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Mathematics Laboratory阮小娥博士Experiments in Mathematics数学实验数学实验Mathematics Laboratory阮小娥博士Exp1在实际问题中，我们常常会遇到下列问题在实际问题中，我们常常会遇到下列问题（1 1）变量间存在函数关系，但只能给出一离散点）变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值列上的值.例如，从实验中得到一个数据表例如，从实验中得到一个数据表,或或是一组观测数据是一组观测数据.（2 2）变量间的函数关系可以表示）变量间的函数关系可以表示,但计算复杂但计算复杂,只只能计算特殊点的函数值能计算特殊点的函数值.例如，求指数函数、对例如，求指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数值等数函数、三角函数、反三角函数值等.为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值外需要处的值.解决这类问题的方法：解决这类问题的方法：数据拟合、数据插值数据拟合、数据插值在实际问题中，我们常常会遇到下列问题2实验实验13 13 人口数量预测模型实验人口数量预测模型实验2 2、掌握在最小二乘意、掌握在最小二乘意义下数据拟合的理论和义下数据拟合的理论和方法方法.1 1、学会用、学会用MATLABMATLAB软件软件进行数据拟合进行数据拟合3、通过对实际问题的、通过对实际问题的分析和研究，初步掌分析和研究，初步掌握建立数据拟合数学握建立数据拟合数学模型的方法模型的方法实验目的实验目的实验13 人口数量预测模型实验2、掌握在最小二乘意义下数据拟3据人口统计年鉴，知我国从据人口统计年鉴，知我国从19491949年年至至19941994年人口数据资料如下：年人口数据资料如下：(人人口数单位为：百万口数单位为：百万)（1 1）在直角坐标系上作出人口数的图象。）在直角坐标系上作出人口数的图象。（2 2）建立人口数与年份的函数关系，并估算）建立人口数与年份的函数关系，并估算19991999年年的人口数。的人口数。实验问题实验问题年份年份19491954 1959 1964 1969人口数人口数 541.67602.66 672.09 704.99 806.71 年份年份 1974 1979 1984 1989 1994人口数人口数 908.59 975.42 1034.751106.761176.74 据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年人口数据资料如4如何确定如何确定a,b?线性模型线性模型如何确定a,b?线性模型51 曲线拟合问题的提法曲线拟合问题的提法:已知一组（二维）数据，即平面上的已知一组（二维）数据，即平面上的n个点个点),(iiyx，ixni,2,1L=互不相同，寻求一个函数（曲线）互不相同，寻求一个函数（曲线）)(xfy=，使使)(xf在在某种准则下某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好，如图得最好，如图:xy0+一、曲线拟合一、曲线拟合确定确定f(x)使得使得 达到最小达到最小 最小二乘准则最小二乘准则 1 曲线拟合问题的提法:已知一组（二维）数据，即平面上的n6.用什么样的曲线拟合已知数据用什么样的曲线拟合已知数据?常用的曲线函数系类型：常用的曲线函数系类型：()画图观察画图观察()理论分析理论分析指数曲线：指数曲线：双曲线（一支双曲线（一支):):多项式：多项式：直线：直线：.用什么样的曲线拟合已知数据?常用的曲线函数系类型：(7 拟合函数组中系数的确定拟合函数组中系数的确定 拟合函数组中系数的确定8二、人口预测的线性模型二、人口预测的线性模型对于开始提出的实验问题对于开始提出的实验问题,代如数据，计算得代如数据，计算得从而得到人口数与年份的函数关系为从而得到人口数与年份的函数关系为把把x=1999代如，估算出代如，估算出1999年的人口数为年的人口数为 y=1252.1（百万）（百万）12.52亿亿1999年实际人口数量为年实际人口数量为.亿。亿。线性预测模型线性预测模型二、人口预测的线性模型对于开始提出的实验问题,代如数据，9 英国人口学家英国人口学家MalthusMalthus根据百余年的人口统计资根据百余年的人口统计资料，于料，于17981798年提出了著名的人口自然增长的年提出了著名的人口自然增长的指数增指数增长模型长模型。三、人口预测的三、人口预测的Malthus模型模型基本假设基本假设 :人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数x(t)时刻时刻t 的的人口人口,t=0时人口数为时人口数为x0指数增长模型指数增长模型实际中，常用实际中，常用 英国人口学家Malthus根据百余年的人口统计资料，101.1.由前由前100100年的数据求出美国的人口增长年的数据求出美国的人口增长Malthus模型模型。2.2.预测后预测后100100年（每隔年（每隔1010年）的人口状况。年）的人口状况。3.3.根据预测的人口状况和实际的人口数量根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人讨论人口模型的改进情况。口模型的改进情况。