数学基础物理课件

第一章第一章 数学基础数学基础 理论力学主要的数学工具理论力学主要的数学工具是几何矢量。矢量的描述及其是几何矢量。矢量的描述及其运算依靠运算依靠矩阵矩阵。注意：一般科技书中，矢量也是一种矩阵，但是，理论力学中，二者必须加以区别。理论力学中涉及到的参数多为矢量理论力学中涉及到的参数多为矢量 本章主要内容1-1 矩阵矩阵#矩阵的定义与运算矩阵的定义与运算#矩阵的导数矩阵的导数1-2 矢量矢量#矢量、矢量基和基矢量矢量、矢量基和基矢量#矢量的代数描述矢量的代数描述#矢量对时间的导数矢量对时间的导数1-3 方向余弦矩阵方向余弦矩阵1-4 平面矢量平面矢量1-1 矩阵矩阵1-1-1 矩阵的定义和运算矩阵的定义和运算称为称为 mn 阶矩阵阶矩阵 m 行，行，n 列列 采用黑体字采用黑体字方括号或圆括号方括号或圆括号注意与行列式的区别注意与行列式的区别若干常用、特殊矩阵：1、方阵、方阵行数等于列数，如：行数等于列数，如：2、零矩阵、零矩阵所有元素都为零所有元素都为零记为：03、单位矩阵、单位矩阵主对角线元素为主对角线元素为1其余其余元素均为零的方阵元素均为零的方阵4、对称矩阵、对称矩阵元素满足：元素满足：5、反对称矩阵、反对称矩阵元素满足：元素满足：记为：I矩阵的主要运算规则：矩阵的主要运算规则：1、矩阵相等，如、矩阵相等，如 A=B阶数相同，对应元素相等阶数相同，对应元素相等2、矩阵相加，如、矩阵相加，如A+B条件？条件？结果？结果？3、矩阵和标量相乘，如、矩阵和标量相乘，如 S A所有元素分别乘所有元素分别乘 S4、矩阵相乘，如、矩阵相乘，如 AB条件？条件？结果？结果？规则？规则？注意：注意：BA=AB5、矩阵的转置，记为、矩阵的转置，记为 AT矩阵和的转置与积的转置：矩阵和的转置与积的转置：6、矩阵的逆矩阵，如、矩阵的逆矩阵，如 A-1何谓逆矩阵？何谓逆矩阵？若若 BC=I，B与与C互为逆矩阵互为逆矩阵7、正交矩阵、正交矩阵何谓正交矩阵？何谓正交矩阵？每一列（行）均为单位向量每一列（行）均为单位向量任意两列（行）的积等于零任意两列（行）的积等于零B与与C必须是必须是方阵方阵，且为，且为满秩矩阵满秩矩阵非奇异阵非奇异阵若若A为正交矩阵，则有：为正交矩阵，则有：A-1 =AT 例如：例如：由于由于 AB=BA=I，所以，所以二者互为逆矩阵二者互为逆矩阵。且且A、B均为均为正交矩阵正交矩阵，即有，即有 A-1=AT，B-1=BT。1-1-2 矩阵的导数矩阵的导数1、矩阵对时间的导数、矩阵对时间的导数矩阵的元素为时间的函数，如：矩阵的元素为时间的函数，如：A=A(t)，元素为，元素为Aij(t)条件是：条件是：结果为结果为：同阶矩阵，各元素为原矩阵各元素对时间的导数。同阶矩阵，各元素为原矩阵各元素对时间的导数。表达式：表达式：简记为：简记为：以下关系以下关系成立：成立：例题请自例题请自己看书己看书2、矩阵对变量的偏导数、矩阵对变量的偏导数今有一 m 阶列阵其中，元素为 q 的函数q 为为 n 个变量组成的列阵：个变量组成的列阵：于是，于是，对变量对变量 q 的偏导数定义为：的偏导数定义为：举例：举例：定义由两个变量定义由两个变量 1 和和 2 组成的列阵组成的列阵今有一标量函数今有一标量函数求它们对变量阵求它们对变量阵 q 的偏导数。的偏导数。