材料力学 第3章课件

第三章第三章 剪剪 切切 和和 扭扭 转转第三章 剪 切 和 扭 转3.1 剪切的概念剪切的概念3.2 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算3.3 扭转的概念扭转的概念3.4 外力偶矩外力偶矩 扭矩和扭矩面扭矩和扭矩面3.5 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3.6 圆轴扭转时的应力及变形圆轴扭转时的应力及变形3.7 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算3.8 圆柱形密圈螺旋弹簧圆柱形密圈螺旋弹簧3.9 圆轴扭转时斜截面上的应力及扭转破坏分析圆轴扭转时斜截面上的应力及扭转破坏分析3.10 矩形截面杆扭转简介矩形截面杆扭转简介3.1 剪切的概念3.1 剪切PPPPmnPQmn0ppP单剪双剪3.1 剪切PPPPmnPQmn0ppP单剪双剪3.2 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算一、剪切的实用计算方法一、剪切的实用计算方法 PQt剪应力剪应力在剪切面上均匀分布，在剪切面上均匀分布，于是剪应力的计算式为于是剪应力的计算式为式中，为剪切面面积。由公式算出的剪应力是以假式中，为剪切面面积。由公式算出的剪应力是以假设为基础的，并不是真实应力，通常称为设为基础的，并不是真实应力，通常称为名义剪应力名义剪应力。当剪切面上的剪应力达到一定值后，剪切构件会因剪当剪切面上的剪应力达到一定值后，剪切构件会因剪切而破坏。切而破坏。3.2 剪切和挤压的实用计算一、剪切的实用计算方法PQt剪许用剪应力，即许用剪应力，即 （-）这就是剪切强度条件。这就是剪切强度条件。若材料的极限剪应力若材料的极限剪应力 ，n为安全系数为安全系数则材料的许用剪应力则材料的许用剪应力，即，即 实验结果表明，材料的剪切强度极限与拉压强度极限有实验结果表明，材料的剪切强度极限与拉压强度极限有近似比例关系：近似比例关系：塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：根据这个关系，工程上常根据拉伸许用应力的值根据这个关系，工程上常根据拉伸许用应力的值估算剪切许用应力的值。估算剪切许用应力的值。许用剪应力，即塑性材料：二、挤压的实用计算二、挤压的实用计算挤压力：作用在接触面上的压力挤压力：作用在接触面上的压力挤压变形：在接触面处产生的变形挤压变形：在接触面处产生的变形挤压面：挤压发生在联结件与被联结件的接触面挤压面：挤压发生在联结件与被联结件的接触面挤压应力挤压应力 ：挤压面上的压强：挤压面上的压强pp式中，为有效挤压面面积。按公式式中，为有效挤压面面积。按公式得到的挤压应力并不是真实应力，得到的挤压应力并不是真实应力，所以称为名义挤压应力。所以称为名义挤压应力。挤压面 二、挤压的实用计算pp式中，为有效挤压面面积。按公有效挤压面面积的计算分两种情况讨论：有效挤压面面积的计算分两种情况讨论：（）当挤压面为平面时，（）当挤压面为平面时，有效挤压面面积为实际接触面有效挤压面面积为实际接触面面积，即面积，即 （）当挤压面为圆柱面（）当挤压面为圆柱面时，（如铆钉杆和铆钉孔）有时，（如铆钉杆和铆钉孔）有效挤压面面积是实际接触面的效挤压面面积是实际接触面的直径投影面，即直径投影面，即 这样，按公式算出的挤压应这样，按公式算出的挤压应力和实际产生的最大挤应力很相力和实际产生的最大挤应力很相近。近。