高考数学文科江苏版1轮复习课件第3章三角函数解三角形4第4讲简单的三角恒等变换

第三章第三章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第第4讲讲 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 常见的三角恒等变换有三种形式：化简，求值，证明常见的三角恒等变换有三种形式：化简，求值，证明 (1)化简：化简：要求是项数尽量少，要求是项数尽量少，次数尽量低，次数尽量低，能求值的则求值，能求值的则求值，常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解及和、差、倍角公式进行转化求解 (2)求值：分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充求值：分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解，注意尽量用已知角表示未知角分利用条件进行转化求解，注意尽量用已知角表示未知角 (3)证明：要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化证明：要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名、不同角则化同角，利用公式变形即可；对条件证明问同名、不同角则化同角，利用公式变形即可；对条件证明问题，要尽量化未知角为已知角题，要尽量化未知角为已知角 cos（30）cos（30）3 1化简化简的结果为的结果为_ cos cos（30）cos（30）解析解析 cos 2cos 30 cos 32 3.cos 22 2求值求值 2cos 40(1 3tan 10)_.sin 10?解析解析 原式原式2cos 40?1 3?cos 10?cos 10 3sin 10 2cos 40 cos 10 2sin（1030）2sin 80 2cos 40 2.cos 10 cos 10 1必明辨的必明辨的 1 个易错点个易错点 化简过程中忽视等价变形致错化简过程中忽视等价变形致错 2必会的必会的 3种方法种方法(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是通常是“配凑配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有法通常有“切化弦切化弦”“”“升幂与降幂升幂与降幂”等等 (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，式或某个期待的目标，其手法通常有其手法通常有“常值代换常值代换”“逆用变形逆用变形公式公式”“通分约分通分约分”“分解与组合分解与组合”“配方与平方配方与平方”?532?1已知已知 cos?6?，则，则 sin?6?cos?6?的值为的值为?32 3 _ 3223?2?2?解析解析 因为因为 sin?6?1cos?6?1，?3?353?cos?6?cos?6?cos?6?，3?5232 3?所以所以 sin?6?cos?6?.3332（sin 2 cos 2 1）（）（sin 2 cos 2 1）tan 2._.sin 4（sin 2 cos 2 1）（）（sin 2 cos 2 1）解析解析 sin 4 sin2（cos 2 1）2sin 2 cos 2 sin2cos22cos 2 1 2sin 2 cos 2 2cos22cos 2 2sin 2 cos 2 222221cos 2 sin 2 2sin 2sin cos sin tan.cos 2xxsin cos22?1?2 3已知函数已知函数 f(x)，则，则 f?8?的值为的值为_2tan x2x2cos 121sin x22cosxsinxcos x21解析解析 f(x)，2sin xcos x2sin xcos xsin 2 x?1?所以所以 f?8?2.sin4 三角函数的求值问题三角函数的求值问题 3110 已知已知，tan.4tan 3(1)求求 tan 的值；的值；25sin 8sin cos 11cos 82222(2)求求的值的值?2sin?4?2110【解】【解】(1)因为因为 tan，tan 3所以所以 3tan 10tan 30，1解得解得 tan 或或 tan 3.33因为因为，所以，所以1tan 0.41所以所以 tan .321(2)因为因为 tan ，325sin 8sin cos 11cos 82222所以所以?2sin?4?1cos 22?5?sin2cos2?4sin 682sin cos 2 54sin 33cos 84sin 3cos sin cos sin cos 4tan 35.4tan 1 已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路：已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路：(1)先化简所求式子；先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角从三角函数名及角入手入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值将已知条件代入所求式子，化简求值 1.已知函数已知函数 f(x)2sin 2 x 2cos 2 x，xR.(1)求求 f(x)的最大值和最小正周期；的最大值和最小正周期；?3?(2)若若 f?28?，是第二象限的角，求是第二象限的角，求 sin 2.222?解解(1)因为因为 f(x)2sin 2 xcos 2 x 2?2?2?cos4sin 2 xsin4cos 2 x?2sin?2x4?，2所以所以 f(x)的最大值为的最大值为 2，最小正周期为，最小正周期为 T.2?(2)由由(1)知，知，f(x)2sin?2x4?，?33?所以所以 f?28?2sin，即，即 sin.24又又 是第二象限的角，是第二象限的角，所以所以 cos 1sin2133?1，4?4?23?3913?所以所以 sin 2 2sin cos 2.4?84?2求值：求值：2sin 50 sin 10(1 3tan 10)2sin80.