数理统计统计量及其分布-课件

5.3.1 统计量及其分布统计量及其分布定义定义5.3.1统计量统计量:设设x1,x2,xn为取自某总体的样本为取自某总体的样本,若样本若样本函数函数T=T(x1,x2,xn)中不含有任何未知参数中不含有任何未知参数,则称则称T为统计量为统计量.抽样分布抽样分布:统计量的分布成为抽样分布统计量的分布成为抽样分布.数理统计统计量及其分布精品资料注注:统计量不依赖于未知参数统计量不依赖于未知参数,但是它的分布一般是但是它的分布一般是依赖与未知参数的依赖与未知参数的.数理统计统计量及其分布5.3.2 样本均值及其抽样分布样本均值及其抽样分布定义定义5.3.2 设设x1,x2,xn为取自某总体的样本为取自某总体的样本,其算术平均其算术平均值称为值称为样本均值样本均值，一般用，一般用 表示表示,即即在分组样本场合在分组样本场合,样本均值的近似公式为样本均值的近似公式为其中其中k为组数为组数,xi为第为第i组的组中值组的组中值,fi为第组的频数为第组的频数.数理统计统计量及其分布例例5.3.1 某单位收集到某单位收集到20名青年人的某月的娱乐支名青年人的某月的娱乐支出费用数据出费用数据:79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125则该月这则该月这20名青年的平均娱乐支出为名青年的平均娱乐支出为数理统计统计量及其分布将这将这20个数据分组可以得到如下频数频率分布个数据分组可以得到如下频数频率分布:组序分组区间组中值频数频率组序分组区间组中值频数频率数理统计统计量及其分布 定理定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则则样本所有偏差之和为样本所有偏差之和为0,即即定理定理5.3.2 数据数据观察察值与均与均值的偏差平方和最小的偏差平方和最小,即在形如即在形如的函数中的函数中,最小最小,其中其中为任意任意给定常数给定常数.数理统计统计量及其分布定理定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小数据观察值与均值的偏差平方和最小,即在形如即在形如的函数中的函数中,最小最小,其中其中c为任意给定常数为任意给定常数.数理统计统计量及其分布证明证明:为任意给定常数为任意给定常数c数理统计统计量及其分布定理定理5.3.3 设设x1,x2,xn是来自某个总体的样本，为是来自某个总体的样本，为样本均值样本均值1)若总体分布为若总体分布为 ，则，则2)若总体分布未知或者不是正态分布若总体分布未知或者不是正态分布,但但则则n较大时较大时数理统计统计量及其分布证明证明:1)证明见证明见p210,习题习题13.（提示：用特征函数的性质（提示：用特征函数的性质证）证）2)由中心极限定理由中心极限定理,数理统计统计量及其分布例例5.3.3 求样本容量为求样本容量为30,总体分布如下的样本均值总体分布如下的样本均值的渐进分布的渐进分布:1)总体分布为均匀分布总体分布为均匀分布U(1,5);2)总体分布密度函数为总体分布密度函数为(倒三角分布倒三角分布)3)总体分布为指数分布总体分布为指数分布Exp(1)；数理统计统计量及其分布解解:1)均匀分布均匀分布U(1,5)的均值和方差分别为的均值和方差分别为3和和4/3,所以样所以样本均值的渐进分布为本均值的渐进分布为2)容易算出该分布均值和方差分别为容易算出该分布均值和方差分别为3和和2,所以样本所以样本均值的渐进分布为均值的渐进分布为3)指数分布指数分布Exp(1)的均值和方差都为的均值和方差都为1,所以样本均值的渐进分布为所以样本均值的渐进分布为数理统计统计量及其分布5.3.3 样本方差和样本方差和 样本标准差样本标准差数理统计统计量及其分布称称为样本方差本方差.称称为样本本标准差准差.也称也称为样本方差本方差(也称无偏方差也称无偏方差)也称也称为样本本标准差准差.不大不大时常用常用在在定定义5.3.3 设x1,x2,xn是来自某个是来自某个总体的体的样本，本，则它它的平均偏差平方和的平均偏差平方和:关于样本均值关于样本均值数理统计统计量及其分布说明：明：称称为偏差平方和偏差平方和 的的自由度自由度自由度的含义自由度的含义是：是：个偏差个偏差中只有中只有个数据可以自由个数据可以自由变动,而第而第个个则不能自由取不能自由取值,因因为数理统计统计量及其分布分组样本场合，样本方差的近似计算公式为分组样本场合，样本方差的近似计算公式为练习练习:例例5.3.4数理统计统计量及其分布定理定理5.3.4 设总体体X具有二具有二阶矩矩,即即x1,x2,xn为从从总体得到的体得到的样本本,则:证明明:数理统计统计量及其分布5.3.4 样本矩及其函数样本矩及其函数数理统计统计量及其分布定定义5.3.4 设x1,x2,xn是是样本本,则统计量量称称为样本本阶原点矩原点矩称称为样本本 阶中心矩中心矩,是是样本矩本矩吗？请回答请回答：定定义5.3.5 设x1,x2,xn是是样本本,则统计量量称称为样本偏度本偏度.数理统计统计量及其分布说明明:反映了反映了总体分布密度曲体分布密度曲线的的对称性信息称性信息.1、是个相是个相对数数,刻画了数据分布的偏斜方向和程度刻画了数据分布的偏斜方向和程度.2、说明数据是明数据是对称的称的.称称为样本偏度本偏度.数理统计统计量及其分布说明数据中有几个明数据中有几个较大的数，反映大的数，反映总体分布是体分布是正偏正偏的或的或右偏右偏的的.说明数据中有几个明数据中有几个较小的数，反映小的数，反映总体分布是体分布是负偏偏的或的或左偏左偏的的.数理统计统计量及其分布定定义5.3.6 设x1,x2,xn是是样本本,则统计量量称称为样本峰度本峰度.数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布5.3.5 次序统计量次序统计量及其分布及其分布数理统计统计量及其分布一、次序统计量的定义及性质 数理统计统计量及其分布例5.3.6 设总体X的分布为仅取0,1.2的离散均匀分布,分布列为x012p1/31/31/3现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有将它们列在下表左侧，其右侧是相应的次序统计量观测值。数理统计统计量及其分布000000120012001001210012010001022022100001202022002002220022020002112112200002121112011011211112101011122122110011212122012012221122021012111111102012222222201012数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布二、次序统计量的抽样分布 数理统计统计量及其分布练习：请写出最小次序统计量和最大次序统计量的密度函数.（p157）数理统计统计量及其分布 例5.3.7中抽得一个容量为5的样本,试计算现从该总体设总体密度函数为解：由总体密度函数求出总体分布函数为:数理统计统计量及其分布例5.3.8这正是的分布.设总体分布为数理统计统计量及其分布例5.3.9设总体分布为极差极差数理统计统计量及其分布5.3.6 样本中位数与 样本分位数数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布5.3.7 五数概括与箱线图所谓五数概括就是用这五个数来大致描述一批数据的轮廓数理统计统计量及其分布5.3.7 五数概括与箱线图一、单批数据箱线图二、多批数据箱线图数理统计统计量及其分布用箱线图初步考察测验成绩的分布 sas程序如下:1)单批数据箱线图单批数据箱线图 数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布2)多批数据箱线图多批数据箱线图 对于多批数据，我们可以将各批数据的箱线对于多批数据，我们可以将各批数据的箱线图并列起来，从而进行分布特征的比较图并列起来，从而进行分布特征的比较.sas程序如下：程序如下：数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布数理统计统计量及其分布作业题：必做：11、14、18、23选做：19、24数理统计统计量及其分布