lhh2有效挤压面面积的计算分两种情况讨论：lhh2 为了防止挤压破坏，应该使最大的挤压应力不为了防止挤压破坏，应该使最大的挤压应力不超过材料的许用挤压应力，即超过材料的许用挤压应力，即 （3-4）这就是挤压强度条件。这就是挤压强度条件。许用挤压应力与许用拉应力许用挤压应力与许用拉应力 之间有如下关系：之间有如下关系：塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：如果两个接触构件的材料不同，应对连接中挤如果两个接触构件的材料不同，应对连接中挤压强度较弱的构件进行计算。压强度较弱的构件进行计算。为了防止挤压破坏，应该使最大的挤压应力不超过材料的许三、连接件的强度计算三、连接件的强度计算 工程上常用的连接件受力后发生破坏有工程上常用的连接件受力后发生破坏有三种可能情况：三种可能情况：一是沿剪切面被剪断；一是沿剪切面被剪断；二是挤压面受挤压发生显著的塑性变形，二是挤压面受挤压发生显著的塑性变形，使连接杆件松动；使连接杆件松动；三是连接板因钻孔后截面受到削弱，可三是连接板因钻孔后截面受到削弱，可能被拉断。能被拉断。三、连接件的强度计算 工程上常用的连接件受力后发生破材料力学 第3章课件 为充分利用为充分利用材料，切应力和材料，切应力和挤压应力应满足挤压应力应满足 为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足四、冲剪力的计算四、冲剪力的计算工程中都要求这些构件工作时的剪应力工程中都要求这些构件工作时的剪应力达到材料的极限剪应力，即达到材料的极限剪应力，即 （3-5）四、冲剪力的计算工程中都要求这些构件工作时的剪应力达到材 在杆件的两端作用一对大小相等、方向在杆件的两端作用一对大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕杆件轴致使杆件的任意两个横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。杆件的这种变形形式称为线的相对转动。杆件的这种变形形式称为扭扭转变形转变形。有截面法可知，杆件产生扭转变形时，有截面法可知，杆件产生扭转变形时，横截面上内力分量只有位于面上的力偶矩，横截面上内力分量只有位于面上的力偶矩，称其为称其为扭矩扭矩。3.3 扭转的概念扭转的概念 在杆件的两端作用一对大小相等、方向相反，且作用平面一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算设轴传递的功率为设轴传递的功率为，转速为，转速为n(r/min)，传递，传递的力矩为的力矩为Me，于是有，于是有 即即 （3-6）注意：式（注意：式（3-6）中）中 的单位为千瓦，的单位为千瓦，n的单位为的单位为转转/分。分。当功率为当功率为 马力（马力（H.P，1马力马力=735.5W）时，外）时，外力偶矩的计算公式为力偶矩的计算公式为 （3-7）3.4 外力偶矩外力偶矩 扭矩和扭矩面扭矩和扭矩面一、外力偶矩的计算3.4 外力偶矩 扭矩和扭矩面二、扭矩和扭矩图二、扭矩和扭矩图从指定截面从指定截面m-m处截开，取左半部分处截开，取左半部分I由平衡条件由平衡条件得得 扭矩扭矩Mn是是I、II两部分两部分在在m-m截面上相互作用的截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。分布内力系的合力偶矩。取右半部分取右半部分II可求出截面可求出截面m-m上的扭矩，但其方向上的扭矩，但其方向与按部分与按部分I求出的扭矩相反。求出的扭矩相反。