数学建模-拟合模型剖析课件

3.2 拟合模型与最小二乘法一一.数据资料与数学模型数据资料与数学模型1.1.数据资料数据资料数据资料数据资料 是在实际问题中收集到的观测数值。是在实际问题中收集到的观测数值。数据携带有实际问题大量的信息，数据携带有实际问题大量的信息，是组建数学模型的重要依据。是组建数学模型的重要依据。数据误差数据误差 观测数据中一般都包含有误差。观测数据中一般都包含有误差。正确对待和处理这正确对待和处理这 些误差是数学建模中不可回避的问题些误差是数学建模中不可回避的问题.系统误差系统误差：偏差，来自于系统，有规律，可避免。：偏差，来自于系统，有规律，可避免。随机误差随机误差：无偏，来自随机因素，无规律，不可免：无偏，来自随机因素，无规律，不可免数据获取数据获取 年鉴报表、学术刊物、网络资源、实验观测等等年鉴报表、学术刊物、网络资源、实验观测等等2.2.数据资料与数学模型数据资料与数学模型 数据可以为数据可以为模型的设计提供信息模型的设计提供信息 数据也可以为模型参数的估计给出数值基础数据也可以为模型参数的估计给出数值基础 数据也是检验模型合理性的重要依据数据也是检验模型合理性的重要依据 3.拟合模型拟合模型1 10 0.对于情况较复杂的实际问题对于情况较复杂的实际问题（因素多且不易化简，作用机理不详）（因素多且不易化简，作用机理不详）可直接寻找数据表达的可直接寻找数据表达的因果变量因果变量之间简单之间简单的数量关系组建模型，的数量关系组建模型，从而对未知的情形作预报。从而对未知的情形作预报。这样组建的模型称为这样组建的模型称为拟合模型拟合模型。2 20.拟合模型的组建主要是处理好数据的误差拟合模型的组建主要是处理好数据的误差 使用数学近似表达因果变量之间的关系。使用数学近似表达因果变量之间的关系。其实质是其实质是数据拟合的精度数据拟合的精度和和数学表达式简数学表达式简化程度化程度间的一个间的一个折中折中。折中方案的选择将取决于实际问题的需要折中方案的选择将取决于实际问题的需要3 30 0.经验模型和插值模型经验模型和插值模型经验模型经验模型：主要是探讨变量间的内在规律，：主要是探讨变量间的内在规律，容许出现一定的误差。容许出现一定的误差。在简单的数学表达式中选择拟合效果好的在简单的数学表达式中选择拟合效果好的插值模型插值模型：以数据拟合的效果为主。：以数据拟合的效果为主。要求精确地拟合观测数据，要求精确地拟合观测数据，即在观测点之间插入适当的数值。即在观测点之间插入适当的数值。4.4.其他利用数据组建的模型其他利用数据组建的模型判别模型判别模型,主成分模型主成分模型,分类模型分类模型,因子模型因子模型趋势面模型趋势面模型,时间序列模型等。时间序列模型等。二二.经验模型与最小二乘法经验模型与最小二乘法1.经验模型及其组建经验模型及其组建在简单模型中选择拟合效果好者。在简单模型中选择拟合效果好者。例例 人口预测人口预测1949年年1994年我国人口数据资料如下：年我国人口数据资料如下：年份年份 xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94人数人数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.1 11.8 建模分析我国人口增长的规律建模分析我国人口增长的规律,预报预报99年我国人口数年我国人口数 1.在坐标系上作观测数据的散点图。在坐标系上作观测数据的散点图。2.根据散点分布的几何特征提出模型根据散点分布的几何特征提出模型 3.利用数据估计模型的参数利用数据估计模型的参数 4.计算拟合效果计算拟合效果 假设：人口随时间线性地增加假设：人口随时间线性地增加模型：模型：y=a+b x参数估计参数估计 观测值的模型观测值的模型：yi=a+b xi+i，i=1,n 拟合的精度拟合的精度:Q=i 2=(yi-a b xi)2,误差平方和误差平方和最小二乘法：最小二乘法：求参数求参数 a 和和 b，使得误差平方和，使得误差平方和Q最小最小参数估计可以算出：可以算出：a=1.93，b=0.146模型：模型：y=1.93+0.146 x拟合效果拟合效果 年份年份 xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94人数人数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 