控制理论第4章课件

第4章控制系统的稳定性及其分析 v4.1 系统的稳定性 v4.2 系统的稳定性判据 v4.3 系统的稳定裕量 v4.4 液压仿形刀架控制系统的 综合分析与计算4.1 4.1 系统的稳定性系统的稳定性 v线性系统的稳定性线性系统的稳定性系统自身的系统自身的固有特性固有特性，它和系统的，它和系统的输入信号无关输入信号无关，仅取，仅取决于特征方程的根决于特征方程的根v系统稳定的充分和必要条件系统稳定的充分和必要条件是是闭环系统闭环系统的特征方程的根均具有的特征方程的根均具有负实部负实部。系系统统的的稳稳定定性性是是指指在在使使它它偏偏离离稳稳定定状状态态的的扰扰动动作作用用终终止止后后，返回原来稳定状态的性能，即系统抗干扰的程度返回原来稳定状态的性能，即系统抗干扰的程度4.1 4.1 系统的稳定性系统的稳定性 系统的稳定性分为大范围内稳定和小范围内稳定系统的稳定性分为大范围内稳定和小范围内稳定v大大范范围围内内稳稳定定 指指如如果果系系统统受受到到扰扰动动后后，不不论论它它的的初初始始偏偏差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。v小小范范围围内内稳稳定定 指指如如果果系系统统受受到到扰扰动动后后，只只有有当当它它的的初初始始偏偏差差小小于于某某一一定定值值时时，才才能能在在取取消消扰扰动动后后恢恢复复到到初初始始平平衡衡状状态。态。v线性的稳定系统线性的稳定系统必须在大范围和小范围内都稳定必须在大范围和小范围内都稳定。v而非线性系统或者是线性化后的非线性系统而非线性系统或者是线性化后的非线性系统只是在小范围只是在小范围内稳定内稳定，而在大范围内却不稳定。，而在大范围内却不稳定。4.2 系统的稳定性判据 v控制系统稳定的必要和充分条件控制系统稳定的必要和充分条件闭环传递函数的全部极点（即特征方程的根）均位于闭环传递函数的全部极点（即特征方程的根）均位于ss平面平面左半部左半部，即闭环系统特征方程的根均具有，即闭环系统特征方程的根均具有负实部负实部 v系统的稳定判据系统的稳定判据1.1.解方程稳定判据解方程稳定判据2.2.劳斯稳定判据劳斯稳定判据3.3.奈奈魁斯特稳定判据魁斯特稳定判据4.4.对数幅相频率特性稳定判据对数幅相频率特性稳定判据等等控控制制系系统统的的稳稳定定性性的的判判断断是是针针对对闭闭环环系系统统而而言言，线线性性系系统统的稳定性与输入信号无关的稳定性与输入信号无关1解方程稳定判据（求解闭环传递函数特征方程法）Xi(s)Xo(s)图4.1 系统传递框图 其系统闭环传递函数为其系统闭环传递函数为 特征方程为特征方程为 特征方程的根为特征方程的根为 可见，此系统两个根均具有可见，此系统两个根均具有负实部负实部，所以，所以系统稳定系统稳定。求解三阶以上特征方程非常困难。求解三阶以上特征方程非常困难。2 2劳斯稳定判据劳斯稳定判据v劳斯稳定判据劳斯稳定判据 利用利用闭环系统特征方程的系数闭环系统特征方程的系数来进行稳定性判断来进行稳定性判断（1 1）稳定的必要条件）稳定的必要条件 闭环系统特征方程的各项系数均为正实数值闭环系统特征方程的各项系数均为正实数值 （2 2）稳定的充分条件）稳定的充分条件劳斯阵列劳斯阵列的第一列中所有项都具有正号的第一列中所有项都具有正号 如闭环系统的特征方程为如闭环系统的特征方程为 劳斯行列表劳斯行列表劳斯阵列劳斯阵列式中各项可写成行列式式中各项可写成行列式 给定一闭环系统的特征方程为给定一闭环系统的特征方程为 ,求当求当k k等于何值时系统才稳定。等于何值时系统才稳定。必要条件的判断，必要条件的判断，k0k0特征方程的劳斯行列表为特征方程的劳斯行列表为 k-6211kckbcsbsksso=-=-=1111123 333 321 充分条件的判断充分条件的判断00闭闭环环系系统统的的特特征征方方程程为为s s5 5-2s-2s4 4+2s+2s3 3+4s+4s2 2-11s-10=0,-11s-10=0,判判断断系系统统是是否否稳稳定定，如若不稳定有多少个极点在如若不稳定有多少个极点在 S S 平面的右半部。