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一一 问题的提出问题的提出二二 积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数三三 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式四四 小结小结五五 思考、判断题思考、判断题第二节 微积分基本公式6/18/20241一 问题的提出二 积分上限函数及其导数三 牛顿一 问题的提出二 积分上限函数及其导数三 牛顿考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为一 问题的提出（Introduction)说明说明 由于位置函数是速度函数的原函数由于位置函数是速度函数的原函数所以（所以（1 1）式表示，速度函数的定积分就是）式表示，速度函数的定积分就是其原函数在区间上的增量其原函数在区间上的增量6/18/20242考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程考察定积分考察定积分记记积分上限函数积分上限函数二 积分上限函数及其导数6/18/20243考察定积分记积分上限函数二 积分上限函数及其导数12/考察定积分记积分上限函数二 积分上限函数及其导数7/2积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证6/18/20244积分上限函数的性质证12/19/20224积分上限函数的性质证7/28/20234积分上限函数的性质证由积分中值定理得由积分中值定理得6/18/20245由积分中值定理得12/19/20225由积分中值定理得7/28/20235由积分中值定理得12/1推论推论（1）（2）6/18/20246推论（1）（2）12/19/20226推论（1）（2）7/28/20236推论（1）（2）12/1例例1 1 已知已知求求解解6/18/20247例1 已知求解12/19/20227例1 已知求解7/28/20237例1 已知求解12例例.6/18/20248例.12/19/20228例.7/28/20238例.12/19/202286/18/2024912/19/202297/28/2023912/19/202296/18/20241012/19/2022107/28/20231012/19/202210定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理的重要意义定理的重要意义1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.2 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系的联系.3 3）我们可以通过原函数来计算定积分。）我们可以通过原函数来计算定积分。6/18/202411定理2（原函数存在定理）定理的重要意义1）肯定了连续函数的原定理2（原函数存在定理）定理的重要意义1）肯定了连续函数的原定理定理 3 3（微积分基本定理）（微积分基本定理）证证三三 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus)6/18/202412定理 3（微积分基本定理）证三 牛顿莱布尼茨公式（F定理 3（微积分基本定理）证三 牛顿莱布尼茨公式（F令令令令牛顿牛顿(Newton)莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式则则则则6/18/202413令令牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式则则令令牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式则则微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题的问题.6/18/202414微积分基本公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不微积分基本公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不例例2 2 求求 例例3 3 求求 解解6/18/202415例2 求 例3 求 解12/19/20221例2 求 例3 求 解7/28/202315例例4 4 计算计算解解解解例例5 5 设设 ,求求 .6/18/202416例4 计算解解例5 设 例4 计算解解例5 设 练练练练6/18/202417练练12/19/202217练练7/28/202317练练12/19/202217例例6 6 求求解解分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.6/18/202418例6 求解分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.12例6 求解分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.7/证证6/18/202419证12/19/202219证7/28/202319证12/19/2022196/18/20242012/19/2022207/28/20232012/19/202220解解求求例例8 8 设设 6/18/202421解求例8 设 解求例8 设 解解求求例例8 8 设设 6/18/202422解求例8 设 解求例8 设 例例10 10 已知已知 求求解解由由（1）（）（2）解之得解之得6/18/202423例10 已知 求解由（1）（2）解之得12/19/2例10 已知 求解由（1）（2）解之得7/28/20 此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分.当x2=0时,得 x=2.因此时的区间a,b位置没定,故它可能在被积函数的零点的两侧,也可能在零点之间,亦可能包含零点.6/18/202424 此定积分为积分区间含参数的带有绝对值 此定积分为积分区间含参数的带有绝对值6/18/20242512/19/2022257/28/20232512/19/2022253.3.微积分基本公式微积分基本公式1.1.积分上限函数积分上限函数2.2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数四四 小结小结(sumary)牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学（不定积分与定积分）之间的关系（不定积分与定积分）之间的关系4.4.上述大部分例题都是定积分所特有的而不上述大部分例题都是定积分所特有的而不 定积分所没有的定积分所没有的.6/18/2024263.