中考数学压轴题专题第09讲二次函数与正方形存在性问题

专题09二次函数与正方形存在性问题 二次函数与正方形存在性问题1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形 如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形【例1】（2022齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数yx2+mx+n的图象交点为A（1，0），B（4，5）（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DEx轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标【例2】（2022扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC8dm现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由【例3】（2022海南）如图1，抛物线yax2+2x+c经过点A（1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CGCP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CHCG，过GH的中点K作KIy轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标【例4】（2022长春）在平面直角坐标系中，抛物线yx2bx（b是常数）经过点（2，0）点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m0）以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ2|m|，且PQx轴（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC当BC4时，求点B的坐标；（3）若m0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值1（2020乐平市一模）如图，抛物线ya（xh）2+k（a0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形（1）当抛物线yax2+1是美丽抛物线时，则a ；当抛物线y+k是美丽抛物线时，则k ；（2）若抛物线yax2+k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；（3）若ya（xh）2+k是美丽抛物线时，（2）a，k的数量关系成立吗？为什么？（4）系列美丽抛物线ynan（xn）2+kn（n为小于7的正整数）顶点在直线yx上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16求它们二次项系数之和2（2016秋西城区校级期中）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为yx2，求a的值； （2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标3（2022陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（2，0），两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式4（2022临潼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：yax2+bx+c经过A（2，0），B（1，）两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式5（2022松阳县一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A（4，0），点C（0，4）若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB3：1（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EFFG已知OEm，OFt当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由6（2022香坊区校级开学）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线yx2+bx+c经过点B、C，OA18（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若EDA2ABD，求直线DE的解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BHBP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GCGE，DQPQ，求CGH的周长7（2021咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围8（2021云南模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内部和边）有公共点，求t的取值范围9（2019秋温州校级月考）如图1所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线yx+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒（1）当t3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得SBCD6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP，CP，OPA135，直接写出此时AP的长度10（2021峨眉山市模拟）如图，已知直线y与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E（1）求抛物线的解析式；（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积11（2021深圳模拟）如图1，抛物线C1：yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且顶点为C，直线ykx+2经过A，C两点（1）求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；（2）如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2与直线ykx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若SMDESMAE，求点D的坐标；（3）如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T在x轴上方的抛物线C3上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为 ，当m 时，有最小值 12（2021社旗县二模）如图，抛物线yax2+bx+c过（1，0），（3，0），（0，6）三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上（1）求抛物线解析式，并直接写出当1x4时，y的最大值与最小值的差（2）将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，当点C首次落在抛物线上，求h的值当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围13（2021越秀区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为m+，以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求b的值（2）当点Q与点M重合时，求m的值（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值（4）抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围14（2020秋新抚区期末）如图，抛物线yx2+bx+c经过A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标15（2020雁塔区校级一模）如图，抛物线yx2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式16（2020吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为m+以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求b的值（2）当点Q与点M重合时，求m的值（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围17（2020雁塔区校级模拟）已知抛物线L：yax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB4（1）求A、B两点的坐标；（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线记为L，且记L和L的顶点分别记为M、M，要使点A、B、M、M为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式18（2021龙马潭区模拟）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PMBC于点M，PDAB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？（3）点P在第四象限的抛物线上移动，以PC为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过点E时，求出此时点P的坐标19（2020海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直则称该矩形为点P，Q的相关矩形“如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图（1）已知点A的坐标为（1，0）若点B的坐标为（2，5），求点A，B的“相关矩形”的周长；点C在直线x3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，已知抛物线yx2+mx+n经过点A和点C，求抛物线yx2+mx+n与y轴的交点D的坐标；（2）O的半径为4，点E是直线y3上的从左向右的一个动点若在O上存在一点F，使得点E，F的“相关矩形”为正方形，直接写出动点E的横坐标的取值范围20如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），在线段AB上取两点M、N（点M不与点A重合），点M、N关于这条抛物线的对称轴对称，点M在点N的左侧，分别过点M、N作x轴的垂线交抛物线于点P、Q，我们称这样的四边形MPQN为这条抛物线的“抛物线矩形”（1）若抛物线y2（x+1）（x3）的抛物线矩形MPQN的顶点M的坐标为（0，0），则点N的坐标为 ，点P的坐标为 ，点Q的坐标为 （2）当抛物线yx2+bx的抛物线矩形MPQN为正方形时，若点M的坐标为（2，0），求b的值（3）设抛物线yx2+4x6的抛物线矩形MPQN的周长为C点M的横坐标为m，求C与m之间的函数关系式（4）将抛物线yax26ax+5a（a0）的抛物线矩形MPQN绕点P顺时针或逆时针旋转90后，边MN恰好落在y轴上，若MN2，直接写出a的值21（2022抚顺县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx2（a0）与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）求BCD的面积；（3）点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由22（2022新化县模拟）已知抛物线yax2+bx+c（a0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由23（2022宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数yx2+bx+c（b0，c0）图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形（1）如图2，若CDx轴求证：b24c；若ABOD是矩形，求二次函数的解析式；（2）当b2时，ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由24（2022于洪区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象交y轴于点D，直线AB与之相交，且A（1，）是抛物线yx2+bx+c的顶点（1）b ，c ；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BPAD，抛物线交x轴于点C，连接PC求直线PB的解析式；求PC的长；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标【例1】（2022齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数yx2+mx+n的图象交点为A（1，0），B（4，5）（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 （1，2）；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DEx轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标【分析】（1）将A（1，0），B（4，5）代入yx2+mx+n，解方程即可得出答案；（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标；（3）设D（a，a22a3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案【解答】解：（1）将A（1，0），B（4，5）代入yx2+mx+n得，抛物线的解析式为yx22x3；（2）设直线AB的函数解析式为ykx+b，直线AB的解析式为yx+1，AC+BCAB，当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，抛物线yx22x3的对称轴为x1，当x1时，y2，C（1，2），故答案为：（1，2）；（3）设D（a，a22a3），则E（a，a+1），DE（a+1）（a22a3）a2+3a+4（1a4），当a时，DE的最大值为；（4）当CF为对角线时，如图，此时四边形CMFN是正方形，N（1，1），当CF为边时，若点F在C的上方，此时MFC45，MFx轴，MCF是等腰直角三角形，MFCN2，N（1，4），当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，同理可得N（1，2），当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，同理可得N（，），综上：N（1，1）或（1，4）或（1，2）或（，）【例2】（2022扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC8dm现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；（2）由（1）知：设H（t，t2+8）（t0），表示矩形EFGH的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出点N的坐标，并计算点N是圆M与抛物线在y轴右侧的切点即可【解答】解：（1）如图1，由题意得：A（4，0），B（4，0），C（0，8），设抛物线的解析式为：yax2+8，把B（4，0）代入得：016a+8，a，抛物线的解析式为：yx2+8，四边形EFGH是正方形，GHFG2OG，设H（t，t2+8）（t0），t2+82t，解得：t12+2，t222（舍），此正方形的面积FG2（2t）24t24（2+2）2（9632）dm2；（2）如图2，由（1）知：设H（t，t2+8）（t0），矩形EFGH的周长2FG+2GH4t+2（t2+8）t2+4t+16（t2）2+20，10，当t2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图3，N为M上一点，也是抛物线上一点，过N作M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NPy轴于P，则MNOM3，NQMN，设N（m，m2+8），由勾股定理得：PM2+PN2MN2，m2+（m2+83）232，解得：m12，m22（舍），N（2，4），PM413，cosNMP，MQ3MN9，Q（0，12），设QN的解析式为：ykx+b，QN的解析式为：y2x+12，x2+82x+12，x22x+40，（2）2440，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，若切割成圆，能切得半径为3dm的圆【例3】（2022海南）如图1，抛物线yax2+2x+c经过点A（1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CGCP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CHCG，过GH的中点K作KIy轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；（2）可推出PCB是直角三角形，进而求出BOC和PBC的面积之和，从而求得四边形BOCP的面积；（3）作PEAB交BC的延长线于E，根据PDEADB，求得的函数解析式，从而求得P点坐标，进而分为点P和点A和点Q分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；（4）作GLy轴，作RCGL于L，作MTKI于K，作HWIK于点W，则GLCCRH，ITMHWI根据GLCCRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MTIW，构建方程求得n的值【解答】解：（1）由题意得，该抛物线的函数表达式为：yx2+2x+3；（2）当y0时，x2+2x+30，x11，x23，B（3，0），PC2+BC21+（43）2+（32+32）20，PB2（31）2+4220，PC2+BC2PB2，PCB90，SPBC3，SBOC，S四边形BOCPSPBC+SBOC3+；（3）如图1，作PEAB交BC的延长线于E，设P（m，m2+2m+3），B（3，0），C（0，3），直线BC的解析式为：yx+3，由x+3m2+2m+3得，xm22m，PEm（m22m）m2+3m，PEAB，PDEADB，（m）2+，当m时，（）最大，当m时，y（）2+2+3，P（，），设Q（n，n2+2n+3），如图2，当PAQ90时，过点A作y轴平行线AF，作PFAF于F，作QGAF于G，则AFPGQA，n，如图3，当AQP90时，过QNAB于N，作PMQN于M，可得ANQQMP，可得n11，n2，如图4，当APQ90时，作PTAB于T，作QRPT于R，同理可得：，n，综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；（4）如图5，作GLy轴，作RCGL于L，作MTKI于T，作HWIK于点W，则GLCCRH，ITMHWIRHOGn，CRGLOC3，MTIW，G（n，0），H（3，3+n），K（，），I（，（）2+n+3+3），TMIW，（）2+n+6（3+n），（n+3）2+2（n+3）120，n14+，n24（舍去），G（4+，0）【例4】（2022长春）在平面直角坐标系中，抛物线yx2bx（b是常数）经过点（2，0）点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m0）以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ2|m|，且PQx轴（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC当BC4时，求点B的坐标；（3）若m0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值【分析】（1）把（2，0）代入yx2bx，得到b2，可得结论；（2）判断出点B的横坐标为1，可得结论；（3）分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小利用图象法解决问题即可；（4）分三种情形：如图41中，当点N（0，）时，满足条件，如图42中，当点N（0，），满足条件，如图43中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，分别求出点A的坐标，可得结论【解答】解：（1）把（2，0）代入yx2bx，得到b2，该抛物线的解析式为yx22x；（2）如图1中，yx22x（x1）21，抛物线的顶点为（1，1），对称轴为直线x1，BCx，B，C故对称轴x1对称，BC4，点B的横坐标为1，B（1，3）；（3）如图2中，点A的横坐标为m，PQ2|m|，m0，PQPQMMN2m，正方形的边MN在y轴上，当点M与O重合时，由，解得或，A（3，3），观察图象可知，当m3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m，观察图象可知，当0m时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小综上所述，满足条件的m的值为0m或m3；（4）如图41中，当点N（0，）时，满足条件，此时直线NQ的解析式为yx+，由，解得，或，点A在第四象限，A（，），m如图42中，当点N（0，），满足条件，此时直线NQ是解析式为yx，由，解得，A（，），m如图43中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，此时m，综上所述，满足条件的m的值为或或1（2020乐平市一模）如图，抛物线ya（xh）2+k（a0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形（1）当抛物线yax2+1是美丽抛物线时，则a2；当抛物线y+k是美丽抛物线时，则k4；（2）若抛物线yax2+k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；（3）若ya（xh）2+k是美丽抛物线时，（2）a，k的数量关系成立吗？为什么？（4）系列美丽抛物线ynan（xn）2+kn（n为小于7的正整数）顶点在直线yx上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16求它们二次项系数之和【分析】（1）画出函数yax2+k的图象，求出点D的坐标，即可求解；（2）由（1）知，点D的坐标为（k，k），即可求解；（3）美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线，美丽抛物线ya（xh）2+k沿x轴经过适当平移后为抛物线yax2+k，即可求解；（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，它们的内接正方形的边长比为，则m4k，进而求解【解答】解：（1）函数yax2+k的图象如下：抛物线yax2+1是美丽抛物线时，则AC1，四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（，），将点D的坐标代入yax2+1得：a（）2+1，解得a2；同理可得，点D的坐标为（k，k），将点D的坐标代入y+k得：k（k）2+1，解得k0（不合题意）或4；故答案为：4；（2）由（1）知，点D的坐标为（k，k），将点D的坐标代入yax2+k得：ka（k）2+k，解得ak2；（3）答：成立美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线美丽抛物线ya（xh）2+k沿x轴经过适当平移后为抛物线yax2+kak2；（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，（k，m为小7的正整数，且km），它们的内接正方形的边长比为，m4k，这两条美丽抛物线分别为和，2，a112，a43a1+a415答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为152（2016秋西城区校级期中）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为yx2，求a的值； （2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标【分析】（1）设O为顶点的抛物线的解析式为yax2，把B（2，2）代入即可解决问题设B（a，a）代入yx2求出a即可解决问题（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）求出A、B、C、D的顶点的对角抛物线，利用方程组求出M、P、N、Q的坐标即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，设O为顶点的抛物线的解析式为yax2，过B（2，2），24a，a，所求的抛物线的解析式为yx2如图2中，设B（a，a）则有aa2，解得a4或0（舍弃），B（4，4），OA4，正方形的边长为4（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）理由：正方形ABCD的边长为4，A（3，2），B（7，2），C（7，6），D（3，6），以A为顶点的对角抛物线为y（x3）2+2，以B为顶点的对角抛物线为y（x7）2+2，以C为顶点的对角抛物线为y（x7）2+6，以D为顶点的对角抛物线为y（x3）2+6，由可得M（5，3），由可得N（5，5），由可得P（3+2，4），由可得Q（72，4），PM，PN，QN，QM，PMPNQNQM，四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）3（2022陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（2，0），两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式【解答】解：（1）设抛物线L1的表达式是，抛物线L1过点A（2，0），解得，即抛物线L1的表达式是；（2）令x0，则y2，C（0，2）当AC为正方形的对角线时，如图所示，AE3E3CCD3D3A2，点D3的坐标为（0，0），点E3的坐标为（2，2）设，则，解得即抛物线L2的解析式是当AC为边时，分两种情况，如图，第种情况，点D1，E1在AC的右上角时AOCOE1OD1O2，点D1的坐标为（0，2），点E1的坐标为（2，0）设，则，解得：，即抛物线L2的解析式是第种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2Mx轴，则有AD2MAD1O，AOAM，D1OD2M过E2作E2Ny轴，同理可得，CE2NCE1O，COCN，E1OE2N则点D2的坐标为（4，2），点E2的坐标为（2，4），设，则，解得，即抛物线L2的解析式是综上所述：L2的表达式为：，或4（2022临潼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：yax2+bx+c经过A（2，0），B（1，）两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式【解答】解：（1）设抛物线L1的表达式是ya（x1）2，抛物线L1：yax2+bx+c经过A（2，0），09a，解得a，y（x1）2，即抛物线L1的表达式是yx2x2；（2）当AC为正方形的对角线时，则点D的坐标为（0，0），点E（2，2），设yx2+bx+c，解得，即抛物线L2的解析式是yx2+x；当AC为边时，分两种情况，第一种情况，点D、E在AC的右上角时，则点D的坐标（0