平面的右半部。必要条件的判断没有满足，此系统不稳定。必要条件的判断没有满足，此系统不稳定。劳斯阵列表为劳斯阵列表为s5 1 2 -11s4 -2 4 -10s3 b1=4 b2=-16 0 s2 c1=-4c2=-10s1 d1=-26 s0-10 v 劳劳斯斯阵阵列列第第一一列列变变换换三三次次符符号号，即即说说明明有有三三个个极极点点在在 S S 平面右半部。平面右半部。第一列中的符号变换次数即为正实部根数第一列中的符号变换次数即为正实部根数 劳斯稳定判据的功能：劳斯稳定判据的功能：可进行稳定性判断。可进行稳定性判断。可判断不稳定情况下有几个正实部根，即有几个可判断不稳定情况下有几个正实部根，即有几个极点在极点在 S S 平面右半部。平面右半部。可求控制系统的增益，即放大系数可求控制系统的增益，即放大系数K K。3奈魁斯特稳定判据（奈氏判据）v 奈奈氏氏判判据据是是按按开开环环传传递递函函数数的的幅幅相相频频率率特特性性（奈奈氏氏图图或或称称极坐标图）来判断闭环系统是否稳定。极坐标图）来判断闭环系统是否稳定。v根据系统开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。根据系统开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。3奈魁斯特稳定判据（奈氏判据）（1 1）开环状态下是稳定的）开环状态下是稳定的 开环传递函数特征方程在开环传递函数特征方程在 S S 平面平面右半部无极点，即右半部无极点，即m=0m=0。闭环状态下稳定的闭环状态下稳定的充分和必要条件充分和必要条件是：开环幅相频率特性是：开环幅相频率特性 G G(s s)H H(s s)曲线不包围曲线不包围 S S 平面上的（平面上的（-1-1，j0j0）点。）点。（2 2）开环状态下是不稳定的）开环状态下是不稳定的 开环传递函数的特征方程在开环传递函数的特征方程在 S S 平面平面右半部有右半部有m m个极点个极点。闭环状态下稳定的闭环状态下稳定的充分和必要条件充分和必要条件是：是：当当 从从-到到+时，开环幅相频率特性时，开环幅相频率特性G G(s s)H H(s s)曲线逆曲线逆 时针方向包围（时针方向包围（-1-1，j0j0）点）点m m周。周。如果如果 从从0 0到到 时，开环幅相频率特性曲线应逆时针方时，开环幅相频率特性曲线应逆时针方 向包围（向包围（-1-1，j0j0）点应为）点应为 周。周。图图4.2(a)4.2(a)和和(b)(b)分分别别是是在在开开环环下下稳稳定定和和不不稳稳定定的的状状态态下下，而而 取取值值为为0 0到到 ，判判断断其其系系统统是是否否稳稳定定，经经判判断断两两系系统统均均稳稳定。定。=0Re=+ImIm=0（-1，j0）(a)m=0Re=+（-1，j0）ss(b)m=2图4.2 开环幅相频率特性曲线4对数幅相频率特性稳定判据 v 该该判判据据是是按按开开环环传传递递函函数数的的对对数数幅幅相相频频率率特特性性（波波德德图图）来判断闭环系统是否稳定。来判断闭环系统是否稳定。v根据开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。根据开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。图4.3 开环对数幅相频率特性曲线L()-180o0(+)(-)4对数幅相频率特性稳定判据（1 1）开环状态下是稳定的）开环状态下是稳定的 闭环状态下闭环状态下稳定的必要和充分条件：稳定的必要和充分条件：某一系统的波德图如图某一系统的波德图如图4.34.3所示，所示，该系统该系统m=0m=0，从图中可见正负穿，从图中可见正负穿越各一次，则系统稳定。越各一次，则系统稳定。图4.3 开环对数幅相频率特性曲线L()-180o0(+)(-)在在对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线 频频率范围内，相频特性曲线率范围内，相频特性曲线 在在 线线上上的的正正负负穿穿越越次次数数之之差差为为零零。