和一和一3 阶列矩阵阶列矩阵1-2 矢量矢量1-2-1 1-2-1 矢量、矢量基和基矢量矢量、矢量基和基矢量1、矢量的定义：、矢量的定义：矢量是一个具有大小和方向的量，用字母上面矢量是一个具有大小和方向的量，用字母上面加一箭头表示，如：加一箭头表示，如：矢量的大小称为模矢量的大小称为模，记为：，记为：模为模为1的矢量称为的矢量称为单位矢量单位矢量，模为零则为，模为零则为零矢量零矢量几何矢量：几何矢量：矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的长度表示它的模（大小），箭头的指向即为线段的长度表示它的模（大小），箭头的指向即为其方向。其方向。2、矢量的运算、矢量的运算（1）矢量相等：模相等且方向一致，如：）矢量相等：模相等且方向一致，如：（2）与标量相乘：）与标量相乘：结果为一矢量，如：结果为一矢量，如：（3）两个矢量的和：结果为一矢量，如：）两个矢量的和：结果为一矢量，如：求和（也称为合成）按求和（也称为合成）按平行四边形法则平行四边形法则进行。进行。求和运算遵循结合率和交换率求和运算遵循结合率和交换率多个矢量的和可以两两合成多个矢量的和可以两两合成（4）两个矢量的点积（数量积或标量积）：）两个矢量的点积（数量积或标量积）：结果为一标量，如：结果为一标量，如：其中，其中，a，b设为矢量的模，设为矢量的模，为两个矢量正方向的夹角为两个矢量正方向的夹角点积与向量的位置无关，即符合交换率。点积与向量的位置无关，即符合交换率。（5）矢量的叉积：结果为一矢量，如）矢量的叉积：结果为一矢量，如 的大小为：的大小为：的方向：的方向：按照右手法则矢量叉积的几个问题：矢量叉积的几个问题：（1）服从分配率和结合率；）服从分配率和结合率；（2）两个矢量交换叉乘位置，结果方向相反；）两个矢量交换叉乘位置，结果方向相反；（3）矢量多重积）矢量多重积3、矢量基与基矢量、矢量基与基矢量 矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通常采矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通常采用比较多的是矢量的代数表达方法。用比较多的是矢量的代数表达方法。为此需要构成一个参考空间，具体的做法是为此需要构成一个参考空间，具体的做法是 用过点用过点O的三个正交的单位矢量依的三个正交的单位矢量依次按右手法则构成一个坐标系次按右手法则构成一个坐标系 O 称之为称之为矢量基矢量基(简称简称基基)点点O 称为该矢量基的称为该矢量基的基点基点 三个正交的单位矢量称为这个基的三个正交的单位矢量称为这个基的基矢量基矢量 何谓正交性？基矢量的点积和叉积的结果如何？何谓正交性？基矢量的点积和叉积的结果如何？矢量基的表示：矢量基的表示：将将基基矢矢量量构构成成一一个个矢矢量量列列（凡凡矢矢量量阵阵用用上上面面加加一一箭箭头头的的黑黑斜斜体体字字符符表表示示，以以区区别别于于标标量量矩阵）：矩阵）：对于不同的基，基矢量加上标进行区分。对于不同的基，基矢量加上标进行区分。矢量阵的运算：矢量阵的运算：参照矩阵运算进行，只是在运算中将一个参照矩阵运算进行，只是在运算中将一个矢量当作一个标量元素处理。矢量当作一个标量元素处理。根据矢量乘积，以上两式可以简化为：根据矢量乘积，以上两式可以简化为：1-2-2 1-2-2 矢量的代数描述矢量的代数描述1矢量与矢径的代数描述矢量与矢径的代数描述 在某个矢量基上，任意矢量均可通过三个正交矢量的和表示在某个矢量基上，任意矢量均可通过三个正交矢量的和表示 基矢量上的三基矢量上的三个个分矢量分矢量简称为简称为分量分量 标量系数标量系数 a1,a2,a3 分别称为该矢量在三分别称为该矢量在三个基矢量上的个基矢量上的坐标坐标，即投影即投影它们分别为三个分矢量的模。它们分别为三个分矢量的模。