模型模型 5.24 5.97 6.7 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82误差误差 .16 .03 0 -.43 -.06 .20 .18 -.06 .01 -.02 Q1=2=0.2941 模型二：模型二：y=a+b x+cx2 y=-1.0387+0.1203x+0.0002x2 Q2=0.2832Q Q2 2=0.2832=0.2832模型三模型三 人口自然增长模型人口自然增长模型 设数据满足设数据满足最小二乘法最小二乘法算得算得 拟合精度拟合精度模型模型结论结论1.Q1=0.2915 0.7437=Q2.线性模型更线性模型更适合中国人口的增长。适合中国人口的增长。2.预报：预报：1999年年12.55亿，亿，13.43亿亿3.人口白皮书：人口白皮书：2005年年13.3亿，亿，2010年年14亿亿模型模型 I 2005年年13.43亿，亿，2010年年14.16亿亿模型模型II 14.94亿，亿，16.33亿亿讨论 xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.0 11.8 yi 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82e 0.16 0.03 0.00-0.43-0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 yi 5.55 6.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11.26 12.31e-0.15.06 0.08 0.23 0.20 0.46 0.36.01 0.13 0.512.线性最小二乘法线性最小二乘法 模型：模型：y=a，数据：数据：精度：精度：估计：估计：模型：模型：y=bx，数据：数据：精度：精度：估计：估计：讨论：讨论：模型：模型：x=1,2,3;y=2.3,4,6.2y/x=2.3,2,2.1;b1=2.133xy=2.3,8,18.6;x2=1,4,9b2=28.9/14=2.064 x 1 2 3 y 2.3 4 6.2b1x 2.133 4.266 6.399 1i 0.167 -0.266 -0.199b2x 2.064 4.128 6.192 2i 0.236 -0.128 0.008模型：模型：y=a+bx，精度精度：估计估计：数据数据：模型：模型：y=b1x1+b2x2，数据数据：精度精度：模型：模型：y=a+b1x1+b2x2，数据数据：精度精度：估计估计：3.直线拟合的效果（相关系数）直线拟合的效果（相关系数）(模型值）4.可化简的非线性最小二乘法可化简的非线性最小二乘法10.y=a+b1f1(x)+b2 f2(x)+bn fn(x)令令 ui=fi(x),则有则有 y=a+b1u1+bnun.20.y=a ebx.令令 z=ln y,则有则有 z=ln a+b x=a*+b x.30.y=a xb.令令 z=ln y,u=ln x,则有则有 z=ln y=lnb ln x=a*+b u40.y=1/(abx)令令 z=1/y,则有则有 z=1/y=a+bx.50.y=x/(b+ax)令令 z=1/y,u=1/x,则有则有 z=1/y=a+b/x=a+b u60.y=(1+ax)/(1+bx)?例例 4.2 表列数据为表列数据为1977年以前六个不同距离年以前六个不同距离的中短距离赛跑成绩的世界纪录的中短距离赛跑成绩的世界纪录.试用这些数据建模分析赛跑的成绩与赛跑距试用这些数据建模分析赛跑的成绩与赛跑距离的关系。离的关系。距离距离 x(m)100 200 400 800 1000 1500时间时间 t(s)9.95 19.72 43.86 102.4 133.9 212.1模型模型:t=a+b x参数参数:a=-9.99,b=0.145 t=-9.99+0.145 x Q1=82.04检验检验:当当 x 68.89 m 时时,t 0.当当 x=100 m 时时,t=4.51 s 与实际情形差距较大与实际情形差距较大!