(由由 线线下下方方向向上上穿穿越越为为正正穿穿越越，由由 线线上上方方向向下下穿穿越为负穿越越为负穿越)。（2 2）开环状态下不稳定）开环状态下不稳定 则闭环状态下稳定的则闭环状态下稳定的必要和充分条件必要和充分条件是：在所有是：在所有 的所的所有频率范围内，相频特性曲线有频率范围内，相频特性曲线 在在 线上的正负穿越次数线上的正负穿越次数之差为之差为 两系统的波德图如图。当两系统的波德图如图。当m=2m=2时，判断系统是否稳定时，判断系统是否稳定(-)(+)(-)(+)(+)(b)m=2(a)m=2(-)-180o00-180oL()L()图4.4 开环对数幅相频率特性曲线正负穿越次数之差为正负穿越次数之差为+1+1，所以系统稳定所以系统稳定正负穿越次数之差为正负穿越次数之差为-1-1，所以系统不稳定所以系统不稳定4对数幅相频率特性稳定判据 4.3 4.3 系统的稳定裕量系统的稳定裕量v设置系统稳定裕量的原因有五个方面设置系统稳定裕量的原因有五个方面 系统数学模型的系统数学模型的简化简化，造成与实际系统有一定的误差，造成与实际系统有一定的误差 非线性系统的非线性系统的线性化线性化 系统有关元件参数系统有关元件参数近似获得近似获得或实验获得，会存在一定误差或实验获得，会存在一定误差 系统工作时元器件系统工作时元器件性能及参数有可能发生变化性能及参数有可能发生变化 难以预料的难以预料的外部干扰外部干扰 v稳定裕量是用来衡量一个稳定的系统距离不稳定的程度。稳定裕量是用来衡量一个稳定的系统距离不稳定的程度。不同的稳定判断，对稳定裕量的表述也不一样。不同的稳定判断，对稳定裕量的表述也不一样。幅幅值值裕裕量量 （也也称称增增益益裕裕量量或或幅值储备），可用幅值储备），可用K Kp p来表示。来表示。它它等等于于开开环环相相角角 时时开开环环幅幅值值的的倒倒数数，即即 。应该说是在相位交界频率应该说是在相位交界频率 下下，值值越越大大幅幅值值裕裕量越小。量越小。奈氏稳定判据的稳定裕量奈氏稳定判据的稳定裕量 开环稳定的系统（开环稳定的系统（m m=0=0），闭环系统稳定充分和必要条件），闭环系统稳定充分和必要条件是幅相频率特性（奈氏图）不包围（是幅相频率特性（奈氏图）不包围（-1,-1,j j o o）点。）点。稳定裕量是衡量稳定裕量是衡量幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线距离（距离（-1,-1,j j o o）点的）点的远近程度，距离越远稳定裕量越大。远近程度，距离越远稳定裕量越大。单位圆Re=(-1,j0)pIm=0图4.5 开环系统幅相频率特性曲线 奈氏稳定判据的稳定裕量奈氏稳定判据的稳定裕量单位圆Re=(-1,j0)pIm=0图4.5 开环系统幅相频率特性曲线 相相位位裕裕量量（也也称称相相角角裕裕量量或或相相位位储储备备），可可用用 表表示示。它它 是是 指指 开开 环环 频频 率率 特特 性性 的的 幅幅 值值 时时，它它的的相相角角 与与-180-1800 0之之间间的的差差值值，即即 。或者说相位裕量。或者说相位裕量 是向量是向量 与负实轴的夹角。与负实轴的夹角。是是开开环环频频率率特特性性的的幅幅值值等等于于1 1时时的的频频率率，即即增增益益交界频率（剪切频率）。若交界频率（剪切频率）。若 角角越越小小，则则相相位位裕裕量量越越大。大。定义定义 为负值时（为负值时（），增益裕量为正。当），增益裕量为正。当 增大，则幅值裕量增加。增大，则幅值裕量增加。v根据对数幅相频率特性判断其系统的稳定裕量。根据对数幅相频率特性判断其系统的稳定裕量。