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2.2函数的单调性与最值数学数学 苏（理）（理）第二章函数概念与基本初等函数基基础知知识自主学自主学习题型分型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分出高分1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是 上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做函数yf(x)的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有 ；(2)存在x0I，使得 .(3)对于任意xI，都有；(4)存在x0I，使得 .结论M为最大值M为最小值f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)Mu思考辨析思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).()(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数y|x|是R上的增函数.()(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).()(5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，).()(6)函数y 的最大值为1.()题号答案解析1234 (，12，)解析解析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示.由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，).题型一函数型一函数单调性的判断性的判断解析思维升华题型一函数型一函数单调性的判断性的判断解解 设1x1x21，1x1x20，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1,1)上为减函数.解析思维升华题型一函数型一函数单调性的判断性的判断对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之.解析思维升华解析思维升华由ux2x60，得x3或x2.解析思维升华解析思维升华复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数.解析思维升华解解设x1，x2是任意两个正数，且0 x10，即f(x1)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，则x3.函数y (x24x3)的定义域为(，1)(3，).又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数.而函数y u在(0，)上是减函数，y (x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1).解析答案思维升华题型二利用型二利用单调性求参数性求参数范范围例例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_.题型二利用型二利用单调性求参数性求参数范范围例例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_.当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；解析答案思维升华题型二利用型二利用单调性求参数性求参数范范围例例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_.因为f(x)在(，4)上单调递增，解析答案思维升华题型二利用型二利用单调性求参数性求参数范范围例例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_.因为f(x)在(，4)上单调递增，解析答案思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.题型二利用型二利用单调性求参数性求参数范范围例例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_.解析答案思维升华答案思维升华解析由已知条件得f(x)为增函数，答案思维升华解析由已知条件得f(x)为增函数，答案思维升华解析已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.答案思维升华解析跟跟踪踪训练2(1)若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是_.(0,1解解析析 由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得1,2a,)，a1.故00，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.解析思维升华题型三利用函数的型三利用函数的单调性求性求最最值解析思维升华题型三利用函数的型三利用函数的单调性求性求最最值(2)求函数最值的常用方法：单调性法；基本不等式法；配方法；图象法；导数法解析思维升华解析思维升华例例3 (2)证明：f(x)为减函数；例例3 (2)证明：f(x)为减函数；解析思维升华例例3 (2)证明：f(x)为减函数；即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.答答题模板系列模板系列1 利用函数的利用函数的单调性解不等式性解不等式典典例例：函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨证明明设x1，x2R，且x10，答答题模板系列模板系列1 利用函数的利用函数的单调性解不等式性解不等式典典例例：函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；f(x)在R上为增函数.规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨答答题模板系列模板系列1 利用函数的利用函数的单调性解不等式性解不等式典典例例：函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口.规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨答答题模板系列模板系列1 利用函数的利用函数的单调性解不等式性解不等式典典例例：函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨答 题 模 板(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨答 题 模 板(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2).规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨答 题 模 板(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨答 题 模 板(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(1)的实数x的取值范围是_.(，0)(1，)23456789101所以x的取值范围是x1或x0.234567891015.定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_.解析解析由已知得当2x1时，f(x)x2，当1f(a3)，则实数a的取值范围为_.解得3a3.所以实数a的取值范围为(3，1)(3，).(3，1)(3，)23456789101函数f(x)在区间(2，)上是增函数.1，)234567891019.已知函数f(x)(a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；证明明设x2x10，则x2x10，x1x20，23456789101234567891012345678910123456789101由0 x1x22，得x2x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，234567891012345123451(0,223451(1,0)(0,1)2345123451当0 x2时，h(x)log2x是增函数；当x2时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.答案答案123451证明明任取x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围.解解任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)内恒成立，a1.综上所述，a的取值范围是(0,1.23451234511x10,2x1x22，f(x2)f(x1)0，f(x1)0恒成立，试求实数a的取值范围.解解 在区间1，)上f(x)0恒成立x22xa0恒成立.设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数.所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.
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