中考数学压轴题专题第32讲四边形与新定义综合问题

专题32四边形与新定义综合问题 【例1】（2022汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若A+C180或B+D180，则四边形ABCD是“对补四边形”【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”若A：B：C3：2：1，则D 度若B90且AB3，AD2时则CD2CB2 【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，ABCB，BD平分ADC求证：四边形ABCD是“对补四边形”【例2】（2022赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，BC，则四边形ABCD为等邻角四边形（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且A130，B120，则D 度（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，EDBC，对角线BD平分ABC求证：四边形ABDE为等邻角四边形；若A+C+E300，BDCC，请判断BCD的形状，并明理由（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，BBCD，CEAB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PMAB，PNCD，垂足分别为M，N在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图四边形ABCD是等邻角四边形，AABC，E为AB边上的一点，EDAD，ECCB，垂足分别为D、C，AB2dm，AD3dm，BDdmM、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求DEM与CEN的周长之和【例3】（2022常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图I，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在54的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB15，AD6，BC3，ADC135，求CD的长度【例4】（2022工业园区模拟）【理解概念】如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”如图，矩形ABDE即为ABC的“矩形框”（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的 ；（2）钝角三角形的“矩形框”有 个；【巩固新知】（3）如图，ABC的“矩形框”ABDE的边AB6cm，AE2cm，则ABC周长的最小值为 cm；（4）如图，已知ABC中，C90，AC4cm，BC3cm，求ABC的“矩形框”的周长；【解决问题】（5）如图，锐角三角形木板ABC的边AB14cm，AC15cm，BC13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值一解答题（共20题）1（2022罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC10，CD2，ADAB，过点B作BEAD于E过C作CFBF于点F，试证明：BEDE，并求BE的长；若M是AD边上的动点，求BCM周长的最小值2（2022越秀区校级模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形（1）已知四边形ABCD是倍角梯形，ADBC，A100，请直接写出所有满足条件的D的度数；（2）如图1，在四边形ABCD中，BAD+B180，BCAD+CD求证：四边形ABCD是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当ABACAD2时，求BC的长3（2022嘉祥县一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图1，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N若N为AC的中点，DE2BE，QB3，求邻余线AB的长4（2021任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子： ；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，DABABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在RtABC与RtABD中，CD90，BCBD3，AB5，将RtABD绕着点A顺时针旋转角（0BAC）得到RtABD（如图3），当凸四边形ADBC为等邻角四边形时，求出它的面积5（2022春曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”（1）在已经学过的“平行四边形；矩形；菱形；正方形”中，一定是“等角线四边形”的是 （填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且ECDF，连接EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；（3）如图2，已知在ABC中，ABC90，AB4，BC3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积6（2022春南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形【性质初探】如图1，已知，ABCD，B80，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形求BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BFCE，连结BE、CF求证：BECF；【拓展应用】如图3，ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB2，ABC45，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG若CDG90，求BC的长7（2022春长汀县期末）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1b且b+1a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p1（1，0），（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围8（2022春江北区期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A平行四边形B矩形C菱形D正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论： ； 