常微分方程数值解欧拉方法课件

6 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程常微分方程欧拉方法欧拉方法龙格龙格-库塔方法库塔方法6 常微分方程数值解法常微分方程常微分方程数值解法常微分方程1引子引子n n人口模型（看书上）n n人口理论n n一阶常微分方程的初值问题n n数值解：离散点上的近似值引子人口模型（看书上）引子人口模型（看书上）2一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微分方程初值问题 数值方法的基本思想数值方法的基本思想 在解的存在区间上取在解的存在区间上取n+1个节点个节点 利用数值计算方法寻求利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值：在节点上的近似值：y0,y1,.yn连续连续 离散离散 一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微分方程初值问题 数值方法的基本思想数值方法的基本思想 在解的存在区在解的存在区3一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微分方程初值问题 x0 x1x2xixi+1xn6.1 欧拉方法与欧拉方法与Runge-Kutta法法一、欧拉一、欧拉(Euler)方法方法xn=x0+nh，h为步长一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微分方程初值问题 x0 x1x2xixi+1xn6.4一一.欧拉方法欧拉方法n n差分和差商用差商代替导数用差商代替导数用差商代替导数用差商代替导数,将微分方程离散化将微分方程离散化将微分方程离散化将微分方程离散化,得到递推公式得到递推公式得到递推公式得到递推公式1.差分方法差分方法一一.欧拉方法差分和差商用差商代替导数欧拉方法差分和差商用差商代替导数,将微分方程离散化将微分方程离散化,5几何意义：几何意义：用折线近似曲线y=y(x),欧拉法又称为折线法折线法已知初值y0,依据递推公式逐步算出y1,y2,yn,yn+1,递推公式又称为差分格式或差分方程，它与常微方程的误差称为截断误差几何意义：用折线近似曲线几何意义：用折线近似曲线y=y(x),欧拉法又称为折线法已欧拉法又称为折线法已62.数值积分方法（也可导出欧拉公式）数值积分方法（也可导出欧拉公式）2.数值积分方法（也可导出欧拉公式）数值积分方法（也可导出欧拉公式）7（1）显式差分格式）显式差分格式（单步）显式格式（单步）显式格式左矩形公式左矩形公式（1）显式差分格式（单步）显式格式左矩形公式）显式差分格式（单步）显式格式左矩形公式8（2）隐式差分格式）隐式差分格式由右矩形公式由右矩形公式由右矩形公式由右矩形公式想求（近似的）想求（近似的）想求（近似的）想求（近似的）yy，但等式的等号左右都有：隐式，但等式的等号左右都有：隐式，但等式的等号左右都有：隐式，但等式的等号左右都有：隐式如如如如（2）隐式差分格式由右矩形公式想求（近似的）隐式差分格式由右矩形公式想求（近似的）y，但等式的等号，但等式的等号9还有一种隐式：积分用梯形公式还有一种隐式：积分用梯形公式也是隐式也是隐式还有一种隐式：积分用梯形公式也是隐式还有一种隐式：积分用梯形公式也是隐式10思索思索n n显式的欧拉公式，好用，粗糙n n隐式的梯形公式，通常具有较好的数值稳定性，每次计算得求解方程n n组合之？n n组合：预报-校正思索显式的欧拉公式，好用，粗糙思索显式的欧拉公式，好用，粗糙11预测预测-校正公式校正公式也叫预报也叫预报-校正公式校正公式改进的欧拉公式改进的欧拉公式预测预测-校正公式也叫预报校正公式也叫预报-校正公式校正公式12例例6.1 欧拉公式求解欧拉公式求解n nf(0,0)f(0,0)的处理（也可以的处理（也可以理解为一种近似）理解为一种近似）n n表表6-16-1n n图图6-16-1n n本身有解析解，可与本身有解析解，可与数值解比较数值解比较例例6.1 欧拉公式求解欧拉公式求解f(0,0)的处理（也可以理解为一种近的处理（也可以理解为一种近13二、欧拉方法的局部截断误差与精度二、欧拉方法的局部截断误差与精度前提：一个假前提：一个假设（重要！即设（重要！即所谓的局部）所谓的局部）一阶精度，看书上一阶精度，看书上泰勒公式：泰勒公式：泰勒公式：泰勒公式：二、欧拉方法的局部截断误差与精度前提：一个假设（重要！即所谓二、欧拉方法的局部截断误差与精度前提：一个假设（重要！即所谓14关于精度关于精度:n n常微分方程数值方法常微分方程数值方法理论中理论中n n同阶无穷小同阶无穷小n n精度精度：p p阶阶关于精度关于精度:常微分方程数值方法理论中常微分方程数值方法理论中15类似地，梯形公式类似地，梯形公式/改进的欧拉公式改进的欧拉公式-局部局部截断误差截断误差有二阶精度有二阶精度参考第参考第5章章5.1节节P66页页类似地，梯形公式类似地，梯形公式/改进的欧拉公式改进的欧拉公式-局部截断误差有二阶精度局部截断误差有二阶精度16常微分方程数值解欧拉方法课件常微分方程数值解欧拉方法课件17三、几种差分格式的数值稳定性比较三、几种差分格式的数值稳定性比较例例6.2 n n三种方法的比较n n注意：取最大误差（有多个点，有多个误差）n n有精确解，一起比较n n看教材三、几种差分格式的数值稳定性比较三、几种差分格式的数值稳定性比较例例6.2 三种方法的比较三种方法的比较18例例 用欧拉法求初值问题 补例子：欧拉补例子：欧拉(Euler)方法方法当当h=0.02时在区间时在区间0,0.10上的数值解上的数值解 例例 用欧拉法求初值问题用欧拉法求初值问题 补例子：欧拉补例子：欧拉(Euler)方法当方法当h 19欧拉欧拉(Euler)方法方法nxnyny(xn)n=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021欧拉欧拉(Euler)方法方法nxnyny(xn)n=y(xn20再补例子：再补例子：例例 在区间在区间0,1.5上，取上，取h=0.1。（1）用欧拉法计算公式如下：）用欧拉法计算公式如下：（2）用改进欧拉法计算公式如下：）用改进欧拉法计算公式如下：再补例子：例再补例子：例 在区间在区间0,1.5上，取上，取h=0.1。21计算要点计算要点n n步长n n区间n n改进欧拉法（两步走）n n前提：欧拉法、梯形法计算要点步长计算要点步长22