数学建模与方程组课件

数学建模与实验数学建模与实验 主讲教师：宋叔尼教授等主讲教师：宋叔尼教授等20102010年年1010月月一、数学建模一、数学建模与数学建模竞赛与数学建模竞赛首届国家最高科学技术奖获得者吴文俊院士：首届国家最高科学技术奖获得者吴文俊院士：任何数学都要逻辑推理，但这只是问题的一个任何数学都要逻辑推理，但这只是问题的一个方面，方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活及其他学科中出现的数学问题。活及其他学科中出现的数学问题。学校给的数学题目都是有答案的，已知什么，学校给的数学题目都是有答案的，已知什么，求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的。求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的。但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案。这就先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案。这就要求培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学要求培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法。问题的方法。1.了解问题的实际背景，明确建模目的，了解问题的实际背景，明确建模目的，收集收集掌握掌握必要的必要的数据资料数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计对资料的分析计 算，算，找出起主要作用的因素，经必找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构。划各变量之间的关系，建立相应的数学结构。4.模型求解。模型求解。5.模型的模型的分析与检验。分析与检验。数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤建立数学模型来解决实际问题的过程，是各领域建立数学模型来解决实际问题的过程，是各领域大量需要的。做这样的事情，所需要的远不只是大量需要的。做这样的事情，所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力，而数学知识和解数学题的能力，而需要多方面的综需要多方面的综合知识和创新能力。合知识和创新能力。因此应当努力培养和提高学生在这方面的能力。因此应当努力培养和提高学生在这方面的能力。通过什么方式达到培养学生的创新能力？通过什么方式达到培养学生的创新能力？开展数学竞赛能促进数学研究专门人才的培养，开展数学竞赛能促进数学研究专门人才的培养，那么那么,为什么不可以为什么不可以开展一项竞赛来促进数学应开展一项竞赛来促进数学应用人才的培养用人才的培养呢？呢？从从1983年起，美国一些有识之士开始探讨组织一年起，美国一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面竞赛的可能性。项应用数学方面竞赛的可能性。经过论证、争论、争取资助的过程，经过论证、争论、争取资助的过程，1985年开始年开始有了美国第一届大学生数学建模竞赛有了美国第一届大学生数学建模竞赛(简称简称MCM)(Mathematical Contest in Modeling)。竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办。从联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年的年起每年举行一届，在每年的二月下旬举行，到二月下旬举行，到2010年已举行了年已举行了26届。届。比赛的形式：每个参赛队由三名学生和一个指导教比赛的形式：每个参赛队由三名学生和一个指导教师组成，在规定的师组成，在规定的三、四天三、四天时间内，由学生自行做时间内，由学生自行做题，教师不得参赛，共同完成一份答卷。题，教师不得参赛，共同完成一份答卷。每次的考题只有两个题，都是来自实际或有强烈实每次的考题只有两个题，都是来自实际或有强烈实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的领域。常不同的领域。每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题。参赛每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题。