中间数值偏低中间数值偏低 模型模型:t=a xb,令令 z=ln t,u=ln x,则有有 z=ln t=ln ab ln x=a*+b u参数参数:a*=-3.0341,a=e a*=0.048,b=1.145 t=0.048 x1.145.Q2=23.55x=49:5:94;y=5.4 6 6.7 7 8.1 ;A=ones(10,1),x;b=Ay;z=b(1)+b(2)*x;plot(x,z,b,x,y,r*)4.关于最小二乘关于最小二乘 MATLAB算算观察数据观察数据(x,y)，拟合线性模型，拟合线性模型y=a+bxA=ones(size(y),1),x;b=Ay%解线性方程组解线性方程组b,bint=regress(y,A)%线性回归线性回归z=b(1)+b(2).*x;b=polyfit(x,y,1)%拟合一阶多项式拟合一阶多项式z=b(2)+b(1).*x;b,r=nlinfit(x,y,fun,d0)%拟合非线性函数拟合非线性函数fun要取好初值要取好初值d0nlintool(x,y,fun,d0)%非线性拟合工具非线性拟合工具讨论4.关于误差关于误差 yk=a+bxk+k,k:纵轴误差纵轴误差 yk=a+b(xk+k),k:横轴误差横轴误差 距离误差距离误差5.关于精度关于精度 Q=i 2=(yk-a-bxk)2.Q=|i|=|yk-a-bxk|6.不规范的数据建模问题不规范的数据建模问题问题问题1.利用赛艇比赛成绩的数据建模分析运动员的人利用赛艇比赛成绩的数据建模分析运动员的人数数 n 与赛艇成绩与赛艇成绩 t 的关系的关系.n 1 2 4 8 t 7.125 6.878 6.340 5.8352.P86 7,8*3.生物学家认为，正在休息的温血动物体生物学家认为，正在休息的温血动物体内的能量就是为了保持其体温，内的能量就是为了保持其体温，体内的能量与通过心脏的血流量成正比，体内的能量与通过心脏的血流量成正比，建立一个数学模型将通过心脏的血流量与体建立一个数学模型将通过心脏的血流量与体重联系起来。重联系起来。进一步建立心搏率与体重的关系，进一步建立心搏率与体重的关系，讨论你模型中的假设，讨论你模型中的假设，并用下面数据检验模型。并用下面数据检验模型。动物名动物名 体重（克）体重（克）脉搏率（脉搏率（/分）分）蝙蝠蝙蝠 4 660鼠鼠 25 670大鼠大鼠 200 420豚鼠豚鼠 300 300兔兔 2000 205小狗小狗 5000 120大狗大狗 30000 85羊羊 50000 70人人 70000 72马马 450000 38牛牛 500000 40象象 3000000 48三三.插值模型插值模型 当数据量不够，需要补充，当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可信时且认定已有数据可信时,通常利用通常利用函数插值方法建立插值模型函数插值方法建立插值模型.目标：目标：根据一组观测数据根据一组观测数据(xi,yi)i=0,1,2,n.寻找函数关系寻找函数关系 y=(x)满足满足yi=(xi)i=0,1,2,n 如果如果(x)在每个区间段在每个区间段xi-1,xi上是线性函数，上是线性函数，则称则称(x)是这组数据的是这组数据的线性插值函数线性插值函数.如果如果(x)在每个区间段在每个区间段xi-1,xi上上k次多项式，次多项式，且在区间且在区间(x0,xn)上上(x)及其直到及其直到k-1阶导数数连续 则称则称(x)是这组数据的是这组数据的样条插值函数。样条插值函数。例例 4.3 设一水库将河道分为上、下游两个河段设一水库将河道分为上、下游两个河段.预测上游流量预测上游流量 Q（t）(米米3/秒秒)为为t（时）（时）8 12 16 24 30 44 48 56 Q（t）3600 5400 7800 9200 10100 3500 2500 1600 已知水库中水的库容量已知水库中水的库容量V(108米米3)与水位高程与水位高程H(米米)的数值的数值关系关系V 23.93 24.06 24.20 24.33 24.47 24.6 24.75H 168.75 168.8 168.85 168.9 168.95 169 169.05降雨的开始降雨的开始时刻刻为8时,这时水位的高程水位的高程为168米米,水水库容量容量为21.9*108 米米3.如果从当日如果从当日8时起起,水水库一直保持每秒一直保持每秒1000米米3的泄流量的泄流量,请按所按所给数据数据,预报当日当日20时水水库中水的中水的库容量与水的高程容量与水的高程.