数字信号处理第2章时域离散信号和系统的频域分析课件

第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的序列的Z变换变换 2.6 利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 12.1 引言引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统用微分方程描述。为在频域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时域函数转换到频域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，系统用差分方程描述。2.1 引言 我们知道信号和系统2频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅32.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1序列傅里叶变换的定义定义(2.2.1)为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：(2.2.2)2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 4为求FT的反变换，用ejn乘(2.2.1)式两边，并在-内对进行积分，得到(2.2.3)(2.2.4)式中因此 为求FT的反变换，用e jn乘5上式即是FT的逆变换。(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。上式即是FT的逆变换。(2.2.16例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：(2.2.5)设N=4，幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。例 2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n7图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位82.2.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2.2.1)式中，n取整数，因此下式成立M为整数(2.2.6)因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这样X(ej)可以展成傅里叶级数，其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。2.2.2 序列傅里叶变换的性质M为整数(2.2.6)9图2.2.2cosn的波形图 2.2.2 cosn的波形 102.线性那么设式中a,b为常数3.时移与频移设X(ej)=FTx(n)，那么(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)2.线性 那么 设 式中a,b114.FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n)将上式两边n用-n代替，并取共轭得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)4.FT的对称性12对比上面两公式，左边相等，因此得到xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地可定义满足下式的称共轭反对称序列xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)对比上面两公式，左边相等，因此得到13将x0(n)表示成实部与虚部如下式：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)可以得到xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)-xoi(-n)(2.2.15)即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。将x0(n)表示成实部与虚部如下式：14例2.2.2试分析x(n)=ejn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejn因此x(n)=x*(-n)，满足(2.2.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到x(n)=cosn+jsinn由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。例 2.2.2 试分析x(n)=e15对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共轭得到x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)利用(2.2.16)和(2.2.17)两式，得到(2.2.18)(2.2.19)对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称16利用上面两式，可以分别求出xe(n)和xo(n)。对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)(2.2.10)式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足Xe(ej)=X*e(e-j)(2.2.21)Xo(ej)=-X*o(e-j)(2.2.22)同样有下面公式满足：(2.2.23)(2.2.24)利用上面两式，可以分别求出xe(n)和17(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)式中 (a)将序列x(n)分成实部xr(n)与18上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列，容易证明Xe(ej)满足(2.2.21)式，有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ej)满足(2.2.22)式，具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。上面两式中，xr(n)和xi(n)19最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：最后得到结论：序列分成实部与虚部两部20将上面两式分别进行FT，得到FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)因此对(2.2.25)式进行FT得到：X(ej)=XR(ej)+jXI(ej)(2.2.26)(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部。将上面两式分别进行FT，得到 (2.2.21因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)因为h(n)是实序列，其FT只有共轭22按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：(2.2.27)按照(2.2.18)和(2.2.19)23(2.2.28)实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)(2.2.30)(2.2.28)实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(24(2.2.31)例2.2.3x(n)=anu(n);0a1;求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)按(2.2.2)式得到(2.2.31)例 2.2.3 x(n)=anu(n)25按照(2.2.28)式得到按照(2.2.28)式得到26图2.2.3例2.2.3图图 2.2.3 例2.2.3图 275.时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ej)=X(ej)H(ej)(2.2.32)证明令k=n-m 5.时域卷积定理令k=n-m 28该定理说明，两序列卷积的FT，服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式(1.3.7)计算，也可以在频域按照(2.2.32)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。该定理说明，两序列卷积的FT，服从相296.频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n)(2.2.33)6.频域卷积定理307.帕斯维尔(Parseval)定理(2.2.34)7.帕斯维尔(Parseval)定理(2.2.331帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(ej)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。最后表2.2.1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能32表2.2.1序列傅里叶变换的性质表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质 332.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式2.3.1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数(2.3.1)式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式34(2.3.2)式的证明，作为练习自己证明。