应用随机过程课件资料

应用随机过程应用随机过程Application of Stochastic Processes范爱华范爱华数理科学与工程学院数理科学与工程学院应用数学系应用数学系应用随机过程ApplicationofStochasti成功的道路并不拥挤，成功的道路并不拥挤，的人并不是很多。的人并不是很多。因为坚持到最后因为坚持到最后成功的道路并不拥挤，的人并不是很多。因为坚持到最后教材教材应用随机过程应用随机过程主要教学参考书主要教学参考书张波张波张景肖张景肖编编中国人民大学出版社教材主要教学参考书参考书参考书1.1.应用随机过程应用随机过程林元烈林元烈编著编著清华大学出版社清华大学出版社2.随机过程随机过程王风雨王风雨编著编著北京师范大学出版社北京师范大学出版社参考书1.应用随机过程林元烈编著清华大学出版社前前言言前言应用随机过程课件资料第第1 1章章 预备知识预备知识1.1概率空间概率空间在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现象，大体上分为两类：象，大体上分为两类：必然现象和随机现象必然现象和随机现象。具有随机性的现象具有随机性的现象随机现象随机现象对随机现象的观察或为观察而进行的实验对随机现象的观察或为观察而进行的实验随机试验随机试验随机试验的结果随机试验的结果 基本事件或样本点。基本事件或样本点。所有可能的结果称为所有可能的结果称为样本空间样本空间。A称为事件称为事件。（有（有3个特征）个特征）第1章预备知识1.1概率空间在自然界和人类的事件的性质事件的性质假设假设A,B,C是任意事件，则他们满足：是任意事件，则他们满足：(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律(4)对偶原则对偶原则(DeMorgan律律)事件的性质假设A,B,C是任意事件，则他们满足：(1)交定义定义1.1定义1.1性质性质假假性质假例例1.1例例1.2例例1.3例1.1例1.2例1.3随机试验随机试验:掷一枚骰子，观察出现的点数，掷一枚骰子，观察出现的点数，思考题：思考题：随机试验:掷一枚骰子，观察出现的点数，思考题：定义定义1.2结论：结论：定义1.2结论：定义定义1.3定义1.3定义定义1.4定义1.4例例1.1：例1.1：概率的基本性质概率的基本性质单调性单调性次可列可加性次可列可加性概率的基本性质单调性次可列可加性应用随机过程课件资料事件列极限事件列极限1：结论：结论：事件列极限1：结论：定理：定理：具体情况：具体情况：定理：具体情况：事件列极限事件列极限2：定义定义1.5的下极限的下极限的上极限的上极限事件列极限2：定义1.5的下极限的上例例1.2：关系：关系：含义：含义：例1.2：关系：含义：例例1.3：例1.3：1.2随机变量和分布函数随机变量和分布函数随机变量：随机变量：用实数来表示随机实验的各种结果用实数来表示随机实验的各种结果.定义定义1.6关于随机变量的几点说明：关于随机变量的几点说明：1.2随机变量和分布函数随机变量：用实数来表示随机实验的应用随机过程课件资料定理定理1.1：定理1.1：定义定义1.7分布函数的含义：分布函数的含义：分布函数分布函数的性质：的性质：定义1.7分布函数的含义：分布函数的性质：随机变量的类型：随机变量的类型：离散型：离散型：连续型：连续型：多维随机变量：多维随机变量：d维随机向量维随机向量随机变量的类型：离散型：连续型：多维随机变量：d维随机向多维随机变量联合分布函数：多维随机变量联合分布函数：性质：性质：多维随机变量联合分布函数：性质：一些常见的分布：一些常见的分布：1.离散均匀分布：离散均匀分布：分布列：分布列：2.二项分布：二项分布：分布列：分布列：3.几何分布：几何分布：分布列：分布列：一些常见的分布：1.离散均匀分布：分布列：2.二项分布：分布4.Poisson分布：分布：分布列：分布列：_参数为参数为的的Poisson分布分布5.均匀分布：均匀分布：6.正态分布：正态分布：4.Poisson分布：分布列：_参数为的7.分布：分布：函数的性质：函数的性质：7.分布：函数的性质：8.指数分布：指数分布：9.分布：分布：10.d维正态分布：（略）维正态分布：（略）8.指数分布：9.分布：10.d维正态分布：（略应用随机过程课件资料1.3数字特征、矩母函数与特征函数数字特征、矩母函数与特征函数一、数字特征一、数字特征定义定义1.8：X的一阶矩的一阶矩1.3数字特征、矩母函数与特征函数一、数字特征定义1.8应用随机过程课件资料二、二、Rieman-Stieltjes 积分积分Rieman-Stieltjes 积分：积分：二、Rieman-Stieltjes积分Rieman-St注：注：注：R-S 积分性质：积分性质：可加性可加性注：注：R-S积分性质：可加性注：应用随机过程课件资料四、矩母函数与特征函数四、矩母函数与特征函数1.矩母函数矩母函数（momentgeneratingfunction)定义定义1.9：四、矩母函数与特征函数1.矩母函数（momentge矩母函数的性质：矩母函数的性质：矩母函数的性质：2.特征函数特征函数（characteristicfunction)复随机变量复随机变量定义定义1.10：复随机变量的数学期望复随机变量的数学期望2.特征函数（characteristicfuncti特征函数的性质：特征函数的性质：有界性有界性共轭对称性共轭对称性特征函数的性质：有界性共轭对称性应用随机过程课件资料例例3.1：例例3.2：例例3.3：例例3.4：例例3.5：例3.1：例3.2：例3.3：例3.4：例3.5：作业题：作业题：作业题：1.4条件概率条件概率条件期望条件期望独立性独立性一、条件概率一、条件概率1.