eMeMmmIIIeMmmIImmIxeMnMnM二、扭矩和扭矩图eMeMmmIIIeMmmIImmIxeMn扭矩的正负号规定如下：扭矩的正负号规定如下：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，当按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，矢量方向与截面的外法线方向一致时，扭矩扭矩Mn为正；反之为负为正；反之为负。根据这一规则，在图中，。根据这一规则，在图中，无论就部分无论就部分I还是部分还是部分II而言，而言，m-m截面上的截面上的扭矩都是正的。扭矩都是正的。根据扭矩的大小和正负，画出沿轴线方根据扭矩的大小和正负，画出沿轴线方向扭矩变化的图形，称之为扭矩图。扭矩图向扭矩变化的图形，称之为扭矩图。扭矩图的画法与轴力图相似。的画法与轴力图相似。扭矩的正负号规定如下：3.5 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转为了研究圆轴扭转时的应力和变形，首先为了研究圆轴扭转时的应力和变形，首先讨论薄壁圆筒的扭转，以了解剪应力及剪应讨论薄壁圆筒的扭转，以了解剪应力及剪应变的规律和它们之间的关系。变的规律和它们之间的关系。一、薄壁圆筒扭转时的应力一、薄壁圆筒扭转时的应力3.5 薄壁圆筒的扭转为了研究圆轴扭转时的应力和变形，首先mnmnabcddxnMjg1圆筒扭转各横截面上没有正应力，圆筒扭转各横截面上没有正应力，只有垂直于半径的剪应力只有垂直于半径的剪应力,剪应力沿壁厚方向均匀分布。剪应力沿壁厚方向均匀分布。2横截面上沿圆周方向各点的剪应力相同。横截面上沿圆周方向各点的剪应力相同。3扭转时横截面上只有垂直于半径且均匀扭转时横截面上只有垂直于半径且均匀 分布的剪应力，其方向与截面上扭矩分布的剪应力，其方向与截面上扭矩Mn的转向一致。的转向一致。mnmnabcddxnMjg1圆筒扭转各横截面上没有正应力，设设l为薄壁圆筒的长度，为薄壁圆筒的长度，R为薄壁圆筒的外半径，为薄壁圆筒的外半径，为薄壁圆筒两端的相对扭转角。可以看出为薄壁圆筒两端的相对扭转角。可以看出或或 （3-9）即剪应变即剪应变 与扭转角与扭转角成正比成正比。jgcabdgg设l为薄壁圆筒的长度，R为薄壁圆筒的外半径，为薄壁圆筒两端二、纯剪切状态二、纯剪切状态剪力剪力力偶矩为力偶矩为 平衡条件平衡条件上、下两个面上存在大小相等、上、下两个面上存在大小相等、方向相反的剪应力方向相反的剪应力 。由平衡条件有由平衡条件有即即(3-10)在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这个关系称为方向则共同指向或共同背离这一交线。这个关系称为剪应力互等定理。剪应力互等定理。yxzdxttdyt二、纯剪切状态yxzdxttdyt 如图所示单元体的上下左右四个侧面上如图所示单元体的上下左右四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，单元体的这种只有剪应力而无正应力作用，单元体的这种应力状态称为应力状态称为纯剪切状态纯剪切状态。yxzdxttdytyxzdxttdyt三、剪切虎克定律三、剪切虎克定律低碳钢的低碳钢的-曲线如图所示。曲线如图所示。剪切虎克定律剪切虎克定律 (3-11)比例系数比例系数G称为剪切弹性模量，它反映材料称为剪切弹性模量，它反映材料抵抗剪切变形的能力。抵抗剪切变形的能力。剪应变剪应变没有量纲，所以没有量纲，所以G有与有与相同的量纲。相同的量纲。钢材的钢材的G值约为值约为80GPa。gttg0三、剪切虎克定律gttg0 “拉压虎克定律拉压虎克定律”、“剪切虎克定律剪切虎克定律”、“剪应力互等定理剪应力互等定理”是材料力学的基本定律是材料力学的基本定律和基本定理。