专转本辅导资料课件

专转本数学辅导专转本数学辅导2012年年3月月18日日专转本数学辅导专转本数学辅导2012年年3月月18日日1考点十二、二元函数的导数考点十二、二元函数的导数题型题型1.计算二元函数的偏导数与全微分计算二元函数的偏导数与全微分1.偏导数偏导数方法：对求方法：对求x偏导，就是把偏导，就是把y当做常数，此时二元函数当做常数，此时二元函数的求导就可以看成一元函数的求导的求导就可以看成一元函数的求导.对x求偏导数对y求偏导数考点十二、二元函数的导数题型考点十二、二元函数的导数题型1.计算二元函数的偏导数与全微分计算二元函数的偏导数与全微分22.二元隐函数二元隐函数看成三元函数看成三元函数方法：对求方法：对求x偏导，就是把偏导，就是把y，z当做常数当做常数.2.二元隐函数看成三元函数方法：对求二元隐函数看成三元函数方法：对求x偏导，就是把偏导，就是把y，z当当3(2009-10)设函数设函数 由方程由方程 所确所确定，则定，则(2011-4)设函数设函数 由方程由方程 所所确确定，则定，则 A.B.C.D.(2009-10)设函数设函数 43.二阶偏导数二阶偏导数先对先对x求导，再对求导，再对x求导求导先对先对x求导，再对求导，再对y求导求导先对先对y求导，再对求导，再对x求导求导先对先对y求导，再对求导，再对y求导求导3.二阶偏导数先对二阶偏导数先对x求导，再对求导，再对x求导先对求导先对x求导，再对求导，再对y求导求导54.全微分全微分偏微分偏微分（1 1）求求 在点在点(1,2)处的偏导数处的偏导数.（2）求函数求函数 的二阶偏导数的二阶偏导数.（3）计算函数计算函数 在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.例例1.4.全微分偏微分（全微分偏微分（1）求）求 在点在点(6(2008-5)函数函数 在点在点 处的全微分处的全微分 为为 A.A.B.B.C.C.D.D.(2007-11)设设 ，则全微分，则全微分(2010-11)设函数设函数 ，则，则 (2008-5)函数函数 在点在点 处的全微分处的全微分 7题型题型2.计算二元计算二元(抽象抽象)复合函数的导数复合函数的导数(链式法则链式法则)(全导数公式全导数公式)1.中间变量是一元函数的情形中间变量是一元函数的情形题型题型2.计算二元计算二元(抽象抽象)复合函数的导数复合函数的导数(链式法则链式法则)(全导数全导数82.中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形2.中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形9口诀：分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导3.中间变量只有一个是多元函数的情形中间变量只有一个是多元函数的情形口诀：分段用乘口诀：分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导3.中间中间10（2）设设 ，求，求例例2.（1）设设 ，求全导数，求全导数（2）设）设 11(2011-18)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶连续具有二阶连续偏导数，求偏导数，求(2009-19)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶连续具有二阶连续偏导数，求偏导数，求(2010-19)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶连续具有二阶连续偏导数，求偏导数，求(2011-18)设设 12(2008-18)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶连续具有二阶连续偏导数，求偏导数，求(2007-17)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶具有二阶连续偏导数，求连续偏导数，求(2008-18)设设 13考点十三、二重积分的计算考点十三、二重积分的计算题型题型1.在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算二重积分的计算可以归结为求两次定积分二重积分的计算可以归结为求两次定积分1.若若D为为 X 型区域型区域 则上下看 考点十三、二重积分的计算题型考点十三、二重积分的计算题型1.在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算142.若若D为为Y 型区域型区域则左右看2.若若D为为Y 型区域则左右看型区域则左右看153.若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.则有4.若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 3.