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数四 3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数四 五五 思考与判断题思考与判断题（1）（2 2）求定积分可以先求不定积分，从而求出原）求定积分可以先求不定积分，从而求出原 函数，由牛顿函数，由牛顿-莱布尼茨公式可得结果（莱布尼茨公式可得结果（）6/18/202427五 思考与判断题（1）（2）求定积分可以先求不定积分五 思考与判断题（1）（2）求定积分可以先求不定积分一一 问题的提出问题的提出二二 积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数三三 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式四四 小结小结五五 思考、判断题思考、判断题第二节 微积分基本公式6/18/202428一 问题的提出二 积分上限函数及其导数三 牛顿一 问题的提出二 积分上限函数及其导数三 牛顿考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为一 问题的提出（Introduction)说明说明 由于位置函数是速度函数的原函数由于位置函数是速度函数的原函数所以（所以（1 1）式表示，速度函数的定积分就是）式表示，速度函数的定积分就是其原函数在区间上的增量其原函数在区间上的增量6/18/202429考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程考察定积分考察定积分记记积分上限函数积分上限函数二 积分上限函数及其导数6/18/202430考察定积分记积分上限函数二 积分上限函数及其导数12/考察定积分记积分上限函数二 积分上限函数及其导数7/2积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证6/18/202431积分上限函数的性质证12/19/20224积分上限函数的性质证7/28/202331积分上限函数的性质由积分中值定理得由积分中值定理得6/18/202432由积分中值定理得12/19/20225由积分中值定理得7/28/202332由积分中值定理得12/推论推论（1）（2）6/18/202433推论（1）（2）12/19/20226推论（1）（2）7/28/202333推论（1）（2）12/例例1 1 已知已知求求解解6/18/202434例1 已知求解12/19/20227例1 已知求解7/28/202334例1 已知求解1例例.6/18/202435例.12/19/20228例.7/28/202335例.12/19/202286/18/20243612/19/202297/28/20233612/19/202296/18/20243712/19/2022107/28/20233712/19/202210定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理的重要意义定理的重要意义1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.2 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系的联系.3 3）我们可以通过原函数来计算定积分。）我们可以通过原函数来计算定积分。6/18/202438定理2（原函数存在定理）定理的重要意义1）肯定了连续函数的原定理2（原函数存在定理）定理的重要意义1）肯定了连续函数的原定理定理 3 3（微积分基本定理）（微积分基本定理）证证三三 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus)6/18/202439定理 3（微积分基本定理）证三 牛顿莱布尼茨公式（F定理 3（微积分基本定理）证三 牛顿莱布尼茨公式（F令令令令牛顿牛顿(Newton)莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式则则则则6/18/202440令令牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式则则令令牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式则则微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题的问题.6/18/202441微积分基本公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不微积分基本公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不例例2 2 求求 例例3 3 求求 解解6/18/202442例2 求 例3 求 解12/19/20221例2 求 例3 求 解7/28/202342例例4 4 计算计算解解解解例例5 5 设设 ,求求 .6/18/202443例4 计算解解例5 设 例4 计算解解例5 设 练练练练6/18/202444练练12/19/202217练练7/28/202344练练12/19/202217例例6 6 求求解解分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.6/18/202445例6 求解分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.12例6 求解分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.7/证证6/18/202446证12/19/202219证7/28/202346证12/19/2022196/18/20244712/19/2022207/28/20234712/19/202220解解求求例例8 8 设设 6/18/202448解求例8 设 解求例8 设 解解求求例例8 8 设设 6/18/202449解求例8 设 解求例8 设 例例10 10 已知已知 求求解解由由（1）（）（2）解之得解之得6/18/202450例10 已知 求解由（1）（2）解之得12/19/2例10 已知 求解由（1）（2）解之得7/28/20 此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分.当x2=0时,得 x=2.因此时的区间a,b位置没定,故它可能在被积函数的零点的两侧,也可能在零点之间,亦可能包含零点.6/18/202451 此定积分为积分区间含参数的带有绝对值 此定积分为积分区间含参数的带有绝对值6/18/20245212/19/2022257/28/20235212/19/2022253.3.微积分基本公式微积分基本公式1.1.积分上限函数积分上限函数2.2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数四四 小结小结(sumary)牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学（不定积分与定积分）之间的关系（不定积分与定积分）之间的关系4.4.上述大部分例题都是定积分所特有的而不上述大部分例题都是定积分所特有的而不 定积分所没有的定积分所没有的.6/18/2024533.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数四 3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数四 五五 思考与判断题思考与判断题（1）（2 2）求定积分可以先求不定积分，从而求出原）求定积分可以先求不定积分，从而求出原 函数，由牛顿函数，由牛顿-莱布尼茨公式可得结果（莱布尼茨公式可得结果（）6/18/202454五 思考与判断题（1）（2）求定积分可以先求不定积分五 思考与判断题（1）（2）求定积分可以先求不定积分
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