问题解决：如图2，以锐角ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由（2）若AC2，求AB+CD的最小值9（2022春铜山区期末）新定义；若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形（1）下列四边形为对直四边形的是 （写出所有正确的序号）；平行四边形；矩形；菱形，正方形（2）如图，在对直四边形ABCD中，已知ABC90，O为AC的中点求证：BD的垂直平分线经过点O；若AB6，BC8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度10（2022春盐田区校级期末）给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；（2）如图2，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，AD4，BC6求EF的长11（2022春玄武区期末）【概念认识】在四边形ABCD中，AB如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足DPCA，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”【初步思考】（1）如图，在四边形ABCD中，AB，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”若DACP，DPCB，则DPC的度数为 ；（2）如图，在四边形ABCD中，AB，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E求证：ADPCEB【综合运用】在四边形ABCD中，AB，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分ADP、BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出CQD与满足的关系及对应的取值范围12（2022春北仑区期末）定义：对角线相等的四边形称为对美四边形（1）我们学过的对美四边形有 、 （写出两个）（2）如图1，D为等腰ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作CFAB，以B为顶点作CBEACD交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形（3）如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，ACBD，DCAB若AOB120，AB+CD6，求四边形ABCD的面积若ABCD6，设ADx，BDy，试求出y与x的关系式13（2022春玄武区校级期中）如图1，ABCDEF90，AB、EF、CD为铅直方向的边，AF、DE、BC为水平方向的边，点E在AB、CD之间，且在AF、BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“L图形”的等积线（1）如图2所示四幅图中，直线L是该“L图形”等积线的是 （填写序号）（2）如图3，直线m是该“L图形”的等积线，与边BC、AF分别交于点M、N，过MN中点O的直线分别交边BC、AF于点P、Q，则直线PQ （填“是”或“不是”）该图形的等积线（3）在图4所示的“L图形”中，AB6，BC10，AF2若CD2，在图中画出与AB平行的等积线l（在图中标明数据）；在的条件下，该图形的等积线与水平的两条边DE、BC分别交于P、Q，求PQ的最大值；如果存在与水平方向的两条边DE、BC相交的等积线，则CD的取值范围为 14（2022姑苏区一模）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，BD，CA，则B+C ；（2）如图2，锐角ABC内接于O，若边AB上存在一点D，使得BDBO，在OA上取点E，使得DEOE，连接DE并延长交AC于点F，AED3EAF求证：四边形BCFD是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DGOB于点H，交BC于点G，OH2，DH6连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ；求ABC的面积15（2022江北区开学）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图1，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形（2）如图2，在54的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N若N为AC的中点，CD3BE，QB6，求邻余线AB的长16（2022春西城区校级期中）平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为：A（，），B（，），C（，），D（，），P、Q是这个正方形外两点，且PQ1给出如下定义：记线段PQ的中点为T，平移线段PQ得到线段PQ（其中P，Q分别是点P，Q的对应点），记线段PQ的中点为T若点P和Q分别落在正方形ABCD的一组邻边上，或线段PQ与正方形ABCD的一边重合，则称线段TT长度的最小值为线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”，称此时的点T为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”（1）如图1，平移线段PQ，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段P1Q1和P2Q2，这两条线段的位置关系为 ；若T1，T2分别为P1Q1和P2Q2的中点，则点 （填T1或T2）为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”；（2）若线段PQ的中点T的坐标为（1，1），记线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”为d1，请直接写出d1的最小值： ，并在图2中画出此时线段PQ到正方形ABCD的“回归点”T（画出一种情况即可）；（3）请在图3中画出所有符合题意的线段PQ到正方形ABCD的“回归点”组成的图形17（2022秋福田区期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径如图1，ABCADC90，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的如图1中：ABC和ABD有公共边AB，在AB同侧有ADB和ACB，此时ADBACB；再比如ABC和BCD有公共边BC，在CB同侧有BAC和BDC，此时BACBDC（1）请在图1中再找出一对这样的角来： ；（2）如图2，ABC中，ABC90，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD四边形ABCD 损矩形（填“是”或“不是”）；当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由；若ACE60，AB4，BD5，求BC的长18（2022春江阴市校级月考）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD则四边形ABCD为矩形（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）在题（1）的矩形ABCD中，点M是边AB上一动点如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OMON，连接MN求tanOMN的值；若AMAD，点N在边BC上，当DMN的周长最小时，求的值；连接CM，作BRCM，垂足为R若AB4，则DR的最小值 19（2022春柯桥区月考）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形（1）阅读与理解：如图1，四边形内接于O，点A为弧BD的中点四边形ABCD （填“是”或“不是”）等补四边形（2）探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，ABAD，连接AC，AC是否平分BCD？请说明理由；如图3，在等补四边形ABCD中，ABAD，其外角EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD10，AF5，求DF的长（3）思考与延伸：在等补四边形ABCD中，ABAD3，BAD120，当对角线AC长度最大时，以AC为斜边作等腰直角三角形ACP，直接写出线段DP的长度20（2021秋荔湾区期末）如图，共顶点的两个三角形ABC，ABC，若ABAB，ACAC，且BAC+BAC180，我们称ABC与ABC互为“顶补三角形”（1）如图2，ABC是等腰三角形，ABE，ACD是等腰直角三角形，连接DE；求证：ABC与ADE互为顶补三角形（2）在（1）的条件下，BE与CD交于点F，连接AF并延长交BC于点G判断DE与AG的数量关系，并证明你的结论（3）如图3，四边形ABCD中，B40，C50在平面内是否存在点P，使PAD与PBC互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由【例1】2022汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若A+C180或B+D180，则四边形ABCD是“对补四边形”【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”若A：B：C3：2：1，则D90度若B90且AB3，AD2时则CD2CB25【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，ABCB，BD平分ADC求证：四边形ABCD是“对补四边形”【分析】（1）设A3x，则B2x，Cx，利用“对补四边形”的定义列出方程，解方程即可求得结论；连接AC，利用“对补四边形”的定义和勾股定理解答即可得出结论；（2）在DC上截取DEDA，连接BE，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和“对补四边形”的定义解答即可【解答】（1）解：A：B：C3：2：1，设A3x，则B2x，Cx，四边形ABCD是“对补四边形”，A+C180，3x+x180，x45B2x90四边形ABCD是“对补四边形”，B+D180，D90故答案为：90；连接AC，如图，B90，AB2+BC2AC2四边形ABCD是“对补四边形”，B+D180D90AD2+CD2AC2AB2+BC2AD2+CD2，CD2CB2AB2AD2，AB3，AD2，CD2CB232225故答案为：5；（2）证明：在DC上截取DEDA，连接BE，如图，BD平分ADC，ADBEDB在ADB和EDB中，ADBEDB（SAS），ADEB，ABBE，ABCB，BEBC，BECCDEB+BEC180，DEB+C180，A+C180，四边形ABCD是“对补四边形”【例2】（2022赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，BC，则四边形ABCD为等邻角四边形（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且A130，B120，则D55度（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，EDBC，对角线BD平分ABC求证：四边形ABDE为等邻角四边形；若A+C+E300，BDCC，请判断BCD的形状，并明理由（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，BBCD，CEAB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PMAB，PNCD，垂足分别为M，N在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图四边形ABCD是等邻角四边形，AABC，E为AB边上的一点，EDAD，ECCB，垂足分别为D、C，AB2dm，AD3dm，BDdmM、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