对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量(+)c c-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec0(+)-180o-90o0o相位交界频率相位交界频率增益交界频率增益交界频率对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量(+)c-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec0(+)-180o-90o0o图4.6 对数幅相频率特性曲线v当当增增益益裕裕量量以以分分贝贝表表示示时时，如如果果 ，则则增增益益裕裕量量定定为为正正值值，当当 ,增增量量裕裕量量定定为为负负值值，正正增增益益裕裕量量说说明明系系统统稳定。稳定。v对对于于稳稳定定的的最最小小相相位位系系统统（即即是是系系统统的的开开环环传传递递函函数数在在ss平平面面的的右右半半部部没没有有零零点点、极极点点的的系系统统）而而言言，正正增增益益裕裕量量指指出出了了系系统统在在变变成成不不稳稳定定的的系系统统时时，增增益益可可增增加加多多少少。对对于于不不稳稳定定的的系系统统而而言言，负负增增益益裕裕量量指指出出了了若若使使系系统统稳稳定定，增增益应减少多少。益应减少多少。例 试确定如图4.7所示的单位负反馈系统的稳定条件,即K值的取值范围。并试求当K=10和K=100时，对数幅相频率特性稳定判据的相位裕量和增益裕量。Xo(s)Xi(s)图4.7 系统传递框图 用劳斯稳定判据用劳斯稳定判据 此系统的闭环传递函数的特征方程此系统的闭环传递函数的特征方程系统的闭环传递函数为：求系统稳定的K 值的取值范围闭环系统的特征方程为 劳斯阵列为 当0K30时系统稳定。当当K K=10=10时，时，开环传递函数开环传递函数为为 系统由四个典型环节组成系统由四个典型环节组成 比例，积分，惯性，惯性比例，积分，惯性，惯性（1 1）比例环节）比例环节 作波德图，求相位裕量和增益裕量传递函数传递函数对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性0o-45o-90o-180o-270o100.130404626200610G1(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）（2 2）积分环节）积分环节 当 时，,则 为增益交界频率 传递函数传递函数对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性频率特性频率特性0o-45o-90o-180o-270o51100.130404626200610c-20dB/decG2(s)G1(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）增益交界频率（3 3）惯性环节）惯性环节 此环节时间常数 则转角频率（交点频率）当 时，,可将 视为波德图渐近线的转角频率。当 时，传递函数传递函数对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性频率特性频率特性0o-45o-90o-180o-270o51100.130404626200610-20dB/decG3(s)-20dB/decG2(s)G1(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）转角频率（4 4）惯性环节）惯性环节 此环节时间常数 ,即转角频率 传递函数传递函数频率特性频率特性对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性0o-45o-90o-180o-270o51100.130404626200610-20dB/decG3(s)-20dB/decG2(s)-20dB/decG4(s)G1(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）转角频率 0o-45o-90o-180o-270o51100.130404626200610cW1(s)-40dB/dec-60dB/dec=24.6oW(s)-20dB/decG3(s)-20dB/decG2(s)+10dB-20dB/decG4(s)G1(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）增益交界频率相位裕量 增益裕量相位交界频率 转角频率 v根据上述四个环节绘制 波德图,由图4.8可知：当K=10时，增益交界频率 ；相位裕量 ；相位交界频率 ；增益裕量等于10dB。