定义：定义：1.基本公式基本公式定理定理1:(乘法公式乘法公式)1.4条件概率条件期望独立性一、条件概率1.定义定理定理2:(全概率公式全概率公式)定理定理3:(Bayes公式公式)定理2:(全概率公式)定理3:(Bayes公式)二、独立性二、独立性1.定义：定义：二、独立性1.定义：注注1：两两独立并不包含独立性。两两独立并不包含独立性。例：例：注1：两两独立并不包含独立性。例：注注2我们有我们有注2我们有2.独立性的性质：独立性的性质：定理定理4：推论推论1：推论推论2：2.独立性的性质：定理4：推论1：推论2：定理定理5：定理5：定理定理6：定理6：四、条件期望四、条件期望1.边缘分布边缘分布称称X,Y独立独立.四、条件期望1.边缘分布称X,Y独立.应用随机过程课件资料2.条件分布函数条件分布函数2.条件分布函数3.条件数学期望条件数学期望异同：异同：3.条件数学期望异同：应用随机过程课件资料应用随机过程课件资料定义：定义：定义：应用随机过程课件资料应用随机过程课件资料定理：定理：例例2：定理：例2：五、独立随机变量和的分布五、独立随机变量和的分布卷积公式卷积公式称为称为的卷积的卷积五、独立随机变量和的分布卷积公式称为注：注：结合律结合律分配律分配律注：结合律分配律应用随机过程课件资料应用随机过程课件资料应用随机过程课件资料应用随机过程课件资料应用随机过程课件资料应用随机过程课件资料第第2 2章章 随机过程的基本随机过程的基本 概念和基本类型概念和基本类型2.1基本概念基本概念在概率论中，我们研究了随机变量，在概率论中，我们研究了随机变量，维随机向量。维随机向量。在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量，但局限但局限在它们相互独立的情形。在它们相互独立的情形。将上述情形加以推广，将上述情形加以推广，即研究即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。这就是随机过程。定义定义2.12.1：设设是一概率空是一概率空间间，对对每一个参数每一个参数，是一定义在概率空间是一定义在概率空间上的随机上的随机变量，变量，则称随机变量族则称随机变量族为该概率为该概率空间上的一随机过程。空间上的一随机过程。称为参数集。称为参数集。第2章随机过程的基本概念和基本类型2.1基本概随机过程的两种描述方法：随机过程的两种描述方法：用映射表示用映射表示即即是一定是一定义义在在上的二元上的二元单值单值函数，函数，固定固定是一定是一定义义在在样样本空本空间间上的函数，上的函数，即为一随机变量；即为一随机变量；对于固定的对于固定的是一个是一个关于参数关于参数的函数，的函数，或称随机或称随机过程的一次实现。过程的一次实现。记号记号通常称为样本函数，通常称为样本函数，有时记为有时记为或简记为或简记为参数参数一般表示时间或空间。一般表示时间或空间。参数常用的一般有：参数常用的一般有：随机过程的两种描述方法：用映射表示即是一定义在上的二元单值函(1)(2)(3)当参数取可列集时，当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。一般称随机过程为随机序列。随机过程随机过程可能取值的全体所构成的集合可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作称为此随机过程的状态空间，记作S.S中的元素中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。抽象空间构成。(1)(2)(3)当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列应用随机过程课件资料随机过程分为以下四类：随机过程分为以下四类：(1)离散参数离散型随机过程；离散参数离散型随机过程；(2)连续参数离散型随机过程；连续参数离散型随机过程；(3)连续参数连续型随机过程；连续参数连续型随机过程；(4)离散参数连续型随机过程。离散参数连续型随机过程。随机过程分为以下四类：(1)离散参数离散型随机过程；(2)连以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有：独立增量过程；独立增量过程；Markov过程；过程；二阶矩过程；二阶矩过程；平稳过程；平稳过程；更新过程；更新过程；Poission过程；过程；维纳过程。维纳过程。鞅；鞅；以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有：独立增量过程；随机过程举例随机过程举例例例2.1例例2.2 抛掷一枚硬币，样本空间为抛掷一枚硬币，样本空间为定义：定义：随机过程。随机过程。随机过程举例例2.1例2.2抛掷一枚硬币，样本空间为定例例2.3例2.32.2有限维分布与有限维分布与Kolmogvrov定理定理一、随机过程的分布函数一、随机过程的分布函数1.一维分布函数一维分布函数2.2有限维分布与Kolmogvrov定理一、随机过程的2.二维分布函数二维分布函数2.二维分布函数3.n维分布函数维分布函数3.n维分布函数4.有限维分布族有限维分布族称为有限维分布族称为有限维分布族5.有限维分布族的性质有限维分布族的性质(1)对称性对称性4.有限维分布族称为有限维分布族5.有限维分布(2)相容性相容性注注1：随机过程的统计特性完全由它的有限维分：随机过程的统计特性完全由它的有限维分布族决定。布族决定。