美国美国17901790年年19801980年每隔年每隔1010年的人口记录年的人口记录226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.592.076.062.9人口人口(百万百万)1980197019601950194019301920191019001890年份年份50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9人口人口(百万百万)1880187018601850184018301820181018001790年份年份例例1.由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型11解：解：取得最小值取得最小值.其中其中,表示人口数量表示人口数量。表示年份表示年份,解方程组解方程组:即得参数即得参数的值的值.使得使得问题转化为求参数问题转化为求参数解：取得最小值.其中,表示人口数量。表示年份,解方程组:即得12 prog41.m%prog41.m%This program is to predict the number of This program is to predict the number of population%population%format longformat longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;187t1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;0;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;197t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;0;1980;x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;2;x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;3;204.0;226.5;lnx1=log(x1);lnx2=log(x2);lnx1=log(x1);lnx2=log(x2);prog41.m%13a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.2);d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2;ab=inv(A)*D;disp(a=);disp(ab(1);disp(b=);disp(ab(2);forfor i=1:10 i=1:10 xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i);xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i);endendforfor i=1:10 i=1:10 xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i);xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i);endendplot(t1,x1,r*-,t1,xx1,b+-,plot(t1,x1,r*-,t1,xx1,b+-,t2,x2,g*-,t2,xx2,m+-);t2,x2,g*-,t2,xx2,m+-);a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a2214a=-49.79535457790735b=0.02859807120038仿真结果表明：仿真结果表明：人口增加的指人口增加的指数模型在短期数模型在短期内基本上能比内基本上能比较准确地反映较准确地反映人口自然增长人口自然增长的规律，但长的规律，但长期预测误差很期预测误差很大，需要修正大，需要修正预测模型。预测模型。拟合曲线拟合曲线原始数据曲线原始数据曲线a=-49.79535457790735仿真结果表明：人15四、人口预测的四、人口预测的Logistic模型模型人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率(x很小时很小时)k人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数例的例的LogisticLogistic模型留给同学们练习模型留给同学们练习四、人口预测的Logistic模型人口增长到一定数量后，增长16五、多项式拟合的五、多项式拟合的Matlab指令指令a=polyfit（xdata，ydata，n）其中其中n n表示多项式的最高阶数表示多项式的最高阶数 xdata，ydata 为要拟合的数据，它是为要拟合的数据，它是用向量的方式输入。用向量的方式输入。输出参数输出参数a为拟合多项式为拟合多项式 y=a1xn+anx+an+1的的系数系数a=a1,an,an+1。多项式在多项式在x x处的值处的值y y可用下面程序计算。可用下面程序计算。