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第二章函数及其应用第一节函数及其表示【知识梳理】1.函数与映射的概念类别类别函数函数映射映射条条件件集合集合A,BA,BA,BA,B是两个非空是两个非空的的_A,BA,B是两个非空的是两个非空的_对应对应关系关系f f对对于集合于集合A A中的中的_一个数一个数x,x,在在集合集合B B中都有中都有_的数的数f(x)f(x)和它和它对对应应对对于集合于集合A A中的中的_一个一个元素元素x,x,在集合在集合B B中都有中都有_的元素的元素y y与之与之对应对应结论结论称称对应对应关系关系_为为从集合从集合A A到集到集合合B B的一个函数的一个函数称称对应对应关系关系_为为从从集合集合A A到集合到集合B B的一个的一个映射映射记记法法函数函数:_:_映射映射:f:AB:f:AB数集集合唯一确定任意唯一确定f:ABf:ABy=f(x),xA任意2.函数的三要素自变量xf(x)|xA解析法 列表法图表法3.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因_不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_,其值域等于各段函数的值域的_,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.对应关系并集并集【考点自测】1.(思考)给出下列命题:函数是建立在其定义域到值域的映射;函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点;函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数;若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.其中正确的是()A.B.C.D.【解析】选B.正确.函数是特殊的映射.错误.若函数在x=a处有意义,则其图象与直线x=a有1个交点;若函数在x=a处无意义,则两者没有交点,所以,有可能没有交点,如果有交点,则仅有1个,不会出现2个交点.正确.f(x)与g(t)的定义域和对应关系相同.错误.函数y=x与y=2x+1的定义域和值域都是R,但它们的对应关系不同,不是相等函数.2.下列对应关系:A=1,4,9,B=-3,-2,-1,1,2,3,f:xx的平方根;A=R,B=R,f:xx的倒数;A=R,B=R,f:xx2-2;A=-1,0,1,B=-1,0,1,f:A中的数平方.其中是A到B的映射的是()A.B.C.D.【解析】选C.对于,A中1,4,9在B中均有两个元素与其对应,不符合映射的定义,故错误;错误,因A中元素0,其倒数不存在;正确,符合映射的定义.3.(2013广东高考)函数f(x)=的定义域是()A.(-1,+)B.-1,+)C.(-1,1)(1,+)D.-1,1)(1,+)【解析】选C.解不等式x+10,x-10可得x-1,x1是定义域满足的条件.4.函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,则其值域为.【解析】列表如下:由表知,函数的值域为-1,0,3.答案:-1,0,3x x0 01 12 23 3y y0 0-1-10 03 35.(2014杭州模拟)已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=.【解析】因为f(x)=所以由f(x)=2,得当x1时,4x=2,x=或当x1时,-x=2,得x=-2(舍),综上知x=答案:6.f(x)是一次函数,且2f(1)+3f(2)=3,2f(-1)-f(0)=-1,则f(x)=.【解析】设f(x)=kx+b(k0),由已知得解得所以f(x)=答案:考点1 求函数的定义域【典例1】(1)(2013山东高考)函数f(x)=的定义域为()A.(-3,0B.(-3,1C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1(2)(2014北京模拟)已知函数y=f(x)的定义域为0,4,则函数y1=f(2x)-ln(x-1)的定义域为()A.1,2B.(1,2C.1,8D.(1,8【解题视点】(1)根据解析式,构建使其有意义的不等式组求解.(2)根据f(2x)中2x的含义及使ln(x-1)有意义构建不等式组求解.【规范解答】(1)选A.由题意得解得-3x0.(2)选B.由已知函数y=f(x)的定义域为0,4.则使函数y1=f(2x)-ln(x-1)有意义,需,解得1x2,所以定义域为(1,2.【互动探究】若本例(2)中条件变为:“函数y=f(2x)的定义域为0,4”,则结果如何?【解析】选D.因为y=f(2x)的定义域为0,4,即0 x4,所以12x16,故f(x)的定义域为1,16,则使函数y1=f(2x)-ln(x-1)有意义,需解得1x8.所以定义域为(1,8.