若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域为计算方便型区域为计算方便,可可16(2011-5)如果二重积分如果二重积分 可化为可化为 ,则积分域则积分域D可表示为可表示为()A.B.C.D.(2011-5)如果二重积分如果二重积分 17(2010-5)二次积分二次积分 交换积分次序后交换积分次序后得得()A.B.C.D.(2010-5)二次积分二次积分 18例例3.y1,x2yx（1）计算 ，其中D是直线 及 所围的闭区域.（2）计算 ,其中D 是抛物线所围成的闭区域.及直线（3)交换下列积分顺序例例3.y1,x2yx（1）计算计算 19(2010-19)计算二重积分计算二重积分 ，其中，其中D是由是由曲线曲线 ，直线，直线 及及 轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域.(2009-18)计算二重积分计算二重积分 ，其中其中(2008-19)计算二重积分计算二重积分 ，其中，其中D是由曲线是由曲线 、直线、直线 及及 所围成的平面区域所围成的平面区域.(2010-19)计算二重积分计算二重积分 201.极坐标的二重积分公式极坐标的二重积分公式（一般（一般D为圆域、环域、扇域，为圆域、环域、扇域，或当被积函数为或当被积函数为 形式形式.）题型题型2.在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算1.极坐标的二重积分公式（一般极坐标的二重积分公式（一般D为圆域、环域、扇域，题型为圆域、环域、扇域，题型2212.将二重积分化为二次积分计算将二重积分化为二次积分计算（一般先对（一般先对r，再对，再对 积分）积分）（1）极点在）极点在D的外部的外部2.将二重积分化为二次积分计算（一般先对将二重积分化为二次积分计算（一般先对r，再对，再对 积分）积分）22（2）极点在）极点在D的内部的内部（2）极点在）极点在D的内部的内部23（3）极点在）极点在D的内部的内部（3）极点在）极点在D的内部的内部24例例4.计算计算 ，其中，其中(2007-20)计算二重积分计算二重积分 ，其中其中(2011-19)计算二重积分计算二重积分 ，其中，其中D是由曲线是由曲线 、直线、直线 及及 轴所围成的平面闭区域轴所围成的平面闭区域.例例4.计算计算 25考点十四、一阶微分方程求解考点十四、一阶微分方程求解一阶微分方程的形式：一阶微分方程的形式：题型题型1.1.可分离变量方程的求解可分离变量方程的求解 转化转化 两边求两边求不定积分不定积分 考点十四、一阶微分方程求解一阶微分方程的形式：考点十四、一阶微分方程求解一阶微分方程的形式：题型题型1.可分可分26（2）解初值问题解初值问题例例5.（1）求方程求方程 的通解的通解.(2009-12)微分方程微分方程 的的 通解为通解为_ （2）解初值问题例）解初值问题例5.（1）求方程）求方程 27形如 的方程叫做齐次方程齐次方程.（变量替换法）（1）令，则（2）两边积分,得（3）积分后再用 代替 u，得原方程的通解.解法:代入原方程得分离变量题型题型2.2.齐次方程的求解齐次方程的求解 形如形如 的方程叫做齐次方程的方程叫做齐次方程.28例例6.解微分方程解微分方程(2006-17)求微分方程求微分方程 的通解的通解.例例6.解微分方程解微分方程(2006-17)求微分方程求微分方程 29一阶线性微分方程标准形式:称为线性齐次微分方程齐次微分方程题型题型3.3.一阶线性微分方程的求解一阶线性微分方程的求解 称为线性非齐次微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:称为线性齐次微分方程题型称为线性齐次微分方程题型3.一阶线一阶线301.解线性齐次方程分离变量分离变量通解两边积分两边积分2.解线性非齐次方程方程通解把通解 代入原方程解得解得代入代入通解通解故原方程的通解常数变易法1.解线性齐次方程分离变量通解两边积分解线性齐次方程分离变量通解两边积分2.解线性非齐次方程方解线性非齐次方程方31例例7.解微分方程解微分方程 例例7.解微分方程解微分方程 32(2010-24)设函数设函数 满足方程满足方程 ，且，且 ，记由曲线记由曲线 与直线与直线 及及y轴所围平面轴所围平面图形的面积为图形的面积为 ，试求，试求(2007-18)求微分方程求微分方程 满足初始满足初始条件条件 的特解的特解.(2008-20)求微分方程求微分方程 的通解的通解.(2010-24)设函数设函数 满足方程满足方程 33(2011-24)设函数设函数 满足微分方程满足微分方程 （其中（其中 为正常数），且为正常数），且 ，由曲线，由曲线 与直线与直线 所围成的平面图形记为所围成的平面图形记为D，已知，已知D的面积为的面积为 ，（1 1）求函数）求函数 的表达式；的表达式；（2 2）求平面图形）求平面图形D绕绕 轴旋转一周所形成的旋转体的轴旋转一周所形成的旋转体的体积体积 ；（3）求平面图形求平面图形D绕绕 轴旋转一周所形成的旋转体的轴旋转一周所形成的旋转体的体积体积 .(2011-24)设函数设函数 满足微分方程满足微分方程 34考点十五、二阶微分方程求解考点十五、二阶微分方程求解二阶微分方程的基本形式：降阶法逐次积分基本解法：第一次积分第二次积分考点十五、二阶微分方程求解二阶微分方程的基本形式：降阶法逐次考点十五、二阶微分方程求解二阶微分方程的基本形式：降阶法逐次35令不含未知函数令不含自变量令不含未知函数令不含自变量令不含未知函数令不含自变量36（2）求解）求解例例8.