材料力学应力状态分析)课件

低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验13-1 13-1 引言引言引言引言低碳钢低碳钢低碳钢低碳钢铸铸铸铸 铁铁铁铁铸铁断口与轴线垂直，低碳钢断口铸铁断口与轴线垂直，低碳钢断口有何不同，为什么？有何不同，为什么？二者都容易由实验建立强度条件。二者都容易由实验建立强度条件。第第1313章章 应力状态分析应力状态分析低碳钢和铸铁的拉伸实验13-1 引言低碳钢铸 铁铸铁1低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢低碳钢低碳钢低碳钢铸铸铸铸 铁铁铁铁容易由实验建立强度条件。容易由实验建立强度条件。与拉伸断口有何不同，为什么？与拉伸断口有何不同，为什么？拉伸与扭转强度条件是否有关联？拉伸与扭转强度条件是否有关联？低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢铸 铁容易由实验建立强度条件2 工字梁工字梁工字梁工字梁:c,d 点处点处:单向应力；单向应力；a 点处点处:纯剪切；纯剪切；b 点处点处:,联合作用联合作用复杂应力状态下，如何复杂应力状态下，如何建立强度条件建立强度条件？分别满足分别满足?做实验的工作量与难度做实验的工作量与难度?工字梁:c,d 点处:单向应力；a 点处:纯剪3通过构件内一点，所作各微截面的应通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态。可力状况，称为该点处的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的应力由围绕该点的一个单元体面上的应力表示。表示。应力状态应力状态应变状态应变状态构件内一点在各个不同方位的应变构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点处的应变状态。状况，称为该点处的应变状态。建立复杂应力状态强度条件的研究思路：建立复杂应力状态强度条件的研究思路：材料物质点应力状况材料物质点应力状况应力微体应力微体材料失效机理材料失效机理强度条件强度条件xyzyxdxdydzxxyy通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态4 单单元元体体每每个个面面上上应应力力均均布布；每每对对相相互互平平行行面面上上的的性性质质相相同同的的应应力力大大小小相相等等；可可用用截截面面法法求求任任一一截截面面上上的应力。的应力。单元体如何取？单元体如何取？在在研研究究点点的的周周围围，取取一一个个由由三三对对互互相相垂垂直直的的平平面面构构成成的的六六面面体体，该该六六面面体体的的边边长长分分别别为为无无穷穷小小量量dx、dy和和dz，如下图所示。，如下图所示。dydzdxzxy 单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性513-2 平面应力状态分析主应力 对对图图a所所示示悬悬臂臂梁梁上上A点点处处单单元元体体上上的的应应力力分分布布（图图b）可可见见：有有一一对对平平面面上上的的应应力力等等于于零零，而而不不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。AF(a)adcbAabdc(b)adcbA 该该应应力力状状态态则则称称为为平平面面应应力力状状态态，其其单单元元体体可可简简化化为左图所示情形。为左图所示情形。13-2 平面应力状态分析主应力 对图a所61、斜截面上的应力已知如下图已知如下图a（或图（或图b）所示的一平面应力状态：）所示的一平面应力状态：efanxyzabcdxy(a)xyyyxxdabcxyxx(b)xxyyyy 可可由由截截面面法法求求与与前前、后后两两平平面面垂垂直直的的斜斜截截面面上上应应力力。如如图图b所所示示，斜斜截截面面ef的的外外法法线线与与x轴轴间间的的夹夹角角为为，称为，称为 截面。截面。1、斜截面上的应力已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态7应力的正负和斜截面夹角的正负规定：应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力）正应力 拉为正，压为负；拉为正，压为负；2）切切应应力力 使使单单元元体体产产生生顺顺时时针针旋旋转转趋趋势势为为正正；反反之之为负；为负；3）对对 角角，x轴轴逆逆时时针针旋旋转转这这一一角角度度而而与与斜斜截截面面外外法法线重合时，其值为正；反之为负。线重合时，其值为正；反之为负。取图取图c所示分离体进行分析。图所示分离体进行分析。图c中所示斜截面中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。上应力和斜截面夹角均为正。efbyx(c)xy应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力拉为正，压为负8 由由图图d所所示示体体元元上上各各面面上上的的力力的的平平衡衡，参参考考法法线线n和切线和切线t方向可得：方向可得：ntydAsin(d)bfydAsindAxdAcosedAxdAcos 由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n9由此可得，任一斜截面上的应力分量为：由此可得，任一斜截面上的应力分量为：其中其中dA为斜截面为斜截面ef的面积。的面积。由此可得，任一斜截面上的应力分量为：其中dA为斜截面ef的10解：解：C点应力状态如图点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：所示，其拉应力和切应力为：例例：图图示示圆圆轴轴中中，已已知知：圆圆轴轴直直径径d=100mm，轴轴向向拉拉 力力F=500kN，外外力力矩矩Me=7kNm。