解解 原式原式 cos 10 3sin 10?2sin 80?2sin 50 sin 10?cos 10?13?cos 10 sin 10?22?2sin 50 2sin 10?cos 10?2cos 10 2 2sin 50 cos 10 sin 10 cos(60 10)32 2sin(50 10)2 2 6.22 化简与证明化简与证明(高频考点高频考点)2（3cos 4 x）1 求证：求证：tan x2.tan x1cos 4 x4422sinxcosxsinxcosx【证明】【证明】法一：左边法一：左边22 22cosxsinxsinxcosx2（sinxcosx）2sin xcosx 12sin2x412121 sin2x1 sin2x22 121sin2x（1cos 4 x）482222284sin2x44cos2x 1cos 4 x1cos 4 x42（1cos 4 x）2（3cos 4 x）右边，右边，1cos 4 x1cos 4 x所以原等式成立所以原等式成立 2（21cos 4 x）法二：右边法二：右边 22sin2x2（22cos2x）4（1cos2x）2222sin2x8sinxcosx2222（sinxcosx）（cosxsinx）222sinxcosx2（sinxcosx）12tan x2左边，左边，222sinxcosxtan x所以原等式成立所以原等式成立 44222222(1)三角函数式的化简，除注意公式变形、弦切互化、特殊角三角函数式的化简，除注意公式变形、弦切互化、特殊角应用等方法外，要认真分析所给式子的结构，分析各个三角应用等方法外，要认真分析所给式子的结构，分析各个三角函数及角的相互关系，认真寻求解题突破口函数及角的相互关系，认真寻求解题突破口 (2)对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边，或从右边推到左边，也可两边同时进行，左右归一，变边，或从右边推到左边，也可两边同时进行，左右归一，变更论证等方法常用定义法、化弦法、更论证等方法常用定义法、化弦法、化切法、化切法、拆项拆角法、拆项拆角法、“1”的代换、公式变形等手段，选择巧妙的解题途径的代换、公式变形等手段，选择巧妙的解题途径?1tan?2?1tan tan.化简：化简：?tan2?2?1tan?2?1tan tan 解解?tan2?2?cossinsin222sin 1 cos sincoscos222?cos sincos cossin sin2222 sin coscos cos2222cos 2.sin sin cos cos2cos222 三角变换的综合应用三角变换的综合应用?(2018 连云港模拟连云港模拟)已知函数已知函数 f(x)sinxsin?x6?，22xR.(1)求求 f(x)的最小正周期；的最小正周期；?(2)求求 f(x)在区间在区间?3，4?上的最大值和最小值上的最大值和最小值 【解】【解】(1)由已知，有由已知，有 f(x)?2x1cos3?1cos 2 x?22 1?113?cos 2 xsin 2 x cos 2 x 2?22?231sin 2 x cos 2 x 44?1?sin?2x6?.22所以所以 f(x)的最小正周期的最小正周期 T.2?(2)因为因为 f(x)在区间在区间?3，6?上是减函数，在区间上是减函数，在区间?6，4?1?1?3?上是增函数，且上是增函数，且 f?3?，f?6?，f?4?，424?31?所以所以 f(x)在区间在区间?3，4?上的最大值为上的最大值为，最小值为，最小值为.42 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，性质相结合，通过变换把函数化为通过变换把函数化为 yAsin(x)的形式再的形式再研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征，研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题注意利用整体思想解决相关问题?已知函数已知函数 f(x)2sin xsin?x6?.(1)求函数求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；的最小正周期和单调递增区间；?(2)当当 x?0，2?时，求函数时，求函数 f(x)的值域的值域 31?解解(1)f(x)2sin xsin x cos x 2?2?1cos 2 x1 3 sin 2 x 22?3?sin?2x3?.2所以函数所以函数 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 T.由由 2k 2x 2k，kZ，2325解得解得kxk，kZ，12125?所以函数所以函数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是?12k，12k?，kZ.?2?(2)当当 x?0，2?时，时，2x?3，3?，3?3?sin?2x3?，1，?2?3?所以所以 f(x)0，1.2?归纳推理与三角函数的交汇归纳推理与三角函数的交汇 由倍角公式由倍角公式 cos 2 x2cosx1，可知可知 cos 2 x 可以表示为可以表示为cos x 的二次多项式，对于的二次多项式，对于cos 3x，我们有，我们有 cos 3xcos(2 xx)cos 2 xcos xsin 2xsin x(2cosx1)cos x2(sin xcos x)sin x2cosxcos x2(1cosx)cos x4cosx3cos x，可见，可见 cos 3x 可以表示为可以表示为 cos x 的三次多项式一般地，存在一个的三次多项式一般地，存在一个 n次多项式次多项式 Pn(t)，使得，使得 cos nxPn(cos x)，这些多项式，这些多项式 Pn(t)称为称为切比雪夫多项式切比雪夫多项式 32322(1)请求出请求出 P4(t)，即用一个即用一个 cos x的四次多项式来表示的四次多项式来表示 cos 4 x；(2)利用结论利用结论 cos 3 x4cosx3cos x，求出，求出 sin 18 的值的值【解】【解】(1)cos 4 xcos(2 2x)2cos2x1 2(2cosx1)1 2(4cosx4cosx1)18cosx8cosx1.(2)因为因为 sin 36 cos 54，所以所以 2sin 18 cos 18 4cos183cos 18，所以所以 4sin182sin 18 10，51所以所以 sin 18.42342422223 本题具有以下创新点：本题具有以下创新点：(1)命题方式：命题方式：本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统，而是将推理证明与三角函数等相结合，考查学生式的传统，而是将推理证明与三角函数等相结合，考查学生的思维能力的思维能力 (2)考查内容的创新：考查内容的创新：本题考查了三倍角公式和切比雪夫多项本题考查了三倍角公式和切比雪夫多项式，属于式，属于“新新”定义问题，考查了考生分析问题、解决问题定义问题，考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力的能力以及逻辑推理能力 设设ABC的三个内角为的三个内角为 A，B，C，向量，向量 m(3sin A，sin B)，n(cos B，3cos A)，若若 nm1cos(AB)，2 则则 C 的值为的值为_ 3n3sin Acos B3cos Asin B3sin(AB)解析解析 m3sin(C)3sin C，又，又 cos(AB)cos(C)cos C，故，故?3sin C1cos C，即，即 3sin Ccos C1，即，即 2sin?C6?1，?175?即即 sin?C6?，由于，由于 C，故只有，故只有 C，即，即 C2666662.3