（1）求方程）求方程 的的解解.（2）求解例）求解例8.（1）求方程）求方程 37考点十六、二阶常系数线性微分方程求解考点十六、二阶常系数线性微分方程求解题型1.求解二阶常系数线性齐次微分方程第一步：写出特征方程，求出特征根第一步：写出特征方程，求出特征根第二步：根据特征根的情况，写出方程的通解第二步：根据特征根的情况，写出方程的通解实根 特 征 根通 解考点十六、二阶常系数线性微分方程求解题型考点十六、二阶常系数线性微分方程求解题型1.求解二阶常系数线求解二阶常系数线38根据解的结构定理,其通解为二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性非非齐次微分方程:是 的已知函数通解 特解 待定系数法题型2.求解二阶常系数线性齐次微分方程根据解的结构定理根据解的结构定理,二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线391.若不是特征方程的根待定系数法待定系数法2.若是特征方程的单根3.若是特征方程的二重根特解形式设 ，其中 为实数,为 次多项式.与特征方程的关系 其中 是根据 假设的m次待定系数多项式 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为小结小结1.若若 不是特征方程的根待定系数法不是特征方程的根待定系数法2.若若 是特征方程的单是特征方程的单40例例9.求下列方程的通解求下列方程的通解(其中 为实数）例例10.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.例例9.求下列方程的通解求下列方程的通解(其中其中 为实数）例为实数）例10.已知二阶已知二阶41(2010-20)已知函数已知函数 和和 是二阶常系数齐次是二阶常系数齐次线性微分方程线性微分方程 的两个解，试确定常数的两个解，试确定常数的值，并求微分方程的值，并求微分方程 的通解的通解.(2011-20)已知函数已知函数 是一阶线性微分方程是一阶线性微分方程 的解，求二阶常系数线性微分方程的解，求二阶常系数线性微分方程 的通解的通解.(2007-12)设为某二阶常系数齐次线性微分方程设为某二阶常系数齐次线性微分方程 的通解，则该微分方程为的通解，则该微分方程为_.(2010-20)已知函数已知函数 和和 42(2009-20)求微分方程求微分方程 的通解的通解.(2008-6)微分方程微分方程 的通解为的通解为()A.B.C.D.(2009-20)求微分方程求微分方程 431.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则设点M的坐标为任意向量 r 可用向径 OM 表示.考点十七、向量的坐标运算考点十七、向量的坐标运算1.向量的坐标表示在空间直角坐标系下向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点设点 M 则设点则设点M的的44设则2.利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算（3）向量的模：）向量的模：（2）向量的数乘：）向量的数乘：（1）向量的加减法：）向量的加减法：（4）两向量平行：）两向量平行：设则设则2.利用坐标作向量的线性运算（利用坐标作向量的线性运算（3）向量的模：（）向量的模：（2）向量）向量45（6）两向量数量积（点积）：）两向量数量积（点积）：（5）两向量垂直：）两向量垂直：（其中（其中 为向量为向量 的夹角）的夹角）（7）向量积（叉积）：）向量积（叉积）：的方向按右手法的方向按右手法则垂直于则垂直于 所在平面所在平面.（6）两向量数量积（点积）：（）两向量数量积（点积）：（5）两向量垂直：（其中）两向量垂直：（其中 为为46（8）两向量的夹角公式）两向量的夹角公式（8）两向量的夹角公式）两向量的夹角公式 47(2011-9)若若 ，则，则 .(2010-10)设设 ，若，若 与与 垂直，垂直，则常数则常数(2009-9)已知向量已知向量 ，则，则 与与 的夹角为的夹角为_ (2008-4)设向量设向量 ，则，则 等于等于()A.（2，5，4）B.（2，5，4）C.（2，5，4）D.（2，5，4）(2007-10)已知已知 均为单位向量，且均为单位向量，且 ，则以向，则以向量量 为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为_ (2011-9)若若 48考点十八、有关平面方程与空间直线的运算考点十八、有关平面方程与空间直线的运算1.1.平面方程平面方程（1 1）点法式方程点法式方程为平面的法向量（2 2）一般式方程一般式方程考点十八、有关平面方程与空间直线的运算考点十八、有关平面方程与空间直线的运算1.平面方程（平面方程（1）点点49（2）一平面通过两点一平面通过两点 和和 ，且，且垂直于平面垂直于平面 ，求其方程，求其方程.:x+y+z=0（3 3）求过点（求过点（1,1,11,1,1）且垂直于二平面）且垂直于二平面 的平面方程的平面方程.