因此上式中，k和n均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，可表示成(2.3.2)-k(2.3.3)取整数 (2.3.2)式的证明，作为练习自己证明35上式中也是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶级数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。如对(2.3.4)式两端乘以，并对k在一个周期中求和，得到同样按照(2.3.2)式，得到(2.3.5)将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下：上式中 也是一个以N为36(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。(2.3.5)式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2N-1，幅度为。其波分量的频率是2/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。(2.3.6)(2.3.7)(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。37例 2.3.1设 x(n)=R4(n)，将 x(n)以 N=8为 周 期，进 行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期为8，求的DFS。解：按照(2.3.4)式 例 2.3.1设x(n)=R4(n38 392.3.2周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数，强度是2，即(2.3.8)对于时域离散系统中，x(n)=ejon，2/o为有理数，暂时假定其FT的形式与(2.3.8)式一样，也是在=0处的单位冲激函数，强度为2，但由于n取整数，下式成立取整数 2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 40上式表示复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2如科2.3.2所示。但这种假定如果成立，要求按照(2.2.4)式的逆变换必须存在，且唯一等于 ，下面进行验证，按照(2.2.4)式因此ej0n的FT为(2.3.9)上式表示复指数序列的FT是在0241图2.3.2的FT图 2.3.2 的 FT 42观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数，等式右边为，因此得到下式：对 于 一 般 周 期 序 列，按(2.3.4)式 展 开 DFS，第 k次 谐 波 为 ，类似于复指数序列的FT，其FT为，因此的FT如下式 观察图2.3.2，在区间，只包括43式中k=0,1,2N-1,如果让k在之间变化，上式可简化成(2.3.10)式中k=0,1,2 N-1,44表2.3.2基本序列的傅里叶变换 表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换 45对(a)式进行FT，得到对(a)式进行FT，得到46例2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解：将例2.3.1中得到的代入(2.3.10)式中得到其幅频特性如图2.3.3所示。例 2.3.2求例2.3.1中周期序47例2.3.3令，2/0为有理数，求其FT。解：将用欧拉公式展开(2.3.11)按照(2.3.9)式，其FT推导如下：例 2.3.3令 48上式表明cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。上式表明cos0n的FT，是在=49图2.3.4cos0n的FT图 2.3.4 cos0n的FT 502.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系 我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述(2.4.1)(2.4.2)2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变51这里t与的域均在之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采样信号，它们之间的关系用(1.5.2)式描述，重写如下：采样信号和连续信号xa(t)，它们傅里叶变换之间的关系，由采样定理(1.5.5)式描述，重写如下：这里t与的域均在之间。从模拟信52下面我们研究如果时域离散信号x(n)，或称序列x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即在数值上有有下面关系式成立：x(n)=xa(nT)(2.4.3)注意上面式中n取整数，否则无定义。x(n)的一对傅里叶变换用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示，重写如下：下面我们研究如果时域离散信号x(n53X(ej)与Xa(j)之间有什么关系，数字频率与模拟频率(f)之间有什么关系，这在模拟信号数字处理中是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从(2.4.3)式开始研究。将t=nT代入(2.4.2)式中，得到(2.4.4)X(e j)与Xa(j)之间有54在第一章中曾得到结论，如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率与模拟信号的频率(f)成线性性关系，如(1.2.10)式所示，重写如下：=T式中T是采样周期T=1/fs，将(1.2.10)式代入(2.4.5)式得到现在对比(2.4.1)式和(2.4.6)式，得到(2.4.6)(2.4.7)在第一章中曾得到结论，如果序列是由55上面(2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换X(ej)和模拟信号xa(t)的傅里叶变换Xa(j)之间的关系式，我们将(2.4.7)式与(1.5.5)式对比，得到结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号分别的FT之间的关系一样，都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓。上面(2.4.7)式即表示序列的傅里56例 2.4.1设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50Hz以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采相信号和时域离散信号x(n)，求xa(t)和的傅里叶变换以及x(n)的FT。解：(2.4.8)例 2.4.1设xa(t)=co57Xa(j)是=2f0处的单位冲激函数，强度为，如图2.4.2(a)所示。以fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号，按照(1.5.2)式，与xa(t)的关系式为的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以s=2fs为周期，将Xa(j)周期延拓形成，得到：Xa(j)是=2f0处的单58(2.4.9)如图2.4.2(b)所示。将采样信号转换成序列x(n)，用下式表示：x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)按 照(2.4.7)式，得 到 x(n)的 FT，只 要 将=/T=fs代 入 中即可。(2.4.9)如图2.59将fs=200Hz，f0=50Hz代入上式，求括弧中公式为零时值，=2k/2，因此X(ej)用下式表示：(2.4.10)将fs=200Hz，f0=50Hz代60图2.4.2例2.4.1图 图 2.4.2 例2.612.5 序列的序列的Z变换变换2.5.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(2.5.1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式(2.5.2)2.5 序列的Z变换 2.5.1 Z变62使(2.5.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用双边Z变换对信号进行分析和变换。(2.5.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(2.5.3)使(2.5.3)式成立，Z变量取值的域称为收63图2.5.1Z变换的收敛域图 2.5.1 Z变换的收敛域 64对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：(2.5.4)对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容65式中z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(2.5.4)式方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例2.5.1x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|1，|z|1 式中z=e j表示在z平面上r=662.5.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。1.有限长序列如序列x(n)满足下式：x(n)n1nn2x(n)=0其它 2.5.2 序列特性对收敛域的影响67即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与丙点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：即序列x(n)从n1到n2序列值不68n10，n20时，0zn10时，00时，0z例2.5.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域解：n10，n20时，69这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。