拉压弹性模量和基本定理。拉压弹性模量E、剪切弹性模量、剪切弹性模量G、泊松比、泊松比。可以证明，这三个弹性常数之。可以证明，这三个弹性常数之间存在如下关系间存在如下关系 (3-12)即即三三个弹性常数中只有两两个是独立的。“拉压虎克定律”、“剪切虎克定律”、“剪应力互等定四、剪切变形能四、剪切变形能当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，扭转角扭转角 与外力偶矩成正比。外力偶矩所与外力偶矩成正比。外力偶矩所做的功为做的功为 剪切变形能剪切变形能U，四、剪切变形能 用用u u表示单位体积的剪切变形能，即剪切变表示单位体积的剪切变形能，即剪切变形比能，则形比能，则u u应等于剪切变形能应等于剪切变形能U U畜疫薄壁圆筒畜疫薄壁圆筒的体积的体积V V，即，即 再利用剪切虎克定律，可得再利用剪切虎克定律，可得 （3-133-13）用u表示单位体积的剪切变形能，即剪切变形比能，则u应等于 3.6 3.6 圆轴扭转时的应力及变形圆轴扭转时的应力及变形推导思路推导思路变形几何关系变形几何关系(平截面假设平截面假设)切应变与相对转角之间的关系应力应变关系应力应变关系(Hooke 定律定律)切应力与相对转角之间的关系静力学关系静力学关系(切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩)相对转角表达式及切应力表达式 3.6 圆轴扭转时的应力及变形推导思路变形几何关系(平一、圆轴扭转时的应力一、圆轴扭转时的应力1.1.变形几何关系变形几何关系取出长为取出长为dxdx的微段的微段abab发生的相对错动发生的相对错动圆轴表面原有矩形的直圆轴表面原有矩形的直角改变量角改变量 为为横截面上距圆心为横截面上距圆心为处的剪应变为处的剪应变为（a a）jxeMeMmndxm n一、圆轴扭转时的应力jxeMeMmndxmn2.2.物理关系物理关系当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变成正比，即服从剪切虎克定剪应力与剪应变成正比，即服从剪切虎克定律律 （b b）将式（将式（a a）代入式（）代入式（b b）可以求得距轴线）可以求得距轴线为为处的剪应力处的剪应力 （c c）2.物理关系上式表明：横截面上任意点处的剪应力 与该点到圆心的距离成正比。即剪应力沿半径按直线规律变化，在圆心处剪应力为零，而在圆周边缘上各点的剪应力最大。注意到剪应力互等定理，则实心圆轴纵截面和横截面上的剪应力沿半径的分布如下图所示。rt上式表明：横截面上任意点处的剪应力 与该点到圆心的距离3.静力学关系静力学关系 取一微面积取一微面积dA，其上作用的微剪力：其上作用的微剪力：它对圆心的微力矩：它对圆心的微力矩：横截面上的扭矩：横截面上的扭矩：（d）代入：代入：则：则：（e）dArtdAnMrO3.静力学关系dArtdAnMrO 式中的积分是与圆截面式中的积分是与圆截面尺寸有关的几何量，称为尺寸有关的几何量，称为横截面对圆心横截面对圆心O点的极惯点的极惯性矩，用性矩，用 表示，表示，即即 (3-14)rtdAdAnMrO 式中的积分是与圆截面rtdAdAnMrO于是于是 可以写成可以写成(3-15)得（得（3-16）这就是圆轴扭转时横截面上任意一点剪这就是圆轴扭转时横截面上任意一点剪应力的计算公式。应力的计算公式。于是由式（由式（3-16）可知，当可知，当=R时（即横截面边缘上各点），剪时（即横截面边缘上各点），剪应力取最大值，应力取最大值，即即（3-17）引用记号引用记号 公式（公式（3-16）可改写为）可改写为 （3-18）Wn称为抗扭截面模量。