常微分方程基本概念概述课件

1.2 1.2 基本概念基本概念一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 二、微分方程的二、微分方程的阶 三、三、线性与非性与非线性微分方程性微分方程 四、微分方程的解四、微分方程的解 1.1.显式解与式解与隐式解式解 2.2.通解与特解通解与特解1.2 基本概念一、常微分方程与偏微分方程 1一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 定定义1:1:把把联系自系自变量、未知函数及未知函数量、未知函数及未知函数导数（或微分）的数（或微分）的 关系式称关系式称为微分方程微分方程.例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程 例1：下列关系式都是微分方程2附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含.如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如 就不是微分方程.实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程.附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程，如上面例1中 就是常微分方程；附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知3如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程偏微分方程，如上面例1中 就是偏微分方程.本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程，如4二、微分方程的二、微分方程的阶 定定义2 2：微微分分方方程程中中出出现的的未未知知函函数数的的最最高高阶导数数或或微微分分的的阶数数称称 为微分方程的微分方程的阶数数.在上面例1中 是一阶微分方程；是一阶微分方程；是二阶微分方程；是四阶微分方程.二、微分方程的阶 5常微分方程基本概念概述课件6常微分方程基本概念概述课件7 例如上面例例如上面例1 1中中 是线性微分方程，是线性微分方程，例如上面例1中 是线性微分方程，8 是非线性微分方程是非线性微分方程.而而 是非线性微分方程.而9线性线性线性线性非线性非线性非线性非线性非线性非线性线性线性非线性非线性非线性10uu 微分方程：微分方程：微分方程：微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式含有未知函数的导数或微分的等式常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程(ode):(ode):(ode):(ode):只含一个自变量的微分方程只含一个自变量的微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程(pde):(pde):(pde):(pde):含两个或两个以上自变量的微分方程含两个或两个以上自变量的微分方程方程的阶数方程的阶数方程的阶数方程的阶数:方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数uu分类分类分类分类n n阶常微分方程的一般形式：阶常微分方程的一般形式：阶常微分方程的一般形式：阶常微分方程的一般形式：n n阶线性常微分方程：阶线性常微分方程：阶线性常微分方程：阶线性常微分方程：都是已知函数都是已知函数小结：小结：微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式常微分方程(ode11常微分方程基本概念概述课件12是解是解是解是解u方程的解方程的解方程的解方程的解(隐式解P17）如果如果如果如果,则称则称则称则称 是方是方是方是方程程程程的一个解的一个解的一个解的一个解如：如：如：如：u方程的通解方程的通解方程的通解方程的通解(隐式通解P18）（1）有有n个任意常数个任意常数是（是（1）的）的 解解 是独立的是独立的则称则称则称则称是方程（是方程（1）的通解的通解，如果，如果，如果，如果对方程对方程对方程对方程n n n n个任意独立常数（参见个任意独立常数（参见个任意独立常数（参见个任意独立常数（参见P23P23P23P23）是解方程的解(隐式解P17）如果,则称 13常微分方程基本概念概述课件14常微分方程基本概念概述课件15常微分方程基本概念概述课件16常微分方程基本概念概述课件17常微分方程基本概念概述课件18常微分方程基本概念概述课件19常微分方程基本概念概述课件20常微分方程基本概念概述课件21例例是通解是通解 是解是解 含有两个任意常数含有两个任意常数 两个任意常数独立两个任意常数独立例是通解 是解22常微分方程基本概念概述课件23例：例：求一个平面曲线，使其向径与切线正交，并且求一个平面曲线，使其向径与切线正交，并且 经过点经过点(0,1)解：解：设所求的曲线为设所求的曲线为y=y(x).在曲线上任取一点在曲线上任取一点(x,y(x).过这一点的切线斜率为过这一点的切线斜率为而向径的斜率为而向径的斜率为 y/x,因此因此,例：求一个平面曲线，使其向径与切线正交，并且解：设所求的曲线24常微分方程基本概念概述课件25常微分方程基本概念概述课件26u 定解条件定解条件从从前前面面的的例例子子可可以以看看到到，一一个个微微分分方方程程有有无无穷穷多多个个解解，但但在在实实际际问问题题中中，我我们们需需要要寻寻找找方方程程满满足足某种条件的解，这种条件就叫做某种条件的解，这种条件就叫做定解条件定解条件定定解解条条件件有有两两种种，一一种种是是初初始始条条件件，另另一一种种是是边边界界条条件件。这这两两种种定定解解条条件件都都是是源源于于物物理理等等科科学学的的需要。相应有问题称为初值问题和边值问题。需要。