求DEM与CEN的周长之和【分析】（1）由等邻角四边形的定义和四边形内角和定理可求解；（2）由角平分线的性质和平行线的性质可得EDBABD，可得结论；由三角形内角和定理和四边形内角和定理可求C60，即可求解；（3）由面积关系可求解；（4）由直角三角形的性质可得AMDMME，ENNBCN，由勾股定理可求DG1，BG6，即可求解【解答】（1）解：四边形ABCD为等邻角四边形，A130，B120，CD，D55，故答案为：55；（2）证明：BD平分ABC，ABDDBC，EDBC，EDBDBC，EDBABD，四边形ABDE为等邻角四边形；解：BDC是等边三角形，理由如下：BDCC，BDBC，DBC1802C，A+E+ABD+BDE360，A+E3602ABD，A+C+E300，300C3602（1802C），C60，又BDBC，BDC是等边三角形；（3）解：PM+PNCE，理由如下：如图，延长BA，CD交于点H，连接HP，BBCD，HBHC，SBCHSBPH+SCPH，BHCEBHPM+CHPN，CEPM+PN；（4）解：如图，延长AD，BC交于点H，过点B作BGAH于G，EDAD，ECCB，M、N分别为AE、BE的中点，AMDMME，ENNBCN，AB2BG2+AG2，BD2BG2+DG2，52（3+DG）237DG2，DG1，BG6，由（3）可得DE+ECBG6，DEM与CEN的周长之和ME+DM+DE+EC+EN+CNAE+BE+BGAB+BG（6+2）dm【例3】（2022常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图I，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在54的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB15，AD6，BC3，ADC135，求CD的长度【分析】（1）根据邻余四边形的定义证明结论即可；（2）连接AB，在A+B90的基础上选择合适的E点和F点连接作图即可；（3）邻余四边形的定义可得H90，由勾股定理可求解【解答】（1）证明：ABAC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB90，DAB+DBA90，FAB与EBA互余，四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：如图所示（答案不唯一），（3）解：如图3，延长AD，CB交于点H，四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，A+B90，ADC135，HDC45，HDCHCD45，CHDH，AB2AH2+BH2，225（6+DH）2+（3+DH）2，DH6（负值舍去），CD6【例4】（2022工业园区模拟）【理解概念】如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”如图，矩形ABDE即为ABC的“矩形框”（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的 ；（2）钝角三角形的“矩形框”有 1个；【巩固新知】（3）如图，ABC的“矩形框”ABDE的边AB6cm，AE2cm，则ABC周长的最小值为 （6+2）cm；（4）如图，已知ABC中，C90，AC4cm，BC3cm，求ABC的“矩形框”的周长；【解决问题】（5）如图，锐角三角形木板ABC的边AB14cm，AC15cm，BC13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值【分析】（1）利用同底等高的面积关系求解即可；（2）根据钝角三角形垂线的特点进行判断即可；（3）作A点关于DE的对称点F，连接BF，则ABC周长AC+BF，求出BF+AC即可求解；（4）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长即可；（5）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长，取最小值即可【解答】解：（1）SABCABAE，S矩形ABDEABAE，SABCS矩形ABDE，故答案为：；（2）由定义可知，钝角三角形以钝角所对的边为矩形一边，能够构造出一个“矩形框”，故答案为：1；（3）如图，作A点关于DE的对称点F，连接BF，CFAC，AC+BCBF，ABC周长AB+AC+BCAC+BF，AB6cm，AE2cm，在RtABF中，BF2，ABC周长的最小值（6+2）cm，故答案为：（6+2）；（4）如图1，以AB边为矩形一边时，作“矩形框”ABDE，C90，AC4cm，BC3cm，AB5cm，SABC345AE，AE，矩形ABDE的周长2（5+）（cm）；如图2，以BC边为矩形一边时，作“矩形框”BCAF，矩形BCAF的周长2（3+4）14（cm）；同理，以AB为矩形一边时，“矩形框”的周长为14cm；综上所述：ABC的“矩形框”的周长为cm或14cm；（5）如图1，以AB为一边作“矩形框”ABDE，过点C作CGAB交于G，CG2AC2AG2BC2BG2，AG+BGAB，又AB14cm，AC15cm，BC13cm，AG9cm，BG5cm，CG12cm，“矩形框”ABDE的周长2（14+12）52cm；如图2，以BC为一边作“矩形框”BCNM，过点A作AHCB交于H，SABCCGAB1214AHBC，AHcm，“矩形框”BCNM的周长2（13+）cm；如图3，以AC为矩形一边，作“矩形框”ACTS，过点B作BKAC交于点K，SABCCGAB1214BKAC，BKcm，“矩形框”ACTS的周长2（15+）cm；52，该木板的“矩形框”周长的最小值为cm 