称为抗扭截面模量。由式（3-16）二、圆轴扭转时的变形公式二、圆轴扭转时的变形公式 圆轴的扭转变形可用两个横截面绕轴线圆轴的扭转变形可用两个横截面绕轴线的相对扭转角的相对扭转角来表示。由式（来表示。由式（3-15）可得）可得相距为相距为dx的两横截面之间的相对扭转角的两横截面之间的相对扭转角 对长为对长为l的轴，两端面的相对扭转角为的轴，两端面的相对扭转角为 （3-19）二、圆轴扭转时的变形公式由同一种材料制成的等截面圆轴，其由同一种材料制成的等截面圆轴，其 为常量，若相距为为常量，若相距为l的两横截面之间的扭的两横截面之间的扭矩矩 也为常量，则该两截面间的扭转角也为常量，则该两截面间的扭转角为为 （3-20）这是等截面圆轴扭转变形的计算公式。这是等截面圆轴扭转变形的计算公式。由同一种材料制成的等截面圆轴，其 称为截面的抗扭刚度。称为截面的抗扭刚度。转角转角的符号规定与扭矩的符号规定与扭矩 的相同，其的相同，其单位为弧度（单位为弧度（rad）。）。若两横截面之间的扭矩或抗扭刚度为变若两横截面之间的扭矩或抗扭刚度为变量时，欲求两截面的相对扭转角量时，欲求两截面的相对扭转角则应按式则应按式（3-19）积分或分段计算出各段的扭转角，再代数求和积分或分段计算出各段的扭转角，再代数求和材料力学 第3章课件三、极惯性矩三、极惯性矩 和抗扭截面模量和抗扭截面模量 的计算的计算环形微面积：环形微面积：圆截面的极惯性矩为圆截面的极惯性矩为 （3-21）drRDmaxtmaxtmaxt三、极惯性矩 和抗扭截面模量 的计算drRDmaxt抗扭截面模量为抗扭截面模量为 （3-22）上述两式中上述两式中D为圆截面的直径。为圆截面的直径。的量纲为长度的量纲为长度的四次方，的四次方，的量纲为长度的三次方。的量纲为长度的三次方。rOdrRDmaxtmaxtmaxt抗扭截面模量为 rOdr对于空心圆轴，对于空心圆轴，空心圆截面的抗扭截面模量为空心圆截面的抗扭截面模量为 上述两式中，上述两式中，D和和d分别为空心圆截面的外径和内分别为空心圆截面的外径和内径，且径，且 。rOdrRDmaxtmaxtmaxt对于空心圆轴，rOdrRDmaxtmaxtmaxt四、扭转时应力、变形公式的应用条件四、扭转时应力、变形公式的应用条件 上述应力、变形公式是以刚性平面假上述应力、变形公式是以刚性平面假设为基础导出的，只适用于等直圆杆。当设为基础导出的，只适用于等直圆杆。当圆形横截面沿轴线变化缓慢时，也可近似圆形横截面沿轴线变化缓慢时，也可近似的用以上公式，此时的用以上公式，此时 、等也在沿轴等也在沿轴线变化。线变化。在在 时，上述公式才成立。时，上述公式才成立。四、扭转时应力、变形公式的应用条件3.7 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算一、强度条件一、强度条件圆轴扭转圆轴扭转 （3-23）等直圆轴等直圆轴 （3-24）阶梯轴阶梯轴 （3-25）3.7 圆轴扭转时的强度和刚度计算二、刚度计算二、刚度计算工程中常用单位长度内的扭转角工程中常用单位长度内的扭转角来表示扭转变来表示扭转变形的程度。形的程度。（rad/m）（3-26a）的单位为弧度的单位为弧度/米（米（rad/m）。）。扭转的刚度条件扭转的刚度条件（rad/m）（3-26b）由于工程上由于工程上的单位用度的单位用度/米（米（o/m）表）表示，故示，故 （o/m）（3-27）二、刚度计算3.8 圆柱形密圈螺旋弹簧圆柱形密圈螺旋弹簧3.8 圆柱形密圈螺旋弹簧一、簧丝横截面上的应力一、簧丝横截面上的应力截面法求应力，得截面法求应力，得（a）剪应力剪应力与扭矩与扭矩 对应的剪应力对应的剪应力得得pQnM2D(b)pdaD(a)A1tdAd2t一、簧丝横截面上的应力pQnM2D(b)pdaD(a)A1t最大剪应力发生在最大剪应力发生在A点点。