坦就就说说过过：“世世界界第第一一次次目目睹睹了了一一个个逻逻辑辑体体系系的的奇奇迹迹，这这个个逻逻辑辑体体系系如如此此精精密密地地一一步步一一步步推推进进，以以至至它它的的每每一一个个命命题题都都是是绝绝对对不不容容置置疑疑的的我我这这里里说说的的是是欧欧几几里里得得几几何何。推推论论的的这这种种可可赞赞叹叹的的胜胜利利，使使人人类类的的理理智智获获得得了了为为取取得得以以后后的成就所必需的信心。的成就所必需的信心。”1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 42 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 1717世世纪以以后后，欧欧洲洲的的数数学学摆脱脱了了发展展缓慢慢的的状状态，这一一“数数学学中中的的转折折点点是是笛笛卡卡尔尔的的变数数，有有了了变数数，运运动进入入数数学学，有有了了变数数，辩证法法进入入了了数数学学。”（恩恩格格斯斯语）在在笛笛卡卡尔尔的的解解析析几几何何中中“曲曲线是是任任何何具具体体代代数数方方程程的的轨迹迹”，这不不仅一一下下子子扩充充了了数数学学的的范范围，而而且且为代代数数方方法法运运用用到到几何乃至整个数学几何乃至整个数学铺平了道路。平了道路。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 43 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 16371637年年，笛笛卡卡尔尔的的解解析析几几何何作作为“附附录”发表表在在他他的的哲哲学学著著作作方方法法谈之之中中，这对笛笛卡卡尔尔来来说并并非非是是一一种种偶偶然然的的安安排排，因因为在在他他看看来来，解解析析几几何何与与其其说是是数数学学研研究究的的新新成成果果，还不不如如说是是科科学方法学方法论的的产物。物。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 441.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 数数学学的的发展展一一方方面面是是由由于于对生生产和和社社会会生生活活中中所所提提出出的的数数学学问题的的研研究究和和解解决决，如如航航海海、机机械械、力力学学、天天文文学学的的发展展，促促使使牛牛顿在在考考察察变速速运运动中中的的位位置置、速速度度、加加速速度度的的关关系系而而创立立微微积分，从而分，从而导致函数研究中极限方法的完善致函数研究中极限方法的完善。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 数45 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 从从研研究究博博奕奕问题开开始始，经历了了两两个个世世纪，雅雅各各布布 伯伯努努利利终于于将将概概率率论发展展成成为数数学学的的一一个个分分支支，为自自然然科科学学和和社社会会科科学学的的研研究究提提供供了了全全新新的或然方法的或然方法。l 泰泰勒勒、丹丹尼尼尔尔 伯伯努努利利、欧欧拉拉等等对声声学学、尤尤其其是是对音音乐乐声声的的弦弦振振动、声声音音传播播问题的的研研究究，极极大大地地刺刺激激了了微微分分方方程程的的发展展，至至今今微微分分方方程程反反过来又成来又成为研究孤立等重大物理研究孤立等重大物理现象的工具。象的工具。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 461.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 由由于于数数学学发展展内内部部矛矛盾盾运运动中中提提出出的的问题的的研研究究和和解解决决，更更发展展了了抽抽象象的的数数学学方方法法，使使数数学学成成为脱脱离离现实世世界界的的高高度度抽抽象象的的形形式式化化的的事事物物，其其中中典典型型的的例例子子是是，伽伽罗瓦瓦（E.GaloisE.Galois）关关于于代代数数方方程程可可解解性性的的研研究究，引引进了了群群和和域域的的概概念念，进一步一步导致抽象代数的建立致抽象代数的建立。l 关关于于欧欧几几里里得得几几何何原原本本第第五五公公设的的独独立立性性的的研研究究，罗巴巴切切夫夫斯斯基基、黎黎曼曼相相继建建立立了了不不同同的非欧几何理的非欧几何理论。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 由471.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 关关于于复复数数运运算算的的研研究究，导致致18431843年年哈哈密密尔尔顿建立四元数代数，建立四元数代数，进一步一步发展展为超复数理超复数理论。l 希希尔尔伯伯特特说说：“数数学学中中每每一一步步真真正正的的进进展展都都与与更更有有力力的的工工具具和和更更简简单单的的方方法法和和发发现现密密切切联联系系着着，这这些些工工具具和和方方法法同同时时会会有有助助于于理理解解已已有有的的理理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。”1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 关48 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 在在人人们探探索索的的众众多多的的数数学学问题中中，一个著名的例子是一个著名的例子是费马定理：定理：方程方程对于不等于零的对于不等于零的正整数正整数，当，当时无解。时无解。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 49l 300多多年年以以来来，这这个个问问题题引引无无数数英英雄雄竞竞折折腰腰。