由此可知幅值裕量和相位裕量均为正。如果作图准确的话,可以得到较为准确的裕量。-20dB/dec0o-45o-90o-180o-270o=-30o=24.6oW(s)51100.130404626200610-60dB/dec-40dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-20dB/dec-20dB/dec-12dBW1(s)G2(s)G1(s)cG1(s)W2(s)G3(s)+10dBG4(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）转角频率 v若想获得更为精确的值，需通过下列计算获得。(1)求相位裕量 决定 的频率是波德图，从波德图看出，决定 位置的是G1(s)、G2(s)和G3(s)，而与G4(s)无关。则开环传递函数为则频率响应为 对数幅频特性增益交界频率 处的对数幅频特性为 所以取正值，则 决定相位裕量，则 其相位裕量为(2)求增益裕量 首先需求 的相位交界频率 ,也就是相频特性曲线与-1800线的交点，因为 ，。又因为 ,所以可通过G3（s）和G4（s）两环节就可确定相位交界频率 。由上式可见 应为 ，则 取正值v求W1（s）在相位交界频率 下的增益裕量，有两种方法，一是可以将 代入 中求，但比较麻烦，但也可以将 代入每个环节后叠加。v通过计算方法，求相位裕量和增益裕量的步骤(1)求相位裕量 写出控制系统的开环传递函数G(s)、频率响应G(j)和对数幅频特性，令对数幅频特性等于零，求解0相位裕量 等于180加上对数相频特性曲线在 处的相位，或等于180加上所有各环节对数相频特性曲线在 处的相位。(2)(2)增益裕量 通过开环传递函数G(s)的频率响应G(j)，并令其等于-180，求解相位交界频率-180v求W1（s）在相位交界频率 下的增益裕量：1.将 代入 中求；2.将 代入每个环节后叠加当K=100时，与W1（s）相比,只有比例环节(k=20)有区别，其它环节均相同。其对数辐频特性为由此可见，与K=10相比，只是增加20dB,则做图时将W1（s）幅频特性曲线平行上移20dB，见图4.8。而相频特性曲线没有变化。当当K K=100=100时，时，开环传递函数开环传递函数为为 系统由四个典型环节组成系统由四个典型环节组成 比例，积分，惯性，惯性比例，积分，惯性，惯性（1 1）比例环节）比例环节 作波德图，求相位裕量和增益裕量传递函数传递函数对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性1001002020202020202020=26.0226.02dBdB0o-45o-90o-180o-270o100.130404626200610G1(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）0o-45o-90o-180o-270o51100.130404626200610-12dBG1(s)=-30oW(s)-60dB/dec-40dB/decW2(s)-20dB/decG3(s)-20dB/decG2(s)-20dB/decG4(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）增益交界频率增益裕量相位交界频率 相位裕量 转角频率 K K=100=1000o-45o-90o-180o-270o51100.130404626200610cW1(s)-40dB/dec-60dB/dec-12dBG1(s)=24.6o=-30oW(s)-60dB/dec-40dB/decW2(s)-20dB/decG3(s)-20dB/decG2(s)+10dB-20dB/decG4(s)G1(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）增益交界频率相位裕量 增益裕量相位交界频率 相位裕量 转角频率 K K=100=1004.4液压仿形刀架控制系统的综合分析与计算液压仿形刀架结构原理图液压仿形刀架结构原理图伺服阀伺服阀液压缸液压缸仿形机构仿形机构仿形样板仿形样板刀架刀架触头位移触头位移Xi阀芯位移阀芯位移Xe节流口节流口 （放大元件放大元件）（执行元件执行元件）油缸位移油缸位移X0带有负反馈的控制阀。