y=polyval(a,x)五、多项式拟合的Matlab指令a=polyfit（xd17用多项式拟合人口模型用多项式拟合人口模型%This program is to predict the model of population by This program is to predict the model of population by 4-degree polynomial%4-degree polynomial%prog42.m%prog42.m%format longformat longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;t=t1;t2;t=t1;t2;P1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;P1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;P2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;22P2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;6.5;P=P1;P2;P=P1;P2;n=4;n=4;%The degree of the fitting polynomial%The degree of the fitting polynomial%a,s=polyfit(t1,P1,n);a,s=polyfit(t1,P1,n);y=polyval(a,t);y=polyval(a,t);%a a is the coefficients vector from n-degree to 0-degree%is the coefficients vector from n-degree to 0-degree%plot(t,P,r*-,t,y,b+-);plot(t,P,r*-,t,y,b+-);23用多项式拟合人口模型%This program is to18a=1.0e+006*-0.00000000000014 0.00000000107892 -0.00000304878595 0.00381927346813 -1.79012132225427仿真结果表明仿真结果表明,人口增加的模型用多项式拟合能人口增加的模型用多项式拟合能比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预测具有指导意义。测具有指导意义。a=1.0e+006*仿真结果表明,人口增加的模型用多19例例2:2:海底光缆线长度预测模型海底光缆线长度预测模型某某一一通通信信公公司司在在一一次次施施工工 中中,需需要要在在水水面面宽宽为为2 20 0m m的的河河沟沟底底沿沿直直线线走走向向铺铺设设一一条条沟沟底底光光缆缆.在在铺铺设设光光缆缆之之前前需需要要对对沟沟 底底 的的 地地 形形 做做 初初B2468101214161820986420ADC探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示.25步探测步探测,从而估计所需光缆的长度从而估计所需光缆的长度,为工程预算为工程预算提供依据提供依据.基本情况如图所示基本情况如图所示.例2:海底光缆线长度预测模型某一通信公司在一次施工中,需要2010.9310.809.818.867.957.959.1510.2211.2912.6113.32201918171615141312111013.2812.2611.1810.139.058.027.967.968.969.01深度深度(m)9876543210分点分点2121个等分点处的深度个等分点处的深度(1)(1)预测通过这条河沟所需光缆长度的近似值预测通过这条河沟所需光缆长度的近似值.(2)(2)作出铺设沟底光缆的曲线图作出铺设沟底光缆的曲线图.10.9310.809.818.867.957.959.1521解：解：用用12次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下仿真结果表仿真结果表明明,拟合曲拟合曲线能较准确线能较准确地反映光缆地反映光缆的走势图的走势图.The length of the label is L=26.3809(m)假设所铺设的光缆足够柔软假设所铺设的光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地在铺设过程中光缆触地走势光滑走势光滑,紧贴地面紧贴地面,并且忽略水流对光缆的冲击并且忽略水流对光缆的冲击.解：用12次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下仿真结果表明22%prog45.m This program is to fit the data by polynomial%prog45.m This program is to fit the data by polynomial%format longformat longt=linspace(0,20,21);t=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);x=linspace(0,20,100);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.2P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.88,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;0,10.93;a,s=polyfit(t,P,12);a,s=polyfit(t,P,12);yy=polyval(a,x);yy=polyval(a,x);plot(x,yy,r*-,t,P,b+-);plot(x,yy,r*-,t,P,b+-);L=0;L=0;forfor i=2:100 i=2:100 