注注2：有限维分布族与有限维特征函数族相互唯有限维分布族与有限维特征函数族相互唯一确定。一确定。问题：问题：一个随机过程一个随机过程是否描述了该过程的全部概率特性？是否描述了该过程的全部概率特性？的有限维分布族，的有限维分布族，(2)相容性注1：随机过程的统计特性完全由它的有限维分定理：定理：（Kolmogorov存在性定理）存在性定理）设分布函数族设分布函数族满足以上提到的对称性和相容性满足以上提到的对称性和相容性，则必有一随机过程则必有一随机过程恰好是恰好是的有限维分布族，即：的有限维分布族，即：定理说明定理说明：的有限维分布族包含了的有限维分布族包含了的所有概率信息。的所有概率信息。定理：（Kolmogorov存在性定理）设分布函数族满足以上例例2.4例2.4例例2.5例2.5应用随机过程课件资料二、随机过程的数字特征二、随机过程的数字特征1.均值函数均值函数随机过程随机过程（假设是存在的）（假设是存在的）的均值函数定义为：的均值函数定义为：2.方差函数方差函数随机过程随机过程的的方差方差函数定义为：函数定义为：二、随机过程的数字特征1.均值函数随机过程（假设是存在的）3.(自自)协方差函数协方差函数3.(自)协方差函数4.(自自)相关函数相关函数4.(自)相关函数5.(互互)协方差函数协方差函数6.互相关函数互相关函数5.(互)协方差函数6.互相关函数7.互不相关互不相关8.特征函数特征函数为随机过程为随机过程的有限维特征函数族。的有限维特征函数族。记：记：7.互不相关8.特征函数为随机过程的有限维特征函数族。记例例2.6例例2.7例2.6例2.7作业作业1作业12.3随机过程的基本类型随机过程的基本类型一、严平稳过程一、严平稳过程定义定义1：2.3随机过程的基本类型一、严平稳过程定义1：二、严平稳过程的特点二、严平稳过程的特点则则二、严平稳过程的特点则三、宽平稳过程三、宽平稳过程(简称平稳过程简称平稳过程)定义定义2：三、宽平稳过程(简称平稳过程)定义2：注注1：注注2：注1：注2：例例2.8例例2.9例2.8例2.9四、平稳过程相关函数的性质四、平稳过程相关函数的性质性质性质1：性质性质2：结论：结论：性质性质3：四、平稳过程相关函数的性质性质1：性质2：结论：性质3：性质性质4：注：注：性质4：注：定义：定义：注：注：性质性质5：性质性质6：性质性质7：定义：注：性质5：性质6：性质7：性质性质8：性质性质9：例例2.10：性质8：性质9：例2.10：五、独立增量过程五、独立增量过程定义定义1例例2.11：五、独立增量过程定义1例2.11：定义定义2定义2六、遍历性定理六、遍历性定理六、遍历性定理应用随机过程课件资料应用随机过程课件资料定义定义1:定义1:定义定义2:定义2:例例2.12:例2.12:例例2.13:例2.13:定理定理2.2:(均值遍历性定理均值遍历性定理)定理2.2:(均值遍历性定理)推论推论2.1:推论推论2.2:推论2.1:推论2.2:定理定理2.2:(协方差函数遍历性定理协方差函数遍历性定理)定理2.2:(协方差函数遍历性定理)作业作业1:作业作业2:书第二章书第二章习题习题2.6.作业作业3:作业1:作业2:书第二章习题2.6.作第第3 3章章 PoissonPoisson过程过程3.1Poisson过程过程定义定义3.13.1：第3章Poisson过程3.1Poisson过程应用随机过程课件资料Poission过程是计数过程，而且是一类最重要、过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家年由法国数学家Poission引入。引入。Poission过程是计数过程，而且是一类最定义定义3.23.2：定义3.2：例例3.13.1：解解：见板书。见板书。例3.1：解：见板书。定义定义3.2:3.2:一计数过程一计数过程是是独立增量独立增量及平稳增量及平稳增量过程，即任取过程，即任取相互独立；相互独立；定义3.2:一计数过程是独立增量及平稳增量过程，即任取相互定义定义3.23.2的解释的解释:定义3.2的解释:应用随机过程课件资料定理定理3.1:3.1:由增量平稳性，记：由增量平稳性，记：（I）情形：因为情形：因为我们有：我们有：另一方面另一方面定理3.1:由增量平稳性，记：（I）情形：因为我们有：另一方代入上式，我们有：代入上式，我们有：令令我们有：我们有：（II）情形：因为：情形：因为：代入上式，我们有：令我们有：（II）情形：因为：故有：故有：化简并令化简并令得：得：两边同乘以两边同乘以，移项后有：，移项后有：当当时，有：时，有：故有：化简并令得：两边同乘以，移项后有：当时，有：由归纳法可得：由归纳法可得：注意：注意：因此因此代表单位时间内事件代表单位时间内事件出现的平均次数。出现的平均次数。由归纳法可得：注意：因此代表单位时间内事件出现的平均次数。由归纳法可得：由归纳法可得：注意：注意：因此因此代表单位时间内事件代表单位时间内事件出现的平均次数。出现的平均次数。由归纳法可得：注意：因此代表单位时间内事件出现的平均次数。应用随机过程课件资料例例3.23.2：例3.2：例例3.33.3：例3.3：例例3.43.4：例3.4：作业作业1 1：作业作业2 2：书第三章习题书第三章习题3.5,3.6,3.103.5,3.6,3.10作业1：作业2：书第三章习题3.5,3.6,3.103.2Poisson过程相联系的若干分布过程相联系的若干分布3.2Poisson过程相联系的若干分布复习复习：1.1.指数分布指数分布2.2.无记忆性无记忆性复习：1.指数分布2.