参赛队的三名队员可以相互讨论，可以查阅资料，可以队的三名队员可以相互讨论，可以查阅资料，可以使用计算机和计算机软件。使用计算机和计算机软件。参赛队的答卷是一篇完整的论文。参赛队的答卷是一篇完整的论文。比赛的结果：专家们在评卷时并不对论文给出分数，比赛的结果：专家们在评卷时并不对论文给出分数，而是将论文分成一些等级而是将论文分成一些等级 OutstandingOutstanding（特等奖）（特等奖）MeritoriousMeritorious（一等奖）（一等奖）Honorable MentionHonorable Mention（二等奖）（二等奖）Successful ParticipationSuccessful Participation（成功参赛奖）（成功参赛奖）评卷的标准：并不是看答案对不对，而主要看论文的评卷的标准：并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰。思想方法好不好，以及论述是否清晰。所有成功参赛的队员和教练都能得到一张奖状。所有成功参赛的队员和教练都能得到一张奖状。同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，却同样都优秀。却同样都优秀。既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切都以解决实际问题的过程为准。一切都以解决实际问题的过程为准。论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只要能论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只要能够言之成理。够言之成理。如果你像解答纯数学题那样，只有数学公式和计算，如果你像解答纯数学题那样，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接受实际检验，即使答案正确，论文也很难结果再接受实际检验，即使答案正确，论文也很难评上好的等级。评上好的等级。数学建模竞赛的三个步骤：数学建模竞赛的三个步骤：1、建立模型：实际问题建立模型：实际问题数学问题；数学问题；2、数学解答：数学问题数学解答：数学问题通过计算机得数学解；通过计算机得数学解；3、模型检验：数学解模型检验：数学解实际问题的解决。实际问题的解决。如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，当然就不重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，当然就不能得到好的结果。能得到好的结果。为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学模型，而不只是比赛解答数学模型。数学模型，而不只是比赛解答数学模型。MCM虽然只是美国的国内赛，但它欢迎其他国家虽然只是美国的国内赛，但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且有越来越多的国家（包括中的大学组队参加，而且有越来越多的国家（包括中国）大学参加这一竞赛。这就是通常所说的国）大学参加这一竞赛。这就是通常所说的“国际国际(美国美国)数学建模竞赛数学建模竞赛”。经过酝酿、筹备，从经过酝酿、筹备，从1992年开始年开始,由中国工业与应由中国工业与应用数学学会举办我国自己的全国大学生数学模型竞用数学学会举办我国自己的全国大学生数学模型竞赛（赛（CMCM）。）。教育部对这项活动十分重视，决定从教育部对这项活动十分重视，决定从1994年起，年起，由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同举由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同举办，每年一次。这就是通常所说的办，每年一次。这就是通常所说的“全国大学生数全国大学生数学建模竞赛学建模竞赛”。随着赛事的开展，越来越多的人认识到，数学建模随着赛事的开展，越来越多的人认识到，数学建模竞赛是竞赛是培养创新能力的一个极好载体培养创新能力的一个极好载体:能充分考验学生的洞察能力、创造能力、数学语言能充分考验学生的洞察能力、创造能力、数学语言翻译能力、文字表达能力、综合应用分析能力、联翻译能力、文字表达能力、综合应用分析能力、联想能力、使用当代科技最新成果的能力等等。想能力、使用当代科技最新成果的能力等等。培养学生们同舟共济的团队精神、协调组织能力、培养学生们同舟共济的团队精神、协调组织能力、诚信意识和自律精神。诚信意识和自律精神。许多参加过数学建模竞赛的学生感受到许多参加过数学建模竞赛的学生感受到“一次参赛，一次参赛，终生受益终生受益”。二、学校数学建模培训方法与政策二、学校数学建模培训方法与政策1.1.学校优惠政策学校优惠政策1.1 获得全国一等奖且符合学校免试推荐研究生获得全国一等奖且符合学校免试推荐研究生基本条件，经三名以上本专业教授联名推荐，所基本条件，经三名以上本专业教授联名推荐，所在学院推免生遴选工作领导小组严格审查，可不在学院推免生遴选工作领导小组严格审查，可不受综合排名限制，受综合排名限制，获得免试内推研究生资格获得免试内推研究生资格，并，并由学校单列计划，直接推荐。但学生有关说明材由学校单列计划，直接推荐。但学生有关说明材料和教授推荐信要进行公示。料和教授推荐信要进行公示。1.2 获得全国二等奖，且符合学校免试推荐研究获得全国二等奖，且符合学校免试推荐研究生基本条件，生基本条件，获得外推考试资格。获得外推考试资格。1.3 根据比赛成绩对比赛学期三门课程的考试成绩根据比赛成绩对比赛学期三门课程的考试成绩按以下公式折算，但最高按以下公式折算，但最高不能超过不能超过95分，三门课程分，三门课程总学分不超过总学分不超过6学分。学分。免修、免考的课程成绩不得免修、免考的课程成绩不得乘系数乘系数。乘系数课程必须为理论课程或与比赛项目。乘系数课程必须为理论课程或与比赛项目相近的实践环节，具体由各学院教学办审核。相近的实践环节，具体由各学院教学办审核。记载成绩记载成绩=考核成绩考核成绩R。竞 赛 名名 称称特等特等奖一等一等奖二等二等奖国国际数学建模竞赛数学建模竞赛1.51.51.41.41.31.3全国全国数学建模竞赛数学建模竞赛1.41.41.31.3省省数学建模竞赛数学建模竞赛1.21.21.11.11.41.4 奖金奖金 一等奖：一等奖：30003000元元 ，二等奖：二等奖：15001500元元2.东北大学在数学建模竞赛的获奖情况东北大学在数学建模竞赛的获奖情况2005年，国际二等年，国际二等 5 个；个；2006年，国际一等年，国际一等 1 个，国际二等个，国际二等 1 个；个；2007年，国际一等年，国际一等 2 个，国际二等个，国际二等 3 个；个；2008年，国际二等年，国际二等 6 个。个。主要原因主要原因（1）学生的自发行为；）学生的自发行为；（2）缺乏有效引导；）缺乏有效引导；（3）建模教学未能普及。）建模教学未能普及。2008年年5月开始建立培训机制，提出开设课程。月开始建立培训机制，提出开设课程。2009年开始进入常态化管理。年开始进入常态化管理。2009年，国际一等年，国际一等 2 个，国际二等个，国际二等 7 个；个；2010年，国际一等年，国际一等12个，国际二等个，国际二等 9 个。个。2.东北大学数学建模培训东北大学数学建模培训 1)数学建模与实验（数学建模与实验（32学时，基础知识训练）学时，基础知识训练）2)建模竞赛选拔建模竞赛选拔 3)选拔队员培训（暑期培训，案例选讲）选拔队员培训（暑期培训，案例选讲）学校学校特等奖特等奖一等奖一等奖二等奖二等奖浙江大学浙江大学1104华中科技大学华中科技大学156中国科技大学中国科技大学98哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学839电子科技大学电子科技大学84北京理工大学北京理工大学77清华大学清华大学74西安交通大学西安交通大学64大连理工大学大连理工大学516 国国内内其其他他高高校校情情况况三、数学建模常用的方法三、数学建模常用的方法类比法类比法差分法差分法变分法变分法图论法图论法层次分析法层次分析法数据拟合法数据拟合法回归分析法回归分析法数学规划（线性规划，非线性规划，数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）整数规划，动态规划，目标规划）机理分析法机理分析法排队方法排队方法对策方法对策方法决策方法决策方法模糊评判方法模糊评判方法时间序列方法时间序列方法灰色理论方法灰色理论方法现代优化算法（神经网络，现代优化算法（神经网络，模拟退火算法，遗传算法）模拟退火算法，遗传算法）四、数学模型分类与需要的相关知识四、数学模型分类与需要的相关知识优化模型优化模型微分方程模型微分方程模型统计模型统计模型概率模型概率模型图论模型图论模型 课程安排课程安排竞赛中的发散性思维方法竞赛中的发散性思维方法借助于一系列问题来展开思路借助于一系列问题来展开思路这个问题与什么问题相似？这个问题与什么问题相似？如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？极限情形（或理想状态）如何？极限情形（或理想状态）如何？