数学建模介绍课件

1.1 数学模型数学模型1.2 数学建模数学建模1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 数学建模能力的培养数学建模能力的培养1.7 数学建模简单实例数学建模简单实例1.8 课堂练习课堂练习第一章第一章 数学建模概述数学建模概述1.1 数学模型数学模型一一、原型与模型、原型与模型 模型模型（Model）是是人们人们为了某种特定的为了某种特定的目的目的，将，将原型的某一部分信息简缩、加工和提炼出的一种原型原型的某一部分信息简缩、加工和提炼出的一种原型替代物，它集中反映了事物的本质。替代物，它集中反映了事物的本质。原型原型（Prototype）是指）是指人们在现实世界里关心、人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象研究或者从事生产、管理的实际对象。模型对实物及其内部的某些关系所进行的抽象，模型对实物及其内部的某些关系所进行的抽象，是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。u实物模型实物模型：实物的具有某种特定功能的三维相似形：实物的具有某种特定功能的三维相似形。u物理模型物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。试验，间接地研究原型的某些规律。u符号模型符号模型：按某种规定反映实物特征的符号结构集。：按某种规定反映实物特征的符号结构集。u其他模型其他模型：思维模型，数学模型思维模型，数学模型。二二、模型的种类、模型的种类u近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。u本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。结构。u姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，根据特有的内在特定对象，为了某个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数规律，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。学工具得到一个数学结构。三、数学模型（三、数学模型（Mathematical Model）的定义）的定义例例1：甲乙两地相距：甲乙两地相距1500公里，船从甲地到乙地顺水公里，船从甲地到乙地顺水航行需航行需60小时，从乙地到甲地逆水航行需小时，从乙地到甲地逆水航行需100小时，小时，求船速。求船速。解：不妨设解：不妨设x和和y分别代表船速和水速，列出方程组：分别代表船速和水速，列出方程组：答：船速每小时答：船速每小时20公里公里/小时小时.四四、数学模型概念和实例、数学模型概念和实例解之得：解之得：例例2：某农夫用：某农夫用100000元进行了收益率为元进行了收益率为0.05的某项投的某项投资，该农夫每年净支出资，该农夫每年净支出10000元，问农夫元，问农夫5年后还剩多年后还剩多少钱？少钱？解：设解：设an表示表示n年后农夫的钱数，收益率年后农夫的钱数，收益率r=0.05，支出，支出b=-10000，则，则解之得：解之得：a5=72372 答：农夫答：农夫5 5年后还剩年后还剩7237272372元元.航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤u作出简化假设（船速、水速为常数）作出简化假设（船速、水速为常数）u用符号表示有关量（用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）表示船速和水速）u用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）时间）列出数学式子（二元一次方程）u求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）u回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20公里公里/小时）小时）1.2 数学建模数学建模数学建模数学建模（Mathematical Modelling）：建立数）：建立数学模型的全过程学模型的全过程一一、数学建模、数学建模二二、数学建模的意义、数学建模的意义u在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地u在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具u数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼示例示例1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地 放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。1.3 数学建模示例数学建模示例模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称的对称性性xBADCODC B A 用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位表示椅子位置置四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是是连续连续函数函数对任意对任意,f(),g()至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在证明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续据连续函数的基本性质函数的基本性质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f(),g()的确的确定定xBADCODC B A 示例示例2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河的任一在河的任一岸岸,一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多,就杀人越货就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态过程的状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策决策D=(u,v)u+v=1,2 允许允许决策决策集合集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题模型求解模型求解xy3322110l穷举法穷举法 编程上机编程上机l图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广 考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长示例示例3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长l指数增长模型指数增长模型马尔萨斯马尔萨斯(Malthus)提出提出(1798)常用的计算公式常用的计算公式x(t)时刻时刻t的的人口人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数今年人口今年人口 x0，年增长率，年增长率 rk年后人口年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)l 阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2l 阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计r=0.2557,xm=392.1l阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4(百万百万)模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0l阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)一、数学建模的基本方法一、数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。