无记忆性定理定理3.23.2：结论结论：定理3.2：结论：定义定义3.33.3：注注：定义3.3：注：例例3.53.5:(:(见书见书例例3.43.4)例3.5:(见书例3.4)例例3.63.6:例3.6:定理定理3.33.3：证明证明：见板书。见板书。定理3.3：证明：见板书。引理引理：引理：应用随机过程课件资料原因原因：注注：原因：注：定理定理3.43.4：定理3.4：例例3.73.7:(:(见书见书例例3.53.5)例3.7:(见书例3.5)例例3.83.8:(:(见书见书例例3.63.6)例3.8:(见书例3.6)3.3Poisson过程的推广过程的推广一、非齐次一、非齐次PoissonPoisson过程过程3.3Poisson过程的推广一、非齐次Poisson定义定义3.4:3.4:过程有过程有独立增量独立增量；定义3.4:过程有独立增量；定义定义3.53.5：注注2:2:定义定义3.43.4与定义与定义3.53.5是等价的。是等价的。注注1:1:我们称我们称m(t)m(t)为非齐次为非齐次poissonpoisson过程的均值或强度。过程的均值或强度。定义3.5：注2:定义3.4与定义3.5是等价的。注1:我们定理定理3.53.5：注注3:3:用此定理可以简化非齐次用此定理可以简化非齐次PoissonPoisson过程的问题过程的问题到齐次到齐次PoissonPoisson过程中进行讨论。另一方面也可以过程中进行讨论。另一方面也可以进行反方向的操作，即从一个参数为进行反方向的操作，即从一个参数为 的的PoissonPoisson构造一个强度函数为构造一个强度函数为 的非齐次的非齐次PoissonPoisson过程。过程。定理定理3.53.5：（一般了解）（一般了解）定理3.5：注3:用此定理可以简化非齐次Poisson过程的例例3.93.9:(:(见书见书例例3.73.7)例3.9:(见书例3.7)二、复合二、复合PoissonPoisson过程过程定义定义3.63.6:物理意义物理意义:如如表示粒子流表示粒子流，二、复合Poisson过程定义3.6:物理意义:如表示粒子流例例3.103.10:(:(见书见书例例3.83.8)例3.10:(见书例3.8)例例3.113.11:(:(见书见书例例3.9 3.9 顾客成批到达的排队系统顾客成批到达的排队系统)例3.11:(见书例3.9顾客成批到达的排队系统)定理定理3.63.6：定理3.6：例例3.123.12:（见书例（见书例3.103.10）例3.12:（见书例3.10）作业作业1:1:作业作业2:2:参考参考 例例3.123.12:（见书例（见书例3.103.10）作业作业3:3:见书习题见书习题3.123.12作业1:作业2:参考例3.12:（见书例3.10）作业第第5 5章章 MarkovMarkov过程过程5.1基本概念基本概念直观意义直观意义：1.Markov链的定义链的定义第5章Markov过程5.1基本概念直观意义：1定义定义5.15.1：定义5.1：定义定义5.25.2：定义定义5.35.3：2.转移概率转移概率定义5.2：定义5.3：2.转移概率注注：有定义有定义5.15.1知知注：有定义5.1知应用随机过程课件资料转移矩阵的性质：转移矩阵的性质：定义定义5.45.4：转移矩阵的性质：定义5.4：2.Markov链的例子链的例子带有一个吸收壁的随机游动：带有一个吸收壁的随机游动：特点：特点：当当就停留在零状态。就停留在零状态。此时此时是一齐次马氏链，其状态空间为是一齐次马氏链，其状态空间为，一步转移概率为：，一步转移概率为：注意；注意；状态为马氏链的吸收状态的充要条件是：状态为马氏链的吸收状态的充要条件是：例例5.15.1：2.Markov链的例子带有一个吸收壁的随机游动：特点带有带有两两个吸收壁的随机游动：个吸收壁的随机游动：此时此时是一齐次马氏链是一齐次马氏链,状态空间为状态空间为为两个吸收状态为两个吸收状态,它的一步转移它的一步转移概率为：概率为：例例5.25.2：带有两个吸收壁的随机游动：此时是一齐次马氏链,状态空间为为两它的它的一步转移概率一步转移概率矩阵矩阵为：为：它的一步转移概率矩阵为：特点：特点：概率为：概率为：例例5.35.3：带有一个反射壁的随机游动：带有一个反射壁的随机游动：一旦质点进入零状态，下一步它以概率一旦质点进入零状态，下一步它以概率向右移动一格，向右移动一格，以概率以概率停留在零状态。停留在零状态。此时的状态空间为此时的状态空间为它的它的一步转移一步转移特点：概率为：例5.3：带有一个反射壁的随机游动：一旦质点进例例5.45.4：例5.4：例例5.55.5：例5.5：应用随机过程课件资料4.n步转移概率步转移概率C-K方程方程定义定义5.5（n步转移概率）步转移概率）4.n步转移概率C-K方程定义5.5（n步转移概率定理定理5.1:(Chapman-Kolmogorov方程，简称方程，简称C-K方程方程)定理5.1:(Chapman-Kolmogorov方程，简例例5.65.6：例5.6：例例5.75.7:(:(隐隐MarkovMarkov模型）模型）或者为正面或者为反面或者为正面或者为反面.在任何给定时刻只有一枚硬在任何给定时刻只有一枚硬呈现，但是有时硬币可能被替换而不改变其正反面呈现，但是有时硬币可能被替换而不改变其正反面.硬币硬币M和和W分别具有转移概率分别具有转移概率在任何给定时刻硬币被替换的概率为在任何给定时刻硬币被替换的概率为30%,替换完成时，替换完成时，硬币的状态不变硬币的状态不变.这一这一Markov链有链有4个状态，分别个状态，分别记为记为1:UM;2:DM;3:UW;4:DW.状态状态1、3表示正面表示正面U,状态状态2、4表示反面表示反面D转移矩阵为转移矩阵为4X4的矩阵的矩阵.