综合问题的条件可得到什么结果？综合问题的条件可得到什么结果？要实现问题的目标需要什么条件？要实现问题的目标需要什么条件？借助于借助于下意识的联想（灵感）下意识的联想（灵感）来展开思路来展开思路抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想综合所得到的联想和猜想，得到一些结论综合所得到的联想和猜想，得到一些结论进一步思考找出新思路和方法进一步思考找出新思路和方法参加数学建模竞赛需要知识参加数学建模竞赛需要知识 没有必要很系统的学很多数学知识。没有必要很系统的学很多数学知识。很很多多优优秀秀的的论论文文，是是思思维维比比较较全全面面、贴贴合合实实际际、能解决问题或是能解决问题或是有所有所创新。创新。1.数学知识的应用能力数学知识的应用能力 2.计算机的运用能力计算机的运用能力 3.论文的写作能力论文的写作能力 一一定定要要有有一一个个人人会会编编程程序序，能能够够实实现现一一些些算算法法。另另外外需需要要有有一一个个论论文文写写的的比比较较好好，不不过过写写不不好好也也没没关关系系，多多看看一一看看别别人人的的优优秀秀论论文文，多多用用几几次次 word，Visio。竞赛中的群体思维方法竞赛中的群体思维方法 地位平等、相互尊重地位平等、相互尊重杜绝武断评价杜绝武断评价不要回避责任不要回避责任充分交流，不要对交流失去信心充分交流，不要对交流失去信心“数学建模与实验数学建模与实验”课程要求课程要求课程中课程中课后（结课）课后（结课）数学建模与实验数学建模与实验 宋叔尼宋叔尼20102010年年1010月月 第一讲第一讲 数学建模与方程组相关的问题数学建模与方程组相关的问题 许多实际问题可以归结为方程组的求解许多实际问题可以归结为方程组的求解例如：冶金工程、机械结构、大型的土木结构、最优控制例如：冶金工程、机械结构、大型的土木结构、最优控制 大型输电网络、图像处理、种群繁殖、经济规划等。大型输电网络、图像处理、种群繁殖、经济规划等。1.投入产出分析投入产出分析1949年，哈佛大学教授年，哈佛大学教授 Leontief 把美国经济分解成把美国经济分解成500个个部门部门(如农业、制造业、服务业等如农业、制造业、服务业等)，对每个部门，其产出，对每个部门，其产出如何分配给其它经济部门？如何分配给其它经济部门？构建了构建了500个未知数，个未知数，500个方程的方程组，受计算机的个方程的方程组，受计算机的限制只好把问题简化为限制只好把问题简化为42个未知数，个未知数，42个方程的方程组。个方程的方程组。该成果获该成果获1973年诺贝尔经济学奖。年诺贝尔经济学奖。下面假设：经济体系中仅由农业、制造业、服务业构成，下面假设：经济体系中仅由农业、制造业、服务业构成，这些部门生产商品和服务。这些部门生产商品和服务。产出产出 投入投入农业农业制造业制造业服务业服务业外部需求外部需求总产出总产出农业农业15203035100制造业制造业301045115200服务业服务业2060070150初始投入初始投入3511075总投入总投入100200150各部门间的投入产出平衡关系各部门间的投入产出平衡关系上表中第一行表示农业总产出为上表中第一行表示农业总产出为100时，时，15农产品用于农农产品用于农业生产，业生产，20用于制造，用于制造，30用于服务，用于服务，35用于外部需求。用于外部需求。1.1.给定外部需求，建立求解各部门总产出模型。给定外部需求，建立求解各部门总产出模型。2.2.如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为5050，150150，100100，问三个部门的总产出分别应为多少？，问三个部门的总产出分别应为多少？3.3.若三部门外部需求分别增加若三部门外部需求分别增加1 1单位，总产出应增加多少？单位，总产出应增加多少？4.4.若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出，若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出，称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？问问 题题 产出产出 投入投入农业农业制造业制造业服务业服务业外部需求外部需求总产出总产出农业农业15203035100制造业制造业301045115200服务业服务业2060070150初始投入初始投入3511075总投入总投入100200150设有设有n个部门，第个部门，第i个部门的总产出为个部门的总产出为xi，用于用于(投入到投入到)第第j个个部门部门xij，外部需求为外部需求为di，则，则 假设每个部门的产出与投入成正比，假设每个部门的产出与投入成正比，即即 xij/xj为常数，记为为常数，记为 aij.1.