概率论(三版)2 1 随机变量及其分布课件

第三版 2.1 随机变量及其分布 一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概率分布 三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及其概率密度 2.1 随机变量及其分布 一、随机变量的概念 二、离散型 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容。这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量。也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样。变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念就是随机变量。关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的 一、随机变量的概念 定义21(随机变量 定义在概率空间(P)上 取值为实数的函数XX()()称为(P)上的一个随机变量 在掷骰子的实验中 其出现的点数记为随机变量X 则X作为样本空间 1 2 3 4 5 6上的函数定义为 X()随机变量举例 检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个离散变量来描述简记 r.v.X.random variable)一、随机变量的概念 定义21(随机变量 定义 随机变量随机变量 是上的映射,此映射具有如下特点 定义域定义域 事件域 随机性随机性 r.v.X 的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值 随机变量 是上的映射,此映射具有如下特点 定义 引入r.v.后,可用r.v.的等式或不等式表达随机事件,例如 表示“某天9:00 10:00 接到电话次数超过100次”这一事件为事件A 的示性变量 r.v.的函数一般也是r.v.可根据随机事件定义 r.v.设 A 为随机事件，则称引入r.v.后,可用r.v.的等式或不等式表达随机事件,这样就有这样就有 （）通常将通常将（）记为，）记为，即。即。从从而而可可得得出出：任任意意事事件件都都可可以以用用一一个个随随机机变变量量表表示示。相相应应地地，求求事事件件A的的概概率率（）等等价价于于求求随随机机变量变量 X 等于等于 1的概率，即（）（）的概率，即（）（）这这样样一一来来，事事件件的的研研究究就就可可纳纳入入随随机机变变量量的的研研究究之中，之中，所有关于事件的性质和定理都可搬过来用。所有关于事件的性质和定理都可搬过来用。这样就有 （）通常将（）在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v.,例如=儿童的发育情况 X()身高,Y()体重,Z()头围.各 r.v.之间可能有一定的关系,也可能没有关系 即 相互独立 在同一个样本空间可以同时定义多个=儿童的发 随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量的特点随机变量的特点:1、X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2、X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类：随机变量的特点:1、X的全部可能取值是 二、离散型随机变量的概率分布 定义22(离散型随机变量)设X是定义在概率空间(P)上的一个随机变量 如果X的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个 则称X是一个离散型随机变量 设X是离散型随机变量 其全部可能取值为xi i1 2 记 P(xi)PXxi,i1,2,(21)则称p(xi)i1 2 为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表 定义23(概率分布)二、离散型随机变量的概率分布 定义22(离散型随机变量)概率分布的性质 任何一个离散型随机变量的概率分布p(xi)必然满足下列性质 1 p(xi)0 i1 2 (22)例 21 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的次数 即 于是X的概率分布为 概率分布的性质 任何一个离散型随机变量的概 解 (1)由于(2)由于 例22 设离散型随机变量X的概率分布为 分别求上述各式中的常数a 解 (1)由于(2)由于 例23 设X的概率分布为 求PX1 PX1 PX2 PX25 PX3 PX4 解 PX1PX3 PX4PX1PX2PX3 1 PX1PX2PX310 例23 设X的概率分布为 求PX1 说明 三、分布函数 定义24(分布函数)设X是一随机变量 则称函数 F(x)PXx x()(29)为随机变量X的分布函数 记作X F(x)分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质 若x1 x2 则F(x1)F(x2)(1)单调性 (3)右连续性 F(x0)F(x)若函数Fx)满足上述三条性质 则它一定是某个随机变量X的分布函数 说明 三、分布函数 定义24(分布函数)分布函数的性质若x 说明 三、分布函数 定义24(分布函数)设X是一随机变量 则称函数 F(x)PXx x()(29)为随机变量X的分布函数 记作X F(x)分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质 若x1 x2 则F(x1)F(x2)(1)单调性 (3)右连续性 F(x0)F(x)因此 通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数 说明 三、分布函数 定义24(分布函数)分布函数的性质若x F(x)PXx 例2.5 等可能地在数轴上的有界区间a b上投点 记X为落点的位置数轴上的坐标 已知当(c da b时 有求随机变量X的分布函数 解 当xb时 F(x)PXx0 当xa时 当axb时 F(x)PXx 综上 可得X的分布函数为F(x)PXx 例2.5 等可能地 四、离散型随机变量的分布函数 X只有两个可能取值 其概率分布为 解 于是 当x0 时 F(x)PXx0 例 26 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的次数 即求其分布函数 当0 x1时 F(x)PXx 当x1时 F(x)PXx PX0PX11 综上 X的分布函数为 四、离散型随机变量的分布函数 X 四、离散型随机变量的分布函数 X只有两个可能取值 其概率分布为 解 例 26 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的次数 即求其分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 X 课堂练习设随机变量X的可能取值为0，1，2；且P（x=0）=1/2，P（x=1）=1/6，P（x=2）=1/3。求：P（）=？P（）=？P（）=？并写出分布函数。