我们我们例5.7:(隐Markov模型）或者为正面或者为反面.在任可以计算转移概率可以计算转移概率,比如比如,首先首先(无转移无转移),而后而后(无转移无转移).因此转移概率为因此转移概率为其他转移概率类似可得，转移方式为其他转移概率类似可得，转移方式为转移概率矩阵为转移概率矩阵为可以计算转移概率,比如,首先(无转移),而后(无转移).因此例例5.85.8:例5.8:例例5.95.9:例5.9:带有带有两两个个反射反射壁的随机游动：壁的随机游动：此时此时是一齐次马氏链是一齐次马氏链,状态空间为状态空间为为两个为两个反射反射状态状态,求求它的一步转它的一步转移移概率概率。作业作业1 1：带有两个反射壁的随机游动：此时是一齐次马氏链,状态空间为为两作业作业2:2:作业2:5.3状态的分类及性质状态的分类及性质引入：引入：5.3状态的分类及性质引入：定义定义5.7注：注：定理定理5.3：定义5.7注：定理5.3：注：注：定义定义5.8:例例1：注：定义5.8:例1：定义定义5.9(周期性周期性)规定：规定：例例2(书书5.14)注注1：注注2：定义5.9(周期性)规定：例2(书5.14)注1：注定理定理5.4：证明：板书。证明：板书。注注:当两个状态的周期相同时，有时其状态之间当两个状态的周期相同时，有时其状态之间有显著差异。有显著差异。如：如：定理5.4：证明：板书。注:当两个状态的周期相同时，有定义定义5.10:(常返性常返性)定义5.10:(常返性)注注2：注注3：注注1：注2：注3：注1：例例3定义定义5.11例3定义5.11例例4例4引理引理5.1（）引理5.1（定理定理5.5定理5.5引理引理5.2定理定理5.6引理5.2定理5.6作业作业1：作业1：思考题：思考题：思考题：定理定理5.5定理5.5引理引理5.2定理定理5.6引理5.2定理5.6闭集及状态空间的分解定理闭集及状态空间的分解定理闭集：闭集：闭集及状态空间的分解定理闭集：相关性质：相关性质：任何两个状态均互通任何两个状态均互通所有常返态构成一个闭集所有常返态构成一个闭集在不可约马氏链中在不可约马氏链中,所有状态具有相同的状态所有状态具有相同的状态类型类型.相关性质：任何两个状态均互通所有常返态构成一个闭集在不可约状态空间分解定理：状态空间分解定理：定理定理5.7：状态空间分解定理：定理5.7：例例5例5例例6：例6：作业作业1：作业1：周期链分解定理：周期链分解定理：定理定理5.8：周期链分解定理：定理5.8：例例7:例7:5.4极限理论与不变分布极限理论与不变分布5.4.1极限理论极限理论5.4极限理论与不变分布5.4.1极限理论例例8（书例（书例5.17）(0-1传输系统）传输系统）例8（书例5.17）(0-1传输系统）应用随机过程课件资料推论推论设设i常返，则常返，则(1)i零常返零常返(2)i遍历遍历定理定理5.9设设i常返且有周期为常返且有周期为d，则则其中其中 i为为i的平均返回时间的平均返回时间.当当 i=时时推论设i常返，则(1)i零常返(2)i遍历定理5证证:(1)i零常返零常返,i=,由定理由定理5.9知，知，对对d的非整数倍数的的非整数倍数的n，从而子序列从而子序列i是零常返的是零常返的证:(1)i零常返,i=,由定理5.9知，对d的非(2)i是遍历的，是遍历的，d=1，i ，子序列子序列所以所以d=1，从而从而i为非周期的，为非周期的，i是遍历的是遍历的(2)i是遍历的，d=1，i，子序列所以定理定理5.10结论：结论：定理5.10结论：应用随机过程课件资料(a)所有非常返状态组成的集合不可能是闭集所有非常返状态组成的集合不可能是闭集;(b)没有零常返状态没有零常返状态;(c)必有正常返状态必有正常返状态;(d)不可约有限马氏链只有正常返态不可约有限马氏链只有正常返态;(e)状态空间可以分解为状态空间可以分解为:其中：每个其中：每个均是由正常返状态均是由正常返状态组成的有限不可约闭集，组成的有限不可约闭集，是非常返态集。是非常返态集。(a)所有非常返状态组成的集合不可能是闭集;(b)没有零常注注1：有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，也不可能含有零常返状态，从而不可约的有限状态也不可能含有零常返状态，从而不可约的有限状态的马氏链必为正常返的。的马氏链必为正常返的。证证设设S=0,1,N，如如S全是非常返状态全是非常返状态，则对任意，则对任意 i,j I，知知故故矛盾。矛盾。如如S含有零常返状态含有零常返状态i，则则C=j:ij是有限不可约闭集是有限不可约闭集，由定理知，由定理知，C中均为零常返状态，知中均为零常返状态，知注1：有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，证设S由引理知由引理知所以所以由引理知所以注注2:如马氏链有一个零常返状态，则必有无限多个如马氏链有一个零常返状态，则必有无限多个证证设设i为零常返状态为零常返状态，则则C=j:ij是不可约闭集，是不可约闭集，C中均为零常返状态，故中均为零常返状态，故C不能是有限集。否则不能是有限集。否则零常返状态。零常返状态。