这三个坐标构成一个标量列阵称为这个这三个坐标构成一个标量列阵称为这个矢量矢量在该矢量基上的在该矢量基上的坐标阵坐标阵，记为：，记为：矢量在该矢量基上的矢量在该矢量基上的坐标方阵坐标方阵为为定义定义显然，有：显然，有：矢量的矢量的坐标方阵坐标方阵今后会经常碰到今后会经常碰到 例例1.2-1 图示一长方体，其中图示一长方体，其中AB=1，BC=1.2，BQ=0.8。图中给出了基图中给出了基在该基上的坐标阵与坐标方阵。在该基上的坐标阵与坐标方阵。写出矢量写出矢量由于：由于：坐标方阵为：坐标方阵为：坐标阵：坐标阵：矢径的概念矢径的概念由矢量基的基点出发，到达空间某一点由矢量基的基点出发，到达空间某一点P 的矢量称的矢量称为矢径为矢径O即为一矢径即为一矢径P与空间矢量一样，矢径也可以用其分量表示为与空间矢量一样，矢径也可以用其分量表示为:设该矢径在矢量基上的投影为：设该矢径在矢量基上的投影为：坐标阵为：坐标阵为：基矢量的坐标阵基矢量的坐标阵根据矢径的概念根据矢径的概念，基矢量，基矢量的坐标阵为：的坐标阵为：O空间任意矢量的坐标阵表示空间任意矢量的坐标阵表示利用矩阵乘法利用矩阵乘法即即同一个矢量的不同基的描述同一个矢量的不同基的描述 需要注意的是，矢量在空间是客观存在需要注意的是，矢量在空间是客观存在的，的，矢量基则是人为选取的矢量基则是人为选取的，因此，矢量的，因此，矢量的存在与矢量基无关，但是，矢量的描述与矢存在与矢量基无关，但是，矢量的描述与矢量基密切相关，同一个矢量相对不同的矢量量基密切相关，同一个矢量相对不同的矢量基有不同的表达结果。基有不同的表达结果。例如，有两个不同的矢量基：例如，有两个不同的矢量基：矢量矢量和在这两个基上的坐标阵在这两个基上的坐标阵分别记为：分别记为：由：由：或2 2、矢量的运算与其坐标阵运算间的关系、矢量的运算与其坐标阵运算间的关系、矢量的运算与其坐标阵运算间的关系、矢量的运算与其坐标阵运算间的关系矢量矢量 坐标阵分别记为坐标阵分别记为 a，b 与与 c。于是有：于是有：矢量运算式矢量运算式坐标阵运算式坐标阵运算式矢量运算与同一基下坐标阵运算的关系列表矢量运算与同一基下坐标阵运算的关系列表矢量运算与同一基下坐标阵运算的关系列表矢量运算与同一基下坐标阵运算的关系列表如下：如下：如下：如下：例例1-2-2 矢量矢量 由点由点 Q 指向点指向点 P。点。点 Q 与与 P 的矢径分的矢径分别为别为 与与 ，它们在基，它们在基 下的坐标阵分别为：下的坐标阵分别为：求矢量求矢量 在该基下的坐标阵。在该基下的坐标阵。存在矢量关系：存在矢量关系：其坐标式为：其坐标式为：将上式展开，可得：将上式展开，可得：例例1-2-3 写出三重叉积与混合积的坐标运算式，已知写出三重叉积与混合积的坐标运算式，已知三重叉积与混合积分别为三重叉积与混合积分别为和和设：设：1-2-3 矢量对时间的导数矢量对时间的导数1、矢量导数的定义、矢量导数的定义 前面已经提到，矢量本身与参考基并无关系，前面已经提到，矢量本身与参考基并无关系，因此，它随时间的变化也与参考基无关。假设在时因此，它随时间的变化也与参考基无关。