带有负反馈的控制阀。在零开口附近工作在零开口附近工作 恒压油源压力恒压油源压力1 1系统物理模型的建立系统物理模型的建立 2 2系统数学模型的建立系统数学模型的建立（1 1）确定系统的输入量及输出量）确定系统的输入量及输出量（2 2）列写系统各环节的运动方程）列写系统各环节的运动方程 伺服阀运动方程的建立伺服阀运动方程的建立 非线性方程的线性化处理非线性方程的线性化处理 液压缸流量方程的建立液压缸流量方程的建立 液压缸力平衡方程的建立液压缸力平衡方程的建立3 3系统传递函数的建立系统传递函数的建立 液压仿形刀架系统的综合分析液压仿形刀架系统的综合分析5 5系统稳定性判断系统稳定性判断4 4绘制系统的波德图绘制系统的波德图6 6求系统的相位裕量和增益裕量求系统的相位裕量和增益裕量7 7系统稳态误差的计算系统稳态误差的计算液压仿形刀架结构原理图液压仿形刀架结构原理图刀架刀架1液压仿形刀架系统物理模型的建立 刀架位移刀架位移F F：切削力切削力(可认为外扰动力可认为外扰动力)活塞杆刚度系数活塞杆刚度系数m m：所有所有x x方向运动的部件（刀架、液压缸体、伺服阀）质量方向运动的部件（刀架、液压缸体、伺服阀）质量：运动部件与非运动部件（液压缸活塞及活塞杆和其它导运动部件与非运动部件（液压缸活塞及活塞杆和其它导 向机构）间的粘滞阻尼系数向机构）间的粘滞阻尼系数A AP P：活塞有效工作面积活塞有效工作面积P PL L：油缸两腔压差（称为负载压差）油缸两腔压差（称为负载压差）P PL L=P P1 1-P P2 2FApPLmx0fpk伺服阀伺服阀液压缸液压缸仿形机构仿形机构仿形样板仿形样板刀架刀架触头位移触头位移Xi阀芯位移阀芯位移Xe节流口节流口 （放大元件放大元件）（执行元件执行元件）油缸位移油缸位移X0带有负反馈的控制阀。带有负反馈的控制阀。在零开口附近工作在零开口附近工作 恒压油源压力恒压油源压力1液压仿形刀架系统物理模型的建立 只考虑伺服阀和液压缸部分。（1）确定系统的输入量及输出量伺服阀输入量：阀芯位移xe，输出量：负载流量QL，QL表示管路中流量的平均值为 如不考虑泄漏，则液压缸输入量：伺服阀的输出量，即负载流量QL。输出量：刀架的位移xo。前一个环节的输出量应该是后一个环节的输入量2 2液压仿形刀架系统数学模型的建立液压仿形刀架系统数学模型的建立（2）列写系统各环节的运动方程 伺服阀运动方程的建立 伺服阀特性曲线伺服阀在不同的开口量，即阀芯位移为 ，的情况下，负载流量QL与负载压差PL的函数关系。其xei、QL、PL的函数关系为 伺服阀特性曲线 PLQLPs非线性方程非线性方程 非线性方程的线性化处理 额定工作点()（4.17）引入泰勒公式进行线性化处理,若函数 在点 处的某一邻域内具有1至n 阶导数 ，则泰勒公式为式中 拉格朗日型的余项，为高阶无穷小。伺服阀特性曲线 PLQLPs在在预预期期工工作作点点邻邻域域，将将非非线线性性函函数数y y=f(xf(x)展展开开成成以以偏偏差差x x=x x-x x0 0表表示示的的泰泰勒勒级级数数，然然后后略略去去高高于于1 1次次的的偏差量偏差量x x的各项的各项额定工作点额定工作点 非线性方程的线性化处理 额定工作点()伺服阀特性曲线 PLQLPs额定工作点额定工作点根据系统对精度的要求，可选择其中几项，本系统拟选择前两项。可展成为令流量放大系数 流量压力系数（4.18）随工作点随工作点位置而变化位置而变化式（4.19）表明了负载流量 、阀芯位移 和负载压差之间的线性关系。