注2:如马氏链有一个零常返状态，则必有无限多个证设i为称概率分布称概率分布 j,j I为马尔可夫链为马尔可夫链的平稳分布（不变分布），若的平稳分布（不变分布），若设设Xn,n 0是齐次马尔可夫链，状态空间为是齐次马尔可夫链，状态空间为I，转移转移概率为概率为pij5.4.2平稳分布平稳分布(不变分布不变分布)与极限分布与极限分布定义定义5.12一、一、平稳分布平稳分布(不变分布不变分布)称概率分布j,jI为马尔可夫链的平稳分布（不变分注：注：(1)若初始概率分布若初始概率分布pj,j I 是平稳分布，则是平稳分布，则(2)对平稳分布对平稳分布 j,j I，有有矩阵形式矩阵形式 =其中其中=(j)，()pj=pj(1)=pj(2)=pj(n)注：(1)若初始概率分布pj,jI是平稳分二、遍历性的概念与极限分布二、遍历性的概念与极限分布对于一般的两个状态的马氏链对于一般的两个状态的马氏链,由上节内容可知由上节内容可知,意义意义对固定的状态对固定的状态j,不管链在某一时刻的什么不管链在某一时刻的什么状状态态i出发出发,通过长时间的转移到达状态通过长时间的转移到达状态j 的概率都趋的概率都趋二、遍历性的概念与极限分布对于一般的两个状态的马氏链,由上定义定义5.13定义5.13或定义或定义则称此链具有则称此链具有遍历性遍历性.或定义则称此链具有遍历性.定理定理5.13定理5.13定理定理不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布推论推论2若不可约马尔可夫链的所有状态是非常返或若不可约马尔可夫链的所有状态是非常返或零常返，则不存在平稳分布零常返，则不存在平稳分布.推论推论1有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布。平稳分布。定理不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件推论2若推论推论3若若 j,j I是马尔可夫链的平稳分布，则是马尔可夫链的平稳分布，则所取的值与初始状态的分布无关。所取的值与初始状态的分布无关。证：由于：证：由于：故故推论3若j,jI是马尔可夫链的平稳分布，则所例例1设马尔可夫链的转移概率矩阵为设马尔可夫链的转移概率矩阵为求马尔可夫链的平稳分布及各状态的求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。平均返回时间。即，经过无穷次转移后处于即，经过无穷次转移后处于状态的概率与初始状态的概率与初始状态无关，与初始状态的分布也无关。状态无关，与初始状态的分布也无关。例1设马尔可夫链的转移概率矩阵为求马尔可夫链的平稳分布及解解因为马尔可夫链是不可约非周期有限因为马尔可夫链是不可约非周期有限状态的，所以平稳分布存在，设状态的，所以平稳分布存在，设则则=P，1+2+3=1.即即各状态的平均返回时间为各状态的平均返回时间为=(1,2,3)解因为马尔可夫链是不可约非周期有限状态的，所以平稳分布例例2设马尔可夫链转移概率矩阵为设马尔可夫链转移概率矩阵为求每一个不可约闭集的平稳分布。求每一个不可约闭集的平稳分布。例2设马尔可夫链转移概率矩阵为求每一个不可约闭集的平稳分解解从状态转移图看出，状态空间可分解为从状态转移图看出，状态空间可分解为两个不可约常返闭集两个不可约常返闭集C1=2,3,4和和C2=5,6,7，一个非常返集一个非常返集N=1。在常返集上求平稳分布：在常返集上求平稳分布：解从状态转移图看出，状态空间可分解为两个不可约常返闭集在在C1上，对应的转移概率矩阵为上，对应的转移概率矩阵为C1上的平稳分布为：上的平稳分布为：0,0.4,0.2,0.4,0,0,0同理可求得同理可求得C2上的平稳分布为上的平稳分布为0,0,0,0,1/3,1/3,1/3在C1上，对应的转移概率矩阵为C1上的平稳分布为：0,0三、三、(有限链有限链)遍历性的充分条件遍历性的充分条件三、(有限链)遍历性的充分条件说明说明2.极限分布转化为了求解方程组极限分布转化为了求解方程组.3.在定理的条件下马氏链的极限分布是平稳分布在定理的条件下马氏链的极限分布是平稳分布.说明2.极限分布转化为了求解方程组.3.在定理的条件下马 试说明带有两个反射壁的随机游动是遍历的试说明带有两个反射壁的随机游动是遍历的,并求其极限分布并求其极限分布(平稳分布平稳分布).解解例例3四、应用举例四、应用举例试说明带有两个反射壁的随机游动是遍历的,解例3四、无零元无零元,链是遍历的链是遍历的无零元,链是遍历的代入最后一个方程代入最后一个方程(归一条件归一条件),得唯一解得唯一解代入最后一个方程(归一条件),得唯一解所以极限分布为所以极限分布为这个这个分布表明分布表明经过长时间游动之后经过长时间游动之后,醉汉醉汉Q 位于点位于点2(或或3或或4)的概率约为的概率约为3/11,位于点位于点1(或或5)的概率约为的概率约为1/11.所以极限分布为这个分布表明经过长时间游动之后,醉汉Q位设一马氏链的一步转移概率阵为设一马氏链的一步转移概率阵为试讨论它的遍历性试讨论它的遍历性.解解例例4设一马氏链的一步转移概率阵为试讨论它的遍历性.解例4表明表明此链不具遍历性此链不具遍历性.表明此链不具遍历性.五、小结五、小结 遍历性的概念遍历性的概念则称此链具有遍历性则称此链具有遍历性.五、小结遍历性的概念则称此链具有遍历性.(有限链有限链)遍历性的充分条件遍历性的充分条件(有限链)遍历性的充分条件作业作业1 1：作业作业2 2：书习题：书习题5.75.7作业1：作业2：书习题5.7第七节第七节连续时间马尔可夫链连续时间马尔可夫链定义定义7.1设设随机过程随机过程X(t)，t 0，状态空间，状态空间及非负及非负整数整数i1,i2,in+1，有有PX(tn+1)=in+1|X(t1)=i1,X(t2)=i2,X(tn)=in则称则称X(t)，t 0为为连续时间马尔可夫链连续时间马尔可夫链。