给定外部需求，建立求解各部门总产出模型给定外部需求，建立求解各部门总产出模型转换成转换成记投入系数矩阵记投入系数矩阵 ，产出向量，产出向量需求向量需求向量 ，则方程组记为，则方程组记为即即这就是线性代数方程组。这就是线性代数方程组。产出产出 投投入入农业农业制造制造业业服务服务业业农业农业0.150.100.20制造制造业业0.300.050.30服务服务业业0.200.300投入产出系数表投入产出系数表 产出产出 投入投入农业农业制造业制造业服务业服务业外部需求外部需求总产出总产出农业农业15203035100制造业制造业301045115200服务业服务业2060070150初始投入初始投入3511075总投入总投入100200150各部门间的投入产出平衡关系各部门间的投入产出平衡关系得到数学模型（线性方程组）得到数学模型（线性方程组）2.如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为如果对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50，150，100，问三个部门的总产出分别应为多少？，问三个部门的总产出分别应为多少？用用MATLAB求出即可求出即可3.若三部门外部需求分别若三部门外部需求分别增加增加1单位单位，总产出应增加多少？，总产出应增加多少？得得令令求解求解4.若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出，若对任意给定的非负外部需求，都能得到非负总产出，称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？要使模型可行，即对任意的外部需求要使模型可行，即对任意的外部需求 得得 .由由 知，如果知，如果 (即每个元素非负即每个元素非负).即满足结论即满足结论.如果如果 ，就有，就有 如果如果 ，必有，必有 .得到得到这等价于这等价于又因为又因为一般来说数学建模过程如下：一般来说数学建模过程如下：形成论文形成论文假设载荷很小，则发假设载荷很小，则发生的形变也很小，用生的形变也很小，用u=u(x)表示在载荷表示在载荷f(x)作用下弦的平衡作用下弦的平衡位置，则位置，则AB非线性非线性2.2.弦振动问题（微分方程问题）弦振动问题（微分方程问题）区间区间 a,b 上连续函数的全体，记为上连续函数的全体，记为C a,b;区间区间a,b上二阶连续可微函数的全体，记为上二阶连续可微函数的全体，记为C2a,b;按照通常函数的加法和数与函数的乘法两种运算按照通常函数的加法和数与函数的乘法两种运算,构成实数域上的线性空间构成实数域上的线性空间.结合边界条件结合边界条件问题问题1 方程组的求解问题方程组的求解问题微分方程微分方程的解是的解是 中的函数（或元素）。中的函数（或元素）。方程组的解方程组的解是是N1 维空间中的向量。维空间中的向量。时，该向量的极限是否为原方程的解？时，该向量的极限是否为原方程的解？问题问题 2设设A，B是重力场中给定的两点，且是重力场中给定的两点，且A点高于点高于B点，点，B点不正好位于点不正好位于A点下方。点下方。3 3 最速降线问题最速降线问题一个在一个在A点静止的质点在重力作点静止的质点在重力作用下沿着怎样的路线用下沿着怎样的路线C无摩擦地无摩擦地从从A点滑到点滑到B点，才能使所花的点，才能使所花的时间最短？时间最短？该曲线该曲线C称为最速降线。称为最速降线。如何求出该曲线？如何求出该曲线？3.1 问题的提出问题的提出考虑连接考虑连接A,BA,B的曲线的曲线显然，质点运动的速度显然，质点运动的速度这里这里 表示弧长。表示弧长。因此因此故所需时间为故所需时间为构造坐标系构造坐标系设曲线上一点处的切线与设曲线上一点处的切线与 轴方向的夹角为轴方向的夹角为 ；设质点的质量为设质点的质量为 ，重力加速度为，重力加速度为 ；由牛顿运动第二定律由牛顿运动第二定律两端同乘以两端同乘以 ，则，则两边积分，则有两边积分，则有但已设初速为零，故但已设初速为零，故 ，从而从而 .于是我们的问题便是在条件于是我们的问题便是在条件 ，之下之下寻求使寻求使取最小的函数取最小的函数 。由上可知，由上可知，是是 的函数，的函数，同时同时 是的是的 函数；函数；因此因此 是函数是函数 的函数。的函数。工程上常常称工程上常常称 是是 的泛函。的泛函。记为记为3.2 3.2 求解问题的初步设想求解问题的初步设想先考虑从先考虑从 到到 的以下曲线：的以下曲线：(i)(i)直线段；直线段；(ii)(ii)圆弧圆弧(自己选择一条自己选择一条)；(iii)(iii)抛物线抛物线(自己选择一条自己选择一条)；分别计算所花的时间分别计算所花的时间（练习）（练习）。这样将这样将 分成分成 个小段，每段长度个小段，每段长度 。将区间将区间 等份，每段长度等于等份，每段长度等于 ，而，而在区间在区间 内插入内插入 个分点个分点 ，使使对对 成立。成立。此时，曲线此时，曲线 相应地被分成相应地被分成 小段：小段：3.3 3.3 近似计算近似计算注意注意 和和 不能改变，不能改变，是固定点。是固定点。记记 ，是坐标为是坐标为 的点。的点。而其余而其余 及及 纵坐标随着曲线纵坐标随着曲线 的不同而改变。的不同而改变。如果如果 比较大，并且每个比较大，并且每个 都比较小，都比较小，则则可近似地看成从可近似地看成从 到到 的直线段。的直线段。质点在质点在 ，两点的速度分别是两点的速度分别是 ，；在直线段在直线段 内的平均速度为内的平均速度为质点经过这条直线段的时间是质点经过这条直线段的时间是总时间总时间 近似地等于近似地等于这样即求出了这样即求出了 的值的值求合适的求合适的 使使 最小最小.4.多元函数的极小值问题多元函数的极小值问题 （非线性方程组的计算问题）（非线性方程组的计算问题）4.1 函数的极小值问题与方程求根函数的极小值问题与方程求根一元函数极值转化为函数方程求根一元函数极值转化为函数方程求根多元函数极值问题转化为求非线性方程组解的问题多元函数极值问题转化为求非线性方程组解的问题设设 在在 取极小值，则取极小值，则设设 在在 取极小值，则取极小值，则即求即求f(x)=0的根的根.4.2 Newton 迭代法迭代法4.2.1 Newton迭代公式迭代公式 设设(x)在有根区间在有根区间a,ba,b上二阶连续可微上二阶连续可微,给定根给定根 的某个近似值的某个近似值x x0 0（初值）（初值）,取取(x)(x0 0)+)+(x0 0)()(x-x0 0),),方程方程(x)=0)=0近似为近似为 (x0 0)+)+(x0 0)()(x-x0 0)=0)=0若若(x0 0)0,0,其解为其解为因为因为得到根的新的近似值x1,一般地,在xk附近线性化方程为 (xk)+(xk)(x-xk)=0设(xk)0,其解为迭代格式称为Newton Newton 迭代法迭代法.xyox0y=(x)x1x2直线 y=(x0)+(x0)(x-x0)就是 y-(x0)=(x0)(x-x0)Newton迭代法也叫切线法切线法.k,2,1,0,)()(1L=-=+kxfxfxxkkk 设(x)在根附近具有二阶连续导数,则对充分接近的初值x0,Newton迭代法产生的序列xk收敛于,且定理定理 例例 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根.4.2.2 Newton迭代法的收敛性迭代法的收敛性 例例 用Newton迭代法求8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0的根,在1.5附近的根.为了简化计算(xk),采用格式称为简化简化NewtonNewton迭代法迭代法.oxyy=(x)x0 x1x2x3 在区间I=-,+上,取M与(x)同号,且M1/2max|(x)|时,简化Newton迭代法对x0I收敛.通常取M=(x0).简化Newton迭代法一般只具有线性收敛.简化简化Newton迭代法迭代法非线性方程组的求解非线性方程组的求解向量记法向量记法对于函数方程f(x)=0,如果(xk)0,其近似解为迭代格式称为 Newton迭代法迭代法.,2,1,0,)()(1L=-=+kxfxfxxkkkk上式改为上式改为Hessen矩阵矩阵例例 用用Newton迭代法求解非线性方程组迭代法求解非线性方程组在在 初值初值(1,1)的解。的解。例例 用用Newton迭代法求解非线性方程组迭代法求解非线性方程组在初值在初值(2,2)附近的解。附近的解。理论问题理论问题 收敛性，收敛区域，修改方法收敛性，收敛区域，修改方法 稳定性稳定性 矩阵的范数矩阵的范数 矩阵条件数矩阵条件数数学建模与实验参考书数学建模与实验参考书1.姜启源.数学模型(第二版),高等教育出版社.2.姜启源等.数学建模(第三版)，高等教育出版社.3.萧树铁等.数学实验，高等教育出版社.4.朱道元.数学建模案例精选，科学出版社.5.雷功炎.数学模型讲义，北京大学出版社.6.叶其孝等.大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社.7.江裕钊等.数学模型与计算机模拟，电子科技大学出版社8.杨启帆等.数学模型，浙江大学出版社.9.赵静等.数学建模与数学实验,高等教育出版社，施普林格出版社.谢谢 谢！谢！