随着阀的工作点不同，阀的流量放大系数 和流量压力系数 也在变化。（4.19）伺服阀是在额定工作点处展开成线性（4.20）（4.18）（4.17）流量放大系数 流量压力系数 阀是工作在 额定工作点附近伺服阀运动方程液压缸流量方程的建立液压缸流量方程的建立 根据液压系统的质量守恒原则左腔连续方程为 (4.2)右腔连续方程为 (4.3)Cep液压缸外部泄漏系数（m5/Ns）Cip液压缸内部泄漏系数（m5/Ns）；P1液压缸左腔压力（MPa）；P2液压缸右腔压力（MPa）V1液压缸进油腔容积（m3）；V2液压缸回油腔容积（m3）；Q1液压缸进油流量（m3/s）；Q2液压缸回油流量（m3/s）；e液压缸有效容积弹性模数（N/m2），表示压力相对体积的变化率。液压缸进油腔容积为液压缸回油腔容积为（4.4）（4.5）式中 V02，V01分别为液压缸左右两腔的初始容积，是常数；AP 液压缸活塞的有效工作面积。液压缸左右两腔的总容积为式中V0活塞处于中间位置时左右腔的容积。对（4.4）式求导得 (4.6)对（4.5）式求导得 (4.7)（4.8）式加（4.9）式得 (4.10)（4.9）式减（4.8）式得 (4.11)液压缸两腔的压差为 (4.8)油泵的供油压力为 (4.9)油泵的供油压力恒定，则 =常数对（4.10）求导得 对（4.11）求导得 （4.12）（4.13）式（4.2）减（4.3）后，并将（4.6）、（4.7）、（4.12）、（4.13）代入，得 （4.14）令式中又因为由（4.14）式得(4.2)(4.3)(4.6)(4.7)(4.12)(4.13)（4.15）两腔的压差PL负载流量QL有效工作面积Ap总容积Vt流量方程流量方程 液压缸力平衡方程的建立 根据物理模型建立其液压缸力学方程(4.16)FApPLmx0fpk两腔的压差PL运动部件与非运动件间的粘滞阻尼系数有效工作面积Ap所有x方向运动部件质量m 刀架位移活塞杆刚度系数切削力力平衡方程将（4.15）、（4.16）、（4.20）式拉氏变换，令初始条件为零则 (4.21)(4.22)(4.23)（4.15）(4.16)(4.20)力学方程流量方程伺服阀运动方程由式(4.21)得 (4.24)将式(4.22)改写为 (4.25)（4.21）（4.22）（4.23）图图4.114.11负载压降与液压缸位移传递框图负载压降与液压缸位移传递框图（4.23）（4.24）（4.25）控制系统的框图不是控制系统的框图不是唯一唯一的的（4.28）（4.23）（4.24）（4.25）（4.25）和（）和（4.28）另外一种控制框图另外一种控制框图（4.28）（4.25）（式（式 4.25）和（式）和（式4.28）另外一种控制框图另外一种控制框图4.12+-+-同一系统两种不同的液压缸位移传递框图同一系统两种不同的液压缸位移传递框图 由图4.11得 (4.26)由图4.11得 (4.27)由式(4.22)和式(4.26)得 (4.26)（4.22）由式(4.27)得 (4.30)由式(4.30)得 (4.31)(4.27)(4.31)(4.32)由式由式(4.32)变换得变换得由式由式(4.31)得得(4.32)(4.33)式中：为总流量压力系数。液压缸位移液压缸位移伺服阀位移伺服阀位移负载扰动力负载扰动力(4.34)忽略系统的弹性系数时的筒化模型当k=0时，分母第三项 可写成 ，显然阻尼力 液压缸输出力 泄漏损失流量 液压缸运动所需的流量 ，故 ，则可以忽略。式(4.33)筒化后可写成 1(4.33)如果式中fp 小到可以忽略不计，则或式中：无阻尼液压固有频率，；液压阻尼比，无量纲；速度常数(或称开环放大系数)，。(4.35)(4.36)(1)只考虑负载扰动力F，而不计输入信号 时的传递函数为(4.37)(2)只考虑伺服阀位移 ，而不考虑干扰力F时的传递函数为 (4.38)3液压仿形刀架系统传递函数的建立 建立以样板 为输入，刀架位移 为输出的传递函数。（4.39）(4.38)液压仿形刀架结构原理图液压仿形刀架结构原理图伺服阀伺服阀液压缸液压缸仿形机构仿形机构仿形样板仿形样板刀架刀架触头位移触头位移Xi阀芯位移阀芯位移Xe节流口节流口 （放大元件放大元件）（执行元件执行元件）油缸位移油缸位移X0带有负反馈的控制阀。