相应有问题称为初值问题和边值问题。我们我们主要涉及初始条件主要涉及初始条件。对于。对于n n阶方程阶方程:初始条件的一般形式为初始条件的一般形式为:定解条件从前面的例子可以看到，一个微分方程有无穷多个解，但27这里这里是已知的是已知的n+1n+1个常数个常数.它们由实际问题来决定。我们把满足初始条件的它们由实际问题来决定。我们把满足初始条件的解称为解称为初值问题的解（又称方程的特解）。初值问题的解（又称方程的特解）。例例例例初始条件：初始条件：初始条件：初始条件：注：初值问题又称为注：初值问题又称为Cauch问题问题已知通解：已知通解：这里是已知的n+1个常数.它们由实际问题来决定。我们把满足初28 解：从通解中求初值问题的解解：从通解中求初值问题的解利用初始条件利用初始条件把把y(0)=0代入：代入：得得又因又因代入代入 得得 解：从通解中求初值问题的解利用初始条件把y(0)=0代入：29u微分方程的几何解释微分方程的几何解释微分方程的几何解释微分方程的几何解释 设设设设 是一个解，在是一个解，在是一个解，在是一个解，在xyxyxyxy平面上的图形叫一条积分曲线。平面上的图形叫一条积分曲线。平面上的图形叫一条积分曲线。平面上的图形叫一条积分曲线。根据初始条件，在根据初始条件，在根据初始条件，在根据初始条件，在xyxyxyxy平面作点平面作点平面作点平面作点 ,把这个点叫做初始点，把这个点叫做初始点，把这个点叫做初始点，把这个点叫做初始点，一个解满足初始条件，从几何上看，就是有一条积分曲线一个解满足初始条件，从几何上看，就是有一条积分曲线一个解满足初始条件，从几何上看，就是有一条积分曲线一个解满足初始条件，从几何上看，就是有一条积分曲线过初始点。过初始点。过初始点。过初始点。考虑：考虑：考虑：考虑：微分方程的几何解释 设 是一个解，在xy平面30设设设设 是一个解是一个解是一个解是一个解,则则则则在积分曲线上任取一在积分曲线上任取一点，过这一点的切线点，过这一点的切线斜率为斜率为反之，如果一条曲线反之，如果一条曲线上任一点的切线斜率上任一点的切线斜率为函数为函数 f 在这一点的在这一点的值，则此曲线为积分值，则此曲线为积分曲线。曲线。设 是一个解,则在积31u方向场方向场方向场方向场 (field of directions)(field of directions)设设设设f(x,y)f(x,y)的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为D D,过过过过D D的每一点画一小线段，的每一点画一小线段，的每一点画一小线段，的每一点画一小线段，其斜率等于其斜率等于其斜率等于其斜率等于 f(x,y),f(x,y),我们把这种图形就叫做由方程所规定的我们把这种图形就叫做由方程所规定的我们把这种图形就叫做由方程所规定的我们把这种图形就叫做由方程所规定的方向场方向场方向场方向场。在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线等斜线等斜线等斜线(isoclineisoclineisoclineisocline)注注注注1 1：求微分方程求微分方程求微分方程求微分方程 经过点经过点经过点经过点 的曲线，就是在的曲线，就是在的曲线，就是在的曲线，就是在D D内求一条经内求一条经内求一条经内求一条经过过过过 的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相吻合。吻合。吻合。吻合。注注注注2 2 2 2：微分方程微分方程微分方程微分方程 的等斜线方程为的等斜线方程为的等斜线方程为的等斜线方程为 =,=,=,=,其中其中其中其中 是参数。是参数。是参数。是参数。给出参数的一系列充分接近的值，就可得足够密集的等斜线族，借此可以给出参数的一系列充分接近的值，就可得足够密集的等斜线族，借此可以给出参数的一系列充分接近的值，就可得足够密集的等斜线族，借此可以给出参数的一系列充分接近的值，就可得足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出微分方程近似地作出微分方程近似地作出微分方程近似地作出微分方程 的积分曲线。当然，要想更精确地作出的积分曲线。当然，要想更精确地作出的积分曲线。当然，要想更精确地作出的积分曲线。当然，要想更精确地作出积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。方向场(field of directions)32方向场方向场方向场方向场例如：例如：例如：例如：方向场方向场方向场方向场方向场例如：方向场33等斜线等斜线等斜线34极值点与拐点曲线极值点与拐点曲线极值点与拐点曲线35解曲线解曲线解曲线36解曲线解曲线解曲线37图例图例图例38又如：方程又如：方程又如：方程又如：方程确定的方向场及由此作出的方程的部分解如下确定的方向场及由此作出的方程的部分解如下确定的方向场及由此作出的方程的部分解如下确定的方向场及由此作出的方程的部分解如下又如：方程确定的方向场及由此作出的方程的部分解如下39小结小结 本节我们介绍了常（偏）微分方程、阶、解（显式和隐式）、通解（显式和隐式）、定解条件、初值问题、积分曲线、方向场、等斜线等概念。重点分析了通解的定义，指出通解不一定包通解不一定包含方程的全部解，不是任何一个方程都有通解。含方程的全部解，不是任何一个方程都有通解。对任意常数的独立性作了特别说明。介绍了微分方程的几何解释及如何利用方向场近似画出积分曲线的分布草图。本节的有关概念是后面学习的基础，请重点理解和掌握。小结 本节我们介绍了常（偏）微分方程、阶、解（显式和40复习与思考复习与思考 1微分方程的解是否连续？是否可导?2微分方程的解的定义区间是否可以是一个点？3.函数 中任意常数 是否独立？答案：答案：答案：答案：1由定义微分方程的解可导，从而必连续2不可，否则函数不可导，故不是解 3不独立，因为这两个常数可以合成一个常数，其中 作业：作业：P16 T4 P16 T4 复习与思考 1微分方程的解是否连续？是否可导?中任意常数41