L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2);L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2);endenddisp(The length of the label is L=);disp(L);disp(The length of the label is L=);disp(L);%prog45.m This program is to 23format longt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;n=input(n=)%通过键盘输入拟合次数通过键盘输入拟合次数a,s=polyfit(t,P,n);yy=polyval(a,x);p1=polyval(a,t);d=norm(P-p1)%计算拟合误差计算拟合误差plot(x,yy,r*-,t,P,b+-);L=0;for i=2:100 L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2);enddisp(The length of the label is L=);disp(L);format long24六、六、最小二乘曲线拟合最小二乘曲线拟合有有 一一 组组 数数 据据 xi，yi（i=1,2,n）满满 足足 某某 一一 函函 数数 原原 型型 ，其其中中a为为待待定定系系数数向向量量，求求出出一一组组待待定定系系数数的的值值使使得目标函数最小：得目标函数最小：最小二乘曲线拟合函数最小二乘曲线拟合函数 lsqcurvefit的调用格式的调用格式：p a,Jm=lsqcurvefit(Fun,a0,x,y)pFun为为原原型型函函数数的的matlab表表示示，可可以以是是M-函函数数或或inline()函函数数pa0为最优化初值为最优化初值px和和y为原始输入输出数据向量为原始输入输出数据向量pa为返回的待定系数向量为返回的待定系数向量pJm为在待定系数下目标函数的值为在待定系数下目标函数的值六、最小二乘曲线拟合有一组数据xi，yi（i=1,2,25例例3 3 已知数据可能满足已知数据可能满足求满足数据的最小二乘解求满足数据的最小二乘解a、b、c和和d 的值的值.x0.10.20.30.40.5y2.32012.64702.97073.28853.6008x0.60.70.80.91.0y3.90904.21474.51914.82325.1275输入已知数据点：输入已知数据点：x=0.1:0.1:1;y=2.3201,2.6470,2.9707,3.2885,3.6008,3.9090,4.2147,4.5191,4.8232,5.1275;例3 已知数据可能满足x0.10.20.30.40.5y226编写函数编写函数function y=f3(a,x)y=a(1)*x+a(2)*x.2.*exp(-a(3)*x)+a(4);待定系数求解待定系数求解a=lsqcurvefit(f3,1;2;2;3,x,y);aans=2.4575 2.4557 1.4437 2.0720绘制曲线：绘制曲线：y1=f3(a,x);plot(x,y,x,y1,o)编写函数待定系数求解绘制曲线：27插值问题插值问题：实验实验14 插值问题插值问题插值条件插值条件插值函数插值函数插值节点插值节点如果是多如果是多项式项式,则称则称为插值多为插值多项式项式求插值函求插值函数的方法数的方法称为插法称为插法a,b称为称为插值区间插值区间如何构如何构造造P(x)?插值问题：实验14 插值问题插值条件插值函数插值节点如果是281 1、多项式插值法、多项式插值法当当n=0时时,只有一个插只有一个插值节点的情形值节点的情形当当n=1时时,有两个插有两个插值节点的情形值节点的情形当当n=2时时,有三个插有三个插值节点的情形值节点的情形 是否任意给定是否任意给定n+1n+1个不同的插值节点都可以构造出个不同的插值节点都可以构造出满足插值条件的插值多项式满足插值条件的插值多项式?1、多项式插值法当n=0时,只有一个插值节点的情形当n=1时29由克莱姆法则知方程组有唯一解，即满足由克莱姆法则知方程组有唯一解，即满足(1.1)(1.1)的插值多项式存在且唯一。的插值多项式存在且唯一。插值多项式的存在唯一定理：插值多项式的存在唯一定理：在次数不超过在次数不超过n的多项式集的多项式集合中，满足插值条件的插值多项式是合中，满足插值条件的插值多项式是存在并且唯一的存在并且唯一的。由克莱姆法则知方程组有唯一解，即满足(1.1)的插值多项式存30拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值多项式表示插值多项式的最紧凑的方式是拉格朗日形式：表示插值多项式的最紧凑的方式是拉格朗日形式：Lagrange插值多项式的优点在于不要求数据点是插值多项式的优点在于不要求数据点是等间隔的，其缺点是数据点数不宜过大，通常不超等间隔的，其缺点是数据点数不宜过大，通常不超过过7个，否则计算工作量大且误差大，计算不稳定。个，否则计算工作量大且误差大，计算不稳定。拉格朗日(Lagrange)插值多项式表示插值多项式的最紧凑31分段线性插值分段线性插值分段线性插值示意图分段线性插值示意图分段线性插值分段线性插值示意图32分段二次插值示意图分段二次插值示意图分段二次插值分段二次插值分段二次插值示意图分段二次插值33三三次样条插值函数次样条插值函数定义定义对于区间对于区间 a,b 上给定的一个分划上给定的一个分划如果函数如果函数S(x)在子区间在子区间 上都是不超过上都是不超过3 3次的多项次的多项式，并且式，并且 2 2 阶导数阶导数 在内节点在内节点 处连续，则称处连续，则称 为区间为区间 a,b 上以上以 为节点的三次样条函数。