来学习。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个比较清晰的形成一个比较清晰的问题问题，初步确定，初步确定用哪一类模型用哪一类模型二、数学建模的一般步骤二、数学建模的一般步骤模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出必要的、合理的、简化的假设作出必要的、合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具二、数学建模的一般步骤二、数学建模的一般步骤模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析、模型对数据的稳定性分析、假设的强健性分析假设的强健性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用二、数学建模的一般步骤二、数学建模的一般步骤现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践三、数学建模的全过程三、数学建模的全过程四、论文撰写四、论文撰写 所研究的问题是什么所研究的问题是什么 用什么样的数学思想建立了什么样的数学模型用什么样的数学思想建立了什么样的数学模型 用什么样的数学方法、理论及软件求解的什么用什么样的数学方法、理论及软件求解的什么模型模型 得到什么结论（结论对于实际问题的解释）得到什么结论（结论对于实际问题的解释）问题的推广与灵敏度分析问题的推广与灵敏度分析l 摘要摘要l 题目题目l 问题分析问题分析 作用作用 把问题中的各层关系条理化把问题中的各层关系条理化 搞清每层关系的借点和联系搞清每层关系的借点和联系 理清关系层间的顺序和嵌套理清关系层间的顺序和嵌套 问题分析是对要建模的问题熟悉、理解并形成建问题分析是对要建模的问题熟悉、理解并形成建模初步设想的阶段，是建模过程中的一个基础性的重模初步设想的阶段，是建模过程中的一个基础性的重要阶段。在建模权过程中，这个阶段的工作一般需要要阶段。在建模权过程中，这个阶段的工作一般需要递进式地进行多遍。递进式地进行多遍。l 问题的提出问题的提出 勿长勿长 深入理解问题的含义和背景深入理解问题的含义和背景 确立解决该问题的最高层目标确立解决该问题的最高层目标 从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高 目标的各个子层。目标的各个子层。坚持抓主要因素和主要关系的原则坚持抓主要因素和主要关系的原则 原则原则l 问题假设问题假设 假设是简化实际问题的必须手段，能缩小问题的假设是简化实际问题的必须手段，能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且条理更加清晰，涉及范围，使问题的条件更加明确且条理更加清晰，做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。作用作用 简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标 更紧密的相关因素及其关系更紧密的相关因素及其关系 使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是 对实际问题的近似刻划，这种数学形式应该符合对实际问题的近似刻划，这种数学形式应该符合 数学的要求，不能显示出任何逻辑破绽数学的要求，不能显示出任何逻辑破绽 降低问题难度降低问题难度 清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因素和关清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因素和关 系，为以后改进模型奠定基础系，为以后改进模型奠定基础 原则原则 目的性原则目的性原则。从建模目的出发，在原型中抽象出。从建模目的出发，在原型中抽象出与建模有关的主要因素，简化与建模关系不大的次与建模有关的主要因素，简化与建模关系不大的次要因素。要因素。合理性原则合理性原则。假设一定要符合研究对象的实际。假设一定要符合研究对象的实际。要求所给出的假设带来的误差能满足建模目的允许要求所给出的假设带来的误差能满足建模目的允许的误差要求，各个假设不能矛盾。的误差要求，各个假设不能矛盾。适应性原则适应性原则。所给出的假设一定要准确和适应于。所给出的假设一定要准确和适应于模型建立、求解、检验、应用等各过程。建模初期模型建立、求解、检验、应用等各过程。建模初期由宽到严，模型改进中由严到宽。由宽到严，模型改进中由严到宽。全面性原则全面性原则。注意假设的无偏性，还要给出原型。注意假设的无偏性，还要给出原型所处的环境条件。所处的环境条件。例例1 方桌问题的假设：方桌问题的假设：）视方桌的只脚依次为个点。视方桌的只脚依次为个点。）方桌是规则的，即点在一个平面上。方桌是规则的，即点在一个平面上。）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。）把放稳理解为个脚同时着地。）把放稳理解为个脚同时着地。例例 物资调配问题的假设：物资调配问题的假设：1 1）工厂与仓库的货物没有差异。）工厂与仓库的货物没有差异。2 2）总费用只考虑各相关线路上的运量和仓库）总费用只考虑各相关线路上的运量和仓库变更所导致的费用。变更所导致的费用。3 3）各线路上的单位货物运费已知。）各线路上的单位货物运费已知。4 4）公司固定资产按线性折旧。）公司固定资产按线性折旧。5 5）供方及需方的初始量均为零。）供方及需方的初始量均为零。l 符号表示符号表示 符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高建立模型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号都是相对独立地首先设定的。目标层的符号都是相对独立地首先设定的。问题分析中得到的各因素的分类特征要体现在符问题分析中得到的各因素的分类特征要体现在符号使用中以便于模型的数学表达。号使用中以便于模型的数学表达。原则原则 唯一性唯一性 明确性明确性 合法性合法性l 模型建立模型建立 过程过程 基于基于“问题分析问题分析”阶段的结果，已经理清了问题阶段的结果，已经理清了问题的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系，建的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系，建立模型就是把这些分析结果先分别表示成数学形式，立模型就是把这些分析结果先分别表示成数学形式，然后再把这些形式合理整合成一个统一的数学形式。然后再把这些形式合理整合成一个统一的数学形式。要注意模型的分类和模型所表示的实际问题。要注意模型的分类和模型所表示的实际问题。原则原则 对问题每一个方面所选择的数学表达都应能合理对问题每一个方面所选择的数学表达都应能合理 表达该方面的因素间的关系。表达该方面的因素间的关系。有利于模型的整合及模型的求解有利于模型的整合及模型的求解l 模型求解模型求解 模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行，明确使用的数学理论或数学计算工具。上进行，明确使用的数学理论或数学计算工具。结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给 出求解过程。