（1）求通过求通过 x 轴和点轴和点(4,3,1)的平面方程的平面方程.例例11.（2）一平面通过两点）一平面通过两点 502.2.空间直线方程空间直线方程（1 1）一般式方程一般式方程 （2）点向点向式方程式方程为直线的方向向量 为直线的点（3）参数式方程参数式方程t为参数两平面两平面交线交线2.空间直线方程（空间直线方程（1）一般式方程一般式方程（2）点向式方程为直线点向式方程为直线51例例1212.用点向式及参数式表示直线例例12.用点向式及参数式表示直线用点向式及参数式表示直线523.3.线面间的位置关系线面间的位置关系（1）面与面面与面法向量垂直法向量垂直 法向量平行法向量平行 平面法向量平面法向量3.线面间的位置关系（线面间的位置关系（1）面与面法向量垂直面与面法向量垂直 法向量平行法向量平行 53方向向量垂直方向向量垂直 方向向量平行方向向量平行 （2）线与线线与线直线方向向量直线方向向量方向向量垂直方向向量垂直 方向向量平行方向向量平行 （2）线与线直线方向向量线与线直线方向向量54（3）线与面线与面直线方向向量直线方向向量平面法向量平面法向量（3）线与面直线方向向量平面法向量线与面直线方向向量平面法向量55(2011-17)求通过求通过 轴与直线轴与直线 的平面方程的平面方程.(2010-17)求通过点求通过点 ，且与直线，且与直线 垂直，又与平面垂直，又与平面 平行的直线的方程平行的直线的方程.(2009-17)求通过直线求通过直线 且垂直于且垂直于平面平面 的平面方程的平面方程.(2008-17)设平面设平面 经过点经过点 ，求经过点，求经过点 且与平面且与平面 垂直的直线方程垂直的直线方程.(2011-17)求通过求通过 轴与直线轴与直线 56(2007-19)求过点求过点 且垂直于直线且垂直于直线 的平面方程的平面方程.(2007-19)求过点求过点 且垂直于直线且垂直于直线 57考点十九、判别级数的收敛性考点十九、判别级数的收敛性题型题型1.判别数项级数的敛散性判别数项级数的敛散性1.用级数收敛与发散的定义用级数收敛与发散的定义第一步先求出级数 的部分和 ；第二步再看 是否存在极限，存在即级数收敛.（求和：裂项相消法）2.用级数收敛的必要条件判断级数发散用级数收敛的必要条件判断级数发散若级数 收敛，则必有逆否命题：若 ，则级数 发散.考点十九、判别级数的收敛性题型考点十九、判别级数的收敛性题型1.判别数项级数的敛散性判别数项级数的敛散性1.58性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛,即其和为 c S.性质性质2.设有两个收敛级数 与则级数也收敛,其和为3.用级数的基本性质用级数的基本性质性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数不会影响级数 的敛散性的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和的和.性质性质1.若级数收敛于若级数收敛于S,则各项乘以常数则各项乘以常数 c 所得级数也收所得级数也收59例例13.判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性.p 级数级数收敛级数发散几何级数级数收敛级数发散调和级数 发散三个常用的级数：例例13.判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性.p 级数级数收敛级数发散几何级数级数收敛级数发散几何60题型题型2.判别正项级数的敛散性判别正项级数的敛散性1.正项级数 收敛部分和序列 有界.2.比较判别法比较判别法（调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数）大的收敛大的收敛小的收敛小的收敛小的发散小的发散小的发散小的发散题型题型2.判别正项级数的敛散性判别正项级数的敛散性1.正项级数正项级数 收收61比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散收敛，收敛，收敛收敛发散，发散，发散发散比较判别法的极限形式两个级数同时收敛或发散收敛，比较判别法的极限形式两个级数同时收敛或发散收敛，62比值判别法设 为正项级数,且级数收敛级数收敛级数发散级数发散不能用此法判定不能用此法判定根值判别法级数收敛级数收敛级数发散级数发散不能用此法判定不能用此法判定3.比值判别法与根式判别法比值判别法与根式判别法(中含有阶乘中含有阶乘 、乘幂、多个因子连乘除）、乘幂、多个因子连乘除）(中含有中含有 次方形式的因子）次方形式的因子）比值判别法设比值判别法设 为正项级数为正项级数,且级数收敛级数发散且级数收敛级数发散63必要条件不满足发 散满足比值判别法根值判别法收 敛发 散不定 比较判别法用它法判别部分和极限小结：小结：必要条件不满足发必要条件不满足发 散满足比值判别法根值判别法收散满足比值判别法根值判别法收 敛发敛发 64（2）判别级数判别级数 与与 的敛散性的敛散性.（1）证明级数证明级数 发发散散.例例14.