为节点的三次样条函数。对于函数对于函数 ，若，若 还满足插值条件：还满足插值条件：则称则称 为为 在区间在区间 上的三次样条插值函数。上的三次样条插值函数。是在飞机或轮船等的设计制造过程中为描绘出光滑是在飞机或轮船等的设计制造过程中为描绘出光滑的外形曲线的外形曲线(放样放样)所用的工具所用的工具.三次样条插值函数定义对于区间a,b上给定的一个分划是在飞342 2、插值函数的、插值函数的MATLABMATLAB实现实现（1）interp1函数函数interp1函数的调用格式：函数的调用格式：y=interp1(x0,y0,x,method)其其中中:1）x0、y0为为样样本本点点，y为为插插值值点点自自变变量量值值x对对 应的函数值。应的函数值。（2）method共共有有6种种参参数数可可供供选选择择，当当省省略略method时，即默认为时，即默认为linear线性插线性插值。值。线性插值：线性插值：method=linear三次样条插值三次样条插值:method=spline;立方插值：立方插值：method=pchip or cubic2、插值函数的MATLAB实现（1）interp1函数int35例例4已知某转子流量计在已知某转子流量计在10010010001000mL/min流量流量范围内范围内,刻度值与校正刻度值与校正值的关系如表所示值的关系如表所示.试试用线性插值法计算流用线性插值法计算流量计的刻度值为量计的刻度值为785785时时,实际流量为多少？实际流量为多少？刻度刻度值校正校正值刻度刻度值校正校正值100105.3600605.8200207.2700707.4300308.1800806.7400406.9900908.0500507.51000107.9解：解：Matlab计算程序如下：计算程序如下：X=100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000;Y=105.3,207.2,308.1,406.9,507.5,605.8,707.4,806.7,908.0,107.9;Xk=780;Yk=interp1(X,Y,Xk)执行结果：执行结果：Yk=786.8400这里：这里：X和和Y分别表示样本点的刻度值和校正值；分别表示样本点的刻度值和校正值；Xk和和Yk分别表示插值点的刻度值和校正值。分别表示插值点的刻度值和校正值。例4已知某转子流量计在1001000mL/min流量范围内36 功能功能 三次样条数据插值三次样条数据插值 格式格式 y=spline(x0,y0,x)与与y=interp1(x0,y0,x,spline)等价，等价，其中参数其中参数x0、y0、x，y的意义及要求与线性插值的意义及要求与线性插值interp1中的完全一致。中的完全一致。（2）spline函数函数例例5对对离离散散分分布布在在y=exp(x)sin(x)函函数数曲曲线线上上的的数数据据点点进行样条插值计算：进行样条插值计算：x=0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20;y=exp(x).*sin(x);xx=0:0.25:20;yy=spline(x,y,xx);plot(x,y,bo,xx,yy,r*)功能 三次样条数据插值（2）spline函数例5对离散分37例例6 6 已知某型号飞机的机翼断面下缘轮廓线上的部分已知某型号飞机的机翼断面下缘轮廓线上的部分数据如表所示数据如表所示:假设需要得到假设需要得到 x 坐标每改变坐标每改变 0.1 时的时的 y 坐标坐标,分别用两种插值分别用两种插值方法对机翼断面下缘轮廓线上的部分数据加细方法对机翼断面下缘轮廓线上的部分数据加细,并作出插值函并作出插值函数的图形数的图形.xy0031.251.772.092.1112.0121.8131.2141.0151.6程序如下：程序如下：x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15y=0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6xi=0:0.1:15yi=interp1(x,y,xi,spline)zi=spline(x,y,xi)plot(xi,yi,bO,xi,zi,r*)例6 已知某型号飞机的机翼断面下缘轮廓线上的部分数据如表所示38（3）lagrange插值插值函数函数function y=lagrange(x0,y0,x)ii=1:length(x0);y=zeros(size(x);for i=ii ij=find(ii=i);y1=1;for j=1:length(ij),y1=y1.