在在寻寻求求这这个个问问题题的的结结论论的的证证明明过过程程中中，涉涉及及到到L-函函数数，群群论论，伽伽罗罗瓦瓦表表示示，形形变变理理论论等等现现代代数数学学理理论论，远远远远地地超超出出了了费费马马大大定定理理本本身身所所在在的的初初等等数数论论的的范范畴畴，特特别别是是在在数数论论方方面面得得出出许许多多新新的的数数学学方方法法，从从而而丰丰富富和和发发展展了了代代数数数数论论。无无怪怪希希尔尔伯伯特特风风趣趣地地说说：“我我们们应应当当更更加加注注意意，不不要要杀杀掉掉这个经常为我们生出金蛋的母鸡。这个经常为我们生出金蛋的母鸡。”1.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 300多年以来，这个问题引无数英雄竞折腰。在50 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 在在数数学学的的迅迅速速发展展之之中中，出出现了了不不少少在在数数学学方方法法方方面面有有研研究究的的著著名名学学者者，如如笛笛卡卡尔尔，莱莱布布尼尼兹、欧欧拉拉、高高斯斯、庞加加莱莱、克克莱莱因因和和希希尔尔伯伯特特等等，他他们或或发表表过有有关关数数学学方方法法的的精精辟辟见解解，或或有有专门论著。著。l 下下面面以以欧欧拉拉所所解解决决的的两两个个数数学学问题为例例，说明明这些著名学者是如何运用并些著名学者是如何运用并发展数学方法的。展数学方法的。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 51 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 问题1 1、自然数平方的倒数和、自然数平方的倒数和 求求 l 这是是一一个个曾曾使使雅雅各各布布 伯伯努努利利感感到到无无能能为力力的的数数学学问题，他他曾曾经写写道道：“假假如如有有人人能能够求求出出这个个我我们直直到到现在在还未未求求出出的的和和，并并能能把把它它通通知我知我们，我，我们将会感将会感谢他。他。”1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 问52 1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 对对于于这这个个问问题题，欧欧拉拉发发现现了了各各式式各各样样的的表表达达式式（定定积积分分，级级数数），但但没没有有一一个个能能使使他他满满意意，他他用用这这些些表表达达式式之之一一，算算出出了了一一个个有有七七位位有有效效数数字字的的和和（1.6449341.644934），但但这这仅仅是是一一个个近近似似值值，而而欧欧拉拉的的目目的的是是求求出出准准确确值值。最最后后他他发发现现了了它它，是是类比方法帮助他得到了精彩的结果。类比方法帮助他得到了精彩的结果。l 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 531.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 设一个设一个2n2n次代数方程次代数方程 （）无零根，将无零根，将这个方程个方程变形形为 令令这个方程的根个方程的根为 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 设一个2541.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 则有则有 即即 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 则有 551.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 与方程（与方程（*）比较）比较x x2 2项的系数，有项的系数，有 考虑方程考虑方程 即即 (*)(*)1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 与方程（*）比较561.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 这这个个方方程程有有无无穷穷个个根根：，-，2 2，-2-2，3 3，-3-3，,n,n，-n-n,。方程化为。方程化为 比较这个方程与方程（比较这个方程与方程（*）x x2 2项的系数，项的系数，得出得出 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 这个方程有571.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 于是有于是有 对于于这个个结果，欧拉写道：果，欧拉写道：“这种方法是新种方法是新的并且的并且还来没有来没有这样用用过。”欧欧拉拉又又用用这种种方方法法重重新新发现了了著著名名的的莱莱布布尼尼兹级数的和：数的和：1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 于是有 581.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 波波利利亚（G.PolyaG.Polya）在在19531953年年对此此曾曾作作出出如如下下评论：“欧欧拉拉成成功功的的决决定定性性因因素素是是大大胆胆，从从严格格逻辑角角度度来来回回顾，他他的的做做法法是是荒荒谬的的。他他把把对某某种种情情况况来来说尚尚未未发明明的的法法则应用用到到这种种情情况况上上了了，即即把把关关于于一一个个代代数数方方程程的的法法则应用用到到一一个个非非代代数数方方程程的的情情况况中中去去。在在严格格的的逻辑意意义下下欧欧拉拉的的步步骤是是不不允允许采采取取的的，但但是是他他用用了了一一门新新兴科科学学中中最最好好的的成成就就来来做做类比比，而而类比比告告诉他他可可以以这样做做。这门新新科科学学，在在几几年年以后，他自己把它称以后，他自己把它称为无无穷分析分析。”