（3）讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.（2）判别级数）判别级数 与与 651.莱布尼兹莱布尼兹判别法判别法则交错级数 收敛题型题型3.判别交错级数的敛散性判别交错级数的敛散性例例15.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性1.莱布尼兹判别法则交错级数莱布尼兹判别法则交错级数 收收662.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 绝对收敛条件收敛设 为收敛级数例例16.证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛.2.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 绝对收敛条件收敛设绝对收敛条件收敛设 67(2009-6)设设 为非零常数，则数项级数为非零常数，则数项级数 （）A.条件收敛条件收敛 B.绝对收敛绝对收敛 C.发散发散 D.敛散性与敛散性与 有关有关(2010-4)下列级数收敛的是下列级数收敛的是()A.B.C.D.(2007-6)下列级数收敛的是下列级数收敛的是()A.B.C.D.(2009-6)设设 为非零常数，则数项级数为非零常数，则数项级数 68(2006-5)设设 为正项级数，如下说法正确的是为正项级数，如下说法正确的是()A.如果如果 ，则，则 必收敛必收敛 B.如果如果 ，则，则 必收敛必收敛C.如果如果 收敛，则收敛，则 必定收敛必定收敛 D.如果如果 收敛，则收敛，则 必定收敛必定收敛(2006-5)设设 为正项级数，如下说法正为正项级数，如下说法正69（2005-6）正项级数正项级数 ，则下列说法正，则下列说法正确的是确的是()A.若（若（1）发散、则（）发散、则（2）必发散）必发散 B.若（若（2）收敛、则（）收敛、则（1）必收敛）必收敛C.若（若（1）发散、则（）发散、则（2）不定）不定 D.若（若（1）、（）、（2）敛散性相同）敛散性相同（2005-6）正项级数正项级数 70考点二十、幂级数的收敛域及展开考点二十、幂级数的收敛域及展开题型题型1.求幂级数的收敛域求幂级数的收敛域 1.幂级数的定义幂级数的定义 幂级数的系数考点二十、幂级数的收敛域及展开题型考点二十、幂级数的收敛域及展开题型1.求幂级数的收敛域求幂级数的收敛域 1711)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,若 的系数满足则 其中其中R是收敛半径是收敛半径 2.求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法的收敛半径为先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.1)当当 0 时时,2)当当 0 时时,3)当当 72(2009-11)若幂级数若幂级数 的收敛半径为的收敛半径为 ，则常数则常数(2005-12)幂级数幂级数 的收敛区间为的收敛区间为_(2004-12)幂级数幂级数 的收敛区间为的收敛区间为_(2010-12)幂级数幂级数 的收敛域为的收敛域为_(2008-12)幂函数幂函数 的收敛域为的收敛域为_(2011-12)幂级数幂级数 的收敛域为的收敛域为_(2009-11)若幂级数若幂级数 731.泰勒泰勒(Taylor)级数级数 为f(x)的泰勒级数泰勒级数.当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.若函数 在 的某邻域内具有任意阶导数,则称 题型题型2.求函数展开成幂级数求函数展开成幂级数1.泰勒泰勒(Taylor)级数级数 为为f(x)的泰勒的泰勒742.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内是否为0骤如下:2.直接展开法由泰勒级数理论可知直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步第一步 求函数及其各求函数及其各75专转本辅导资料课件专转本辅导资料课件763.间接展开法间接展开法方法：方法：利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质质,将所给函数展开成幂级数将所给函数展开成幂级数.例例17.将函数将函数 展开成展开成x的幂级数的幂级数.3.间接展开法方法：利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算间接展开法方法：利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算77(2011-6)若函数若函数 的幂级数展开式的幂级数展开式为为 ，则系数，则系数(2006-18)将函数将函数 展开为展开为 的幂函数的幂函数 （要求指出收敛区间）（要求指出收敛区间）.(2004-20)把函数把函数 展开为展开为 的幂级数，的幂级数，并写出它的收敛区间并写出它的收敛区间.(2011-6)若函数若函数 78