*(x-x0(ij(j);end y=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij);end例例7 7 对对 进行进行LagrangeLagrange插值插值 x0=-1+2*0:10/10;y0=1./(1+25*x0.2);x=-1:0.01:1;y=lagrange(x0,y0,x);ya=1./(1+25*x.2);plot(x,ya,*,x,y,O)（3）lagrange插值函数function y=lagr393 3、二维网格数据的插值问题、二维网格数据的插值问题（1 1）二维插值函数）二维插值函数interp2的调用格式的调用格式：zi=interp2(x0,y0,z0,xi,yi)zi=interp2(x0,y0,z0,xi,yi,method)*临近点插值：临近点插值：method=nearestmethod=nearest*线性插值：线性插值：method=linear method=linear （缺省算法）（缺省算法）*三次样条插值：三次样条插值：method=splinemethod=spline*立方插值：立方插值：method=pchip or cubicmethod=pchip or cubic3、二维网格数据的插值问题（1）二维插值函数interp2的40例例8 8 由二元函数由二元函数获得一些较稀疏的网格数据，对整个函数曲面进获得一些较稀疏的网格数据，对整个函数曲面进行各种插值，并比较插值结果行各种插值，并比较插值结果%绘制已知数据的网格图绘制已知数据的网格图 x,y=meshgrid(-3:0.6:3,-2:0.4:2);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);surf(x,y,z);axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)例8 由二元函数%绘制已知数据的网格图41%默认线性插值算法进行插值默认线性插值算法进行插值 x1,y1=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);z1=interp2(x,y,z,x1,y1);surf(x1,y1,z1),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)%立方和样条插值立方和样条插值 z2=interp2(x,y,z,x1,y1,cubic);z3=interp2(x,y,z,x1,y1,spline);surf(x1,y1,z2),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)figure;surf(x1,y1,z3),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)%默认线性插值算法进行插值42x,y=meshgrid(-3:0.6:3,-2:0.4:2);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);subplot(2,2,1);surf(x,y,z);axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)x1,y1=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);z1=interp2(x,y,z,x1,y1);subplot(2,2,2);surf(x1,y1,z1),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)z2=interp2(x,y,z,x1,y1,cubic);z3=interp2(x,y,z,x1,y1,spline);subplot(2,2,3);surf(x1,y1,z2),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)subplot(2,2,4);surf(x1,y1,z3),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)画在同一幅图上作比较画在同一幅图上作比较 x,y=meshgrid(-3:0.6:3,-243前两个差值算法误差的比较前两个差值算法误差的比较z=(x1.2-2*x1).*exp(-x1.2-y1.2-x1.*y1);surf(x1,y1,abs(z-z1),axis(-3,3,-2,2,0,0.08)figure;surf(x1,y1,abs(z-z2),axis(-3,3,-2,2,0,0.025)前两个差值算法误差的比较44三个差值算法误差的比较三个差值算法误差的比较z=(x1.2-2*x1).*exp(-x1.2-y1.2-x1.*y1);subplot(3,1,1);surf(x1,y1,abs(z-z1),axis(-3,3,-2,2,0,0.18)subplot(3,1,2);surf(x1,y1,abs(z-z2),axis(-3,3,-2,2,0,0.18)subplot(3,1,3);surf(x1,y1,abs(z-z3),axis(-3,3,-2,2,0,0.18)三个差值算法误差的比较45（2 2）二维一般分布数据的插值问题）二维一般分布数据的插值问题griddata函数的调用格式：函数的调用格式：z=griddata(x0,y0,z0,x,y,method)method=v4：插值算法，公认效果较好：插值算法，公认效果较好临近点插值：临近点插值：method=nearest线性插值：线性插值：method=linear （缺省算法）（缺省算法）三次样条插值：三次样条插值：method=spline立方插值：立方插值：method=cubic（2）二维一般分布数据的插值问题griddata函数的调用格46例例9 在在x为为-3,3，y为为-2，2矩形区域随机选择一组数据点，用矩形区域随机选择一组数据点，用 v4 与与cubic插值法进行处理，并对误差进行比较。插值法进行处理，并对误差进行比较。