出求解过程。表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算 法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有 很大的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数很大的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数 学方法不可能给出其精确解，于是，不借助于计学方法不可能给出其精确解，于是，不借助于计 算机，求解工作一般无法完成。算机，求解工作一般无法完成。原则原则 必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。有些问题的数学模型，现有数学理论并没有给出有些问题的数学模型，现有数学理论并没有给出 完善的求解方法，例如多目标非线性规划模型，完善的求解方法，例如多目标非线性规划模型，这时需要我们根据实际问题的属性和要求，适当这时需要我们根据实际问题的属性和要求，适当 地简化模型，得到适应于问题要求的参考解。地简化模型，得到适应于问题要求的参考解。数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或 者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太甚至对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太 多且不确定性太大，数学模型自身就是一个计算多且不确定性太大，数学模型自身就是一个计算 机模拟过程。机模拟过程。计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解都面临大量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需都面临大量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需要用模型的解来判断，而且这种工作，在建立一个实要用模型的解来判断，而且这种工作，在建立一个实际问题的数学模型过程中也常需要重复多遍。因此，际问题的数学模型过程中也常需要重复多遍。因此，熟练使用计算机计算数学问题是对数学建模工作者的熟练使用计算机计算数学问题是对数学建模工作者的必须要求。这一方面要求具有一定的编程水平，更重必须要求。这一方面要求具有一定的编程水平，更重要地是能熟练使用现有计算软件包。要地是能熟练使用现有计算软件包。有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过 程，并不能明确地把问题集中地表达成某种数学程，并不能明确地把问题集中地表达成某种数学 形式，而是采用一系列数学处理得出了问题的结形式，而是采用一系列数学处理得出了问题的结 果。对这类问题，自然不需要单独列出模型求解果。对这类问题，自然不需要单独列出模型求解 这一步。这一步。l 结论结论 与模型对应与模型对应 反映的实际现象反映的实际现象 如果结论数据较多，用表格给出如果结论数据较多，用表格给出l 模型检验模型检验 模型的事实检验模型的事实检验 公理性检验公理性检验。常用法则检验和自然法则检验。常用法则检验和自然法则检验.经验误差分析经验误差分析。建模碰到的有些问题是已经有研。建模碰到的有些问题是已经有研 究历史的问题，如果所得的经验已被几乎所有事究历史的问题，如果所得的经验已被几乎所有事 实证明，那么，我们的模型所得出的结论不应该实证明，那么，我们的模型所得出的结论不应该 例外例外.模型的数学检验模型的数学检验 数值模拟检验数值模拟检验 统计检验统计检验。这种检验多用在数据建模的过程中。这种检验多用在数据建模的过程中.预测检验预测检验。借用所建模型模型，用历史预测现。借用所建模型模型，用历史预测现 实，以验证模型的准确度实，以验证模型的准确度.公理性检验公理性检验。常用法则检验和自然法则检验。常用法则检验和自然法则检验.模型应用的现实条件模型应用的现实条件 模型应用的理论条件模型应用的理论条件l 模型分析和应用模型分析和应用l参考文献参考文献l模型评价和推广模型评价和推广 模型假设对模型的影响分析模型假设对模型的影响分析 模型改进的方向和强度预测模型改进的方向和强度预测 模型改进的允许环境模型改进的允许环境模型应用模型评价模型检验模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的强健性模型的强健性模型的可转移性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性一、一、数学模型的特点数学模型的特点1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类二、数学模型的分类二、数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、环境、生态人口、交通、环境、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性表现特性描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策、控制、控制 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目1.6 数学建模能力的培养数学建模能力的培养 一批弹子锁具中每把锁均有一批弹子锁具中每把锁均有5 5个槽，每个必须个槽，每个必须装且至多可装装且至多可装6 6个弹子，制锁工艺要求任两邻槽所个弹子，制锁工艺要求任两邻槽所装的弹子数相差不超过装的弹子数相差不超过4 4个，问这批锁具共有多少个，问这批锁具共有多少把互不相同的锁？把互不相同的锁？实例实例1 1 锁具问题锁具问题1.7 数学建模简单实例数学建模简单实例实例实例2 2 货物调配问题货物调配问题总费用运输费用仓库改建费用工厂到仓库仓库到客户1号库的扩建费用5号库的新建费用2、3号库节约费用工厂到客户C55C6 数数学学模模型型1、某甲早、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午下午5时到达山顶并留宿；次日早时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路时沿同一条路径下山，下午径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？A AB B甲甲乙乙1.8 课堂练习课堂练习一般思维：一般思维：逆向思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了是淘汰了36名球队，因此比赛进行了名球队，因此比赛进行了36场。场。2、37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？结束。问共需进行多少场比赛？3 3、某人家住、某人家住T T市在他乡工作，每天下班后乘火车于市在他乡工作，每天下班后乘火车于6 6时抵达时抵达T T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于一日他提前下班搭早一班火车于5 5时半抵达时半抵达T T市车站，市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了1010分钟。分钟。问他步行了多长时间？问他步行了多长时间？车站车站家家5 5：3030相遇相遇早早1010钟钟5 5分钟分钟5 5分钟分钟6 6：00005 5：5555共走了共走了2525分钟。分钟。dAB河河4、某人由、某人由A处到处到B处去，途中需到河边取些水，处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）办法求解。）5 5、海盗分赃问题、海盗分赃问题