求求C点点 =30截截面面上的应力。上的应力。(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCF解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：例：图示圆轴11 图示斜截面上应力分量为：图示斜截面上应力分量为：Cxxxxxytyy30n-30-30 图示斜截面122、应力圆由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：两式两边平方后求和可得：两式两边平方后求和可得：2、应力圆由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：两式两13而圆方程为：而圆方程为：可可见见前前式式实实际际上上表表示示了了在在 为为水水平平轴轴、为为垂垂直直轴轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：半径为：半径为：如下图。如下图。而圆方程为：可见前式实际上表示了在为水14 单单元元体体斜斜截截面面上上应应力力（，）和和应应力力圆圆上上点点的的坐坐标标（，）一一一一对对应应，因因此此可可通通过过确确定定应应力力圆圆上上相应点的坐标来求斜截面上应力（相应点的坐标来求斜截面上应力（，）。）。因因为为圆圆心心一一定定在在 轴轴上上，只只要要知知道道应应力力圆圆上上的的两两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。OC 单元体斜截面上应力（，）和应力圆上点151 1）应力图的画法）应力图的画法已知已知 x、y、x、y，如右图，假定如右图，假定 x y。在在、坐标系内按比例尺确定两点：坐标系内按比例尺确定两点：dabcefxyxxnaxxyyyy1）应力图的画法已知x、y、x、y，如右图，假定x16 以以C为圆心，线段为圆心，线段CD1或或CD2为半径作圆，即为应为半径作圆，即为应 力圆。力圆。连接连接D1、D2两点，线段两点，线段D1D2与与 轴交于轴交于C点。点。CC 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 连接D172 2）证明）证明对下图所示应力圆可见对下图所示应力圆可见C点的点的横坐标为：横坐标为：从从D1点点按按斜斜截截面面角角 的的转转向向转转动动2 得得到到E点点，该该点点的的坐坐标标值值即为斜截面上的应力分量值。即为斜截面上的应力分量值。C2sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Extysysxs1202由于由于可得：可得：2）证明对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：从D1点按斜18因此，因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且点坐标为应力圆圆心坐标，并且 该线段长度等于应力圆半径。该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆从而证明上述圆确为应力圆。确为应力圆。则：则：因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且 19另外，另外，E点横坐标为：点横坐标为：可见，可见，E点坐标值即为点坐标值即为 斜截面上的应力分量值。斜截面上的应力分量值。即：即：同理可得同理可得E点的纵坐标为：点的纵坐标为：另外，E点横坐标为：可见，E点坐标值即为斜截面上的应力20l l 二倍角对应：二倍角对应：二倍角对应：二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角应力圆半径转过的角度是微体截面方位角应力圆半径转过的角度是微体截面方位角应力圆半径转过的角度是微体截面方位角变化的两倍，且二者转向相同。变化的两倍，且二者转向相同。变化的两倍，且二者转向相同。变化的两倍，且二者转向相同。微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边微体平行对边微体平行对边微体平行对边,对应对应对应对应应力圆应力圆应力圆应力圆同一点同一点同一点同一点2 C 二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角变化的两倍21 由由于于应应力力圆圆上上点点的的坐坐标标与与单单元元体体面面上上的的应应力力分分量量值值一一一一对对应应，因因此此，按按比比例例作作图图，可可通通过过直直接接用用尺尺子子量量出出坐坐标标值值来来求求任任意意斜斜截截面面上上的的应应力力分分量量，此此即即称称为为图解法。图解法。解：按一定比例画出应力圆。解：按一定比例画出应力圆。例例：用图解法求图示用图解法求图示 =30斜截面上的应力值。斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：因为图示应力状态有：x30 x=35.7MPax=63.7MPayn 由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值22 按按一一定定比比例例，作作出出应应力力圆圆，并并找找到到斜斜截截面面对对应应的点，量取其坐标可得：的点，量取其坐标可得：则则x、y截面在应力圆上两点为：截面在应力圆上两点为：EDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30(-30，)20MPa 按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点233、主平面和主应力对图对图a所示应力状态，作出应力圆（图所示应力状态，作出应力圆（图b）。）。10122 主平面：剪应力主平面：剪应力 =0的平面；的平面；主应力：主平面上的正应力。