课堂练习设随机变量X的可能取值为0，1，2；离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值保持不变 反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率 四、离散型随机变量的分布函数 离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 由于F(x)是一个阶梯形函数 故知X是一个离散型随机变量 F(x)的跳跃点分别为1 2 3 对应的跳跃高度分别为 解 例27 设随机变量X的分布函数为 求X的概率分布 故X的概率分布为 由于F(x)是一个阶梯形函数 例1:一批产品的废品率为5，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量描述废品出现的情况。解：用表示废品的个数。1表示产品为废品,0表示产品为合格品。或P(=k)=(0.05)k(0.95)1-k,(k=0,1)例1:一批产品的废品率为5，从中任意抽取一个进行检验，用随 分布函数的图形：x010.951称为两点分布称为0-1分布分布函数的图形：x010.951称为两点分布称为0-1分布 例例2?例2 解：概率之和应为112a+3a+a+2a+a+a=10a故 a=0.1概率表应为=0.8=0.6解：概率之和应为112a+3a+a+2a+a+a=10a故 注意1，已知，已知P(X)=P1,P2,Pn求求F(X),逐层累加逐层累加2，已知，已知F(X),求求P(X)=P1,P2,Pn；逐层递减法逐层递减法注意1，已知P(X)=P1,P2,Pn求F(X),想一想：离散型随机变量的统计特征可以 五、连续型随机变量及其概率密度 定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数 五、连续型随机变量及其概率密度 定义25(密度函数)并称f 五、连续型随机变量及其概率密度 定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数 密度函数的性质 密度函数具有下列性质(1)f(x)0 x()说明 反过来 可以证明 一个函数满足上述两个性质 一定可以作为某一连续型随机变量的密度函数 五、连续型随机变量及其概率密度 定义25(密度函数)并称f 随机变量随机变量 X X 的分布函数的分布函数F(xF(x）与密度函数的关系：）与密度函数的关系：如果随机变量如果随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为 p p（x x），），分布函数分布函数为为F F（x x），则对任意的），则对任意的a a，b b（a ab b），有），有 这一结果的几何意义为：这一结果的几何意义为：X X 落在（落在（a a，b b中的概率恰中的概率恰好等于在区间（好等于在区间（a a，b b上由曲线上由曲线 y yp p（x x）形成的曲边梯）形成的曲边梯形的面积（图中阴影部分）。形的面积（图中阴影部分）。而而p p（x x）的基本性质（）的基本性质（2 2）表明：整个曲线）表明：整个曲线 y yp p（x x）以下（以下（x x 轴以上）的面积为轴以上）的面积为 1 1。随机变量 X 的分布函数F(x）与密度函数的关系：如 下面我们来讨论连续型随机变量的一些性质下面我们来讨论连续型随机变量的一些性质 性质性质(3)(3)设设 F F（x x）为连续型随机变量）为连续型随机变量 X X 的分布函数，的分布函数，则则 F F（x x）处处连续。）处处连续。证明证明 设设 x x 为任意实数，则：为任意实数，则：由由 x x 的任意性知，的任意性知，F F（x x）是直线上的连续函数。）是直线上的连续函数。此性质是连续型随机变量的重要特征，连续型随机变量此性质是连续型随机变量的重要特征，连续型随机变量的名称也由此而得。的名称也由此而得。下面我们来讨论连续型随机变量的一些性质 性质 性质性质 (4)若若X是连续型随机变量，则对任意实数是连续型随机变量，则对任意实数a，有，有 证明证明 任意任意h0 即：即：在概率论中，概率为零的事件称为零概率事件。它与不可在概率论中，概率为零的事件称为零概率事件。它与不可能事件还是有差别的，不可能事件是零概率事件，但零概率事能事件还是有差别的，不可能事件是零概率事件，但零概率事件不全是不可能事件。件不全是不可能事件。例如，对连续型随机变量而言，事件例如，对连续型随机变量而言，事件X Xa a是零概率事是零概率事件，但这并不意味着事件件，但这并不意味着事件X Xa a是不可能事件，因为连续型是不可能事件，因为连续型随机变量取任何一点都是有可能发生的。随机变量取任何一点都是有可能发生的。同样，必然事件的概率为同样，必然事件的概率为1 1（概率的规范性），但概率为（概率的规范性），但概率为1 1时事件不全是必然事件。时事件不全是必然事件。在概率论中把概率为在概率论中把概率为1 1的事件称为几乎必然发生的事件的事件称为几乎必然发生的事件 性质(4)若X是连续型随机变量，则对任意实数a，五、连续型随机变量及其概率密度 定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数 事件的概率与密度函数的关系 (2)连续型随机变量X落于点x上的概率为 PXx0 (213)(1)连续型随机变量X落于区间(a b上的概率为 五、连续型随机变量及其概率密度 定义25(密度函数)并称f 连续型随机变量密度函数与分布函数连续型随机变量密度函数与分布函数的相互关系的相互关系F(x)与与f(x)是什么关系？是什么关系？如果已知如果已知F(x)or f(x)f(x)or F(xf(x)or F(x)?显然，dF(x)/dx=f(x)dF(x)/dx=f(x)F(x)F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)求导求导求导求导;f(x)F(x)f(x)F(x)f(x)F(x)f(x)F(x)求积分求积分求积分求积分f(x)F(x)F(x)方法：函数区间分段方法：函数区间分段+相互逐段求解相互逐段求解连续型随机变量密度函数与分布函数的相互关系F(x)与f(x)例28 设X是在a b上等可能投点的位置 其分布函数为试由分布函数求其密度函数 X的密度函数为 解 在xa和xb处 F(x)的导数不存在 可补充定义这两点的密度为例28 设X是在a b上等可能投点的位置 其 练习：练习：设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 试求试求 X 的分布函数的分布函数F（x）。）。解解 当当 x x0 0时，时，当当 0 x 0 x1 1 时，时，练习：设连续型随机变量 X 的密度函数为 试求 X 的分 设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 试求试求 X 的分布函数的分布函数F（x）。）。当当1x1x2 2 时，时，当当x 2 x 2 时，时，设连续型随机变量 X 的密度函数为 试求 X 的分布 设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 试求试求 X 的分布函数的分布函数F（x）。）。所以所以 X 的分布函数为：的分布函数为：设连续型随机变量 X 的密度函数为 试求 X 的分布函