【规律方法】求函数定义域的三种类型及求解策略(1)已知函数的解析式,构建使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)抽象函数:若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域由ag(x)b求出.若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.提醒:(1)如果所给解析式较复杂,切记不要化简后再求定义域.(2)所求定义域须用集合或区间表示.使函数解析式有意义的常见准则(1)分式的分母不为0.(2)偶次根式的被开方数非负.(3)对数函数的真数须大于0.(4)指数、对数函数的底数大于0且不等于1.(5)零次幂的底数不能为零.(6)正切函数y=tanx,xk+(kZ).【变式训练】(2013大纲版全国卷)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为()【解析】选B.令u=2x+1,由f(x)的定义域为(-1,0)可知-1u0,即-12x+10,得-1x2且x3,故选C.2.已知f(2x)的定义域是-1,1,则f(log2x)的定义域为.【解析】由已知x-1,1,所以2x ,2,故f(x)的定义域为 ,2,所以在函数y=f(log2x)中,log2x2,即log2 log2xlog24,所以x4,故f(log2x)的定义域为 ,4.答案:,4考点2 求函数的解析式【典例2】(1)已知f(+1)=x+2 ,则f(x)=.(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=.【解题视点】(1)利用换元法求解.(2)已知函数类型,用待定系数法求解.【规范解答】(1)由已知,x0,令+1=t,则t1,+),x=(t-1)2,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t1,+),即f(x)=x2-1(x1).答案:x2-1(x1)(2)设f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=2得c=2.f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以所以f(x)=答案:【规律方法】求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x)=F(x),可用换元法.(3)解方程组法:已知关于f(x)与(或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x).(4)间接法:已知某区间上的解析式,求其他区间上的解析式,将待求变量调节到已知区间上,利用函数满足的等量关系间接获得其解析式.利用换元法时关注新元的取值范围本例第(1)题利用换元法求解析式,要注意换元后t的取值范围,否则会造成求出的函数解析式定义域扩大而致误.【变式训练】(2013安徽高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0 x1时,f(x)=x(1-x),则当-1x0时,f(x)=.【解析】当-1x0时,0 x+11,故f(x+1)=(x+1)(1-x-1)=-x(x+1),又f(x+1)=2f(x),所以f(x)=答案:【加固训练】2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)=_.【解析】因为2f(x)-f(-x)=lg(x+1),所以2f(-x)-f(x)=lg(1-x).解方程组得f(x)=lg(x+1)+lg(1-x)(-1x1).答案：lg(x+1)+lg(1-x)(-1x-1的解集为.(3)(2013北京高考)函数f(x)=的值域为.【解题视点】(1)根据自变量的值选择相应的对应关系求值.(2)根据自变量取值分两种情况讨论求解.(3)分别求出每段的值域,再求并集.【规范解答】(1)f(9)=f(9-3)+2=f(6-3)+4=f(3-3)+6=f(0)+6=0+2+6=8.答案:8(2)由题意得或解得-1x-或0 x1,所以解集为-1，-)(0,1.答案:-1，-)(0,1(3)当x1时,0;当x1时,2x2.因此,值域为(-,2).答案:(-,2)【通关锦囊】重点重点题题型型破解策略破解策略求函数求函数值问值问题题根据所根据所给给自自变变量量值值的大小的大小选择选择相相应应的的解析式求解析式求值值,有有时时每段交替使用求每段交替使用求值值解方程或解解方程或解不等式不等式问题问题分分类类求出各子区求出各子区间间上的解上的解,再将它再将它们们合合并在一起并在一起,但要但要检验检验所求是否符合相所求是否符合相应应各段自各段自变变量的取量的取值值范范围围求最求最值值或或值值域域问题问题先求出每一个子区先求出每一个子区间间上的最上的最值值或或值值域域,然后然后进进行比行比较较得出最大得出最大值值、最小、最小值值,合合并得出并得出值值域域图图象及其象及其应应用用根据每段函数的定根据每段函数的定义义区区间间和解析式在和解析式在同一坐同一坐标标系中作出系中作出图图象象,然后然后应应用用,作作图时图时要注意每段要注意每段图图象端点的虚象端点的虚实实【特别提醒】解决分段函数问题的总策略是分段击破,即对不同的区间进行分类求解,然后整合.