I=0,1,2,，若对任意若对任意 0 t1t2tn+1=PX(tn+1)=in+1|X(tn)=in，第七节连续时间马尔可夫链定义7.1设随机过程X(t转移概率转移概率：在：在s时刻处于状态时刻处于状态i，经过时间，经过时间t后后转移到状态转移到状态j的的概率概率pij(s,t)=PX(s+t)=j|X(s)=i定义定义7.2齐次齐次转移概率转移概率(与起始时刻与起始时刻s 无关，只无关，只与时间间隔与时间间隔t 有关有关)pij(s,t)=pij(t)此时此时有转移概率矩阵有转移概率矩阵P(t)=(pij(t)，i,j I，t 0.转移概率：在s时刻处于状态i，经过时间t后转移到状态j的概率记记 i 为过程在状态转移之前停留在状态为过程在状态转移之前停留在状态i的时间，的时间，则对则对s,t 0有有(1)(2)i 服从指数分布服从指数分布证证：(1)事实上事实上ss+t0 iiiiti记i为过程在状态转移之前停留在状态i的时间，则对s,应用随机过程课件资料(2)设设 i的分布函数为的分布函数为F(x),(x 0),则生存函数则生存函数由此可推出由此可推出G(x)为指数函数，为指数函数，G(x)=e-x,则则F(x)=1-G(x)=1-e-x为指数分布函数。为指数分布函数。G(x)=1-F(x)(2)设i的分布函数为F(x),(x0),则生存函数过程在状态转移之前处于状态过程在状态转移之前处于状态i的时间的时间 i服从指数分布服从指数分布(1)当当 i=时，时，状态状态i的停留时间的停留时间 i 超过超过x的概率为的概率为0，则，则称状态称状态i为瞬时状态；为瞬时状态；(2)当当 i=0时，时，状态状态i的停留时间的停留时间 i 超过超过x的概率为的概率为1，则，则称状态称状态i为吸收状态。为吸收状态。过程在状态转移之前处于状态i的时间i服从指数分布定理定理7.1齐次马尔可夫过程的转移概率具齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性质：有下列性质：(1)pij(t)0;(2)(3)证证由概率的定义，由概率的定义，(1)(2)显然成立，下显然成立，下证证(3)定理7.1齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性质：注：注：此为转移概率的正则性条件。此为转移概率的正则性条件。注：例例1证明泊松过程证明泊松过程X(t),t 0为连续时为连续时间齐次马尔可夫链。间齐次马尔可夫链。证证先证先证泊松过程泊松过程的的马尔可夫性。马尔可夫性。泊松过程是独立增量过程，且泊松过程是独立增量过程，且X(0)=0，对对任意任意0t1t2tntn+1有有例1证明泊松过程X(t),t0为连续时间齐次马尔可另一方面另一方面即泊松过程是一个连续时间马尔可夫链即泊松过程是一个连续时间马尔可夫链另一方面即泊松过程是一个连续时间马尔可夫链 再证齐次性。再证齐次性。当当j i时，时，当当jk,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即从状态即从状态3不会转移到其它状态。不会转移到其它状态。状态状态与与状态转移状态转移001 500.12930.03260.8381n01马氏链的基本方程马氏链的基本方程基本方程基本方程马氏链的基本方程基本方程马氏链的两个重要类型马氏链的两个重要类型1.正则链正则链从任一状态出发经有限次转移从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例能以正概率到达另外任一状态（如例1）。）。w 稳态概率稳态概率马氏链的两个重要类型1.正则链从任一状态出发经有限马氏链的两个重要类型马氏链的两个重要类型2.吸收链吸收链存在吸收状态（一旦到达就不会离存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态开的状态i,pii=1）,且且从任一非吸收状态出发经有从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。）。马氏链的两个重要类型2.吸收链存在吸收状态（一旦到6.3钢琴销售的存贮策略钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架架存贮策略存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购才订购3架供下周销售；否则，不订购。架供下周销售；否则，不订购。估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。以及每周的平均销售量是多少。背景与问题背景与问题6.3钢琴销售的存贮策略钢琴销售量很小，商店的库存量问题分析问题分析 顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率架确定，由此计算需求概率存贮策略是周末库存量为零时订购存贮策略是周末库存量为零时订购3架架周末的库存周末的库存量可能是量可能是0,1,2,3，周初的库存量可能是，周初的库存量可能是1,2,3。用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。过库存）的概率不同。可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。的概率和每周的平均销售量。问题分析顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数模型假设模型假设 钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架架存贮策略存贮策略：当周末库存量为零时，订购：当周末库存量为零时，订购3架，周初架，周初到货；否则，不订购。