，2），点E（2，0），设yx2+bx+c，解得，即抛物线L2的解析式是yx2x+2；第二种情况，点D、E在AC的左下角时，则点D的坐标（4，2），点E（2，4），设yx2+bx+c，则，解得，即抛物线L2的解析式是yx2+x45（2022松阳县一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A（4，0），点C（0，4）若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB3：1（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EFFG已知OEm，OFt当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；（2）证明EOFFCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点R（m，2t），点Q（2t，m），代入二次函数的解析式得到方程，解方程即可求解【解答】解：（1）点A（4，0），点C（0，4）且四边形OABC是正方形，QAQCBC4，CG：GB3：1CG3，BGl，点G的坐标为（3，4），设抛物线的解析式为yax2+bx+c，把.4（4，0），C（0，4），G（3，4），代入yax2+bx+c得，解得：，抛物线的解析式为yx2+3x+4，令y0，则x2+3x+40，解得x4或x1，点D的坐标为（1，0）；（2）EFFG，EOFGFEGCF90，EFO+FEOEFO+CFG90，FEOCFG，EOFFCG，即，mt2+t（t2）2+，当t2时，m有最大值，最大值为；点A（4，0），点C（0，4），且四边形OABC是正方形，点B的坐标为（4，4），设直线OB的解析式为ykx，把（4，4），代入得：44k，解得k1，直线OB的解析式为yx，过点R作RSy轴于点S，如图：点E与点R关于直线FG对称，EFFG，RFEF，RFSEFO，RFSEFO（AAS），RSEOm，FSFOt，则SO2t，点R的坐标为（m，21）点R与点Q关于直线OB对称，同理点Q的坐标为（2t，m），把Q（2t，m）代入yx2+3x+4，得：m4t2+6t+4，由得mt2+t，t2t4t2+6t+4，解得：t1，t2，0t14，当t时，点G恰好落在抛物线上6（2022香坊区校级开学）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线yx2+bx+c经过点B、C，OA18（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若EDA2ABD，求直线DE的解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BHBP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GCGE，DQPQ，求CGH的周长【分析】（1）根据正方形的性质求得B，C的坐标，利用待定系数法求解析式即可；（2）在AD延长线时取DIDE，连接IE，设ABD，可得tanEIA，设AEx，则AI2x，在RtADE中，ED2AD2+AE2，建立方程，解方程进而可得E点的坐标，利用待定系数法求解析式即可；（3）延长BD，交y轴于点M设直线DP交y轴于点S，分别求得G，CH三点的坐标，进而根据勾股定理以及两点距离公式分别求得CG，HG，HC的长，即可求得CGH的周长【解答】解：四边形OABC是正方形，抛物线yx2+bx+c经过点B、C，OA18ABOCOA18，C（0，18），B（18，18），c18，18182+bx+18，解得b2，抛物线的解析式为yx2+2x+18；（2）如图，在AD延长线时取DIDE，连接IE，设ABD，EDA2ABD，EDA2，DIDE，EIDIED，点D是OA的中点，ODDA9，tan，tanEIA，设AEx，则AI2x，EDDIIADA2x9，在RtADE中，ED2AD2+AE2，即（2x9）292+x2，解得x112，x20 （舍），AE12，E（18，12），D（9，0），设直线ED的解析式为ykx+t，解得，直线DE的解析式为yx12；（3）如图，延长BD，交y轴于点M，设直线DP交y轴于点S，ODDA，DOMDAB，ODMADB，ODMADB（ASA），MDDB，点Q为BP中点，DQPQ，DQBQPQ，QDBQBD，QDPQPD，QDB+QBD+QDP+QPD180，BDQ+PDQ90，即BDP90，PHBD，SDO+MDOMDO+OMD90，SDOOMDABD，tanSDOtanABD，OSOD，S（0，），设直线SD的解析式为ymx+n，将点S（0，），D（9，0）代入得，解得，直线SD的解析式为yx+，联立，解得，点P在AB右侧的抛物线上，P（27，9），D（9，0），B（18，18），PD9，BD9，DBDP，DBP是等腰直角三角形，DBP45，DQBP，BHBP，BHDQ，1，DHDP，D（9，0），P（27，9），H（9，9），点G在OD上，GCGE，C（0，18），E（18，12），设G（p，0），则p2+182（18p）2+122，解得p4，G（4，0），H（9，9），G（4，0），C（0，18），CG2，CH9，HG5，CG+HG+CH2+5+9，CGH的周长为2+5+97（2021咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可（3）根据PQMQ，构建方程求解即可（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有m+m2+m+，解得0m4，观察图象可知当0m3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图41中当m4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图42中【解答】解：（1）抛物线的图象经过点A（3，0），0，解得b1抛物线解析式为：（2）P点的横坐标为m，且P点在抛物线y的图象上，P点的坐标为（m，），PQl，l过A点且垂直于x轴，Q点的坐标为（3，），M点的坐标为（3，m+），Q点与M点重合，m+，解方程得：m0或m4（3）抛物线（x1）2+2，抛物线的顶点坐标为（1，2）N点的坐标为N（m，m+），要使顶点（1，2）在正方形PQMN内部，m+2，得mPNm+（）m22m，PQ3m四边形PQMN是正方形，m22m3m，解得m1+（舍去）或m1当m1时，抛物线顶点在正方形PQMN内部（4）M点的纵坐标m+，随P点的横坐标m的增大而减小，根据（1）的结果得：当m0时，M，Q两点重合；m3时，P，Q重合；m4时，M，Q重合，矩形PQMN不存在；当m0时，直线MN在直线PQ上方，抛物线顶点在矩形PQMN内部，不合题意当0m4时，直线MN在直线PQ下方，如图41，当3m4时，矩形内部没有抛物线图象，不合题意；当m4时，直线MN在直线PQ上方，矩形内部有抛物线，且为对称轴右侧，y随x的增大而减小，如图42；综上：当0m3或m4时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小8（2021云南模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD