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第第2节用样本估计总体节用样本估计总体.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 整合主干知识1作频率分布直方图的步骤：质疑探究1：频率分布直方图中纵轴表示什么含义？小长方形的面积表示什么？各小长方形面积之和等于多少？2频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：把频率分布直方图中各个长方形上边的_用线段连接起来，就得到频率分布折线图(2)设想如果样本容量_，分组的组距_，则频率分布直方图实际上越来越接近于_，它可以用一条光滑曲线_来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线中点不断增大不断缩小总体的分布yf(x)3茎叶图定义是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数画法对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶样本数据为小数时做类似处理对于样本数据较少，且分布较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎优缺点用茎叶图表示数据的优点是：(1)所有的信息都可以从茎叶图中得到；(2)便于记录和读取，能够展示数据的分布情况缺点是：当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便4样本的数字特征数字特征定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数据体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一中位数将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，即s反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散质疑探究2：怎样利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数？提示：在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和质疑探究3：平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？提示：平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定 1给出下列命题，正确的是()一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次A BC D解析：错误平均数一定不大于这组数据中的最大值；正确平均数表示一组数据的平均水平，众数表示一组数据中出现次数最多的数，中位数等分样本数据所占频率，都可以从不同的角度描述数据的集中趋势正确由方差的意义知结论正确正确由频率分布直方图的意义知结论正确错误，茎叶图要求不能丢失数据故选B.答案：B2某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有()A30辆 B40辆C60辆 D80辆解析：由题图可知，车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为0.02100.2，则将被处罚的汽车大约有2000.240(辆).故选B.答案：B3(2015广州模拟)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A46,45,56 B46,45,53C47,45,56 D45,47,53答案：A4一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：10,20)，2；20,30)，3；30,40)，x；40,50)，5；50,60)，4；60,70)，2；则x_；根据样本的频率分布估计，数据落在10,50)的概率约为_答案：40.75如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_答案：6.8聚集热点题型典例赏析1 某糖厂为了解一条自动生产线上生产袋装白糖的重量，从1 000袋白糖中，随机抽取100袋并称出每袋白糖的重量(单位：g)，得到如下频率分布表：频率分布直方图的绘制及应用 分组频数频率485.5,490.5)10490.5,495.5)20495.5,500.5)50500.5,505.5)20合计100(1)请补充完成频率分布表，并在下图中画出频率分布直方图；(2)根据上述数据估计从这批白糖中随机抽取一袋，其重量在495.5,505.5上的概率思路索引分别计算各组频率及长方形的高度绘图(2)依题意知所求的概率为0.50.20.7.变式训练1(2014烟台四校联考)据悉山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0 m(精确到0.1 m)以上的为合格把所得数据进行整理后，分成6组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示已知从左到右前5个小组对应矩形的高分别为0.04，0.10，0.14,0.28,0.30，且第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由典例赏析2(1)(2013四川高考)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示以组距为5将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40时，所作的频率分布直方图是()茎叶图的应用(2)(2013重庆高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A2,5B5,5C5,8D8,8(3)(2015九江模拟)甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了10天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图知()A甲网店的极差大于乙网店的极差B甲网店的中位数是46C乙网店的众数是42D甲网店的销售业绩好解析(1)由0,5)，5,10)内的频数均为1，可知频率分布直方图中的高度相等，可以排除选项B；由于分组时按照组距为5分的，而选项C，D的组距为10，故错误；所以选A.答案(1)A(2)C(3)D拓展提高应用茎叶图的常见题型与求解策略变式训练2(2013山东高考)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为()答案：B典例赏析3(2015淄博市一模)参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(1)求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在80,90)，90,100内的人数；(2)若从分数在80,100内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在90,100内的概率 统计与概率的综合应用 思路索引(1)由频率分布直方图列关于n的方程求n的值，由茎叶图求出中位数，进而求出分数分别在80,90)，90,100内的人数；(2)设“在80,100内的学生中任选两人，恰好有一个分数在90,100内”为事件M，将80,90)内的4人编号为a，b，c，d；90,100内的2人编号为A，B在80,100内的任取两人的基本事件为：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个，其中，恰好有一人分数在90,100内的基本事件有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，其8个再由古典概型概率的计算公式即得所求拓展提高(1)从统计图表中准确获取相关信息是解题关键(2)明确频率与概率的关系，频率可近似代替概率(3)在求解古典概型时，要明确基本事件的构成变式训练3(2015郑州市调研)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组195,205)，第2组205,215)，第8组265,275如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)不妨设两名同学分别为M、N，且M的笔试成绩在270分以上，则对于M，答题的可能有M11，M10，M01，M00，对于N，答题的可能有N11，N10，N01，N00，其中角标中的1表示正确，0表示错误，如N10表示N同学第一题正确，第二题错误将两名同学的答题情况列表如下：M11M10M01M00N11ABBBBBCBN10ABBBBBCBN01ABBBBBCBN00ACBCBCCC备课札记_提升学科素养(理)统计图表识图不准致误(注：对应文数热点突破之四十四)从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为_解析该班学生视力在0.9以上的频率为(1.000.750.25)0.20.4，故能报A专业的人数为0.45020.答案20易错分析解题中易出现审题不仔细，又对所给图形没有真正理解清楚，将矩形的高误认为频率或者对“0.9以上”的含义理解有误温馨提醒频率分布条形图的纵轴(矩形的高)表示频率；频率分布直方图的纵轴(矩形的高)表示频率与组距的比值，其各小组的频率等于该小组上的矩形的面积(2014南昌模拟)为了“城市品位，方便出行，促进发展”，南昌市拟修建穿江隧道，市某部门问卷调查了n个市民，其中赞成修建的市民占80%，在赞成修建的市民中，又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在20,30)岁的有400人，40,50)岁的有m人，则n_，m_.答案：4 0001 1201一种思想用样本估计总体是统计的基本思想.2二点注意(1)频率分布直方图与统计条形图不同(2)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度就越大.3三个特征利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标.提能课时冲关
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