%产生数据点产生数据点 x=-3+6*rand(200,1);y=-2+4*rand(200,1);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);plot(x,y,x)%样本点的二维分布样本点的二维分布 figure,plot3(x,y,z,x),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5),grid例9 47%cubic和和v4算法算法 x1,y1=meshgrid(-3:0.2:3,-2:0.2:2);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,cubic);subplot(2,2,1);surf(x1,y1,z1);axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)z2=griddata(x,y,z,x1,y1,v4);subplot(2,2,2);surf(x1,y1,z2);axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)%误差分析误差分析z0=(x1.2-2*x1).*exp(-x1.2-y1.2-x1.*y1);subplot(2,2,3);surf(x1,y1,abs(z0-z1),axis(-3,3,-2,2,0,0.15)subplot(2,2,4);surf(x1,y1,abs(z0-z2);axis(-3,3,-2,2,0,0.15)%cubic和v4算法484、高维插值问题、高维插值问题u三维插值三维插值interp3函数的调用格式：函数的调用格式：三维网格三维网格 x,y,z=meshgrid(x1,y1,z1)griddata3()三维非网格数据插值三维非网格数据插值un维插值维插值interpn函数函数un维网格维网格 x1,x2,xn=ndgridv1,v2,vnugriddatan()n维非网格数据插值维非网格数据插值uinterp3()、interpn()调用格式同调用格式同interp2()一致一致ugriddata3()、griddatan()调用格式同调用格式同griddata()一致一致4、高维插值问题三维插值interp3函数的调用格式：49例例1010 通过函数生成一通过函数生成一些网格型样本点，据此进行插值并给出插值误差。些网格型样本点，据此进行插值并给出插值误差。x,y,z=meshgrid(-1:0.2:1);x0,y0,z0=meshgrid(-1:0.05:1);V=exp(x.2.*z+y.2.*x+z.2.*y).*cos(x.2.*y.*z+z.2.*y.*x);V0=exp(x0.2.*z0+y0.2.*x0+z0.2.*y0).*cos(x0.2.*y0.*z0+z0.2.*y0.*x0);V1=interp3(x,y,z,V,x0,y0,z0,spline);err=V1-V0;max(err(:)ans=0.0419例10 50实验任务实验任务:观测观测序号序号12345678910X46495152545657585960Y40505563727077739093观测观测序号序号11121314151617181920X61626364666768717271Y9688991101131201271371321371、下表中，、下表中，X是华氏温度，是华氏温度，Y是一分钟内一只蟋是一分钟内一只蟋蟀的鸣叫次数，试用多项式模型拟合这些数据，蟀的鸣叫次数，试用多项式模型拟合这些数据，画出拟合曲线，分析你的拟合模型是否很好？画出拟合曲线，分析你的拟合模型是否很好？实验任务:观测序号12345678910X464951525512、(1)在下列数据中，在下列数据中，W表示一条鱼的重量，表示一条鱼的重量，l表示它表示它的长度，使用最小二乘准则拟合模型的长度，使用最小二乘准则拟合模型W=kl3长度长度l（英寸）（英寸）14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625 重量重量w（盎司）（盎司）27 17 41 26 17 49 23 16(2)*在下列数据中，在下列数据中，g表示一条鱼的身围，使用最表示一条鱼的身围，使用最小二乘准则拟合模型小二乘准则拟合模型W=klg2长度长度l（英寸）（英寸）14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625身围身围g（英寸）（英寸）9.75 8.375 11.0 9.75 8.5 12.5 9.0 8.5重量重量w（盎司）（盎司）27 17 41 26 17 49 23 16(3)*两个模型哪个拟合数据较好？为什么？两个模型哪个拟合数据较好？为什么？备注：备注：(2)*、(3)*为选做题目。为选做题目。2、(1)在下列数据中，W表示一条鱼的重量，l表示它的长度523、阅读课本、阅读课本277-283页，上机学习页，上机学习Matlab软件实现数据插值法。完成练习软件实现数据插值法。完成练习2的第的第4题题4、阅读实验十四，完成练习、阅读实验十四，完成练习1（303页）页）第第3 题题.3、阅读课本277-283页，上机学习Matlab软件实现数531.实验问题；实验问题；2.问题分析问题分析:包括解决问题的理论依据，包括解决问题的理论依据，建立建立的数学模型以及求解问题的思路和方法；的数学模型以及求解问题的思路和方法；3.程序设计流程图；程序设计流程图；4.结果分析和结论；结果分析和结论；5.总结和体会。总结和体会。数学实验报告要求数学实验报告要求1.实验问题；数学实验报告要求54
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