【关注题型】单调单调性性问问题题分析各段函数的分析各段函数的单调单调性性,然后整合然后整合,但但应应注意各段端点注意各段端点值间值间大小关系大小关系求解析式求解析式分分别别求出各子区求出各子区间间上的解析式上的解析式,然后然后进进行合并行合并判断奇偶判断奇偶性性根据奇偶性定根据奇偶性定义义判断判断【通关题组】1.(2014温州模拟)设函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2,则a=()A.-3B.3C.-1D.1【解析】选D.当a0时,f(a)=,由已知得+1=2,得a=1;当a0时,f(a)=,由已知得+1=2,得a=-1,综上a=1.2.(2014杭州模拟)已知函数f(x)=则满足f(x)1的x的取值范围是.【解析】当x0时,若f(x)=-x-1,又x0,所以-10时,若f(x)=x2-2x1,则1-x0,所以0 x1+,综上可知-1x1+.答案:(-1,1+)3.(2013福建高考)已知函数f(x)=则 =.【解析】答案:-24.(2013济南模拟)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.【解析】根据绝对值的意义,函数可表示为图象为如图所示的实线部分,数形结合可知,要使两函数图象有两个交点,则k(0,1)(1,2).答案:(0,1)(1,2)【加固训练】1.(2014嘉兴模拟)若 则当x0时,f(x)为()A.-xB.-x2C.xD.x2【解析】选B.由于f(x)=(x)=则当x0时,(x)=-x2,因为x0,所以-x20,则-x0,所以f(-x)=-4x-x2=-(4x+x2)=-f(x).若x0,所以f(-x)=x2-4x=-(4x-x2)=-f(x).综上恒有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.3.(2013天津模拟)已知函数f(x)=在区间(-,+)上是增函数,则常数a的取值范围是()A.a1或a2B.1a2C.1a2D.a2【解析】选B.因为函数f(x)=在区间(-,+)上是增函数,又因f(0)=0,由函数解析式知,在0,+)上与在(-,0)上都是增函数,欲保证函数在R上为增函数,当且仅当a2-3a+20即可,从而(a-1)(a-2)01a2.4.(2014杭州模拟)设函数f(x)=若f(-2)=f(0),f(-1)=-3,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由已知得解得所以f(x)=当x0时,由f(x)=x得,x2+2x-2=x,得x=-2或x=1,又x0,故x=1舍去;当x0时,由f(x)=x得x=2,所以方程f(x)=x有两个解.5.已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为.【解析】根据图象,设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x1).因为点(1,1),(0,2)在射线上,所以所以左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x1).同理,x3时,函数的解析式为y=x-2(x3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0),因为点(1,1)在抛物线上,所以a+2=1,a=-1,所以1x3时,函数的解析式为y=-x2+4x-2(1x3).综上,函数的解析式为答案:【易错误区3】忽视对分段函数中变量的分类讨论而致误【典例】(2014天津模拟)已知f(x)=则不等式x+xf(x)2的解集是.【解析】当x0时,不等式可化为x+x22,解得-2x1,又x0,所以0 x1.当x0时,不等式可化为x-x22,解得xR,又x0,所以x0,综上知,不等式的解集为x|x1.答案:x|x1【误区警示】1.处未对x进行讨论,而认为x0或x0,直接求解,只得一种情况.2.处忘记大前提条件造成所求结果错误.【规避策略】1.求解分段函数问题应对自变量分类讨论,讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系.2.求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围.【类题试解】已知f(x)=则不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集是.【解析】当x+20,即x-2时,f(x+2)=1,则x+x+25,即-2x ,当x+20,即x-2时,f(x+2)=-1,则x-x-25,即x-2.综上可知,不等式的解集为答案:
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