到货；否则，不订购。以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。无后效性。在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。率，和每周的平均销售量。模型假设钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架存贮策模型建立模型建立 Dn第第n周需求量，均值为周需求量，均值为1的波松分布的波松分布Sn第第n周初库存量周初库存量(状态变量状态变量)状态转状态转移规律移规律Dn 01233P 0.3680.3680.1840.0610.019状态转移阵状态转移阵模型建立Dn第n周需求量，均值为1的波松分布Sn第n模型建立模型建立 状态概率状态概率马氏链的基本方程马氏链的基本方程正则链正则链稳态概率分布稳态概率分布w 满足满足wP=w已知初始状态，可预测第已知初始状态，可预测第n周初库存量周初库存量Sn=i 的概率的概率n,状态概率状态概率模型建立状态概率马氏链的基本方程正则链稳态概率分布w第第n周失去销售机会的概率周失去销售机会的概率n充分大时充分大时模型求解模型求解 从长期看，失去销售机会的可能性大约从长期看，失去销售机会的可能性大约10%。1.估计在这种策略下失去销售机会的可能性估计在这种策略下失去销售机会的可能性D 01233P 0.3680.3680.1840.0610.019第n周失去销售机会的概率n充分大时模型求解从长期看，失模型求解模型求解 第第n周平周平均售量均售量从长期看，每周的平均销售量为从长期看，每周的平均销售量为0.857(架架)n充分大时充分大时需求不超过存量需求不超过存量,销售需求销售需求需求超过存量需求超过存量,销售存量销售存量思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架架)?2.估计这种策略下每周的平均销售量估计这种策略下每周的平均销售量模型求解第n周平均售量从长期看，每周的平均销售量为0.8敏感性分析敏感性分析 当平均需求在每周当平均需求在每周1(架架)附近波附近波动时，最终结果有多大变化。动时，最终结果有多大变化。设设Dn服从均值为服从均值为 的波松分布的波松分布状态转移阵状态转移阵 0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第第n周周(n充分大充分大)失去销售机会的概率失去销售机会的概率当平均需求增长（或减少）当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约机会的概率将增长（或减少）约12%。敏感性分析当平均需求在每周1(架)附近波动时，最终结果期末复习要点：期末复习要点：1.上极限、下极限的定义及含义，理解事件上极限、下极限的定义及含义，理解事件序列的极限的表达方式。序列的极限的表达方式。2.熟悉常见的分布函数。熟悉常见的分布函数。3.掌握矩母函数与特征函数的定义和性质，掌握矩母函数与特征函数的定义和性质，会求一些函数的矩母函数和特征函数。会求一些函数的矩母函数和特征函数。4.条件概率与条件期望的求法及性质，条件概率与条件期望的求法及性质，如：如：EX=EE(X|Y),E(X|X)=X第一章第一章期末复习要点：1.上极限、下极限的定义及含义，理解事件序列的期末复习要点：期末复习要点：1.理解会求随机过程的均值函数、方差函理解会求随机过程的均值函数、方差函数、数、(自自)协方差函数、协方差函数、(自自)相关函数、相关函数、互互协方差函数、互相关函数。协方差函数、互相关函数。2.理解理解(严、宽严、宽)平稳过程的定义，会判断随平稳过程的定义，会判断随机过程是否为平稳过程。机过程是否为平稳过程。3.会用定义判定平稳过程是否有遍历性会用定义判定平稳过程是否有遍历性(均均值遍历性及协方差遍历性值遍历性及协方差遍历性)。第二章第二章期末复习要点：1.理解会求随机过程的均值函数、方差函数、(自期末复习要点：期末复习要点：1.Poisson过程的定义，理解其含义。过程的定义，理解其含义。2.会求会求Poisson过程的一些相关的概率。过程的一些相关的概率。3.理解理解Poisson过程时间间隔序列过程时间间隔序列Xn,第第n次次事件发生的时刻事件发生的时刻Tn相关定理。相关定理。4.非齐次非齐次Poisson过程与齐次过程与齐次Poisson的关系的关系定理，非齐次定理，非齐次Poisson的相关概率计算。的相关概率计算。第三章第三章期末复习要点：1.Poisson过程的定义，理解其含义。第三期末复习要点：期末复习要点：1.理解理解Markov链的定义，理解其数学含义，链的定义，理解其数学含义，会求相应的概率。会求相应的概率。2.会求一步转移概率及一步转移概率矩阵。会求一步转移概率及一步转移概率矩阵。3.会求会求n步转移概率，会证明步转移概率，会证明C-K方程方程(离散离散时间及连续时间时间及连续时间)。4.会求状态的周期，会判定状态的常返性会求状态的周期，会判定状态的常返性(正常反、零常返和非常返正常反、零常返和非常返)(方法方法1，方法，方法2)。第五章第五章期末复习要点：1.理解Markov链的定义，理解其数学含义，法法2：法法1：法2：法1：期末复习要点：期末复习要点：5.理解的关系。理解的关系。6.会将状态进行分类会将状态进行分类7.会判别平稳分布（不变分布）会判别平稳分布（不变分布）,会求平稳会求平稳分布分布,及及Markov链的遍历性链的遍历性.第五章第五章期末复习要点：5.理解的关系。第五章