假设假设:1 已知数据准确已知数据准确,无误差无误差.2 相邻两个时刻之间的流量变化是线性的相邻两个时刻之间的流量变化是线性的.3 相邻两个高程之间的水位高程对水的库容量的相邻两个高程之间的水位高程对水的库容量的变化也是线性的变化也是线性的.建模求解：建模求解：由由(ti,Qi)线性插值得线性插值得Q(t),到到20时上游流量时上游流量Q(20)=7800+4(9200-7800)/(24-16)=8500米米3/秒秒水库容量水库容量(原库存量原库存量+流入量流入量-泄流量泄流量)到到20时时,V(20)=24.24*108立方米立方米由由(Vi,Hi)线性插值得线性插值得H(V),于是于是 H(t)=H(V(t).到到20时时 水库水位高程水库水位高程 H(20)=168.87米米Matlab插值程序插值程序t=8,12,16,24,30,44,48,56,60;q=36,54,78,92,101,35,25,16,13;t1=8:60;q1=interp1(t,q,t1,linear);plot(t,q,r*,t1,q1)t0=min(find(t1=20);q1(t0)水库容量和水位高程图水库容量和水位高程图插值图、水库容量和水位高程插值图、水库容量和水位高程图图 从已知数据从已知数据(xi,yj),当当x xi,xi+1时时,可由直可由直线方程的两点式给出线方程的两点式给出线性插值函数线性插值函数的表达式。的表达式。如果插值函数具有连续的二阶导数且在每个如果插值函数具有连续的二阶导数且在每个小区间小区间xi,xi+1上是三次多项式，则称是这上是三次多项式，则称是这组数据的组数据的三次样条插值函数三次样条插值函数。多多项式式样条条:光滑光滑连接起来的分段的多接起来的分段的多项式曲式曲线。给定区定区间a，b的一个分划的一个分划若函数若函数 Sk（x）满足条件：足条件：(1)在在节点点 xi 处等于等于给定的数定的数值 yi=Sk(xi)（i=0,1,n）(2)在每个子区在每个子区间 xi-1,xi,(i=1,2,n)上是上是 k 次多次多项式式(3)Sk(x)及其直到及其直到 k-1 阶导数在区数在区间a,b上上连续。则称称 Sk(x)是关于分划是关于分划 的一个的一个 k 次多次多项式式样条函数。条函数。称称 x0,x1,xN 为样条节点，为样条节点，称称 x1，x2,xN-1 为内节点，称为内节点，称 x0,xN 为边界点。为边界点。这种方法既保留了低次多项式插值的各种优点，这种方法既保留了低次多项式插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，所以有广泛的应用。又提高了插值函数的光滑性，所以有广泛的应用。为了构造具体的了构造具体的 k 次多次多项式式样条函数，引入如下条函数，引入如下记法：法：称称 x+k 为 k 次半截次半截幂函数。函数。特特别，当，当 k=0 时，是，是单位位阶跃函数。函数。不不难看出，函数看出，函数是一个是一个阶梯函数，梯函数，为了提高了提高样条函数的光滑度，条函数的光滑度，对 S0(x)积分分 k 次，次，得到一个新的函数得到一个新的函数 Sk(x)称称为 k 次次样条函数条函数例例4.4 山地高程绘图山地高程绘图（1994年年CUMCM）要在山区修一条公路，要在山区修一条公路，首先测得一些地点的高程，数据见表首先测得一些地点的高程，数据见表.表中的数据为在平面区域表中的数据为在平面区域 0 x2000,0yx=0:4:20;%给出出X轴的坐的坐标y=0:4:20;%给出出Y轴的坐的坐标z=37 51 65 74 83 88;47 62 76 88 98 106;69 87 105 128 142 150;%给出（出（xi，yj）点的高程）点的高程 zij：X，Y=meshgrid(0:1:20,0:1:20);%给出加密的插出加密的插值坐坐标网格网格 Z=interp2(x,y,z,X,Y,spline);%在坐在坐标上上进行行样条插条插值画画图：clf;%清空清空图形坐形坐标系中的内容系中的内容mesh(X,Y,Z)%在网格上画出插在网格上画出插值的的结果果hold on%打开在同一坐打开在同一坐标系中画系中画图的功能的功能contour(X,Y,Z)%画平面等高画平面等高线con3=contour3(X,Y,Z)%画三画三维等高等高线clabel(con3)%标高程高程hold off%结束作束作图 1.逢山开路逢山开路