主应力：主平面上的正应力。可证明：可证明：并规定：并规定：可见：可见：xy(a)ODyDxCA2A120(b)3、主平面和主应力对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。s24具体值可在应力圆上量取，即：具体值可在应力圆上量取，即：主主 平平 面面 位位 置置：图图 a中中 1主主 平平 面面 的的 方方 位位 角角 0对对 应应 于于 应应 力力 圆（图圆（图b）上的圆心角）上的圆心角2 0。主应力值和主应力平面的计算：主应力值和主应力平面的计算：由图由图b可见，可见，A1、A2两点的横坐标为：两点的横坐标为：具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置：图a中1主平面的方25，IV象限由此可得两个主应力值为：由此可得两个主应力值为：因因为为 1主主平平面面方方位位角角的的两两倍倍对对应应于于应应力力圆圆上上2 0，而而，IV象限由此可得两个主应力值为：因为1主平面方位角的两倍26所以，所以，1主平面方位角主平面方位角 0为：为：最最大大正正应应力力的的方方位位角角 0也可由下式确定：也可由下式确定：sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Extysysxs1202所以，1主平面方位角0为：最大正应力的方位角0也可由27例例 求图求图a所示应力状态的主应力及方向。所示应力状态的主应力及方向。解：解：1、应力圆图解法：、应力圆图解法：因为：因为：所以：所以：按一定比例作出应力圆（图按一定比例作出应力圆（图b）。）。yx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b)例 求图a所示应力状态的主应力及方向。解：1、28 由由应应力力圆圆通通过过直直接接量量取取，并并考考虑虑主主应应力力的的大大小关系可得：小关系可得：由此可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：所示：101yx(c)由应力圆通过直接量取，并考虑主292 2、解析法、解析法 ：所以：所以：2、解析法：3013-3 空间应力状态的概念 下下图图所所示示单单元元体体的的应应力力状状态态是是最最普普遍遍的的情情况况，称为一般的称为一般的空间应力状态空间应力状态。图中图中x平面有：平面有：图中图中y平面有：平面有：图中图中z平面有：平面有：在在切切应应力力的的下下标标中中，第第一一个个表表示示所所在在平平面面，第第二个表示应力的方向。二个表示应力的方向。xyzOdxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyz13-3 空间应力状态的概念 下图所示单元体31 可可以以证证明明，对对上上述述应应力力状状态态一一定定可可找找到到一一个个单单元元体体，其其三三对对相相互互垂垂直直的的面面都都是是主主平平面面，其其上上应力分别为：应力分别为：空空间间应应力力状状态态共共有有9个个分分量量，然然而而，根根据据切切应应力互等定理可知，独立的分量只有力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：个，即：空间应力状态：空间应力状态：三个主应力都不等于零；三个主应力都不等于零；平面应力状态：平面应力状态：两个主应力不等于零；两个主应力不等于零；单向应力状态：单向应力状态：只有一个主应力不等于零。只有一个主应力不等于零。该单元体称为主单元体。该单元体称为主单元体。可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元体32例例：下下图图a所所示示钢钢轨轨的的轨轨头头受受车车轮轮的的静静荷荷作作用用时时，其其应力状态即为图应力状态即为图b所示三向压应力状态。所示三向压应力状态。113322(b)(a)F例：下图a所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时，其应力状态即为图33考虑图考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。所示主单元体中斜截面上的应力。对与对与 3平行的斜截面平行的斜截面：同同理理：和和 2平平行行的的斜斜截截面面上上应应力力与与 2无无关关，由由 1、3的的应应力力圆圆确确定定；和和 1平平行行的的斜斜截截面面上上应应力力与与 1无无关关，由由 2、3的的应应力力圆圆确定。确定。下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。cab133(b)2121332(a)进进一一步步研研究究表表明明，一一般般斜斜截截面面abc面面上上应应力力位位于于图图c所所示示的的阴阴影部分内。影部分内。由由图图b可可知知，该该面面上上应应力力 、与与 3无无关关，由由 1、2的的应应力力圆圆来来确定。确定。考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。对与3平行的斜截面：34三向三向应力应力圆圆（1）三组特殊的平面应力对应三组特殊的平面应力对应于三个应力圆：平行于三个应力圆：平行 平面，平面，由由 ,作应力圆；由作应力圆；由 ,和和 ,分别作应力圆分别作应力圆（2）三向应力圆三向应力圆三向应力圆（1）三组特殊的平面应力对应于三个应力圆：平行 35结论：结论：任意斜截面的应力值任意斜截面的应力值位于三向应力圆的阴影区内位于三向应力圆的阴影区内（3）任意斜截面的应力任意斜截面的应力与三向应力圆对应关系与三向应力圆对应关系结论：任意斜截面的应力值位于三向应力圆的阴影区内（3）任意斜36 max作作用用面面为为与与 2平平行行，与与 1或或 3成成45角角的的斜斜截面截面。