假设在时刻刻 t，某矢量的大小与方向为，某矢量的大小与方向为到时刻到时刻该矢量大小和方向为该矢量大小和方向为定义该矢量在定义该矢量在 t 时刻对时间的导数为：时刻对时间的导数为：矢量在不同矢量基上对时间的导数矢量在不同矢量基上对时间的导数对于不同的矢量基，同一个矢量的描述不一对于不同的矢量基，同一个矢量的描述不一样，矢量对时间的导数自然也不一样样，矢量对时间的导数自然也不一样根据以下两式：根据以下两式：和和由于由于同样成立同样成立结论：结论：矢量矢量在参考基在参考基上对时间的上对时间的导数导数为一为一矢量矢量它在该基的坐标阵等于矢量它在该基的坐标阵等于矢量在基在基的坐标阵对时间的导数的坐标阵对时间的导数例：例：其坐标阵为：其坐标阵为：在参考基中对时间得导数为：在参考基中对时间得导数为：2、矢量运算的导数与坐标阵运算导数的关系、矢量运算的导数与坐标阵运算导数的关系矢量运算式矢量运算式坐标阵运算式坐标阵运算式1-3 方向余弦矩阵方向余弦矩阵 如前所述，矢量的空间位置（坐标阵）与对应的如前所述，矢量的空间位置（坐标阵）与对应的矢量基有关。矢量基有关。对于两个不同的矢量基对于两个不同的矢量基同一个矢量同一个矢量 分别有两个坐标阵分别有两个坐标阵：它们之间的关系通过它们之间的关系通过方向余弦矩阵方向余弦矩阵来描述。来描述。如何解决？如何解决？二者什麽关系？二者什麽关系？前面我们已经知道，一个矢量的坐标阵是由这个前面我们已经知道，一个矢量的坐标阵是由这个矢量在矢量基的矢量在矢量基的3个基矢量上的投影组成的。个基矢量上的投影组成的。投影值的计算与夹角的余弦有关投影值的计算与夹角的余弦有关其余类推其余类推这样我们可以得到：这样我们可以得到：写作矩阵形式就是：写作矩阵形式就是：简记为：简记为：称为方向余弦矩阵，它反映了同一个矢称为方向余弦矩阵，它反映了同一个矢量对应不同基的关系量对应不同基的关系方向余弦矩阵也可以写作更为一般的形式方向余弦矩阵也可以写作更为一般的形式利用方向余弦矩阵，我们可以得到不同矢量基间的利用方向余弦矩阵，我们可以得到不同矢量基间的关系：关系：通常我们将通常我们将例例1-3-1 一正方体沿对角线解剖后得到如图所示的楔一正方体沿对角线解剖后得到如图所示的楔形体，其中形体，其中AB=AD=DP=1，由图中可以看出，两个基的由图中可以看出，两个基的基矢量之间夹角的余弦值为：基矢量之间夹角的余弦值为：000-10方向余弦矩阵的性质方向余弦矩阵的性质两基的基矢量互相平行，方向余弦两基的基矢量互相平行，方向余弦矩阵为单位阵矩阵为单位阵方向余弦矩阵为正交矩阵方向余弦矩阵为正交矩阵至少存在一个至少存在一个 =1 的特征根的特征根1-4 平面矢量平面矢量 在理论力学中经常遇到这样一类问题，即矢量及在理论力学中经常遇到这样一类问题，即矢量及其变化过程均在某一参考平面内。为了表达简洁起见，其变化过程均在某一参考平面内。为了表达简洁起见，引入平面矢量的概念。引入平面矢量的概念。定义一参考平面，用一个二维定义一参考平面，用一个二维的矢量基描述，的矢量基描述，该参考平面的该参考平面的法线方向法线方向记为记为 称为平面矢量称为平面矢量因此，平面矢量可以视为空间矢量的特殊情况，因此，平面矢量可以视为空间矢量的特殊情况，即该矢量沿平面的即该矢量沿平面的法线方向的分量始终等于零法线方向的分量始终等于零。根据前面讨论的矢量的代数表示，有：根据前面讨论的矢量的代数表示，有：平面矢量的运算与空间矢量的运算相同平面矢量的运算与空间矢量的运算相同该矢量的模：该矢量的模：引入特殊记号引入特殊记号平面参考基的方向余弦矩阵平面参考基的方向余弦矩阵如右图，如果在参考平面上有两如右图，如果在参考平面上有两个基个基 基点分别为基点分别为O与与C 两基的第三个基矢量均为平面的法向单位矢量两基的第三个基矢量均为平面的法向单位矢量 此时，描述两基空间关系的方向余弦可以用一个此时，描述两基空间关系的方向余弦可以用一个22的标量矩阵的标量矩阵表示，记为：表示，记为：元素的几何元素的几何关系同样如关系同样如右表右表p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日