带有负反馈的控制阀。在零开口附近工作在零开口附近工作 恒压油源压力恒压油源压力3液压仿形刀架系统传递函数的建立（4.40）式中 是 引起的阀芯位移；是 引起的阀芯位移。对（4.40）式进行拉氏变换，并令初始条件为零，则建立 、与 的关系（4.41）图4.14 阀芯位移示意图 阀套位移量由（4.39）式和（4.41）式建立系统传递框图如图4.15所示。图4.15 仿形刀架系统传递框图（4.39）（4.41）系统闭环传递函数为(4.42)如果令式中开环增益固有频率阻尼比则由（4.42）式得（4.43）(4.42)则系统的闭环传递框图如图4.16所示。图4.16 仿形刀架系统传递框图其系统的开环传递函数为（4.44）4绘制系统的波德图已知参数。伺服阀面积变化率 （即表示滑阀每移动1cm，开口面积变化多少cm2）；流量系数 ；油液密度 ；供油压力 ；液压缸有效容积弹性模数 ，杠杆比 ；总负载质量 ；液压缸行程H=11cm；液压缸有效工作面积AP=38.5cm2,阻尼比 。开环增益系统固有频率开环传递函数（1）绘制对数幅频特性曲线由（4.45）式知，系统的开环传递函数W(s)是由比例、积分和振荡环节组成的。比例环节积分环节 的增益交界频率 ，幅频曲线以 -20dB/dec斜率下降。振荡环节 转角频率 也是固有频率 （振荡环节的固有频率 等于转角频率 ）,所以 ，并且幅频特性曲线 大于 段是以-40dB/dec斜率下降。（2）绘制对数相频特性曲线比例环节 ，积分环节振荡环节 在已知 的情况下，-60dB/dec-20dB/dec11.7dBG1(s)W(s)G2(s)1(s)2(s)3(s)W(s)0o-90o-180o-270o()-40dB/decG3(s)L()6070504030201001101000010001000.1图4.17系统对数幅频特性曲线转角频率相位交界频率增益交界频率5系统稳定性判断开环状态是否稳定 开环传递函数的特征方程在s平面右半部有无极点开环传递函数的特征方程此式积分环节的零根通常按负实根处理，而振荡环节的根为此系统在开环状态下是稳定的，即m=0。闭环稳定的充分和必要条件是对数幅频特性 的所有频率 下，相频特性曲线 在 线正负穿越次数之差为0，由波德图看出确实没有穿越，故该系统稳定。6求系统的相位裕量和增益裕量（1）求系统的相位裕量 简便作图方法 精确计算方法。由比例环节G1(s)和积分环节G2(s)的传递函数决定，即其频率响应为求增益交界频率 ，则即则相位裕量 ，若求 在已知增益交界频率 的情况下的相位裕量，可首先通过（4.40）式列写振荡环节 的相角，则 则在 处三个环节相角的叠加求得总的相角，则则 相位裕量为1.0163j0.0999另外，开环传递函数 在 处的相角还可以通过（4.44）式求得 则因为实部和虚部均为负值，所以相角应在第三象限，则所以（2）求系统的增益裕量 相位交界频率 ，简化计算，因为积分环节是 ,所以只计算振荡环节与-90o线的交点频率 即可。而且是振荡环节的转角频率 ,所以 应等于系统的固有频率 。已知 也即 ，通过（4.28）式可求出相位交界频率下的幅值 ，即为增益裕量。由此上式可见频率特性虚部为零，则增益裕量为 所以，系统的增益裕量为+11.51dB。如果按三个环节分别计算后再叠加，由波德图4.17可见，则两种计算方法所得增益裕量相差+4.437dB。其原因是因为 在 处的对数幅频特性是由渐近线获得，即如果将 代入下式计算可得 处的对数幅频特性值。则第4章 复习题1.稳定性是针对开环系统还是闭环系统而言的？2.稳定性和稳定裕量分别保证系统在何种状态下工作？3.线性系统的稳定性与输入信号是否有关？4.系统的稳定判据有哪几种(回答四种即可)？它们的充 分和必要条件是什么？5.设置系统的稳定裕量原因有哪五个方面？6.画极座标图和波德图，分别示意相位裕量和增益裕量 同时在图上注明决定两个裕量的频率及其名称。7.掌握用计算方法求相位裕量和增益裕量的方法和步骤。