一解答题（共20题）1（2022罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF是（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC10，CD2，ADAB，过点B作BEAD于E过C作CFBF于点F，试证明：BEDE，并求BE的长；若M是AD边上的动点，求BCM周长的最小值【分析】（1）由旋转的性质可得ABFCBE，BFBE，根据正方形的性质得ABCD90，可得出EBFD90，即可得出答案；（2）首先证明四边形CDEF是矩形，则DECF，EFCD2，再证ABEBCF，根据全等三角形的判定和性质可得BECF，AEBF，等量代换即可得BEDE；由AEBF，EFCD2可得AEBE2，设BEx，根据勾股定理求出x的值即可；延长CD到点G，使DGCD，连接BG交AD于点M，过点G作GHBC，交BC的延长线于点H，证明ABECGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在RtBHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解【解答】解：（1）将BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，ABFCBE，BFBE，四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABE+CBE90，ABE+ABF90，即EBFD90，EBF+D180，EBF90，BFBE，四边形BEDF是“直等补”四边形故答案为：是；（2）证明：四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC10，CD2，ADAB，ABC90，ABC+D180，D90，BEAD，CFBE，DEF90，CFE90，四边形CDEF是矩形，DECF，EFCD2，ABE+A90，ABE+CBE90，ACBF，AEBBFC90，ABBC，ABEBCF（AAS），BECF，AEBF，DECF，BEDE；四边形CDEF是矩形，EFCD2，ABEBCF，AEBF，AEBE2，设BEx，则AEx2，在RtABE中，x2+（x2）2102，解得：x8或x6（舍去），BE的长是8；BCM周长BC+BM+CM，当BM+CM的值最小时，BCM的周长最小，如图，延长CD到点G，使DGCD，连接BG交AD于点M，过点G作GHBC，交BC的延长线于点H，ADC90，点C与点G关于AD对称，BM+CMBM+MGBG，即BM+CMBM+MC，当点M与M重合时，BM+MC的值最小，即BCM的周长最小，在RtABE中，AE6，四边形ABCD是“直等补”四边形，A+BCD180，BCD+GCH180，AGCH，AEBH90，ABECGH，即，GH，CH，BHBC+CH10+，BG2，BCM周长的最小值为2+102（2022越秀区校级模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形（1）已知四边形ABCD是倍角梯形，ADBC，A100，请直接写出所有满足条件的D的度数；（2）如图1，在四边形ABCD中，BAD+B180，BCAD+CD求证：四边形ABCD是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当ABACAD2时，求BC的长【分析】（1）由题意得出D2B或B2D或A2C，根据梯形的性质可得出答案；（2）过点D作DEAB，交BC于点E，证明四边形ABED为平行四边形，得出ADBE，BDECADE，证出ADC2B，则可得出结论；（3）过点E作AEDC交BC于点E，由等腰三角形的性质求出BACB36，证明ABECBA，由相似三角形的性质得出，设AEBECDx，得出方程22x（x+2），求出x1，则可得出答案【解答】解：（1）ADBC，A+B180，A100，B80，四边形ABCD是倍角梯形，D2B或B2D或A2C，若D2B，则D160；若B2D，则D40，若A2C，则C50，D130，故所有满足条件的D的度数为160或40或130；（2）证明：过点D作DEAB，交BC于点E，BAD+B180，ADBC，DEAB，四边形ABED为平行四边形，ADBE，BDECADE，BCBE+CE，BCAD+CE，又BCAD+CD，CECD，BCAD，CDEDEC，ADCADE+CDE2B，四边形ABCD是倍角梯形；（3）过点E作AEDC交BC于点E，ABAC，BACB，ADAC，ACDD，ADBC，ACBDAC，设B，则D2，DAC+D+ACD180，+2+2180，36，BACB36，BACAEB108，BB，ABECBA，设AEBECDx，则BC2+x，22x（x+2），x1（负值舍去），CD1BCAD+CD2+1+13（2022嘉祥县一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图1，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N若N为AC的中点，DE2BE，QB3，求邻余线AB的长【分析】（1）由等腰三角形的三线合一定理先证ADBC，再证DAB+DBA90，由邻余四边形定义即可判定；（2）由等腰三角形的三线合一定理先证BDCD，推出CE5BE，再证明DBQECN，推出，即可求出NC，AC，AB的长度【解答】（1）证明：ABAC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB90，DAB+DBA90，FBA与EBA互余，四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：ABAC，AD是ABC的角平分线，BDCD，DE2BE，BDCD3BE，CECD+DE5BE，EDF90，点M是EF的中点，DMME，MDEMED，ABAC，BC，DBQECN，QB3，NC5，ANCN，AC2CN10，ABAC104（2021任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，DABABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在RtABC与RtABD中，CD90，BCBD3，AB5，将RtABD绕着点A顺时针旋转角（0BAC）得到RtABD（如图3），当凸四边形ADBC为等邻角四边形时，求出它的面积【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）结论：ACBD，证明APCDPB（SAS）；（3）分两种情况考虑：、当ADBDBC时，延长AD，CB交于点E，如图1，由S四边形ACBDSACESBED，求出四边形ACBD面积；、当DBCACB90时，过点D作DEAC于点E，如图2，由S四边形ACBDSAED+S矩形ECBD，求出四边形ACBD面积即可【解答】解：（1）矩形或正方形是一个等邻角四边形故答案为：矩形，正方形；（2）结论：ACBD，理由：连接PD，PC，如图1所示：PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，PAPD，PCPB，PADPDA，PBCPCB，DPB2PAD，APC2PBC，即PADPBC，APCDPB，APCDPB（SAS），ACBD；（3）分两种情况考虑：（i）当ADBDBC时，延长AD，CB交于点E，如图3（i）所示，EDBEBD，EBED，设EBEDx，由勾股定理得：42+（3+x）2（4+x）2，解得：x4.5，过点D作DFCE于F，DFAC，EDFEAC，即，解得：DF，SACEACEC4（3+4.5）15；SBEDBEDF4.5，则S四边形ACBDSACESBED15；（ii）当DBCACB90时，过点D作DEAC于点E，如图3（ii）所示，四边形ECBD是矩形，EDBC3，在RtAED中，根据勾股定理得：AE，SAEDAEED3，S矩形ECBDCECB（4）3123，则S四边形ACBDSAED+S矩形ECBD+123125（2022春曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”（1）在已经学过的“平行四边形；矩形；菱形；正方形”中，一定是“等角线四边形”的是 （填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且ECDF，连接EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；（3）如图2，已知在ABC中，ABC90，AB4，BC3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解；（2）由“SAS”可证ABEBCF，可得AEBF，可得结论；（3）分两种情况讨论，由勾股定理求出DE的长，即可求解【解答】（1）解：矩形、正方形的对角线相等，矩形和正方形是“等角线四边形”，故答案为；（2）证明：连接AE，BF，四边形ABCD是正方形，ABBCCD，ABCBCD90，ECDF，BECF，ABEBCF（SAS），AEBF，四边形ABEF是等角线四边形；（3）当点D在AB的上方时，如图，DE是AB的中垂线，AEBE2，ABC90，AB4，BC3，AC5，四边形ABCD为等角线四边形，ACBD5，DE，S四边形ABCDSABD+SBCDABDE+BCBE2+3；当点D在AB的下方时，如图，过点D作DFBC，交CB的延长线于F，四边形ACBD为等角线四边形，BACD4，DEAB，ABF90，DFCF，四边形DEBF是矩形，BEDF2，DEBF，CF2，BF23，S四边形ADBCSABC+SABD4（23）+434，综上所述：这个等角线四边形的面积为4或2+36（2022春南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形【性质初探】如图1，已知，ABCD，B80，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形求BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BFCE，连结BE、CF求证：BECF；【拓展应用】如图3，ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB2，ABC45，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG若CDG90，求BC的长【分析】【性质初探】过点A作AGBC交于G，过点E作EHBC交于H，证明RtABGRtECG（HL），即可求解；【性质再探】证明BFCCEB（SAS），即可求解；【拓展应用】连接AC，过G点作GMAD交延长线于点M，分别证明ACG是等腰三角形，CDG是等腰直角三角形，DGM是等腰直角三角形，从而可求AG2，GMDM，在RtAGM中，用勾股定理求出AD的长即为所求BC的长【解答】【性质初探】解：过点A作AGBC交于G，过点E作EHBC交于H，ABCD，AEBC，AGEH，四边形ABCE恰为等腰梯形，ABEC，RtABGRtECG（HL），BECH，B80，BCE80；【性质再探】证明：四边形ABCD是矩形，AEBC，四边形BCEF是等腰梯形，BFCE，由（1）可知，FBCECB，BFCCEB（SAS），BECF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GMAD交延长线于点M，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，GOAC，ACCG，ABCD，ABC45，DCG45，CDG90，CDDG，BADG2，CDG90，CG2，AG2，ADCDCG45，CDM135，GDM45，GMDM，在RtAGM中，（2）2（AD+）2+（）2，AD，BC7（2022春长汀县期末）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1b且b+1a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p1（1，0），（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围【分析】（1）利用“自大点”的定义解答即可；（2）利用“自大点”的定义列出不等式组解答即可；（3）用t表示出平移后的正方形的四个顶点的坐标，利用（2）中的方法求得平移后的正方形的三个顶点不是“自大点”时的t的范围即可得出结论【解答】解：（1）P2；理由：点P（a，b）满足a+1b且b+1a，则称点P为“自大点”，a，b满足1ba1，P1（1，0），011，P1（1，0）不是“自大点”；，是“自大点”；，不是“自大点”，综上，三个点中点P2是“自大点”；（2）如果点N（2x+3，2）是“自大点”，解得：1x0，当x1或x0时，点N（2x+3，2）不是“自大点”，x的取值范围是x1或x0；（3）正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），平移之后的坐标分别为（0，6t），B（0，4t），C（2，4t），D（2，6t），当A点平移后的点是“自大点时”，16t1，解得：5t7，故A点平移后的点不是“自大点时”，0t5或t7，同理，当B点和D点平移后的点不是“自大点时”，0t3或t5，同理，当C点平移后的点不是“自大点时”，0t1或t3，当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，0t1或者t7或t3或5当正方形成为“自大忘形”时，t的取值范围为：0t1或者t7或者t3或58（2022春江北区期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 DA平行四边形B矩形C菱形D正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：ACBD；ACBD问题解决：如图2，以锐角ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由（2）若AC2，求AB+CD的最