当当 0时，可忽略剪切的影响，可看作时，可忽略剪切的影响，可看作只受扭转作用只受扭转作用对较粗的弹簧，要考虑剪切和曲率影响。对较粗的弹簧，要考虑剪切和曲率影响。通常用曲度系数通常用曲度系数k修正，即修正，即dAAd1t2t最大剪应力发生在A点。dAAd1t2t其中曲度系数其中曲度系数 而而c=D/d。簧丝的强度条件簧丝的强度条件（3-31）dAAd1t2tdAAd1t2t二、弹簧的变形二、弹簧的变形外力功为外力功为扭转剪应力扭转剪应力单位体积的变形能单位体积的变形能pD(a)lddrMr(b)二、弹簧的变形外力功为pD(a)lddrMr(b)弹簧的变形能弹簧的变形能有有W=U，于是，于是所以所以 ddrMr(b)弹簧的变形能ddrMr(b)可见，弹簧的变形可见，弹簧的变形与力与力P成正成正比，比例常数比，比例常数C称为弹簧刚度，即称为弹簧刚度，即 ddrMr(b)ddrMr(b)3.9圆轴扭转时斜截面上应力及扭转破坏分析圆轴扭转时斜截面上应力及扭转破坏分析 一、圆轴扭转的破坏形式一、圆轴扭转的破坏形式（a）（b）453.9圆轴扭转时斜截面上应力及扭转破坏分析（a）（b）45 二、圆轴扭转时斜截面上的应力二、圆轴扭转时斜截面上的应力 如图示，设斜截面如图示，设斜截面ae的面积为的面积为dA，在斜，在斜截面截面ae上作用有正应力上作用有正应力 和剪应力和剪应力 ，有平衡条件有平衡条件 abcdadbc1O2Oabcdnaettxtxnabtetaas(c)(b)(a)二、圆轴扭转时斜截面上的应力abcdadbc1O2Oabc整理后得整理后得 （3-34）由上式可见，斜截面上的正应力由上式可见，斜截面上的正应力 和剪应和剪应力力 都随截面的倾角都随截面的倾角变化。当变化。当 时时 取极值，而此时为取极值，而此时为 零，即零，即 当当 和和 时，时，取极值，极值为取极值，极值为 ，而此时而此时整理后得 三、破坏原因分析三、破坏原因分析圆轴扭转时，横截面上剪应力最大，而圆轴扭转时，横截面上剪应力最大，而-45斜截面上拉应力最大。由此可对不同材料斜截面上拉应力最大。由此可对不同材料的扭转破坏现象作出解释：对于铸铁，抗拉能的扭转破坏现象作出解释：对于铸铁，抗拉能力最弱，扭转时，将沿着最大拉应力面被拉力最弱，扭转时，将沿着最大拉应力面被拉断；对于低碳钢，其抗剪能力较差，故在剪应断；对于低碳钢，其抗剪能力较差，故在剪应力最大的横截面上被剪坏。力最大的横截面上被剪坏。maxs=三、破坏原因分析maxs=3.10 矩形截面杆扭转简介矩形截面杆扭转简介 矩形截面杆扭转，一般在弹性力学中讨矩形截面杆扭转，一般在弹性力学中讨论。图中画出了沿截面周边。对称轴和对角论。图中画出了沿截面周边。对称轴和对角线上的剪应力分布情况。由剪应力互等定理线上的剪应力分布情况。由剪应力互等定理可知，截面的周边各点上不可能有垂直于周可知，截面的周边各点上不可能有垂直于周遍的剪应力。剪应力分布如图。遍的剪应力。剪应力分布如图。bAB1tmaxtt3.10 矩形截面杆扭转简介bAB1tmaxtt （3-35）在短边中点，剪应力为在短边中点，剪应力为 （3-36）单位长度扭转角单位长度扭转角为为 （3-37）矩形截面的和可按下式计算矩形截面的和可按下式计算 （3-38）材料力学 第3章课件材料力学 第3章课件材料力学 第3章课件材料力学 第3章课件材料力学 第3章课件材料力学 第3章课件材料力学 第3章课件