1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 波利亚（591.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 问题问题2 2、哥尼斯堡七桥问题、哥尼斯堡七桥问题 一一条条小小河河从从东东普普鲁鲁士士的的小小城城镇镇哥哥尼尼斯斯堡堡市市中中心心穿穿过过，河河中中有有小小岛岛A A和和B B，河河上上有有七七座座桥桥连连接接这这两两个个岛岛的的两两岸岸 C C、D D。问问一一个个人人能能否否从从某某地地出发经过每一座桥而不重复地返回原地？出发经过每一座桥而不重复地返回原地？1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 问题2、哥尼斯堡601.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 为了解决了解决这个个问题，欧拉并没有欧拉并没有亲自到哥尼自到哥尼 斯堡去，而是运用他的斯堡去，而是运用他的 智慧，把智慧，把问题作抽象化，作抽象化，数学化的数学化的处理：将两岸和理：将两岸和 小小岛都都缩成一点，将成一点，将桥化化 为边，两个点之两个点之间有有边连接，接，即表示即表示这两点两点 代表的地区有代表的地区有桥相相连接接。于是于是这个个问题就相当就相当 上上图能否一笔画成。能否一笔画成。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 为了解决这611.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 欧欧拉拉通通过过拓拓扑扑变变换换，把把七七桥桥问问题题抽抽象象为为线线路拓扑一笔画问题，即：路拓扑一笔画问题，即：如如前前图，已已知知A A、B B、C C、D D四四点点和和连接接这四四点点的的七七条条线，问，从从某某一一点点出出发，通通过七七条条线，且且只只经过每每条条线一一次次而而到到达达终点点，这能能否否做做到到？1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 欧拉通过621.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 17361736年年，欧欧拉拉写写了了一一篇篇名名为哥哥尼尼斯斯堡堡的的七七座座桥的的文文章章，以以否否定定的的方方式式漂漂亮亮地地解解决决了了这个个问题。在在这篇篇文文章章里里欧欧拉拉写写道道，如如果果从从某某一一点点出出发，到到某某一一点点终止止，全全图可可以以一一笔笔画画出出，那那么么中中间每每经过一一点点，总有有画画进那那点点去去的的一一条条线和和从从那那点点画画出出来来的的一一条条线，所所以以除除了了起起点点和和终点点这两两点点以以外外，图中中的的每每个个点点都都应该和和偶偶数数条条线相相连。然然而而，现在在图形形中中的的四四个个点点都都和和奇奇数数条条线相相连，这样，图形形当当然然不不可可能能一一笔笔画出。画出。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 173631.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 欧拉欧拉并证明了一个一笔画图的充要条件：并证明了一个一笔画图的充要条件：图图连连通通并并且且其其奇奇点点（即即与与该该点点关关联联的的边边为为奇数条）的个数等于奇数条）的个数等于0 0或或2 2。这是是因因为除除了了起起点点和和终点点外外，其其他他的的点点（称称为中中间点点）有有这么么一一个个特特征征：连接接中中间点点的的边必必为偶数。偶数。l 在在七七桥问题中中，A A、B B、C C、D D点点都都是是奇奇点点。所以答案是否定的。所以答案是否定的。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 欧拉并证明641.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 在在欧欧拉拉的的一一生生中中，除除了了对对数数学学有有众众多多的的发发现现、发发明明，他他所所作作出出的的数数学学猜猜想想也也特特别别多多，下下面我们再举一个面我们再举一个欧拉欧拉运用归纳法作出的猜想：运用归纳法作出的猜想：欧欧拉拉对对200200以以内内的的所所有有形形如如8n+38n+3的的整整数数进进行行了考察，例如了考察，例如 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 在欧拉的一651.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 661.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 欧拉欧拉猜想：猜想：对任何自然数任何自然数n n，形如，形如8n+38n+3的整数是一个平方的整数是一个平方数与一个素数的两倍之和，即数与一个素数的两倍之和，即 x x为整数，整数，p p为素数。素数。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 欧拉猜想：671.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 从从以以上上例例子子可可以以看看到到，作作为1818世世纪的的数数学学大大师欧欧拉拉，是是怎怎样在在解解决决数数学学发展展过程程以以及及实际生生活活中中提提出出来来的的数数学学问题时，创造造性性地地建建立立数数学学模模型型，运运用用类比比、猜猜想想、化化归、演演绎、归归纳纳等等数数学学方方法法，欧欧拉拉不不仅出出色色地地解解决决了了这些些问题或或提提出出猜猜想想，还丰丰富富了了数数学学方方法法宝宝库，为后后人人树立了不朽的典范。立了不朽的典范。1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 从以上例68