2.右序列右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。这是一个因果的有限长序列，因此收敛70第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，收敛域定为Rx-|z|。第一项为有限长序列，设n1-1，71例2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：在收敛域中必须满足|az-1|a|。3.左序列左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn1，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为 例 2.5.3求x(n)=anu(72如果n20,z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为Rx+)的圆内，收敛域为0|z|0，则收敛域为0|z|Rx+。例2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。X(z)存在要求|a-1z|1，即收敛域为|z|a|如果n2Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。例2.5.5x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：X(z)的收敛域是X1(z)和X275第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|-1，第二部分收敛域为|az-1|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：|a|z|a|-1如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.5.2所示。第一部分收敛域为|az|a，求其逆Z变换x(n)。例 2.5.6 已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|80为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。n0时，n=0不是极点。n0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n0和n0两种情况求x(n)。n0时，为了用留数定理求解，先找出F(z81n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是否满足，此处n0，只要N-N0，(2.5.10)式就满足。图2.5.4例2.5.6中n0时F(z)极点分布 n|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a-1|种收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此 下面按照收敛域的不同求其x(n)。85最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和 最后表示成：x(n)=(an-a-86最后将x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=ax(n)=ResF(z),a=an 最后将x(n)表示成87n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此x(n)=-ResF(z),a-1=a-n最后将x(n)表示为ann0 x(n)=x(n)=a|n|a-nn0 n0时，c内极点有二个，其881-az-1 1-az-1 89例2.5.9已知求其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数 例 2.5.9 已知求 903.部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式 3.部分分式展开法91观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。(2.5.11)(2.5.12)(2.5.13)(2.5.14)求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。观察上式，X(z)/z在z=0的极92例2.5.10已知，求逆Z变换。解 例2.5.10已知 93因为收敛域为2|z|2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1得到x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。因为收敛域为2|z|3，第一部94表2.5.1常见序列Z变换 表2.5.1 常见序列Z变换 95数字信号处理第2章时域离散信号和系统的频域分析课件962.5.4Z变换的性质和定理Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。1.线性设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),Rm-|z|Rx-Ry+Ry-时，则M(z)不存在。2.序列的移位设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+则ZTx(n-n0)=z-n0X(z),Rx-|z|Rx+(2.5.16)这里M(z)的收敛域(Rm-，Rm+983.乘以指数序列设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+y(n)=anx(n),a为常数则Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1z)|a|Rx-|z|a|Rx+(2.5.17)3.乘以指数序列994.序列乘以n设则(2.5.18)4.序列乘以n则(2.5.18)1005.复序列的共轭设则证明(2.5.19)5.复序列的共轭则 证明(2.5.19)1016.初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)(2.5.20)7.终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则(2.5.21)6.初值定理(2.5.20)1028.序列卷积设则 8.序列卷积则 103例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(104由收敛域判定y(n)=0,n0。n0y(n)=ResY(z)zn-1,1+ResY(z)zn-1,a由收敛域判定y(n)=0,n0。105将y(n)表示为9.复卷积定理如果ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+ZTy(n)=Y(z),Ry-|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则将y(n)表示为 9.复卷积定理106W(z)的收敛域(2.5.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为(2.5.24)(2.5.25)(2.5.26)W(z)的收敛域(2.5.24)式中v平面上，被积函数的收107例2.5.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：例2.5.12已知x(n)=u(n)108W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。W(z)收敛域为|a|z|；10910.帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。那么v平面上，c所在的收敛域为 10.帕斯维尔(Parseval)定理那么 1102.5.5利用Z变换解差分方程在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常系数差方程为(2.5.30)1.求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对(2.5.30)式求Z变换，得到 2.5.5 利用Z变换解差分方程(2.5.30)111式中(2.5.31)(2.5.32)式中(2.5.31)(2.5.32)1122.求暂态解对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,nmax(|a|,|b|)，式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。收敛域为|z|max(|a|,|b|)，式1172.6 利用利用Z变换分析信号和系统变换分析信号和系统的频域特性的频域特性 2.6.1传输函数与系统函数设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(ej)(2.6.1)一般称H(ej)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 2.6118设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式(2.6.2)如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与H(z)之间关系如下式：(2.6.3)设h(n)进行Z变换，得到H(z)，1192.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|，0r1 2.6.2用系统函数的极点分布分析120例2.6.1已知分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2.5.5所示。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。例2.6.1已知 121(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列。(3)收敛域a|z|a-1，对应122