所所以以，由由 1、3构构成成的的应应力力圆圆最最大大，max作作用用点点位位于于该圆上，且有：该圆上，且有：因为：因为：O321maxBDAmax(c)注意：注意：max作用面上，作用面上，0。max作用面为与2平行，与1或3成437例例：用用应应力力圆圆求求图图a所所示示应应力力状状态态的的主主应应力力、主主平平面面，最大切应力最大切应力 max及作用面。及作用面。解解：由由图图示示应应力力状状态态可可知知 z=20MPa为为一一主主应应力力，则则与与该该应应力力平平行行的的斜斜截截面面上上的的应应力力与与其其无无关关。可可由由图图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。所示的平面应力状态来确定另两个主应力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz例：用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力38 图图b所示平面应力状态对应的应力圆如图所示平面应力状态对应的应力圆如图c。最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。O31ACD2D1(c)Omax321BACD2D120(d)由此可得：由此可得：图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。最后39 作用面与作用面与 2平行而与平行而与 1成成45角，如图角，如图e所示。所示。最大剪应力对应于最大剪应力对应于B点的纵坐标，即点的纵坐标，即x(e)321max4517 作用面与2平行而与1成45角，如图e所示。最大剪应力40例：对下列图示应力状态，求剪应力最大值。例：对下列图示应力状态，求剪应力最大值。例：对下列图示应力状态，求剪应力最大值。41=60=40可求得：可求得：sss=60=40可求得：4213-4 应力与应变之间的关系1、各向同性材料的广义胡克定律 时，时，2 2）纯剪应力状态：）纯剪应力状态：1 1）单向应力状态：）单向应力状态：横向线应变：横向线应变：xgxy时，时，13-4 应力与应变之间的关系1、各向同性材料的广义胡克定433 3）空间应力状态：）空间应力状态：对图示空间应力状态：对图示空间应力状态：正正负负号号规规定定：正正应应力力分分量量同同前前，拉拉为为正正、压压为为负负；切切应应力力分分量量重重新新规规定定，正正面面（外外法法线线与与坐坐标标轴轴指指向向一一致致）上上切切应应力力矢矢与与坐坐标标轴轴正正向向一一致致或或负负面面上上切切应应力力矢矢与与坐坐标标轴轴负负向向一一致致时时，切切应应力力为为正，反之为负。正，反之为负。六个应力分量，六个应力分量，dxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyz对应的六个应变分量，对应的六个应变分量，3）空间应力状态：对图示空间应力状态：正负号44 正正负负号号规规定定：正正应应变变分分量量同同前前，拉拉为为正正、压压为为负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。对对各各向向同同性性材材料料，在在线线弹弹性性、小小变变形形条条件件下下，正正应应力力只只引引起起线线应应变变，切切应应力力只只引引起起切切应应变变，应应力力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：三个正应力分量单独作用时，三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：方向的线应变为：正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为负；45 同理可得：同理可得：则可得：则可得：对切应力分量与切应变的关系，有：对切应力分量与切应变的关系，有：同理可得：则可得：对切应力分量与切应变的关系，有：46 上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。对平面应力状态：设对平面应力状态：设 z=0，xz=0，yz=0，有：，有：上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小47若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：二向应力状态：二向应力状态：设设有有若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：二向应力状态：设有48例例：边边长长a=0.1m的的铜铜立立方方块块，无无间间隙隙地地放放入入体体积积较较大大、变变形形可可忽忽略略的的钢钢凹凹槽槽中中，如如图图a所所示示。已已知知铜铜的的弹弹 性性 模模 量量 E=100GPa，泊泊 松松 比比 =0.34。当当 受受 到到F=300kN的的均均布布压压力力作作用用时时，试试求求铜铜块块的的主主应应力力以以及最大切应力。及最大切应力。解：铜块应力状态如图解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：所示，横截面上的压应力为：yxz(b)yxz(a)Faaa例：边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形49联解可得：联解可得：受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：并产生压应力，即有：联解可得：受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应50利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：则铜块的主应力为：利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：51